Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng
Chuyên đề số chính phơng
I. Một số kiến thức cơ bản.
1. Định nghĩa:
Số chính phơng là số bằng bình phơng của một số tụ nhiên
2. Các tính chất:
- Số chính phơng chỉ có chữ số tận cùng là 0 ; 1; 4; 5; 6; 9.
- Không có số chính phơng nào có tận cùng là 2; 3; 7; 8.
- Khi phân tích số chính phơng ra thừa số nguyên tố thì chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
VD: CM: A = a
x
. b
y
. c
z
(a; b ; c là các nguyên tố)
+ Chứng minh x, y, z là số chẵn.
Giả sử A = k
2

= (a
x
. b
y
. c
z
)
2
( k = a
x

. b
y
. c
z
)
= a
2x
. b
2y
. c
2z
- Số chính phơng chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
- Số chính phơng chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
- Số chính phơng chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phơng chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
- Số chính phơng có số ớc là số lẻ.
- Số tự nhiên có số ớc là lẻ thì số đó là số chính phơng .
3.Dạng tổng quát của số chính phơng .
- Số chính phơng chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1(n

N), k
hông có số chính phơng nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n

N)
- Số chính phơng chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1 ( n

N), k
hông có số chính phơng dạng 3n + 2 (n

N)

II. Các dạng toán về số chính phơng và phơng pháp giải.
2.1 Phơng pháp 1: Sử dụng địng nghĩa:
Ví dụ 1: CMR : tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phơng
Giải
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1 , n + 2, n + 3
Ta có: n(n + 1) ( n + 2) (n + 3) + 1 = (n
2
+ 3n) ( n
2
+ 3n + 2) + 1
= (n
2
+ 3n)
2
+ 2 ( n
2
+ 3n) + 1= (n
2
+ 3n +1)
2
(đpcm)
* Nhận xét:
Khai triển tích n(n+1) (n+2) (n+3) cần phải nhân nvới (n+3) nhân (n+1) với
(n+2) thì sẽ có phần giống nhau là (n
2
+3n)
Ví dụ 2.
Cho S = 1.2.3+ 2.3.4.5 +... + n(n+1) (n+2)
CMR: 4S +1 là csp.
1

Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng
Giải:
Lập tổng: S

= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ... + n( n+1) (n+2) ( n+3)
Ta có S

- 4S = 1.2.3 + 2.3.4.5 +... + (n-1) n( n+1) (n+2)


S

- 4s = S

- n(n+1) (n+2) (n+3)


4S +1 = n(n+1) (n+2) (n+3) +1
=(n
2
+3n+1)
2
theo ví dụ 1
* Nhận xét:
- Cách giải trên sáng tạo ở chỗ dựa vào đặc điểm của tổng S, 4S lập ra tổng S

từ
đò tính đợc 4S + 1 và áp dụng ngay kết quả của ví dụ 1.
- Khi gặp tích: (x+a) (x+b) (x+c) (x+d) với a + b = c + d ta khai triển ( x + a ) ( x+
b) và ( x+ c ) ( x+ d) để đợc x

2
+ ( a+ b) x = x
2
+ ( c + d ) x.
Ví dụ 3. CMR.
a) A = 11...1 x 100...05 + 1 là số chính phơng
2003 số 1 2002 số 0
b) B = 11...1 + 44...4 + 1 là số chính phơng.
2n số1 n số 4
Giải:
a) Đặt 11...1 = K

99...9 = 9K

2003 số 1 2002 số 9

10
2003
= 9K + 1
do đó A = 11...1 x ( 10
2003
+ 5 ) + 1 = K (9K + 1 + 5 ) +1

2003 số 1
= 9K
2
+ 6K + 1
= ( 3k + 1 )
2
mà 3K + 1


N

A là số chính phơng.
b)
9
110
2

n
+ 4
9
110

n
+ 1 =
9
4110.410
2
++
nn
=
2
)
3
210
(
+
n
= (33...34)

2

B là số chính phơng.
*Nhân xét:
Cách giải trên dựa vào đặc điểm các chỉ số, tách các chữ số một cách thích hợp
sẽ đa đợc về dạng hằng đẳng thức bình phơng của tổng hay bình phơng của hiệu
( dạng biểu thức của số chính phơng).
* bài tập áp dụng chứng minh rằng: CMR.
M = ( x + y ) ( x+ 2y ) ( x+ 3y ) ( x= 4y) + y
4
là số chính phơng.
P = 11...11 x 22...225 là số chính phơng
n số 1 n + 1
Q = 44...44 + 22...22 + 88...88 + 7 là số chính phơng
2n n + 1 n
2
Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng
2.2 Phơng pháp 2: Phơng pháp loại trừ:
Ví dụ 1:
Tìm n để 1! + 2! + 3! + ...+ n! = 33 + 5! ... + n! Là số chính phơng
Giải:
Với n

5 thì n!

10 khi đó:
1! + 2! + 3! + ...+ n! = 33 + 5! ... + n! Có tân cùng là 3 mà số chính phơng
không có tân cùng là 3 cho nên n < 5 => n = 1 hoặc n = 3
Ví dụ 2:
Tìm một số có hai chữ số biết nó bằng lập phơng của một số tự nhiên và tổng các

chữ số của nó bằng bình phơng của mỗi số tự nhiên.
Giải
Gọi số đó là ab ta có: ab = k
3
và a + b = k
2
(K

N)
Do 1 < a + b

18 => 1

K
2


18 => 1

K

4 mà ab

10
=>K
3


10 => K


3 => K = 3 Vậy ab = 27
2.3 Phơng pháp 3: Sử dụng tính chẵn lẻ.
Ví dụ 1:
CMR: số chính phơng có dạng Ab
2
= (10A + b)
2
(A

N, b

9)
Ab
2
= 100A
2
+ 20Ab + b
2
= 20A (5A + b) + b
2
Chữ số hàng chục của 20A (5A + b) là chẵn lên theo giả thiết
Chữ số hàng chục của b
2
phải lẻ , từ đó => b = 4; 6
Khi đó b
2
16,36 nên chữ số hàng đơn vị của Ab
2
luôn bằng 6
Ví dụ 2:

Tìm tất cả các số tự nhiên x, y để 2
x
+ 57 là số chính phơng
Giải
Giả sử 2
x
+ 2
y
= K
2
(K

N)
Nếu x = 0 thì 1 + 5
y
= K
2
do đó K chẵn => K
2


4 nhng 1 + 5
y


2( mod 4)
Vậy x

0, từ 2
x

+ 2
y
= K
2
=> K lẻ và K

5
* Xét hai trờng hợp:
a) Với y = 0 thì 2
x
+ 1 = K
2
= (2m + 1)
2
=> 2
x
= 4m ( m + 1)


m = 1, khi đó x = 3 , y = 0
b) Với y

0 vì K

5 nên K
2





1(mod5)
Từ 2
x
+ 2
y
= K
2
=> 2
x




1 (mod 5) => x chẵn
Đặt x = 2n khi đó 5
y
= ( K + 2
n
)(K 2
n
)
3
Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng
K + 2
n
= 5
a
K - 2
n
= 5

b
Với a + b = y (a > b; a, b

N)
=> 2
n + 2
= 5
b
( (5
a - b
1) => 5
b
= 1 => b = 0 , a = y lúc đó 2
n + 1
= 5
y
1
Nếu y = 2t thì 2
n + 1
= 5
2t
1

3 vô lý.
Vậy y lẻ khi đó :
2
n + 1
= 5
y
1 = 4(5

y - 1
+ 5
y 2
+ ... + 5 + 1)
Nếu y > 1 thì = 5
y - 1
+ 5
y 2
+ ... + 5 + 1 là số lẻ , vô lý.
Vậy y = 1 khi đó n = 1 ; x = 2; y = 1.
* Nhận xét:
Bài tập trên là bài tập khó và rất hay . Nó đòi hỏi khả năng lựa chọn, đánh giá ,
sáng tạo cao . Để giải đợc bài toán cần huy động nhiều kiến thức nh tính chẵn lẻ ,
chia hết , đồng d công thức khai triển a
n
b
n
.
*Bài tập áp dụng:
Bài 1:
CMR mọi số chính phơng lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn.
Bài 2:
CMR số chính phơng lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì số hàng trăm của nó là số
chẵn.
2.4 Phơng pháp 4: Sử dụng tính chất:
a. Nếu A,B là số chính phơng và (A,B) = 1 thì A, B đều là số chính phơng.
b. Nếu có số nguyên n sao cho n
2
< A
2

< (n + 1)
2
thì A không là số chính phơng.
c. Nếu m
2
< A
2
< ( M + K)
2
với M,K

N
*
Thì = A= M + i với i = 1, 2, 3 ... k - 1
Ví dụ 1:
CMR: Nếu a, b

Z thoả mãn 2a
2
+ a = 3b
2
+ b thì a b và 2a + 2b + 1 là những số
chính phơng
Giải
Ta có : 2a
2
+ a = 3 b
2
+ b



2(a
2
b
2
) + (a b) = b
2



(a b) (2a +2b + 1) = b
2
(1)
Gọi d là ớc của a b và 2a + 2b + 1
Thì d là ớc của hiệu 2a + 2b + 1 2( a + b) = 4b + 1
Mặt khác từ (1) ta có :
2
2
b
d
=>
b
d
=> d = 1
=> (a b ; 2a +2b + 1 ) = 1 (2)
4
Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng
Từ (1) và (2) => a b và 2a + 2b + 1 là số chính phơng ( theo tính chất a)
* Nhận xét: Từ giả thiết ta cũng có:
(a b )( 3a +3b + 1 ) = a

2
và
(a b ; 3a +3b + 1 ) = 1 => a b ; 3a +3b + 1 là số chính phơng.
Ví dụ 2:
CMR: Số 4n
4
+ 4n
3
+ 6n
2
+ 3n

+ 2 ( n

Z) không thẻ là số chính phơng.
Giải
Ta có : n
2
+ n + 1 = (n +
2
1
)
2
+
4
3
> 0
=> 3n
2
+ n + 2 = 3(n +

6
1
)
2
+
12
23
> 0
=> (4n
4
+ 4n
3
+ 6n
2
+ 3n

+ 2) (n
2
+ n + 1) < 4n
4
+ 4n
3
+ 6n
2
+ 3n

+ 2
< (4n
4
+ 4n

3
+ 6n
2
+ 3n

+ 2) + ( 3n
2
+ n + 2)
=> ( 2n
2
+ n + 2)
2
< A < ( 2n
2
+ n + 2)
2
=> A không là số chính phơng (tính chất b)
* Nhận xét:
Dựa vào hệ số , số mũ của các số hạng trong tổng A , ta đánh giá đợc
( 2n
2
+ n + 2)
2
< A < ( 2n
2
+ n + 2)
2
.Đây là sự sáng tạo , sự linh hoạt , cái đẹp của
toán học. Giáo viên cần củng cố hằng đẳng thức bình phơng của tổng nhiều số hạng,
rèn luyện kỹ năng biến đổi thành thạo thông qua các bài toán tơng tự.

Ví dụ 3.
Tìm các số nguyên tố P sao cho tổng tất cả các ớc tự nhiên của p
4
là một số
chính phơng
Giải
Các ớc tự nhiên của p
4
là 1; p ; p
2
; p
4
ta có :
Giả sử : 1 + p + p
2
+ p
3
+ p
4
= n
2
=> 4p
4
+ 4p
3
+ p
2
< 4n
2
< 4p

4
+ p
2
+ 4 + 4p
3
4p + 8p
2
=> (2p
2
+ p)
2
< (2n)
2
< ( 2p
2
+ p + 2)
2+
=> 2n = 2p
2
+ p + 1
=> p
2
2P - 3 = 0 => p = 3
* Bài tập vận dụng:
Bài 1:
Cho n số tự nhiên, d là ớc nguyên dơng của 2n
2

CMR: n
2

+ d không là số chính phơng.
Bài 2:
CMR tích của 8 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phơng.
5