ĐẠI SỐ
Lecturer: Dr. Nguyễn Bằng Giang
National University of Civil Engineering
Department of Mathematics

9 - 2020

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

1 / 273


Nội dung chương trình

CHƯƠNG I. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG II. KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH VÀ
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG III. KHƠNG GIAN EUCLID

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

2 / 273

Phần I
Ma trận - Định thức - Hệ phương trình
tuyến tính

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

3 / 273


Nội dung chương 1

1

Ma trận và các phép toán trên ma trận

2

Định thức

3

Hệ phương trình tuyến tính

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC


ĐẠI SỐ

9 - 2020

4 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Tiết 1
Ma trận và các phép toán trên ma trận

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

5 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

1

Khái niệm về ma trận

Ma trận và các phép toán trên ma trận
Khái niệm về ma trận

Các loại ma trận
Các phép toán về ma trận

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

6 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Khái niệm về ma trận

Mục 1
Khái niệm về ma trận

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

6 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận


Khái niệm về ma trận

Ma trận là gì?
Định nghĩa
Ma trận là một bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật.





A=



a11
a21
a31
..
.

a12
a22
a32
..
.

a13
a23
a33
..

.

···
···
···
..
.

a1n
a2n
a3n
..
.

am1 am2 am3 · · · amn

aij : Phần tử hàng i và cột j









m: số hàng
n: số cột
m × n: kích cỡ
Mm×n (R): Tập tất cả các ma trận thực cỡ m × n

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

7 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Khái niệm về ma trận

Ví dụ

A=

1 2 3
4 5 6


4 −2 −4
0
B = 0 0
1 2
3


TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC


ĐẠI SỐ

9 - 2020

8 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các loại ma trận

Mục 2
Các loại ma trận

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

9 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các loại ma trận

Các loại ma trận
Ma trận hàng: Là ma trận chỉ có một hàng.
A= 1 2 3 4 5 6


1×6

Ma trận cột: là ma trận chỉ có một cột.
 
1
2
 

A=
3
4
5 5×1
Ma trận vng: m = n.


1 2 3
A =  4 5 6
7 8 9 3×3


TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

10 / 273



Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các loại ma trận

Các loại ma trận (tiếp...)
Ma trận tam giác trên: là ma trận vng có các phần tử dưới
đường chéo chính đều bằng 0. (A = (aij )n×n : aij = 0 i>j)

1 0 7
A = 0 −4 5
0 0 2 3×3


Ma trận tam giác dưới: là ma trận vng có các phần tử trên
đường chéo chính đều bằng 0. (A = (aij )n×n : aij = 0 j>i)
1 0 0
0 0 0
A=
1 −4 2
2 −9 0


TS. Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC

ĐẠI SỐ


0
0 


0 
4
4×4
9 - 2020

11 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các loại ma trận

Các loại ma trận (tiếp...)
Ma trận đường chéo: Là ma trận có các phần tử nằm ngồi
đường chéo chính đều bằng 0. (Vừa là ma trận tam giác trên, vừa
là ma trận tam giác dưới.)


2 0 0
A = 0 4 0 = diag(2, 4, 7).
0 0 7
Ma trận đơn vị: Là ma trận đường chéo có các phần tử trên
đường chéo chính đều bằng 1.
Ma trận đơn vị cấp n thường được ký hiệu là In hoặc En .
I2 =

1 0
0 1

Ma trận khơng: là M T có các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: Om×n

O2×3 =
TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

0 0 0
0 0 0
9 - 2020

12 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép toán về ma trận

Mục 3
Các phép toán về ma trận

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

13 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận


Các phép toán về ma trận

Phép chuyển vị
Định nghĩa (Ma trận chuyển vị)
Cho A là ma trận cỡ m × n, khi đó chuyển vị của ma trận A là một ma
trận kích thước n × m có các cột là hàng tương ứng của ma trận A
Kí hiệu: AT : là ma trận chuyển vị của ma trận A.

 
1
b = 1 1 2 ⇒ b T = 1 ;
2
1

A=5
6


TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

2
4
0

 
3
d = 4 ⇒ d T = 3 4 9
9




3
1


1  ⇒ AT =  2
7
3
ĐẠI SỐ

5
4
1


6

0
7
9 - 2020

14 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép toán về ma trận

Ma trận bằng nhau
Định nghĩa

Hai ma trận cùng kích thước Am×n và Bm×n được gọi là bằng nhau nếu
tất cả các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.

aij = bij

A=

1 2 4
;
3 0 7

Khi đó
A=B⇔

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

∀i = 1, m; j = 1, n

B=

a b c
d e f

a=1 b=2 c=4
d =3 e=0 f =7
ĐẠI SỐ

9 - 2020

15 / 273



Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép tốn về ma trận

Cộng, trừ 2 ma trận cùng kích thước
PHÉP CỘNG:
Am×n + Bm×n = Cm×n
cij = aij + bij
2 4
2 5

1 0
3 6

+

A

=

2+1 4+0
3 4
=
2+3 5+6
5 11

B


C

PHÉP TRỪ:
Am×n − Bm×n = Cm×n
cij = aij − bij
2 4
5 2

−

−1 3
4 −7

A
TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

=

2 − (−1)
4−3
3 1
=
5−4
2 − (−7)
1 9

B

C
ĐẠI SỐ


9 - 2020

16 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép tốn về ma trận

Nhân vơ hướng

Nhân vơ hướng một số với một ma trận: ta nhân số đó với tất cả
các phần tử của ma trận.
λ

a b c
d e f

=

λa λb λc
λd λe λf



 
−1 −3 1
2
6 −2

1 
8
0  = −2 −4 0 
− · 4
2
3 −7 −5
−6 14 10

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

17 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép tốn về ma trận

Các tính chất

A+B =B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
A+O =A
α(A + B) = αA + αB
α(βA) = (αβ)A
(AT )T = A
(A + B)T = AT + B T


TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

18 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép toán về ma trận

Nhân hai ma trận
Nếu A = [aij ]m× n , B = [bij ] n ×p . Khi đó
A · B = [aij ]m×n · [bij ]n×p = [cij ]m×p ,
trong đó

n

aik bkj

cij =

Hi (A), Cj (B)

k=1

a11 a12 · · · a1n

 ..
.. ..
..
 .
. .
.

 ai1 ai2 · · · ain

 ..
.. ..
..
 .
. .
.
am1 am2 · · · amn




 b11

  b21
 .
 .
.


bn1



TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

· · · b1j
· · · b2j
..
..
.
.
· · · bnj

· · · b1p
· · · b2p
..
.
· · · bnp

ĐẠI SỐ

c11
 ..
.
 
 

c
=
  i1
  .
 ..

cm1




c1j · · · c1p
.. .. ..
. . .
· · · cij · · · cip
.. .. .. ..
. . . .
· · · cmj · · · cmp
···
..
.

9 - 2020










19 / 273



Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép tốn về ma trận

Ví dụ


−1 3
A =  4 −2 ;
5
0


Khi đó


B=

−3 2
−4 1




(−1)(−3) + (3)(−4) (−1)(2) + (3)(1)
−1 3
−3 2
= (4)(−3) + (−2)(−4) (4)(2) + (−2)(1)
AB =  4 −2
−4 1

(5)(−3) + (0)(−4)
(5)(2) + (0)(1)
5
0


−9 1
=  −4 6 
−15 10

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

20 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép tốn về ma trận

Phép nhân khơng có tính chất giao hoán

AB = BA
A=

1 3
2 −1


2 −1
0 2

B=

;

AB =

1 3
2 −1

2 −1
0 2

=

2 5
4 −4

BA =

2 −1
0 2

1 3
2 −1

=


0 7
4 −2

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

21 / 273


Ma trận và các phép toán trên ma trận

Các phép tốn về ma trận

Các tính chất

(AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA
α(AB) = (αA)B = A(αB)
Am×n On×p = Om×p và Om×n An×p = Om×p
Im×m Am×n = A = Am×n In
(AB)T = B T AT

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ


9 - 2020

22 / 273


Định thức

Tiết 2
Định thức

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

23 / 273


Định thức

2

Định nghĩa

Định thức
Định nghĩa
Tính chất của định thức
Ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận

Phép biến đổi sơ cấp
Hạng của ma trận

TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC

ĐẠI SỐ

9 - 2020

24 / 273