Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
53
Ch-ơng 7
Mô hình hoá thực nghiệm đa nhân tố bậc một đầy đủ và rút gọn
7.1. Đại c-ơng về mô hình hoá thực nghiệm đa nhân tố
Về nguyên tắc mọi sự kiện đều có thể qui về một qui luật, qui luật đó phải đ-ợc mô tả
bằng những công cụ khác nhau, chính xác nhất là sử dụng công cụ toán học. Toán học là khoa
học mô tả các qui luật, khi đó gọi là mô hình hoá toán học và đ-ợc biểu diễn bằng các ph-ơng
trình hay các biểu thức toán học.
Các ph-ơng trình toán học đ-ợc biểu diễn bằng những hàm số, đến l-ợt các hàm số lại
đ-ợc biểu diễn bằng các đồ thị.
Ph-ơng trình toán học tổng quát nhất là đa thức, vì với mọi loại hàm số cuối cùng đều
có thể qui về d-ới dạng đa thức.
Một đa thức tổng quát (Ph-ơng trình hồi qui) có thể mô tả cho bất kỳ hàm số nào. Đa
thức có: đa thức bậc 1, bậc 2, .... bậc cao. T-ơng ứng với bậc của đa thức là độ chính xác của
mô hình. Bậc càng cao thì mô hình mô tả càng chính xác qui luật và ng-ợc lại:
......
2



n
ji
n
i
iii
n
kji
kjiijkjiij
n
i

ii
xbxxxbxxbxby 7.1
Trong đó:
- y: hàm mục tiêu, mô hình nghiên cứu mô tả qui luật tìm đ-ợc.
- x
i
: nhân tố hoặc sự kiện hay yếu tố ảnh h-ởng lên hàm mục tiêu.
- b
i
: hệ số hồi qui bậc 1, mô tả định tính và định l-ợng ảnh h-ởng của nhân tố x
i
lên hàm mục
tiêu.
- b
ij
: hệ số hồi qui bậc 1, mô tả ảnh h-ởng đồng thời của 2 nhân tố x
i
và x
j
.
- b
ijk
: hệ số hồi qui bậc 1, mô tả ảnh h-ởng đồng thời của cả 3 nhân tố x
i
, x
j
và x
k
.
- bii: hệ số hồi qui bậc 2, mô tả ảnh h-ởng bậc 2 của nhân tố thứ x

i
lên kết quả thực nghiệm.
Hệ số hồi qui của ph-ơng trình hồi qui cho ta biết:
- Về giá trị tuyệt đối bi mô tả mức độ ảnh h-ởng của nó: giá trị lớn thì ảnh h-ởng mạnh, giá trị
nhỏ thì ảnh h-ởng yếu hay không ảnh h-ởng.
- Về dấu của hệ số b:
b > 0: ảnh h-ởng tích cực lên hàm mục tiêu vì nó làm hàm mục tiêu tăng lên.
b < 0: ảnh h-ởng tiêu cực lên hàm mục tiêu vì nó làm hàm mục tiêu giảm đi.
ý nghĩa của hàm mục tiêu: Ph-ơng trình hàm mục tiêu hoặc ph-ơng trình hồi qui nhằm
mô tả ảnh h-ởng của tất cả các yếu tố lên quá trình bằng một ph-ơng trình. Khi tìm đ-ợc hàm
mục tiêu mô tả đúng thực nghiệm, chúng ta sẽ tính tr-ớc đ-ợc giá trị của hàm mục tiêu, tức là
tính đ-ợc kết quả nghiên cứu mà không cần làm nghiên cứu.
Nguyên tắc tìm các hệ số hồi qui: có bao nhiêu ẩn số (hệ số hồi qui b) thì ít nhất phải
có bấy nhiêu ph-ơng trình (nếu không thì ph-ơng trình sẽ vô định hoặc vô nghiệm).
Ví dụ: có 3 nhân tố x
1
, x
2
và x
3
ảnh h-ởng lên kết quả nghiên cứu y. Ph-ơng trình hồi
qui bậc một ba nhân tố có dạng:
32112332233113211233221100
xxxbxxbxxbxxbxbxbxbxby
7.2
Ph-ơng trình hồi qui trên có 8 số hạng, nếu tìm ra 8 hệ số b là số thực, để đặt vào
ph-ơng trình hồi qui, khi đó ta đ-ợc một mô hình mô tả đối t-ợng nghiên cứu, và có thể không
cần làm thực nghiệm mà vẫn tính ra đ-ợc kết quả nghiên cứu bằng mô hình tìm đ-ợc nếu mô
hình đó mô tả đúng.
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001

54
7.2.Mô hình hoá thực nghiệm bậc 1 đầy đủ :
Nếu mỗi nhân tố chỉ lấy 2 mức thực nghiệm thì số các số hạng của ph-ơng trình hồi
qui bậc 1 đầy đủ, đ-ợc tính theo công thức:
N = 2
n
7.3
- N: số số hạng của ph-ơng trình hồi qui bậc1 (chính là số thực nghiệm phải làm)
- n: số nhân tố ảnh h-ởng lên kết quả thực nghiệm.
- 2: số mức đ-ợc chọn đối với mỗi nhân tố.
Thí dụ có 3 yếu tố n = 3 thì số số hạng sẽ là N = 2
3
= 8
Có bốn loại số hạng chính:
- b
o
x
o
: tổ hợp chập 0.
- b
i
x
i
: tổ hợp chập 1.
- b
ij
x
i
x
j

: tổ hợp chập 2.
- b
ijk
x
i
x
j
x
k
: tổ hợp chập 3.
Tìm số số hạng của mỗi loại tổ hợp, ng-ời ta dùng công thức tổ hợp để tính:
)!(!
!
ini
n
C
i
n


7.4
Đối với ph-ơng trình 3 nhân tố:
Số số hạng chập 0: Số số hạng chập 1:
1
)!03(!0
!3
0
3



C
3
)!13(!1
!3
C
1
3



7.5
Số số hạng chập 2: Số số hạng chập 3:
3
)!23(!2
!3
C
2
3


1
)!33(!3
!3
C
3
3


7.6
Ng-ời ta dùng các giá trị mã hoá cho mỗi nhân tố và chỉ chọn 2 mức để làm thực

nghiệm: mức cao + 1 và mức thấp - 1. Đặt X
1
, X
2
và X
3
là các kí hiệu chỉ giá trị thực của 3
nhân tố để tiến hành thực nghiệm, bảng điều kiện thực nghiệm trình bày nh- sau:
Bảng 7.1
X
1
X
2
X
3
Mức gốc ( 0 ) 0
1
0
2
0
3
khoảng biến thiên ( )
1

2

3
Mức cao ( +1 )
0
1

+
1
0
2
+
2
0
3
+
3
Mức thấp ( -1 )
0
1
-
1
0
2
-
2
0
3
-
3
Các giá trị 0, +1, -1 là các giá trị mã hoá các mức thực nghiệm trong ma trận dùng
để tiến hành thực nghiệm
Để xác định 8 hệ số là số thực của ph-ơng trình hồi qui, phải tiến hành 8 thực nghiệm,
8 thực nghiệm này đ-ợc trình bày d-ới dạng ma trận thực nghiệm nh- sau:
x
0
, x

1
, x
2
, x
3
là kí hiệu mã hoá của các nhân tố ta khảo sát ảnh h-ởng của chúng lên kết quả
thực nghiệm. Còn y
1
, y
2
kí hiệu cho các giá trị kết quả thực nghiệm lần thứ 1 và lần thứ 2.
ý nghĩa hình học của bảng ma trận trên đ-ợc biểu diễn qua 1 hình hộp mà 8 đỉnh của
nó t-ơng ứng với 8 thí nghiệm cho thấy ở hình 7.1.
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
55
+1
-1
x
2
x
3
x
1
-1
-1
+1
+1
Bảng 7.2
N X
0

x
1
x
2
x
3
x
1
x
2
X
1
x
3
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
Y
1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 y

1
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y
2
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y
3
4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y
4
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y
5
6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 y
6
7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 y
7
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y
8
Hình 7.1- Các điểm sao và điểm tâm của ma trận thực nghiệm 2
3
Ma trận thực nghiệm đòi hỏi phải tuân theo 3 điều kiện sau:
1. Ma trận thực nghiệm có tính chất chuẩn hoá:
Nx
N
1u
2
iu



7.7
x
i

: yếu tố ảnh h-ởng thứ i.
u: thí nghiệm thứ u.
2. Ma trận thực nghiệm có tính chất đối xứng:
0x
N
1u
iu



7.8
3. Ma trận thực nghiệm có tính chất trực giao:
0xx
N
1u
juiu



7.9
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
56
Các b-ớc để giải bài toán mô hình hoá thực nghiệm gồm:
B-ớc 1: Lập ma trận thực nghiệm.
Lập ma trận thực nghiệm theo 3 tính chất trên, để thuận tiện, ng-ời ta lập bảng ma trận
gốc theo một số mã hoá: dấu âm (-) chỉ mức thấp, xi ghi trong bảng chỉ rằng nó lấy mức cao
(+), x
i
không xuất hiện tức là lấy mức thấp (-), ghi ở bảng sau:
Bảng 7.3- Bảng viết tắt ma trận thực nghiệm gốc từ 2

2
đến 2
5
N 2
2
2
3
2
4
2
5
1 -
2 X
1
3 X
2
4 X
1
x
2
5 x
3
6 x
1
,x
3
7 x
2
,x
3

8 x
1
,x
2
,x
3
9 x
4
10 x
1
,x
4
11 x
2
,x
4
12 x
1
,x
2
,x
4
13 x
3
,x
4
14 x
1
,x
3

,x
4
15 x
2
,x
3
,x
4
16 x
1
,x
2
,x
3
,x
4
17 x
5
18 x
1
,x
5
19 x
2
,x
5
20 x
1
,x
2

,x
5
21 x
3
,x
5
22 x
1
,x
3
,x
5
23 x
2
,x
3
,x
5
24 x
1
,x
2
,x
3
,x
5
25 x
4
,x
5

26 x
1
,x
4
,x
5
27 x
2
,x
4
,x
5
28 x
1
,x
2
,x
4
,x
5
29 x
3
,x
4
,x
5
30 x
1
,x
3

,x
4
,x
5
31 x
2
,x
3
,x
4
,x
5
32 x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
B-ớc 2: Làm thí nghiệm theo ma trận thực nghiệm.
Làm thực nghiệm lặp lại để lấy giá trị trung bình. Thứ tự tiến hành thực nghiệm phải
ngẫu nhiên để tránh sai số hệ thống. 16 số ngẫu nhiên của 32 thực nghiệm lặp nh- sau:
2, 15, 9, 5, 12, 14, 8, 13, 16, 1, 3, 7, 4, 6, 11, 10.
15, 13, 10, 5, 14, 4, 6, 1, 7, 8, 3, 2, 9, 12, 11, 16.
B-ớc 3: Đánh giá sự lặp lại của thí nghiệm.
Tiến hành đánh giá sự lặp lại của thí nghiệm theo chuẩn Cochran:
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001

57
G
tính
=


N
1u
2
2
Su
(max)Su
với u: thực nghiệm thứ u 7.10
m: số thực nghiệm lặp lại
Gbảng(p,f
1
,f
2
): với: f
1
= m - 1 và f
2
= N(m-1).
Nếu G
tính
< G
bảng
thì Gtính là không đáng tin cậy, khi đó S
u
2

(max) là sai số lớn nhất
của thực nghiệm không lớn hơn tổng sai số toàn bộ thực nghiệm. Vậy thực nghiệm lặp lại.
Nếu G
tính
> G
bảng
, thực nghiệm không lặp lại thì m phải tăng lên cho đến khi G
tính
<
G
bảng
vì khi làm thêm thực nghiệm sẽ cho x càng gần giá trị thực.
B-ớc 4. Tính các hệ số hồi qui bằng các công thức sau:
N
yx
b
N
1u
iuiu
i



N
yxx
b
N
1u
iujuiu
ij




7.11
N
yixxx
b
N
1u
kujuiu
ijk


7.12
B-ớc 5. Đánh giá tính có nghĩa của hệ số hồi qui:
Vì b* chỉ ra ảnh h-ởng định tính và định l-ợng của các yếu tố lên kết quả thực
nghiệm, nên phải có b
i
> sai số cuả thực nghiệm thì khi đó giá trị của hệ số b
i
mới gọi là có
nghĩa.Vì vậy, một hệ số hồi qui đ-ợc coi là có nghĩa nếu thoả mãn bất đẳng thức sau:
t
i tinh
> t
i bảng
(P,f)
Với:
t
i tinh

i
b
i
S
b
7.13
trong đó :
N
S
S
2
0
i
2
b

7.14
với
;
1
1
22
0


N
u
u
S
N

S
và
N
yy
S
uiu
u



2
2
)(
7.15
f = N(m - 1) N: số thực nghiệm.
m: số thực nghiệm lặp lại.
Những hệ số nào không thoả mãn bất đẳng thức trên thì đ-ợc loại bỏ khỏi ph-ơng
trình hồi qui. Việc loại bỏ này chỉ phản ánh ảnh h-ởng của nhân tố có hệ số bỏ đi lên kết quả
thực nghiệm nhỏ hơn sai số thực nghiệm.
B-ớc 6. Đánh giá tính phù hợp của ph-ơng trình hồi qui tìm đ-ợc:
Đánh giá tính phù hợp của ph-ơng trình hồi qui là đánh giá mô hình thu đ-ợc mô tả thí
nghiệm đúng hay ch-a đúng.
Sử dụng bất đẳng thức:
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
58
F
tính
< F
bảng
(P,f

1
,f
2
) 7.16
Với:
f
1
= N - n -1 , f
2
= N(m - 1)
N: số thực nghiệm.
n: số nhân tố ảnh h-ởng lên kết quả thực nghiệm.
m: số lần lặp lại của thực nghiệm.
S
2
phù hợp
Ftính = 7.17
S
0
2
Với:



N
1u
2
u
2
0

S
N
1
S
, S
2
phù hợp
=





N
1u
2
uu
)yy(
1nN
m
7.18
Trong đó:
-
u
y : kết quả thực nghiệm thứ u tính theo ph-ơng trình hồi qui sau khi đã loại bỏ
những hệ số không có nghĩa.
-
u
y : giá trị trung bình của m lần thực nghiệm của thực nghiệm thứ u.
-

u
y -
u
y

: sai số giữa lý thuyết và thực nghiệm ở thực nghiệm thứ u.
Nếu F
tính
< F
bảng
thì sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm là không đáng tin cậy, nên
mô hình mô tả đúng thực nghiệm.
ý nghĩa hình học của ph-ơng trình hồi qui: Ph-ơng trình hồi qui mô tả 1 mặt (Mặt mục
tiêu của 2 nhân tố là mặt phẳng, 3 nhân tố là mặt khối 3 chiều, n nhân tố là mặt khối n chiều).
Giả sử có 2 nhân tố x
1
và x
2
, thực hiện 4 thí nghiệm sẽ vẽ đ-ợc một mặt phẳng.
x
1
+1 TN2 TN3
+
1
0'
o +
-1 TN1 TN4
+
2
0 -1 o +1 x

2
Công thức tính giá trị thật để làm thực nghiệm ( x
i
là giá trị mã hoá có hai giá trị 1):
X
i thực
- X
i gốc
x
i
= 7.19

i
từ đó suy ra :
X
i thực
= X
i gốc
+ .x
i
7.20
Chuyển giá trị thật thành giá trị mã hoá là đ-a ph-ơng trình hồi qui về dạng chính tắc
(chuyển hệ trục toạ độ), có nghĩa là chuyển gốc toạ độ từ 0 về 0' và đơn vị mới tính là
i
*.
Với 3 nhân tố, mặt mục tiêu đ-ợc mô tả bằng một khối hộp. Mỗi đỉnh đặc tr-ng cho
một thí nghiệm trong bảng ma trận thực nghiệm (xem mục 9.4).
Ví dụ 7.1:
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
59

Nghiên cứu độ dẫn nhiệt của phần thăng hoa sinh ra khi clo hóa xỉ titan nóng chảy. Để
tính toán về các máy của hệ thống ng-ng tụ khi thiết kế máy clo hóa, ta cần phải biết hệ số
dẫn nhiệt riêng của phần thăng hoa. Độ dẫn nhiệt đ-ợc xác định theo nhiệt độ của nó, mật độ
của chất và thành phần hóa học.
Các biến độc lập đ-ợc chọn là:1/ Z
1
: nhiệt độ,
0
C; 2/ Z
2
: hàm l-ợng Clo trong phần
thăng hoa, % trọng l-ợng; 3/ Z
3
: tỉ số nồng độ SiO
2
và TiO
2
trong phần thăng hoa.
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu ng-ời ta đ-a vào biến ảo x
0
, x
0
= 1 và ta có ma trận
qui hoạch với biến ảo đ-ợc trình bày trong ma trận quy hoạch với biến ảo 2
3
Bảng 7.4
Số thứ tự
thí nghiệm x
0
x

1
x
2
x
3
y
Số thứ tự
thí nghiệm x
0
x
1
x
2
X
3
y
1 + + + + y
1
5 + + + - y
5
2 + - - + y
2
6 + - - - y
6
3 + + - + y
3
7 + + - - y
7
4 + - + + y
4

8 + - + - y
8
b
1
= (1.296-1.122+1.239-1.586+1.232-1.292+1.339-1.383) /8 = - 34,625
Bằng cách t-ơng tự, ta có:
b
2
= 63,125; b
3
= -0,375; b
0
= 311,125
Bảng 7.5- Ph-ơng án tiến hành thí nghiệm đ-ợc viết d-ới dạng ma trận 2
3
Các yếu tố theo tỉ lệ xích tự nhiên Các yếu tố trong hệ mã hóa
Số thứ tự
thí nghiệm
Z
1
Z
2
Z
3
x
1
x
2
x
3

y
1 300 45 1,25 + + + 296
2 200 35 1,25 - - + 122
3 300 35 1,25 + - + 239
4 200 45 1,25 - + + 586
5 300 45 0,75 + + - 232
6 200 35 0,75 - - - 292
7 300 35 0,75 + - - 339
8 200 45 0,75 - + - 383
Nếu dùng mô hình đầy đủ hơn:
y = b
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
+ b
12
x
1
x
2

+ b
13
x
1
x
3
+ b
23
x
2
x
3
Ta có ma trận qui hoạch thí nghiệm đ-ợc mở rộng trong bảng sau :
Bảng 7.6- Ma trận thực nghiệm mở rộng 2
3
Stt x
0
x
1
X
2
x
3
x
1
x
2
x
1
x

3
x
2
x
3
y
Cal/m.hC
y

(y
i
- y

)
1 + + + + + + + 296 331,125 1233,765
2 + - - + + - - 122 139,875 319,515
3 + + - + - + - 239 221,875 293,265
4 + - + + - - + 586 551,625 1181,640
5 + + + - + - - 232 196,875 1233,765
6 + - - - + + + 292 274,125 319,515
7 + + - - - - + 339 356,125 293,265
8 + - + - - + - 383 417,375 1181,640
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
60
b
12
= (1.296 + 1.122 - 1.239 - 1.586 + 1.232 + 1.292 - 1.339 - 1.383) /8
= -75,625
b
13

= -8,625; b
23
= 67,125.
Trong ví dụ trên vì không làm thí nghiệm lặp lại tất cả các thí nghiệm, nên để xác định
ph-ơng sai lặp lại ( sai số thí nghiệm ) ta làm 3 thí nghiệm lặp ở tâm và nhận đ-ợc ba giá trị
của hàm mục tiêu y nh- sau:
y
1
0
2 9 5
y
2
0
312
y
3
0
2 9 3
300
3
y
y
3
1u
0
u
0




7.21
69,3
8
440,10
N
S
S
440,10S;109
13
)yy(
S
th
b
th
3
1u
200
u
2
th
j







7.22
Tính có nghĩa của các hệ số hồi qui đ-ợc kiểm định theo tiêu chuẩn t:

j
b
j
j
S
b
t 7.23
311,125
t
0
= = 84,315; t
1
= 9,38; t
2
= 17,107;
3,69
t
3
= 0,1016; t
12
= 20,4945; t
13
= 2,3373; t
23
= 18,1910
Tra bảng t
p
(f) với p = 0,05; f = 2. đ-ợc : t
0,05
(2) = 4,3

Bởi vì t
3
< t
p
(f), t
13
< t
p
(f) do đó các hệ số b
3
, b
13
bị loại ra khỏi ph-ơng trình hồi qui
và ph-ơng trình với các hệ số còn lại có dạng:
y

= 311,125 - 34,625x
1
+ 63,125x
2
- 75,625x
1
x
2
+ 67,125x
2
x
3
7.24
Sự phù hợp của ph-ơng trình hồi quy với thực nghiệm đ-ợc kiểm định theo chuẩn

Fisher:
2
th
2
phh
S
S
F
7.25
7914,2018
3
3742,6056
)(
1
2
2






LN
yy
S
N
i
ii
phh
7.26

Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
61
5210,18
109
7914,2018
S
S
F
2
th
2
phh

7.27
Tra bảng F
1-p
(f
1
, f
2
) với = 0,05; f
1
= 3
,
f
2
= 2 tra bảng ta có : F
0,95
(3,2) = 19,2
F < F

1- p
(f
1
,f
2
) do đó ph-ơng trình hồi quy tìm đ-ợc mô tả đúng với thực nghiệm.
Ví dụ 7.2:
Nghiên cứu ảnh h-ởng của 3 nhân tố tới hiệu suất sản phẩm y: 1/ nhiệt độ t
0
C trong
khoảng 100 - 200
0
C, 2/ áp suất P = 2 - 6 atm (20 - 60 KgC/cm
2
) và 3/ thời gian = 10 - 30
phút. Mức cao theo nhiệt độ z
1
max
= 200
0
C, mức thấp z
1
min
= 100
0
C, z
0
1
= 150
0

C, z
1
= 50
0
C:
2
11
0
1
minmax
zz
z


2
11
1
minmax
zz
z

7.28
Đối với nhân tố bất kỳ z
j
chúng ta có:
2
0
min
j
max

j
j
zz
z

vớij = 1, 2, ..., n và
2
min
j
max
j
j
zz
z


Điểm có toạ độ (z
0
1
, z
0
2
, ..., z
0
n
) đ-ợc gọi là tâm ma trận đôi khi ng-ời ta gọi là mức gốc;
Từ hệ toạ độ giá trị thực z
1
, z
2

, ..., z
n
chúng ta chuyển đến hệ toạ độ mã hoá không thứ
nguyên x
1
, x
2
, ..., x
n
. Công thức chuyển hay là mã hoá có dạng:
j
jj
j
z
zz
x



0
j = 1, 2, ..., n 7.29
(-1,-1,-1) (1,-1,-1)
(-1,-1,1)
(1,1,1)
3
(-1,1,-1)
7
8
4
(-1,1,1)

5 6
2
(0,0,0)
x (T)
1
x (p)
2
x ( )
3

Hình 7.2. Vị trí các điểm trong không gian nhân tố đối với ma trận 2
3
.
Trong hệ toạ độ không thứ nguyên, mức cao bằng +1, mức thấp bằng -1, toạ độ của
tâm ma trận bằng 0 và trùng với gốc toạ độ. Trong bài toán của chúng ta n = 3. Số tổ hợp N từ