Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
18
ch-ơng 2
đánh giá tập số liệu kết quả nghiên cứu.
Một tập số liệu kết quả nghiên cứu có thể đ-ợc phân tích đánh giá thông qua các đại
l-ợng chính sau đây:
2.1. Sai số nghiên cứu:
Có 4 loại sai số nghiên cứu:
2.1.1- Sai số tuyệt đối:

A
= X
i
- X X
i
- 2.1
Sai số tuyệt đối là sự sai khác của một giá trị nghiên cứu nào đó với giá trị trung bình
( hoặc giá trị thật ). Sai khác này có thể là âm hoặc d-ơng. Nh- vậy, sai số tuyệt đối biểu diễn
sự khác nhau giữa giá trị thực và giá trị đo đ-ợc, kể cả dấu. Sai số tuyệt đối có cùng đơn vị đo
với đại l-ợng đo.
Ví dụ 2.1:
Một mẫu có khối l-ợng thực là 2,12g và khối l-ợng đo đ-ợc là 2,10g, khi đó sai số tuyệt
đối của phép đo là - 0,02g. Nếu giá trị đo đ-ợc là giá trị trung bình của nhiều phép đo thì ta sẽ
có sai số tuyệt đối trung bình. Ta cũng có thể tính sai số tuyệt đối trung bình bằng cách lấy giá
trị trung bình các giá trị tuyệt đối của sai số tuyệt đối của từng giá trị đo đ-ợc so với giá trị
thực.
2.1.2- Sai số t-ơng đối:
100.
X
X
100.

X
XX
ii
R



2.2
Sai số t-ơng đối là tỷ số của sai số tuyệt đối đối với giá trị trung bình. Sai số này không
có thứ nguyên cho nên đ-ợc dùng để so sánh sai số t-ơng đối của các ph-ơng pháp nghiên cứu
cho kết quả không cùng thứ nguyên.
Sai số t-ơng đối biểu diễn mối quan hệ tỉ đối giữa sai số tuyệt đối (hoặc sai số tuyệt đối
trung bình) và giá trị thực.
Ví dụ 2.2:
Vẫn lấy ví dụ trên, ta thu đ-ợc giá trị sai số t-ơng đối là
12,2
02,0
.100% = 0,94%. Ta cũng
có khái niệm độ chính xác t-ơng đối là tỉ số giữa giá trị đo đ-ợc với giá trị thực. Theo ví dụ
trên, ta có độ chính xác t-ơng đối của phép đo là






12,2
10,2
.100% = 99,06%. Ngoài cách biểu
diễn d-ới dạng phần trăm, sai số t-ơng đối còn đ-ợc biểu diễn theo đơn vị. Th-ờng, ta chấp

nhận sai số nhỏ hơn 1%. Thông th-ờng, ng-ời ta hay dụng đơn vị ppm (phần triệu) hay ppt
(phần nghìn). Sai số 1% tức là 10ppt. Sai số của phép đo trên là 9,4ppt.
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
19
Ví dụ 2.3:
Kết quả phân tích là 36,97g, trong khi đó giá trị thực là 37,06g. Tính giá trị của sai số t-ơng
đối theo ppt.
sai số tuyết đối = 36,97 - 37,06 = -0,09g
sai số t-ơng đối =
1000
1000
.
06,37
09,0
= -2,4ppt
- Cách tính sai số:
Trong thực hành, mỗi kết quả thu đ-ợc đều có 1 sai số nhất định. Nh- vậy, trong tính
toán, ta sẽ gặp phải những sai số do các phép đo gây ra (cả sai số tuyệt đối và sai số t-ơng
đối), phụ thuộc vào phép tính mà nó tham gia vào là phép tính cộng (hay trừ) hoặc nhân (hay
chia).
+ Phép cộng, trừ
Giả sử ta có phép tính sau.
(65,06 0,07) + (16,13 0,01) - (22,68 0,02) = 58,51 ( ?)
Những sai số trên là sai số ngẫu nhiên, thể hiện độ lệch chuẩn của từng giá trị. Tổng
lớn nhất của các sai số, cũng tức là độ lệch chuẩn, là 0,10, khi các sai số đều d-ơng. T-ơng tự
khi các sai số đều âm thì tổng số sẽ nhỏ nhất và là -0,10. Ta có thể thu đ-ợc (nếu các phép
toán có thể kết hợp thế nào đó) tổng các sai số là 0,00 đ-a đến độ tin cậy lớn nhất. Do đó, để
thu đ-ợc 1 sự đánh giá toàn thể, ng-ời ta đề ra sai số tuyệt đối của phép tính, tức là tổng tất cả
các sai số tuyệt đối của từng số hạng. Th-ờng, ta biểu diễn sai số d-ới dạng s
2

. Ví dụ có a = b
+ c - d thì ta có
s
a
2
=s
b
2
+ s
c
2
+ s
d
2
2
d
2
c
2
ba
ssss
Trong thí dụ trên ta có
s
a
= 7,3.10
2
Nh- thế, kết quả của phép tính trên biểu diễn d-ới dạng 58, 51 7,3.10
2-
.
Ví dụ 2.4:

Ng-ời ta nhận đ-ợc 3 mẫu uranium cùng khối l-ợng. Phân tích hàm l-ợng uranium 3
quặng này ta đ-ợc các gía trị sau 3,978 0,04%; 2,536 0,003% và 3,680 0,003% t-ơng
ứng. Tính giá trị trung bình của hàm l-ợng uranium trong các quặng và tính sai số tuyệt đối,
t-ơng đối.
3
%)003,0680,3(%)003,0536,2(%)004,0798,3(
x


Độ lệch chuẩn là
s
a
=
222
003,0003,0004,0
= 5,8.10
-3
% U.
Do đó, ta có:
x = 3,398 0,006%U
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
20
Và ta có sai số t-ơng đối là
%398,3
%006,0
= 0,2%
- Phép nhân và chia.
Ví dụ 2.5:
Ta xét phép tính sau
0,356

006,0623,4
)020,04,120)(02,076,13(



(?)
Sai số th-ờng đ-ợc biểu diễn d-ới dạng s
2
, ở dạng t-ơng đối. Nếu có a = bc/d, ta có
s
a
2
=s
b
2
+ s
c
2
+ s
d
2
222
d
s
c
s
b
s
a
s

Nh- vậy, trong ví dụ trên ta có
s
b
= 0,0015
s
c
= 0,0017
s
d
= 0,0013
s
a
= 2,6.10
3-
Nh- vậy, s
a
= 0,93.
Và kết quả đ-ợc viết d-ới dạng 356,0 0,9.
Ví dụ 2.6:
Tính độ không chính xác của các giá trị milimol Clorid chứa trong 250,0 ml dung dịch
mẫu khi chuẩn độ 25,00ml dung dịch AgNO
3
3 lần, ta thu đ-ợc các kết quả sau: 36,78ml ;
36,82ml ;36,75ml. Nồng độ mol của AgNO
3
là 0,1167 0,0002M.
Giá trị trung bình của thể tích dung dịch Bạc Nitrat dùng để chuẩn độ là 36,78 ml. Độ
lệch chuẩn là:
x
i

x
i
- x
tb
( x
i
- x
tb
)
2
36,78 0,00 0,0000
36,82 0,04 0,0016
36,75 0,003 0,0009
= 0,0025
Khi đó, ta tính đ-ợc s =
2
025,0
= 0,035 hay V
tb
= 36,78 0,04ml.
Từ đó, ta tính số mmol Cl
-
đ-ợc chuẩn độ là :
mmol = (36,78 0,04).(0,1167 0,0002)
= 4,292 0,0082 mmol
Nh- vậy ta có : Số mmol Cl
-
trong 250ml dung dịch là 42,92 0,08 mmol.
Chú ý là ta giữ một chữ số phụ trong mỗi kết quả trung gian đến khi có kết quả cuối cùng.
Khi trong phép tính có cả phép cộng, trừ, nhân, chia thì ta phải tổ hợp các sai số lại.

Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
21
Ví dụ 2.7:
Nếu ta nhận đ-ợc 3 chuyến quặng sắt, mỗi chuyến có khối l-ợng t-ơng ứng nh- sau:
2852kg, 1578 kg và 1877kg trong đó độ chính xác là 5kg. Phân tích quặng ta thấy hàm
l-ợng sắt chứa trong mỗi quặng lần l-ợt là 36,28 0,04%; 22,68 0,03%; 49,23 0,06%. Giá
4,5 triệu cho mỗi tấn sắt, vậy ta phải trả bao nhiêu tiền và sai số của l-ợng tiền là bao nhiêu?
Khối l-ợng sắt trong từng chuyến là
Chuyến 1 = (2852 5).(36,28 0,04)/100 = 1034,7 2,1kg
Chuyến 2 = (1578 5).(22,68 0,03/100 = 357,9 1,2kg
Chuyến 3 = (1877 5).(49,23 0,06/100 = 924,1 2,8kg
Tổng khối l-ợng sắt là:
(1034,7 2,1kg) + (357,9 1,2kg) + (924,1 2,8kg) = 2316,6 3,7kg = 2316 4kg.
Số tiền phải trả là:
(2316,6 3,7kg)x4,5 triệu đ/kg = 10424,7 triệu đ 16,65
Do đó, ta phải trả 10424,7 16,65.
- Chữ số có nghĩa và tính sai số:
Ta xét ví dụ sau:
(73,1 0,2)(2,245 0,008) = 164,1 0,7
Ta giữ 4 chữ số. Sai số t-ơng đối lớn nhất trong các số hạng là 0,003 trong khi sai số
t-ơng đối ở kết quả lại là 0,004. Nh- vậy, kết quả thiếu chính xác hơn các giá trị ban đầu. Nếu
ta có ví dụ
(73,1 ,9)(2,245 0,008) = 164,1 2,1 = 164 2
Lúc này ta thấy sai số của đáp số lớn hơn đơn vị, do đó chữ số 1 sau dấu phẩy không
còn ý nghĩa.
Ví dụ 2.8:
Biểu diễn kết quả qua các phép tính sau:
(a) (38,68 0,07) -(6,16 0,09) = 32,52
(b)
006,0247,3

)07,004,23)(08,018,12(


= 86,43
Giải
(a). Ta có tính toán thu đ-ợc sai số tuyết đối là 0,11. Do đó, kết quả là 32,5 0,1
(b). Tính đ-ợc sai số t-ơng đối là 0,0075, dẫn tới sai số tuyệt đối là 0,65. Nh- vậy kết quả là
86,4 0,6, dù các số hạng có 4 chữ số có nghĩa.
2.1.3- Sai số hệ thống:
X = X - 0 2.3
Nếu hiệu số này là đáng tin cậy tức là khác không là đáng tin cậy thì nghiên cứu đã
mắc sai số hệ thống. Khi đó giá trị X
i
tập trung về một phía của giá trị thực trên trục số. Sai số
hệ thống có thể tìm đ-ợc nguyên nhân gây sai số hệ thống để loại bỏ.
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
22
Trong các phép đo, có hai loại sai số, trong đó có sai số hệ thống. Sai số hệ thống có
thể xác định đ-ợc và có thể tránh hoặc hiệu chỉnh đ-ợc. Nó có thể là một hằng số trong tr-ờng
hợp ta sử dụng 1 cái cân. Tuy nhiên, sai số hệ thống cũng có thể thay đổi nh-ng nó phải đ-ợc
tính đến và hiệu chỉnh, thí dụ nh- khi ta làm thí nghiệm với buret, với những thể tích khác
nhau thì ta sẽ có sai số khác nhau.
Sai số hệ thống có thể tỉ lệ với thể tích, khối l-ợng... của mẫu hoặc có thể thay đổi 1
cách phức tạp. Nói chung, ta khó có thể khống chế đ-ợc sai số hệ thống, ví dụ nh- ta có thể bị
mất 1 ít kết tủa do sự hoà tan, sự cộng kết, sai số thu đ-ợc âm. Do nhiều yếu tố nh- nhiết độ
(có thể ảnh h-ởng tới thể tích...) mà sai số có thể biến đổi 1 cách ngẫu nhiên. Những sai số
xác định đ-ợc trong phép đo nh- thế gọi là sai số hệ thống.
Một vài sai số hệ thống th-ờng gặp:
- Sai số do dụng cụ, thiết bị, hốa chất nh- cân, đồ dùng thuỷ tinh ch-a hiệu chỉnh.
- Sai số trong khi tiến hành. Nó có các nguyên nhân sau: do ng-ời làm thí nghiệm (mà có

thể hạn chế do kinh nghiệm, do sự cẩn thận trong các thao tác), do các yếu tố khách quan khác
nh- tính trong suốt của dung dịch, mẫu ch-a đ-ợc sấy khô hoàn toàn... Những yếu tố này khó
có thể đ-ợc khắc phục. Do các phép toán gần đúng và ý thức chủ quan của ng-ời làm, ta cũng
gặp phải sai số.
- Sai số của ph-ơng pháp. Đây là nguyên nhân quan trọng nhất trong phép phân tích.
Phần lớn những yếu tố gây sai số kể trên có thể đ-ợc khắc phục và hạn chế, nh-ng sai số do
ph-ơng pháp thì luôn luôn là hằng số trừ phi ta thay đổi điều kiện tiến hành. Những nguyên
nhân đ-a đến sai số hệ thống là sự hoà tan một phần của kết tủa, sự cộng kết, phản ứng xảy ra
không hoàn toàn, tác nhân không tinh khiết, các phản ứng phụ... Khi sai số v-ợt quá giới hạn
cho phép thì cần phải tìm ra những ph-ơng thức mới. Tuy nhiên đôi lúc ta vẫn bị buộc phải
chấp nhận 1 ph-ơng pháp cho sẵn mà không đ-ợc lựa chọn 1 ph-ơng pháp tốt hơn (ví dụ nh-
do điều kiện của phòng thí nghiệm...)
Sai số hệ thống có tính cộng và tính nhân, nó phụ thuộc vào tính chất của sai số và phụ
thuộc vào ph-ơng pháp tính. Để kiểm tra sai số hệ thống trong phép phân tích, trong thực
hành, ta th-ờng tiến hành với một l-ợng chuẩn mẫu đã biết. Nhờ đó, ta có thể hạn chế sai số
hệ thống do ph-ơng pháp và do dụng cụ.
2.1.4- Sai số ngẫu nhiên:
X = X - 0 2.4
Nghiên cứu mắc sai số ngẫu nhiên khi hiệu số giữa giá trị trung bình cộng với giá
trị thật gần bằng không là đáng tin cậy. Khi đó các giá trị X
i
phân bố đều hai phía của giá trị
thực trên trục số. Sai số ngẫu nhiên bao giờ cũng mắc phải và chỉ có thể tìm các giải pháp để
giảm sai số ngẫu nhiên.
Đây chính là loại sai số thứ hai gặp phải trong phép phân tích biểu diễn sai số do các quá
trình tiến hành không trùng khớp với nhau. Sai số này xuất hiện do sự sai khác nhỏ trong các
phép đo liên tiếp đ-ợc thực hiện bởi cùng một ng-ời d-ới cùng một điều kiện. Khác với sai số
hệ thống, ta không thể dự đoán cũng nh- tính đ-ợc sai số ngẫu nhiên. Sai số ngẫu nhiên tuân
theo sự phân bố ngẫu nhiên nào đó, do đó có thể ứng dụng các quy luật toán học hay xác suất
cho một kết quả khả dĩ nhất của phép đo.

Sai số ngẫu nhiên xuất hiện là do khả năng hạn chế của ng-ời tiến hành thí nghiệm trong
việc khống chế các điều kiện bên ngoài, sự không thể nhận thấy sự xuất hiện của các yếu tố là
nguyên nhân dẫn tới sai số. Tất nhiên, ta không thể loại trừ hết các loại sai số ngẫu nhiên
nh-ng ta có thể hạn chế chúng tới một mức độ nào đó có thể chấp nhận đ-ợc.