Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
37
Phần II
qui hoạch hoá thực nghiệm
Ch-ơng 4
phân tích tác động của các nhân tố qua tham số.
( Phân tích ph-ơng sai )
Phân tích tác động của các nhân tố qua tham số ph-ơng sai, gọi là phân tích ph-ơng
sai (ANOVA). Có ba loại bài toán phổ biến và coi nh- là cơ sở cho các bài toán chung về phân
tích ph-ơng sai.
- Bài toán một nhân tố, k mức nghiên cứu, mỗi mức nghiên cứu làm lặp lại n lần và
- Bài toán hai nhân tố A và B, nhân tố A có k mức nghiên cứu, nhân tố B có m mức
nghiên cứu, với mỗi mức của 2 nhân tố A và B cùng tiến hành làm nghiên cứu lặp lại n lần.
- Bài toán ba nhân tố trở lên.
4.1. Bài toán một nhân tố :
Bài toán này đ-ợc mô tả bằng một bảng qui hoạch nghiên cứu có dạng sau:
A
n
A
1
A
2
A
3
. . . A
i
. . . A
k
1 y
11
y

21
y
31
y
i1
y
k1
2 y
12
y
22
y
32
y
i2
y
k2
3 y
13
y
23
y
33
y
i3
y
k3
. . .
j y
1j

y
2j
y
3j
y
ij
y
kj
. . .
n y
1n
y
2n
y
3n
y
in
y
kn
Tổng
n
y
1j
j
n
y
2j
j
n
y

3j
j
n
y
ij
j
n
y
kij
Để so sánh sự sai khác giữa các giá trị kết quả nghiên cứu (y
ij
) do thay đổi các mức
nghiên cứu ( A
i
) của nhân tố A, ng-ời ta so sánh ph-ơng sai của sự thay đổi các mức nghiên
cứu với sai số nghiên cứu (Ph-ơng sai của sai số nghiên cứu) có khác nhau đáng tin cậy hay
không. Nếu khác nhau không đáng tin cậy, nhân tố A tỏ ra không ảnh h-ởng lên kết quả
nghiên cứu, nếu khác nhau đáng tin cậy thì chứng tỏ nhân tố A đã ảnh h-ởng lên kết quả
nghiên cứu.
Sử dụng chuẩn Fisher để so sánh ph-ơng sai:
F
tính
=
2
2
2
1
S
S
so với F

bảng
( P,f
1
,f
2
)
Trong đó:
S
1
2
: Đặc tr-ng cho sự khác nhau của kết quả nghiên cứu (y
ij
) do sự khác nhau
giữa các mức (A
i
) của A gây ra.
S
2
2
: Đặc tr-ng cho sai số nghiên cứu nói chung, vì làm nghiên cứu bao giờ cũng
mắc sai số.
f
1
: Bậc tự do của số mức nghiên cứu đã làm f
1
= k - 1
f
2
: Bậc tự do của số nghiên cứu đã tiến hành trong qui hoạch nghiên cứu
f

2
= k(n - 1).
Với: H
0
:
2
2
2
1
SS ; Ha:
2
2
2
1
SS ;
Vì F luôn lớn hơn 1 ( F > 1 ), nên:
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
38
- Nếu F
tính
< F
bảng
thì F
tính
không đáng tin cậy, tức là S
1
2
S
2
2

không đáng tin cậy, cho
nên chúng đ-ợc coi là giống nhau. Chúng không khác nhau cho nên nhân tố A khi thay đổi
mức đã tỏ ra không có tác động đến kết quả nghiên cứu.
- Nếu F
tính
> F
bảng
thì F
tính
đáng tin cậy, tức là S
1
2
S
2
2
.Suy ra nhân tố A đã có tác
động lên kết quả nghiên cứu
Nhằm dễ tính toán, tránh nhầm lẫn, ng-ời ta lập bảng các công đoạn tính ph-ơng sai
để so sánh cho bài toán 1 nhân tố, k mức nghiên cứu và n lần lặp lại nh- sau:
Yếu tố f
(Xi - X )
2
S
2
A k - 1 SS
A
= SS
2
- SS
3

1k
SS
S
A2
A


Tno k(n - 1) SS
TN
= SS
1
- SS
2
)1n(k
SS
S
TN2
TN


Bảng trên thực chất đã sử dụng công thức tính ph-ơng sai:


}
N
)X(
X{
N
1
)XX(

N
1
S
2
i
2
i
2
i
2
4.1
Các định nghĩa kí hiệu cho ph-ơng pháp tính, trình bày ở bảng trên nh- sau:



n
1j
iji
yA



k
1i
2
i
2
A
n
1

SS 4.2



k
1i
n
1j
2
ij
1
)y(SS



k
1i
2
i3
)A(
N
1
SS 4..3
rồi tính F
tính
:
Ftính =
2
TN
2

A
S
S
so với F
bảng
(P, f
A
, f
TN
) 4.4
trong đó f
A
= k -1 và f
TN
= k(n-1).
4.2. Bài toán hai nhân tố :
Có hai nhân tố: Nhân tố A: k mức nghiên cứu. Nhân tố B: m mức nghiên cứu. Mỗi mức
thử nghiệm lặp lại n lần.
Bảng qui hoạch nghiên cứu tác động của hai nhân tố nh- sau:
A
a
1
a
2
. . . a
i
. . . ak
b
1
y

111
,y
112
. . . , y
11n
y
211
,y
212
. . ., y
21n
y
i11
,y
i12
. . .,y
i1n
y
k11
,y
k12
. . .,y
k1n
b
2
y
121
,y
122
. . ., y

12n
y
221
,y
222
. . .,y
22n
y
i21
,y
i22
. . .,y
i2n
y
k21
,y
k22
. . ., y
k2n
B . . .
b
j
y
1j1
,y
1j2
. . ., y
1jn
y
2j1

,y
2j2
. . .,y
2jn
y
ij1
,y
ij2
. . ., y
ijn
y
kj1
,y
kj2
. . .,y
kjn
. . .
b
m
y
1m1
, . . .
. . . ,y
1mn
y
2m1
,. . .
. . .,y
2mn
y

im1
,. . .
. . .,y
imn
y
km1
,. . .
. . .,y
kmn
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
39
Ph-ơng pháp tính ph-ơng sai của qui hoạch nghiên cứu hai nhân tố cho ở bảng sau:
Nhântố f
(X
i
- X)
2
S
2
A k - 1 SS
A
= SS
2
- SS
4
1k
SS
S
A2
A



B m - 1 SS
B
= SS
3
SS
4
1m
SS
S
B2
B


AB (k-1).(m-1) SS
AB
=SS
1
-SS
2
-SS
3
+ SS
4
)1m)(1k(
SS
S
AB
2

AB


TNo mk(n - 1)
SS
TN
= SS
1
-
n
y
k m
ij
1 1
2
)1n(mk
SS
S
TN2
TN


Trong đó:
- S
A
2
: Đặc tr-ng cho ảnh h-ởng của nhân tố A lên kết quả nghiên cứu.
- S
B
2

: Đặc tr-ng cho ảnh h-ởng của nhân tố B lên kết quả nghiên cứu.
- S
AB
2
: Đặc tr-ng cho ảnh h-ởng đồng thời của cả hai nhân tố A và B lên kết quả
nghiên cứu .
- S
TN
2
: Đặc tr-ng cho sai số nghiên cứu.
Các b-ớc tính ph-ơng sai theo bảng trên nh- sau:



n
1u
ijij
uyY 4.5
u: nghiên cứu lặp lại thứ u.
i: mức đối với A.
j: mức đối với B
Công thức trên chính là tổng tất cả các kết quả nghiên cứu trong một ô.
( ô ij là mô tả điều kiện nghiên cứu nhân tố A theo mức (a
i
) và nhân tố B theo mức (b
j
) làm
lặp lại n lần ).
2
n

1u
ij
2
ij
)uy(Y


4.6
Tổng tất cả các kết quả nghiên cứu Tổng tất cả các kết quả nghiên cứu
trong 1 hàng: trong 1 cột:



m
1j
ij
n
1u
i
uyA



k
1i
ij
n
1u
j
uyB 4.7

Tổng các cột = tổng các hàng:



m
j
j
k
i
iij
m
j
n
u
i
k
i
BAuYA
1 11
4.8
Các giá trị trong bảng trên đ-ợc tính theo công thức sau:
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
40



m
1j
n
1u

2
ij
k
1i
1
uySS



k
1i
2
i
2
A
n.m
1
SS 4.9



m
1j
2
j
3
B
n.k
1
SS 4.10




m
1j
n
1u
k
1i
m
1j
2
j
2
i
2
ij
k
1i
4
)B(
n.m.k
1
)A(
n.m.k
1
)uy(
n.m.k
1
SS 4.11

Làm nghiên cứu theo một qui hoạch định tr-ớc của 2 nhân tố ảnh h-ởng lên kết quả
nghiên cứu trên, phải có 3 tr-ờng hợp so sánh để kết luận thống kê nh- sau:
2
TN
2
A
A
S
S
F
2
TN
2
B
B
S
S
F
2
TN
2
AB
AB
S
S
F 4.12
f
A
= k -1; f
B

= m - 1; f
AB
= (k - 1)(m - 1) và f
TN
= mk(n - 1) 4.13
Ví dụ 4.1: Qui hoạch hai nhân tố A, 4 mức; B, 4 mức; mỗi cặp mức làm lặp lại 2 lần
A
a
1
a
2
a
3
a
4
b
1
13,2
13,9
4,7
5,8
53,4
48,3
13,6
13,2
b
2
18,1
21,1
19,8

17,9
14,0
13,2
9,5
8,6
B b
3
7,3
8,5
38,2
37,7
5,1
5,9
54,4
55,2
b
4
20,0
20,8
60,1
60,9
19,6
18,5
58,2
59,7
Giải:
1. Tổng các giá trị thực nghiệm trong 1 Ô :
a
1
A

2
a
3
a
4
hàng
b
1
27,1 10,5 101,7 26,8 166,1
b
2
39,2 37,7 27,2 18,1 122,1
b
3
15,8 75,9 11,0 109,6 212,3
b
4
40,8 121,0 38,1 117,9 317,8
cột
122,9 245,1 178,0 272,4 818,4
2. Bình ph-ơng tổng các giá trị thực nghiệm trong 1 Ô:
a
1
a
2
a
3
a
4
b

1
734,41 110,25 10342,89 718,24
b
2
1528,81 1421,29 739,84 327,61
b
3
249,64 5760,81 121,0 12012,16
b
4
1064,64 14641,0 1451,61 13900,41
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
41
3. Tìm tổng số đối với các cột :
thí dụ :
A
1
= 27,1 + 39,1 + 15,8 + 40,8 = 122,8
4. Tìm tổng số đối với các hàng :
thí dụ :
B
2
= 39,1 + 37,1 + 27,2 + 18,1 = 122,1
5. Tìm tổng tất cả các kết quả :
y
iju
= A
i
= B
j

= 818,3
6. Tìm tổng bình ph-ơng của tất cả các kết quả :
SS
1
= y
iju
2
= 32916,43
7. Tìm tổng bình ph-ơng của tổng các cột chia cho số kết quả mỗi cột :
95,22262
8
01,181039
)4,2720,1781,2458,122(
24
1
A
24
1
SS
22222
i
2






8. Tìm tổng bình ph-ơng của tổng các hàng chia cho số kết quả mỗi hàng :
72,23570

8
75,188565
)8,3173,2121,1221,166(
24
1
B
24
1
SS
22222
j
3






9. Tìm số hạng bổ chính đ-ợc định nghĩa nh- là phép chia của bình phuơng của tổng tất cả các
kết quả cho tổng số số kết quả :
47,20925
32
3,818
32
)uy(
SS
2
2
ij
4



10. Tìm tổng bình ph-ơng của sự sai khác của A và B :
SS
A
= SS
2
- SS
4
= 22262,95 - 20925,47 = 1704,48
SS
B
= SS
3
- SS
4
= 23570,72 - 20925,47 = 2645,25
11. Tìm tổng bình ph-ơng của ph-ơng sai sai số :
SS
sai số
= 13,54
2
61,65724
43,32916
1
2
1

ij
y

n
SS
12. Tìm tổng của tổng bình ph-ơng :
SS
tổng
= SS
1
- SS
4
= 32916,43 - 20295,47 = 11990,96
13. Tìm tổng bình ph-ơng của số hạng t-ơng tác :
SS
AB
= SS
tổng
-SS
A
-SS
B
-SS
sai số
= 11990,96 - 1704,48 - 2645,25 - 54,13 = 7587,11
14. Tìm ph-ơng sai t-ơng ứng :
16,568
14
48,1704
1
2






k
SS
SS
A
A
75,881
14
25,2645
1m
SS
SS
B2
B