41

PháưnIII:
ÂỈÅÌNG V MÀÛT- CẠC BI TOẠN
VÃƯ GIAO


Chỉång tạm:
BIÃØU DIÃÙN ÂỈÅÌNG V MÀÛT


8.1-CẠC HÇNH PHÀĨNG CÄØ ÂIÃØN:
8.1.1-Tam giạc :
Âãø biãøu diãùn âäư thỉïc ca mäüt tam giạc báút k, ta cho âäư thỉïc ca ba
âiãøm báút k l ba âènh ca tam giạc.
Âãø biãøu diãùn âäư thỉïc ca mäüt tam giạc â âỉåüc xạc âënh kêch thỉåïc ,
hçnh dảng thüc mäüt màût phàóng no âọ, ta sỉí dủng phẹp gáûp quanh màût phàóng
âỉa màût phàóng â cho vãư trng våïi màût phàóng hçnh chiãúu. Trãn hçnh-7.14, mủc
7.6.1 , â trçnh by viãûc sỉí dủng phẹp gáûp quanh vãút bàòng âãø dỉûng mäüt tam giạc
âãưu , cảnh a thüc màût phàóng α (m
α
, n
α
).
8.1.2-Hçnh bçnh hnh, hçnh thoi :
Do phẹp chiãúu vng gọc bo täưn tênh song song v t säú âån ca ba
âiãøm thàóng hng, nãn ta cọ cạc hçnh chiãúu ca mäüt hçnh hnh l cạc hçnh bçnh
hnh. Trãn hçnh-8.1, biãøu diãùn mäüt hçnh bçnh hnh ABCD.
Trỉåìng håüp hai âỉåìng chẹo ca hçnh bçnh hnh tha mn vng gọc
trong khäng gian, thç hçnh bçnh hnh tråí thnh hçnh thoi. Hçnh-8.2, biãøu diãùn

mäüt hçnh thoi cọ âỉåìng chẹo AC l âỉåìng bàòng.











Hçnh-8.1 Hçnh-8.2
A
2
B
2
C
2
D
2
A
1
D
1
B
1
C
1
x


x

A
2
B
2
C
2
D
2
D
1
A
1
B
1
C
1

42
8.1.2-Hỗnh chổợ nhỏỷt, hỗnh vuọng:
óứ bióứu dióựn mọỹt hỗnh chổợ nhỏỷt ,ta nón choỹn mọỹt trong hai cỷp caỷnh
song song vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu . Khi õoù goùc vuọng trón hỗnh chióỳu tổồng
ổùng õổồỹc baớo tọửn. Hỗnh-8.3, bióứu dióựn mọỹt hỗnh chổợ nhỏỷt coù cỷp caỷnh laỡ õổồỡng
bũng.
Trong trổồỡng hồỹp cỏửn bióứu dióựn mọỹt hỗnh chổợ nhỏỷt coù kờch thổồùc cho
trổồùc hay mọỹt hỗnh vuọng coù caỷnh cho trổồùc , phổồng aùn tọỳt nhỏỳt laỡ sổớ duỷng
pheùp gỏỷp õổa mỷt phúng õaợ cho vóử truỡng vồùi mỷt phúng hỗnh chióỳu. Hỗnh-8.4,
bióứu dióựn mọỹt hỗnh vuọng ABCD.













Hỗnh-8.3 Hỗnh-8.4
8.2-ặèNG CONG:
8.2.1-Khaùi nióỷm:
ổồỡng cong hỗnh hoỹ
c coù thóứ xem nhổ laỡ quộ tờch cuớa mọỹt õióứm chuyóứn õọỹng
theo mọỹt qui luỏỷt naỡo õoù. Nhổợng õổồỡng cong phúng hay gỷp laỡ nhổợng õổồỡng
bỏỷc 2 nhổ õổồỡng troỡn , elip , parabol , hyperbol. Coù thóứ noùi elip , parabol ,
hyperbol laỡ nhổợng õổồỡng cong bỏỷc 2 lỏửn lổồỹt khọng coù õióứm vọ tỏỷn, coù mọỹt
õióứm vọ tỏỷn, coù hai õióứm vọ tỏỷn. ổồỡng troỡn õổồỹc xem nhổ elip õỷc bióỷt coù hai
truỷc bũng nhau.
8.2.1-Hỗnh chióỳu cuớa mọỹt õổồỡng cong:
Caùc tờnh chỏỳt:
1/ Hỗnh chióỳu xuyón tỏm hay song song cuớa tióỳp tuyóỳn cuớa õổồỡng cong taỷi mọỹt
õióứm noùi chung laỡ tióỳp tuyóỳn cuớa hỗnh chióỳu õổồỡng cong taỷi hỗnh chióỳu õióứm õoù.
A
2
B
2

C
2
D
2
A
1
D
1
B
1
C
1
x
n


X


m


N
2
B
1
A'
1
A
1

C
2
N
1
n'


N'
1
B'
1
C'
1
D'
1
A
2
B
2
D
2
C
1
D
1
h'
1

h
1


h
2


43
(H-8.5)
2/ Hçnh chiãúu ca âỉåìng cong âải säú báûc n ,nọi
chung l mäüt âỉåìng cong âải säú báûc n.
3/Hçnh chiãúu vng gọc ca âỉåìng cong âải säú
báûc n lãn màût phàóng âäúi xỉïng ca nọ l mäüt
âỉåìng cong phàóng âải säú cọ báûc n/2.
*Chụ ràòng hçnh chiãúu ca elip,
parabol, hyperbol láưn lỉåüt l elip, parabol,
hyperbol.
Khi v chụng ta cáưn quan tám âãún cạc trủc âäúi xỉïng hồûc hçnh chiãúu trủc
âäúi xỉïng ca chụng. Hçnh chiãúu song song ca càûp âỉåìng kênh liãn håüp ca elip
l càûp âỉåìng kênh liãn håüp ca nọ. Riãng âỉåìng trn ta phi kho sạt thãm dỉåïi
âáy.
8.2.2 Âỉåìng trn:
Hçnh chiãúu vng gọc ca âỉåìng trn nọi chung l mäüt elip. Våïi trủc di l
hçnh chiãúu ca âỉåìng kênh âỉåìng trn song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu
tỉång ỉïng. Do âọ trủc di ca elip bàòng âỉåìng kênh ca âỉåìng trn âỉåüc chiãúu.
Càûp âỉåìng kênh liãn håüp ca âỉåìng trn l càûp âỉåìng kênh vng gọc nhau.
Vê dủ: Hy v hçnh chiãúu ca
âỉåìng trn tám O, bạn kênh R thüc màût
phàóng α vng gọc P
2
.
Gii: Hçnh chiãúu âỉïng ca âỉåìng

trn tám O , bạn kênh R l âoản thàóng
C
2
D
2
= 2R v C
2
D
2
∈ α
2
. Cọ thãø xem
âáy l mäüt elip våïi trủc di C
2
D
2
v trủc
ngàõn bàòng 0.
Hçnh chiãúu bàòng âỉåìng trn l
elip, tám O
1
, trủc di A
1
B
1
= 2R , hçnh
chiãúu ca âỉåìng kênh AB song song màût
phàóng hçnh chiãúu bàòng P
1
. Trủc ngàõn l

C
1
D
1
vng gọc A
1
B
1
.
Vê dủ: Hy v hçnh chiãúu ca âỉåìng trn tám O, bạn kênh R thüc màût
phàóng α (h,f).
Gii: Trãn hçnh-8.7 v hçnh chiãúu âỉïng v hçnh chiãúu bàòng ca mäüt
Hçnh-8.5
Hçnh-8.6
D
2
A
1
B
1
D
1
C
1
O
1
C
2
A
2

≡B
2
≡O
2
α
2
x

(c)
(c')
t
t'
P

44
Âỉåìng trn nàòm trong màût phàóng α
(h,f). Tám O v bạn kênh r l nhỉỵng
úu täú â cho. Hçnh chiãúu bàòng v hçnh
chiãúu âỉïng ca âỉåìng trn âỉåüc biãøu
diãùn l cạc elip.Elip hçnh chiãúu bàòng
cọ trủc di song song våïi h v bàòng 2 r.
Elip hçnh chiãúu âỉïng cọ trủc di song
song f v bàòng 2 r . Âãø xạc âënh cạc
trủc ngàõn ca cạc ellip âọ ta gáûp màût
phàóng âãún trng P
1
. Hçnh chiãúu bàòng
ca âỉåìng trn sau khi gáûp l âỉåìng v’
1


v dỉûa vo âỉåìng trn náưy ta suy ra
trủc ngàõn ca cạc ellip hçnh chiãúu.
Trãn hçnh v cng chè r cạch v hçnh
chiãúu bàòng mäüt âiãøm M báút k ca
âỉåìng trn.
8.3-CẠC ÂA DIÃÛN TRONG KHÄNG GIAN:
8.3.1-Cạc khại niãûm v qui tàõc biãøu diãùn:
Âa diãûn l mäüt màût kên tảo thnh båíi cạc âa
giạc phàóng gàõn liãưn våïi nhau båíi cạc cảnh (H-8.8).
Cạc âa giạc tảo thnh âa diãûn gi l cạc màût ca âa
diãûn. Cạc cảnh v cạc âènh ca âa giạc gi l cạc
cảnh v cạc âènh ca âa diãûn. Nhiãưu khi ngỉåìi ta
cng gi váût thãø giåïi hản båíi cạ
c màût ca âa diãûn l
âa diãûn. Âãø trạnh nháưm láùn ta thäúng nháút âa diãûn l
mäüt màût. Nhỉ váûy cạc màût hçnh thạp, hçnh làng trủ
,.. .l cạc âa diãûn âàûc biãût.
Âãø biãøu diãùn mäüt âa diãûn ta chè cáưn biãøu diãùn cạc cảnh hồûc cạc âènh ca
âa diãûn âọ. Chụ cạc cảnh nàòm bãn trong cạc âỉåìng bao trãn hai hçnh chiãúu
phi âỉåüc xẹt tháúy khút.
8.3.2-Biãøu diãùn tỉï diãûn :
Hçnh-8.9 biãøu diãùn mäüt tỉï diãûn SABC. Trãn hçnh chiãúu âỉïng âỉåìng gáùy
khục kên S
2
A
2
B
2
C
2

l âỉåìng bao quanh hçnh chiãúu âỉïng, trãn hçnh chiãúu bàòng
âỉåìng gáùy khục kên S
1
B
1
A
1
C
1
l âỉåìng bao quanh hçnh chiãúu bàòng .
Hçnh-8.8
f'
2
v
1
f
2

h
2

v
2

O
2

f
1


h
1

v'
1
O'
1
O
1

M'
1
M
1
Hçnh-8.7

45
Cạc cảnh S
1
A
1
, B
1
C
1
åí hçnh
chiãúu bàòng v S
2
B
2

,A
2
C
2
åí hçnh chiãúu
âỉïng âỉåüc xẹt tháúy khút nhåì cạc âiãøm
cng tia chiãúu âỉïng v cng tia chiãúu
bàòng nhỉ â biãút.
Gi sỉí biãút M
2
ca âiãøm M
thüc tỉï diãûn, hy v M
1
. Dãù tháúy cọ
hai âiãøm M m cạc hçnh chiãúu âỉïng
ca chụng trng nhau , mäüt màût thüc
SAB, mäüt màût thüc SAC. p dủng
bi toạn cå bn thüc cạc màût phàóng
trãn, ta v âỉåìng SM chàóng hản. ÅÍ
hçnh chiãúu bàòng tháúy r hai âiãøm M
1

v M’
1
.
8.3.3-Biãøu diãùn màût thạp :
Biãøu diãùn mäüt màût thạp khi biãút màût phàóng âạy, chiãưu cao v cạc chán.
Hçnh-1.8 cho vê dủ vãư viãûc biãøu diãùn mäüt màût thạp m màût âạy xạc âënh båíi
hçnh vng cọ tám l O v mäüt cảnh nàòm trãn âỉåìng bàòng h.
Âãø xáy dỉûng hçnh vng ta

cọ thãø sỉí dủng cạc phẹp biãún âäøi â
biãút , nhỉ phẹp gáûp â nọi åí cạc
pháưn trãn. ÅÍ âáy s sỉí dủng
phỉång phạp thay âäøi màût phàóng
hçnh chiãúu âỉïng âỉa màût phàóng âạy
tråí thnh chiãúu âỉïng khi chn trủc
x’ vng gọc våïi hçnh chiãúu bàòng
âỉåìng bàòng h
1
.Cạch dỉûng cạc cảnh
ca hçnh vng, âènh ca màût thạp
v viãûc xạc âënh cạc hçnh chiãúu ban
âáưu ca cạc âiãøm S,A,B,C,D âỉåüc
chè r trãn hçnh-8.10. Hçnh v cng
trçnh by mäüt âiãøm M thüc màût
thạp.
8.3.4-Biãøu diãùn màût làng trủ :
Hçnh-8.9
S
2
A
2
B
2
C
2
M
2
≡M'
2

C
1
A
1
B
1
S
1
M'
1
M
1
h
2
Hçnh-8.10
S
2
C
2
A
2
B
2
D
2
O
2
S
1
S'

1
A
1
D
1
C
1
B
1
O
1
h
1
x'

α'
1

46
n Hon ton tỉång tỉû nhỉ âäúi
våïi màût thạp. Hçnh-8.11 trçnh by
cạch dỉûng mäüt màût làng trủ biãút
âạy ABC thüc màût phàóng P
1
v
mäüt cảnh CD , âäưng thåìi làng trủ
náưy cọ màût âạy thỉï hai DEF vng
gọc våïi cạc cảnh. Phỉång phạp sỉí
dủng âån gin l âỉa cạc cảnh ca
làng trủ thnh âỉåìng màût nhåì phẹp

thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu
âỉïng måïi. Hçnh v cng chè r cạc
hçnh chiãúu ca mäüt âiãøm M thüc
làng trủ â cho.



8.4-BIÃØU DIÃÙN MÀÛT CONG:
8.4.1-Cạc khại niãûm v qui tàõc biãøu diãùn:
Ta cọ thãø xem màût cong l q têch ca mäüt âỉåìng chuøn âäüng theo mäüt qui
lût hçnh hc nháút âënh. Âỉåìng chuøn âäüng gi l âỉåìng sinh . Âỉåìng sinh cọ
thãø l âỉåìng thàó
ng hồûc âỉåìng cong v cọ thãø biãún dảng trong quạ trçnh hçnh
thnh màût.
Nãúu âỉåìng sinh l âỉåìng thàóng thç màût tảo thnh gi l màût k. Cọ loải
màût k khai triãùn âỉåüc v màût k khäng khai triãøn âỉåüc.
Nhỉỵng màût hçnh hc thỉåìng gàûp l: Màût nọn ,màût trủ , màût cáưu, elipsoit,
hypebolit, paraboloit , màût xuún , màût xồõn
Biãøu diãùn mäüt màût l biãøu diãùn mäüt säú thnh pháưn ca màût â xạc âënh
màût âọ. Âãø dãù hçnh dung ta thỉåìng biãøu diãùn màût bàòng âỉåìng bao hçnh chiãúu v
âỉåìng chuøn tiãúp ca màût trãn hçnh chiãúu.
8.4.1-Màût nọn:
Màût nọn l màût tảo th
nh båíi âỉåìng thàóng chuøn âäüng âi qua mäüt âiãøm cäú
âënh gi l âènh ca màût nọn v tỉûa trãn mäüt âỉåìng cong gi l âỉåìng chøn
ca nọn.
Hçnh-8.11
A
2
B

2
C
2
M
2
F
2
E
2
D
2
x

x'

A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
D'
2
E'

2
F'
2
α'
2
M
1
M'
1