56

Chỉång 10 :
GIAO TUÚN CA MÀÛT PHÀĨNG
V MÄÜT MÀÛT


I0.1-KHẠI NIÃÛM:
Giao tuún ca màût phàóng våïi mäüt màût l táûp håüp cạc âiãøm chung ca màût
phàóng v màût âọ . Giao tuún ca màût phàóng våïi mäüt âa diãûn thỉåìng l mäüt âa
giạc m cạc âènh l giao âiãøm cạc cảnh âa diãûn våïi màût phàóng .Giao tuún ca
màût phàóng våïi mäüt màût báûc n thỉåìng l mäüt âỉåìng báûc n .Våïi màût nọn báûc 2 ,
giao tuún l :
+ Elip, nãúu màût phàóng càõt táút c cạc âỉåìng sinh ca màût nọn . Elip suy biãún
thnh mäüt âiãøm nãúu màût phàóng âọ âi qua âènh nọn .
+Hyperbol , nãúu màût phàóng song song våïi hai âỉåìng sinh ca nọn . Hai âỉåìng
sinh n
y chênh l hai phỉång tiãûm cáûn ca Hyperbol . Hyperbol ny suy biãún
thnh hai âỉåìng thàóng nãúu màût phàóng âi qua âènh nọn .
+Parabol ,nãúu màût phàóng song song våïi mäüt âỉåìng sinh ca nọn . Âỉåìng sinh
ny cho phỉång trủc ca Parabol . Parabol suy biãún thnh âỉåìng sinh nãúu màût
phàóng âọ âi qua âènh nọn , màût phàóng tråí thnh màût phàóng tiãúp xục våïi nọn , cọ
thãø hiãøu âỉåìng sinh tiãúp xục chênh l giao tuún ca màût phàóng våïi nọn . Tỉì âọ
ta cọ thãø âoạn nháûn dảng giao tuún ca màût phàóng våïi nọn báûc 2 cọ âỉåìng
chøn l elip hay âỉåìng trn bàòng cạch nhỉ sau : - Ta v mäüt màût phàóng âi qua
âènh nọn v song song våïi màût phàóng â cho , nãúu màût phàóng vỉì
a v khäng càõt
, càõt tải mäüt âiãøm , càõt tải hai âiãøm thç giao tuún láưn lỉåüt l : Elip , Parabol
,Hyperbol .
Våïi màût trủ báûc 2, âỉåìng chøn l elip hồûc âỉåìng trn ,giao tuún l :

+Elip, nãúu màût phàóng càõt táút c cạc âỉåìng sinh ca trủ .
+Hai âỉåìng sinh nãúu màût phàóng càõt màût trủ v song song våïi phỉång ca
trủ .
+Mäüt âỉåìng sinh nãúu màût phàóng tiãúp xục våïi trủ . Cọ thãø hiãøu âỉåìng sinh
trãn l âỉåìng sinh kẹp ca giao tuún suy biãún .
10.2-TRỈÅÌNG HÅÜP BIÃÚT MÄÜT HÇNH CHIÃÚU CA GIAO TUÚN :
10.2.1-Nãúu màût â cho l màût làng trủ hồûc màût trủ chiãúu (âỉåìng sinh l
âỉåìng thàó
ng chiãúu ) , màût phàóng l báút k thç mäüt hçnh chiãúu ca giao tuún

57
truỡng vồùi hỗnh chióỳu suy bióỳn cuớa lng truỷ hoỷc truỷ . Veợ hỗnh chióỳu thổù hai cuớa
giao tuyóỳn bũng caùch aùp duỷng baỡi toaùn vóử õióứm , õổồỡng thúng thuọỹc mỷt phúng .
Vờ duỷ 1 : Haợy veợ giao
tuyóỳn mỷt phúng vaỡ mỷt
lng truỷ chióỳu bũng abc .
Giaới : Giao tuyóỳn laỡ
tam giaùc ABC maỡ A
1
a
1

,B
1
b
1
,C
1
c
1

. Nhồỡ baỡi
toaùn cồ baớn õióứm , õổồỡng
thúng thuọỹc mỷt phúng ,
dóự daỡng veợ õổồỹc A
2
B
2
C
2
.
Phỏửn thỏỳy khuỏỳt thóứ hióỷn
nhổ hỗnh veợ (H-10.1) .




Vờ duỷ 2 : Haợy veợ giao tuyóỳn mỷt phúng vaỡ mỷt truỷ troỡn xoay ,Truỷc T
vuọng goùc vồùi P
1
(H-10.2) .
Giaới : Nhỗn hỗnh chióỳu
bũng ,Ta bióỳt giao tuyóỳn laỡ mọỹt
elờp maỡ hỗnh chióỳu bũng cuớa noù
e
1
truỡng vồùi hỗnh chióỳu bũng
cuớa mỷt truỷ .Do tờnh õọỳi xổùng
,dóự thỏỳy rũng truỷc daỡi AB cuớa
elờp thuọỹc giao mỷt phúng P vaỡ
truỷc ngừn CD bũng õổồỡng kờnh

mỷt truỷ .
Vỗ truỷc T vuọng goùc vồùi P
1

nónmỷt phúng õọỳi xổùng Q laỡ
mỷt phúng chióỳu bũng .
Vỗ Q T nón Q
1
m
p
,do õoù
AB laỡ õổồỡng dọỳc nhỏỳt cuớa P
õọỳi vồùi P
1
vaỡ CD laỡ õổồỡng
m


n


a
2
b
2
c
2
A
2
B

2
C
2
A
1
a
1
B
1
b
1
C
1
c
1
x

Hỗnh-10.1
m


n


B
2
D
2
T
2

A
2
C
2
A
1
B
1
C
1
x

T'
2
e
2
f
2
f
1
T'
1
T
1
t
1
t
2
Hỗnh-10.2
e

1

58
bũng cuớa P . Trón hỗnh chióỳu bũng : A
1
B
1
C
1
D
1
.Hỗnh chióỳu õổùng cuớa elip laỡ e
2

nhỏỷn A
2
B
2
vaỡ C
2
D
2
laỡm cỷp õổồỡng kờnh lión hồỹp . AB laỡ õổồỡng dọỳc nhỏỳt õọỳi vồùi
P
1
nón A laỡ õióứm cao nhỏỳt , B laỡ õióứm thỏỳp nhỏỳt cuớa elip .T
2
, T
2
' laỡ hai tióỳp õióứm

cuớa e
2
vồùi õổồỡng sinh bao mỷt truỷ vaỡ cuợng laỡ giồùi haỷn thỏỳy khuỏỳt cuớa e
2
.ổồỡng
mỷt f xaùc õởnh T
2
, T
2
' .
10.2.2-Nóỳu mỷt phúng õaợ cho laỡ mỷt phúng chióỳu ,mỷt kia laỡ bỏỳt kyỡ thỗ mọỹt
hỗnh chióỳu cuớa giao tuyóỳn thuọỹc hỗnh chióỳu suy bióỳn cuớa mỷt phúng . Aẽp duỷng
baỡi toaùn vóử õióứm thuọỹc mỷt veợ hỗnh chióỳu thổù hai cuớa giao tuyóỳn .
Vờ duỷ 1 : Haợy veợ giao tuyóỳn mỷt phúng chióỳu õổùng P vaỡ mỷt thaùp SABC .
Giaới : Nhồỡ hỗnh chióỳu õổùng ta thỏỳy roợ giao tuyóỳn laỡ tam giaùc DEF maỡ
D
2
E
2
F
2
thuọỹc
2
.Dóự daỡng veợ õổồỹc D
1
E
1
F
1
, thỏỳy khuỏỳt cuớa giao tuyóỳn õổồỹc thóứ

hióỷn trón hỗnh veợ (H-10.3) .
Vờ duỷ 2 : Haợy veợ giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng chióỳu õổùng vaỡ mỷt noùn troỡn
xoay , truỷc thúng õổùng (H-10.4) .

















Giaới : Vỗ mỷt phúng coù hỗnh chióỳu õổùng suy bióỳn thaỡnh õổồỡng thúng
2

nón ta bióỳt cừt tỏỳt caớ caùc õổồỡng sinh cuớa mỷt noùn S .Giao tuyóỳn laỡ elip maỡ
hỗnh chióỳu õổùng laỡ A
2
B
2
thuọỹc
2

.AB laỡ truỷc daỡi cuớa elip , truỷc ngừn CD coù
S
2
S
1
C
2
D
2
O
2
C
1
D
1
(c
1
)
(c
2
)
x
A
1
B
1
A
2
B
2


2
S
1
S
2
D
2
E
2
F
2
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1


Hỗnh-10.3
Hỗnh-10.4

59
hçnh chiãúu âỉïng C
2
≡D
2
≡ O
2
hçnh chiãúu tám O ca elip .ÅÍ hçnh chiãúu bàòng
A
1
B
1
⊥ C
1
D
1
(vç CD ⊥ P
2
) nãn chụng l hai trủc ca elip hçnh chiãúu bàòng ca
giao tuún .Ta v C
1
D
1
nhåì âỉåìng trn thüc màût phàóng nàòm ngang v qua CD
.
*Chụ : Ngỉåìi ta â chỉïng minh ràòng : Hçnh chiãúu ca elip thüc màût

nọn trn xoay lãn màût phàóng vng gọc våïi trủc ca nọn ln ln l elip .
Hçnh chiãúu ca âènh nọn l mäüt tiãu âiãøm ca elip vỉìa nọi .
Vê dủ 3: Hy v giao tuún ca màût phàóng α chiãúu âỉïng v màût cáưu tám O
(H-10.5).
Gii : Giao tuún l âỉåìng
trn tám I , hçnh chiãúu âỉïng ca nọ
l A
2
B
2
∈ α
2
(vç α ⊥ P
2
) , v âỉåìng
kênh ca nọ bàòng A
2
B
2
. Hçnh
chiãúu bàòng âỉåìng trn giao tuún
l elip m trủc di l C
1
D
1
, hçnh
chiãúu âỉïng ca âỉåìng kênh CD
vng gọc våïi P
2
(tỉïc song song

våïi P
1
) , C
1
D
1
= A
2
B
2
v trủc ngàõn
l A
1
B
1
. Nhçn hçnh chiãúu âỉïng ta
tháúy α càõt âỉåìng trn xêch âảo åí
hai âiãøm T , T' (T
2
≡ T'
2
) nãn åí
hçnh chiãúu bàòng T
1
v T'
1
l hai
tiãúp âiãøm ca elip v âỉåìng bao
màût cáưu l hai giåïi hản tháúy khút
ca elip


10.3-TRỈÅÌNG HÅÜP TÄØNG QUẠT :
Gi sỉí cáưn tçm giao tuún ca màût phàóng v màût Φ.Ta cọ cạc bỉåïc gii nhỉ sau:
a)Dng màût phàóng phủ tråü ϕ càõt màût phàóng P v Φ , sao cho giao tuún dãù
v cạc hçnh chiãúu ca chụng l âỉåìng thàóng v âỉåìng trn .
b)V cạc giao tuún phủ tråü m v n vỉìa nọi .
c)V cạc giao âiãøm A,B ca m v n ...
A,B thüc giao tuún cáưn tçm ca P v Φ .
Âãø v täút giao tuún ,cáưn phi nháûn xẹt dả
ng giao tuún ,âãø cạc trủc âäúi
x
O
2
(a
2
)
(b
2
)
C
2
≡D
2
≡I
2
O
1
T'
1
B

1
(b
1
)
(
a
1
)
B
2
A
2
T
1
C
1
D
1
I
1
α
2
Hçnh-10.5

60
xổùng, caùc õióứm õỷc bióỷt nhổ caùc õióứm gỏửn nhỏỳt , xa nhỏỳt , cao nhỏỳt , thỏỳp nhỏỳt
hoỷc caùc õióứm taỷi õoù coù hổồùng tióỳp tuyóỳn nhỏỳt õởnh ... Ngoaỡi ra coù thóứ duỡng bióỳn
õọứi hỗnh chióỳu mọỹt caùch linh hoaỷt õóứ veợ baỡi toaùn giao tuyóỳn .
Vờ duỷ 1: Haợy veợ giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng (p,q) vaỡ mỷt lng truỷ (abc) .
Giaới : Ta tỗm giao tuyóỳn cuớa caùc caỷnh a,b,c vồùi mỷt phúng (p,q) . giao

tuyóỳn laỡ tam giaùc ABC tỗm õổồỹc nhồỡ caùc mỷt phúng phuỷ trồỹ R , R' , R'' (H-10.6)
.














Vờ duỷ 2: Haợy veợ giao tuyóỳn cuớa mỷt phú
ng (h,f) vồùi mỷt noùn troỡn xoay
truỷc thúng õổùng (H-10.7) .
Giaới : Nóỳu qua õốnh noùn ta veợ mỷt phúng song song vồùi mỷt phúng (h,f) thỗ
dóự thỏỳy mỷt phúng vổỡa veợ khọng cừt õaùy noùn (c) .Qua S veợ f ' // f ,giao tuyóỳn m
cuớa mỷt phúng vồùi mỷt phúng õaùy noùn seợ song song vồùi h vỗ mỷt phúng õaùy
noùn laỡ mỷt phúng bũng .Vỏỷy tổỡ giao tuyóỳn M cuớa f ' vaỡ mỷt phúng õaùy noùn ,ta
veợ m // h , khọng cừt õổồỡng troỡn õaùy (c) nón giao tuyóỳn phaới laỡ elip .Cuợng coù thóứ
õoaùn nhỏỷn daỷng giao tuyóỳn bũng caùch veợ mỷt phúng õọỳi xổùng chung cuớa mỷt
phúng (h,f) vaỡ mỷt noùn .Nóỳu caùc õióứ
m tỗm õổồỹc cuớa giao tuyóỳn nhồỡ mỷt phúng
õọỳi xổùng chung ồớ vóử mọỹt phờa cuớa mỷt noùn so vồùi õốnh noùn thỗ giao tuyóỳn laỡ elip
.óứ veợ caùc õióứm cuớa giao tuyóỳn ta duỡng caùc mỷt phúng phuỷ trồỹ laỡ caùc mỷt phúng
chióỳu bũng thuọỹc truỷc noùn õóứ cừt noùn theo caùc õổồỡng troỡn maỡ hỗnh chióỳu bũng

''g''
1
'g'
1
g
1
g''
2
g'
2
g
2
p
2
q
2
p
1
q
1
a
1
c
1
b
1
a
2
b
2

c
2
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1
Hỗnh-10.6

61
cuớa chuùng cuợng laỡ caùc õổồỡng troỡn .Dộ nhión caùc mỷt phúng phuỷ trồỹ trón cừt mỷt
phúng (h,f) theo caùc õổồỡng thúng cuỷ thóứ nhổ sau:
+Mỷt phúng õọỳi xổùng Q cho hai õióứm A,B cuớa truỷc daỡi elip .A laỡ õióứm cao
nhỏỳt, B laỡ õióứm thỏỳp nhỏỳt .
+Mỷt phúng õi qua õióứm giổợa O cuớa AB cho hai õióứm CD truỷc ngừn elờp .
+Mỷt phúng ' cho hai õióứm T,T' maỡ caùc hỗnh chióỳu õổùng T
2
,T
2
' laỡ caùc tióỳp
õióứm cuớa hỗnh chióỳu giao tuyóỳn vồờ caùc õổồỡng sinh bao hỗnh chióỳu õổùng cuớa
mỷt noùn vaỡ laỡ caùc õióứm giồùi haỷn thỏỳy khuỏỳt cuớa hỗnh chióỳu õổùng giao tuyóỳn.
Vỏỷy hỗnh chióỳu bũng cuớa giao tuyóỳn laỡ elip nhỏỷn A

1
B
1
laỡm truỷc daỡi ,C
1
D
1
laỡm
truỷc ngừn .CD // P
1
nón goùc vuọng cuớa AB vaỡ CD õổồỹc baớo tọửn ồớ hỗnh chióỳu
bũng .Hỗnh chióỳu õổùng cuớa giao tuyóỳn laỡ elip nhỏỷn A
2
B
2
vaỡ C
2
D
2
laỡm cỷp õổồỡng
kờnh lión hồỹp .Caùc tióỳp tuyóỳn cuớa elip taỷi A
2
B
2
laỡ nhổợng õổồỡng nũm ngang .




















Vờ duỷ 3 : Haợy veợ giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng (m,n) vồùi mỷt truỷ xión .
Giaới : a) Nóỳu duỡng caùc mỷt phúng phuỷ trồỹ õóứ veợ giao tuyóỳn thỗ ta coù thóứ
choỹn nhổ sau :
f
1
h
1
'
1
Q
1
S
1
O
1
A

1
B
1
C
1
D
1
S
2
A
2
B
2
C
2
D
2
O
2
f
2
h
2

2
T
2
T'
2
Hỗnh-10.7


62
+Mỷt phúng chióỳu bũng song song vồùi phổồng cuớa truỷ .
+Mỷt phúng chióỳu õổùng song song vồùi phổồng cuớa truỷ .
+Mỷt phúng bũng song song vồùi mỷt phúng õaùy truỷ .
b)Nóỳu duỡng bióỳn õọứi hỗnh chióỳu thỗ coù thóứ thay mỷt phúng hỗnh chióỳu
õổùng õóứ mỷt phúng P trồớ thaỡnh mỷt phúng chióỳu õổùng (H-10.8) , hỗnh chióỳu
õổùng mồùi cuớa mỷt truỷ coù thóứ bióứu dióựn bũng hỗnh chióỳu õổùng mồùi cuớa õaùy vaỡ
truỷc xión cuớa mỷt truỷ rọửi suy ra caùc õổồỡng sinh bao cuớa mỷt truỷ .
Trong hóỷ thọỳng mồùi , hỗnh chióỳu õổùng cuớa giao tuyóỳn õổồỹc bióỳt :A'
2
B'
2
thuọỹc P'
2

giao tuyóỳn laỡ elip .Tổỡ õoù ta õổa kóỳt quaớ vóử caùc hỗnh chióỳu cuợ . Cỏửn chuù yù caùc
õióứm õỷc bióỷt cuớa giao tuyóỳn nhổ caùc õióứm thuọỹc caùc õổồỡng sinh bao hỗnh chióỳu
mỷt truỷ, õióứm cao nhỏỳt , thỏỳp nhỏỳt laỡ A,B .Hỗnh-10.8 chố ra caùch veợ caùc õióứm
cao nhỏỳt ,thỏỳp nhỏỳt A,B caùc tióỳp õióứm S
1
,T
2
cuớa giao tuyóỳn .





















Vờ duỷ 4: Haợy veợ giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng P(m,n) vồùi mỷt elipxoit troỡn xoay ,
truỷc thúng õổùng (H-10.9) .
A
2
T
2
B
2
n

m


S
1
B

1
A
1
T
1
'
2
A'
2
B'
2
T'
2
S'
2
Hỗnh-10.8

63
Giaới : Giao tuyóỳn nóỳu coù laỡ elip .Ta coù thóứ duỡng caùc mỷt phúng phuỷ trồỹ laỡ
caùc mỷt phúng bũng õóứ caùc giao tuyóỳn trón mỷt elipxoit laỡ caùc õổồỡng troỡn coù
hỗnh chióỳu bũng nguyón hỗnh vaỡ caùc mỷt phúng kinh tuyóỳn .
-Mỷt phúng õọỳi xổùng chung Q cừt elipxoit theo elip kinh tuyóỳn bũng elip hỗnh
bao cuớa hỗnh chióỳu õổùng elipxoit .óứ veợ chờnh xaùc , ta xoay mỷt phúng õọỳi xổùng
quanh truỷc t õóỳn song song vồùi P
2
.Luùc bỏỳy giồỡ , hỗnh chióỳu õổùng cuớa elip giao
tuyóỳn phuỷ trồỹ seợ truỡng vồùi õổồỡng bao hỗnh chióỳu õổùng elipxoit . Giao tuyóỳn phuỷ
trồỹ g-,giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng seợ õóỳn vở trờ mồùi g'-Taỷi vở trờ mồùi naỡy , ta tỗm
õổồỹc caùc õióứm cuớa giao tuyóỳn cỏửn veợ laỡ A',B' .Tổỡ õoù xoay ngổồỹc laỷi ta õổồỹc A,
B . AB chờnh laỡ truỷc daỡi cuớa elip , giao tuyóỳn cuớa P vaỡ elipxoit ,A laỡ õióứm cao

nhỏỳt ,B laỡ õióứm thỏỳp nhỏỳt .
-Mỷt phúng bũng qua
giổợa õióứm O cuớa AB cho ta
hai õióứm C,D truỷc ngừn cuớa
elip giao tuyóỳn .
-Mỷt phúng kinh tuyóỳn
song song vồùi P
2
cho caùc
tióỳp õióứm T
2
,T
2
' cuớa hỗnh
chióỳu õổùng giao tuyóỳn vaỡ
hỗnh bao elipxoit .
-Mỷt phúng bũng '
qua õổồỡng troỡn xờch õaỷo
cuớa elipxoit cho caùc tióỳp
õióứm U
1
,U
1
' cuớa hỗnh chióỳu
bũng giao tuyóỳn vồùi hỗnh
bao cuớa elipxoit . Hỗnh
chióỳu bũng giao tuyóỳn laỡ
elip, vồùi truỷc daỡi C
1
D

1
,
truỷc ngừn A
1
B
1
. Hỗnh
chióỳu õổùng giao tuyóỳn laỡ
elip vồùi cỷp õổồỡng kờnh
lión hồỹp A
2
B
2
vaỡ C
2
D
2
.


t
2
A
2
A'
2
C
2
D
2

B
2
B'
2
T'
2
T
2
O
2
n



2
'
2
m

Q
1
g
1

1
A
1
B
1
D

1
C
1
U
1
U'
1
O
1
g
2
g'
2
Hỗnh-10.9

64

Chỉång 11
GIAO ÂIÃØM CA ÂỈÅÌNG THÀĨNG V MÀÛT


11.1-KHẠI NIÃÛM :
Giao âiãøm ca âỉåìng thàóng v mäüt màût no âọ l táûp håüp cạc âiãøm chung ca
chụng . Säú giao âiãøm täúi âa ca âỉåìng thàóng våïi mäüt âa diãûn läưi l 2 . Säú giao
âiãøm täúi âa ca âỉåìng thàóng våïi mäüt màût âải säú báûc n l n .
Vê dủ : Säú giao âiãøm ca âỉåìng thàóng våïi mäüt màût nọn báûc hai thỉåìng l 2
. Säú giao âiãøm täúi âa ca âỉåìng thàóng våïi mäüt màût xuún l 4 .
11.2-TRỈÅÌNG HÅÜP BIÃÚT MÄÜT HÇNH CHIÃÚU CA GIAO TUÚN :
11.2.1- Nãúu màût cho l làng
trủ chiãúu hồûc trủ chiãúu ,

âỉåìng thàóng l báút k
thç
mäüt hçnh chiãúu cạc giao
âiãøm l giao ca hçnh chiãúu
suy biãún ca màût v hçnh
chiãúu tỉång ỉïng ca âỉåìng
thàóng .Dng bi toạn vãư
âiãøm thüc âỉåìng thàóng , v
hçnh chiãúu thỉï hai cạc giao
âiãøm .
Vê dủ 1: V giao âiãøm
ca âỉåìng thàóng d våïi màût
làng trủ abc thàóng âỉïng (H-
11.1).
Gii : Dãù tháúy hçnh
chiãúu bàòngca giao âiãøm l
M
1
,N
1
v suy ra M
2
,

N
2
.
11.2.1-Nãúu âỉåìng thàóng l âỉåìng thàóng chiãúu , màût l báút k thç mäüt hçnh chiãúu
cạc giao âiãøm trng våïi hçnh chiãúu suy biãún ca âỉåìng thàóng . Ạp dủng bi toạn
vãư âiãøm thüc màût ta v hçnh chiãúu thỉï hai ca giao âiãøm .

Vê dủ 2: Hy v giao âiãøm ca âỉåìng thàóng chiãúu âỉïng d våïi màût nọn S
(H-11.2) .
b
1
M
1
d
2
a
2
b
2
c
2
M
2
N
2
a
1
c
1
x
N
1
d
1
Hçnh-11.1