23

PhỏửnII:
CAẽC PHặNG PHAẽP C BAN


Chổồng nm GIAO CUA CAẽC KHNG GIAN CON

5.1-GIAO CUA HAI ặèNG THểNG
Xem muỷc 3.5, chổồng 3, phỏửn I.
5.2-GIAO CUA HAI MT PHểNG
5.2.1-Giao cuớa mọỹt mỷt phúng vaỡ mọỹt mỷt phúng chióỳu:
Nóỳu mọỹt trong hai mỷt phúng laỡ mỷt phúng chióỳu thỗ mọỹt hỗnh chióỳu
cuớa giao tuyóỳn truỡng vồùi hỗnh chióỳu suy bióỳn cuớa mỷt phúng chióỳu. óứ xaùc
õởnh hỗnh chióỳu thổù hai cuớa giao tuyóỳn, aùp duỷng baỡi toaùn õổồỡng thúng thuọỹc
mỷt phúng coỡn laỷi.
Vờ duỷ: Veợ giao tuyóỳn cuớa mỷt phúng chióỳu õổùng vaỡ mỷt phúng (a,b).
(H-1.1)
Giaới: Goỹi g laỡ giao tuyóỳn cuớa hai
mỷt phú
ng vaỡ (a,b). Vỗ vuọng goùc P
2

nón hỗnh chióỳu õổùng cuớa noù laỡ õổồỡng
thúng
2
. Do õoù bióỳt g
2

2

.
ổồỡng thúng g cuợng laỡ õổồỡng thúng
cuớa mỷt phúng (a,b), hỗnh chióỳu õổùng g
2

õaợ bióỳt ,nón dóự daỡng suy ra g
1
theo baỡi
toaùn cồ baớn 1 trón mỷt phúng (a,b).

Hỗnh-5.1
5.2.2-Giao cuớa hai mỷt phúng bỏỳt kyỡ:
Trong trổồỡng hồỹp tọứng quaùt ,õóứ tỗm
giao tuyóỳn g cuớa hai mỷt phúng vaỡ ta
phaới xaùc õởnh hai õióứm chung naỡo õoù cuớa
giao tuyóỳn bũng phổồng phaùp phuỷ trồỹ.Nọỹi
dung cuớa phổồng phaùp nỏửy gọửm ba bổồùc
nhổ sau: (H-5.2)
-Duỡng mỷt phúng phuỷ trồỹ laỡ mỷt
phúng chióỳu cừt caớ hai mỷt phúng vaỡ .
I
1
I
2
b
1
a
1
b
2

a
2
x

A
2
B
2
B
1
A
1

2
g
2
g
1
Hỗnh-5.2





'

g
I
J
m

m'
n
n'

24
-Veợ caùc giao tuyóỳn phuỷ trồỹ
m = x vaỡ n = x .
-Veợ giao õióứm I cuớa caùc giao tuyóỳn phuỷ trồỹ m vaỡ n. Dóự daỡng thỏỳy rũng I
laỡ mọỹt õióứm thuọỹc giao tuyóỳn g cuớa caùc mỷt phúng vaỡ cỏửn tỗm.
Tổồng tổỷ , duỡng mọỹt mỷt phúng phuỷ trồỹ thổù hai ta seợ tỗm thóm mọỹt
õióứm J naỡo õoù thuọỹc giao tuyóỳn g.
I vaỡ J xaùc õởnh giao tuyóỳn g cuớa vaỡ .
Vờ duỷ : Veợ giao tuyóỳn g cuớa mỷt phúng (a,b) vaỡ mỷt phúng (c,d). (H-5.3)
Giaới:
-Duỡng mỷt phúng phuỷ trồỹ laỡ mỷt phúng chióỳu õổùng .Hỗnh chióỳ
u õổùng
cuớa laỡ õổồỡng thúng
2
.
-Veợ caùc giao tuyóỳn phuỷ trồỹ ( aùp duỷng trổồỡng hồỹp õỷc bióỷt ồớ trón).
- m = x (a,b) ; m
2

2
, suy ra m
1

- n = x (c,d) ; n
2


2
, suy ra n
1

-Veợ giao õióứm cuớa hai giao tuyóỳn phuỷ trồỹ :
I = m x n ; I
1
= m
1
x n
1
, suy ra I
2
.
Tổồng tổỷ ta duỡng mỷt phúng phuỷ trồỹ thổù hai . óứ thuỏỷn lồỹi ta coù thóứ
duỡng song song vỗ luùc õoù caùc giao tuyóỳn phuỷ trồỹ mồùi seợ tổồng ổùng song
song vồùi m vaỡ n. Ta õổồỹc õióứm thổù hai J cuớa giao tuyóỳn.
I vaỡ J xaùc õởnh giao tuyóỳn g cỏửn tỗm.













Hỗnh-5.3

b
1
a
1
b
2
g
1
d
2
I
1
I
2
a
2
x

A
2
B
2
B
1
A
1

2

m
2
n
2
n
1
c
1
c
2
m'
1
d
1
C
2
D
2
J
2
C
1
J
1
D
1
m
1
n'
1

'
2
m'
2
n'
2
g
2

25
Nóỳu hai mỷt phúng vaỡ
õóửu bióứu dióựn bũng vóỳt thỗ vióỷc veợ
giao tuyóỳn cuớa chuùng rỏỳt õồn giaớn
.Giao õióứm cuớa hai cỷp vóỳt truỡng tón
m

, m

vaỡ n

, n

cho ta hai õióứm I,
J cuớa giao tuyóỳn g cỏửn tỗm. (H-5.4)


5.3-GIAO CUA ặèNG THểNG VAè MT PHểNG
5.3.1-Giao cuớa mọỹt õổồỡng thúng vaỡ mọỹt mỷt phúng chióỳu:
Trổồỡng hồỹp nỏửy mọỹt hỗnh chióỳu cuớa giao õióứm xem nhổ õaợ bióỳt, noù chờnh
laỡ giao giổợa hỗnh chióỳu suy bióỳn cuớa mỷt phúng chióỳu vaỡ hỗnh chióỳu cuỡng tón

cuớa õổồỡng thúng. óứ tỗm hỗnh chióỳu coỡn laỷi, aùp duỷng baỡi toaùn õióứm thuọỹc õổồỡng
thúng.
Vờ duỷ: Veợ giao õióứm A cuớa õổồỡng thúng d vồùi mỷt phúng chióỳu õổùng
.(H-5.5)
Giaới: Vỗ vuọng goùc P
2
nón bióỳt A
2
= d
2
x
2
, dóự daỡng suy ra A
1
d
1
.
5.3.2-Giao cuớa mọỹt õổồỡng thúng chióỳu vaỡ mọỹt mỷt phúng:
Trổồỡng hồỹp nỏửy mọỹt hỗnh chióỳu cuớa giao õióứm cuợng xem nhổ õaợ bióỳt, noù
truỡng vồùi hỗnh chióỳu suy bióỳn cuớa õổồỡng thúng chióỳu. óứ tỗm hỗnh chióỳu coỡn laỷi,
aùp duỷng baỡi toaùn õióứm thuọỹc mỷt phúng.
Vờ duỷ: Veợ giao õióứm I cuớa õổồỡng thúng chióỳu bũng d vaỡ mỷt phúng
(a,b). (H-5.6)
Giaới: Vỗ d vuọng goùc P
1
nón bióỳt I
1
d
1
. Aùp duỷng baỡi toaùn õióứm thuọỹc

mỷt phúng (a,b) veợ õổồỹc I
2
.








Hỗnh-5.5 Hỗnh-5.6
Hỗnh-5.4

x
m


I
2

J
1

J
2

n



m


n


I
1

g
1

g
2

I
1
d
1
I
2
b
1
a
1
b
2
a
2
x


A
2
B
2
B
1
A
1
c
2
c
1
I
2
d
1
d
2
x

I
1

2

26
5.3.3-Giao cuớa mọỹt õổồỡng thúng vaỡ mọỹt mỷt phúng bỏỳt kyỡ - Qui ổồùc thỏỳy
khuỏỳt trón hỗnh chióỳu :
Trổồỡng hồỹp caớ õổồỡng thúng vaỡ

mỷt phúng õóửu cho ồớ vở trờ bỏỳt kyỡ, ta sổớ
duỷng phổồng phaùp mỷt phúng phuỷ trồỹ
õóứ õi tỗm giao õióứm gọửm ba bổồùc nhổ
sau: (H-5.7)
-Duỡng mỷt phúng phuỷ trồỹ laỡ
mỷt phúng chióỳu vaỡ chổùa õổồỡng thúng
d.
-Veợ giao tuyóỳn phuỷ trồỹ g cuớa
vaỡ .
-Veợ giao õióứm I cuớa giao tuyóỳn
phuỷ g vaỡ õổồỡng thúng d.

Vờ duỷ: Veợ giao õióứm I cuớa õổồỡng thúng d vaỡ mỷt phúng A B C. (H-5.8)













Hỗnh-5.8 Hỗnh-5.9
Giaới:
-Choỹn mỷt phúng chióỳu õổùng thuọỹc õổồỡng thúng d laỡm mỷt phuỷ trồỹ: Vỗ
vuọng goùc P

2
nón
2
d
2
.
A'
I
d


g
Hỗnh-5.7
B
2
A
2
C
2
C
1
A
1
B
1
I
2
I
1


2

g
2
g
1
d
1
d
2
A
2
B
2
C
2
C
1
A
1
B
1
I
2
I
1
J
2
K
2

J
1
K
1
L
2
M
2
M
1
L
1

27
-V giao tuún g ca ϕ v màût phàóng A B C theo trỉåìng håüp biãút mäüt
giao tuún : g
2
≡ ϕ
2
.
-V giao âiãøm I ca g v d: Láúy I
1
= g
1
x d
1
, suy ra I
2
.
Qui ỉåïc vãư tháúy khút trãn hçnh chiãúu:

Sau khi v giao âiãøm ca âỉåìng thàóng v màût phàóng ( cng nhỉ giao cạc
úu täú khạc), âãø gáy áún tỉåüng näøi , ta qui ỉåïc vãư tháúy khút nhỉ sau:
Màõt ngỉåìi quan sạt âàût åí phêa trỉåïc v phêa trãn cạc hçnh âỉåüc quan sạt,
nhçn theo hỉåïng chiãúu ca tỉìng màût phàóng hçnh chiãúu. Do âọ :
-Hai âiãøm cng tia chiãúu bàòng , âiãøm no cao hån s âỉåüc tháúy trãn
hçnh chiãúu bàòng.
-Hai âiãøm cng tia chiãúu âỉïng , âiãøm no xa hån s âỉåüc tháúy trãn
hçnh chiãúu âỉïòng.
Màût phàóng âỉåüc xem nhỉ khäng trong sút.
p dủng qui ỉåïc tháúy khút :Trãn hçnh-5.9, J cao hån K nãn J
1
tháúy . L
xa hån M nãn L
2
tháúy .Pháưn âỉåìng thàóng bë che khút âỉåüc v bàòng nẹt âỉït.
5.4-GIAO CA BA MÀÛT PHÀĨNG :
Cho ba màût phàóng α , β , γ. Giao tuún ca hai màût phàóng α v β l mäüt
âỉåìng thàóng d ; âỉåìng thàóng náưy càõt màût phàóng thỉï ba γ tải mäüt âiãøm O gi l
âiãøm chung ca ba màût phàóng. Nhỉỵng giao tuún ca ba màût phàóng ,tỉìng âäi
mäüt s âi qua âiãøm O. Viãûc xẹt tháúy khút s tn theo hai dáúu hiãûu nhỉ sau:
-Tháúy khút ca mäüt giao tuún ca hai màût phàóng no âọ phi âỉåüc so
sạnh thãm våïi màût phàóng thỉï ba.
-Tháúy khút ca mäüt âỉåìng thàó
ng thüc mäüt màût phàóng no âọ phi
âỉåüc so sạnh våïi hai màût phàóng cn lải.
ỈÏNG DỦNG: Qua âiãøm
M v mäüt âỉåìng thàóng càõt c
hai âỉåìng thàóng â cho a,b.
Gii : Âỉåìng thàóng â
cho xạc âënh båíi giao tuún

ca hai màût phàóng (M,a) v
(M,b). (H-5.10) Âãø tçm âiãøm
thỉï hai thüc giao tuún , ta cọ
thãø tçm giao âiãøm ca âỉåìng
thàóng a våïi màût phàóng (M,b).
Hçnh-5.10
a
2
≡ϕ
2
≡g
2
b
1
a
1
b
2
x

M
2
N
2
N
1
M
1
b'
2

b'
1
L
1
L
2

28
Trón hỗnh veợ mỷt phúng (M,b) õaợ chuyóứn thaỡnh (b,b') ,sổớ duỷng mỷt phúng phuỷ
trồỹ chióỳu õổùng a ta dóự daỡng tỗm õổồỹc tỗm õióứm N. ổồỡng thúng cỏửn dổỷng
xaùc õởnh bồới hai õióứm M,N seợ cừt b taỷi mọỹt õióứm L


































29

Chổồng saùu :
CAẽC BAèI TOAẽN Vệ LặĩNG


6.1-KHOANG CAẽCH GIặẻA HAI IỉM
Giaớ sổớ coù õoaỷn thúng AB õổồỹc bióứu dióựn bũng caùc hỗnh chióỳu bũng A1B1
. Xaùc õởnh õọỹ daỡi cuớa AB theo caùc hỗnh chióỳu ỏỳy.(H-6.1)
Veợ AC // A
1
B
1
. Ta coù AC= A
1
B

1
; BC bũng hióỷu õọỹ cao cuớa A vaỡ B ; AB
laỡ caỷnh huyóửn cuớa tam giaùc vuọng ABC vồùi caùc caỷnh goùc vuọng nhổ trón. Goùc
cuớa AB vaỡ AC laỡ goùc cuớa AB vồùi A
1
B
1
, tổùc laỡ goùc cuớa AB vồùi P
1
.
Vỏỷy trón õọử thổùc , muọỳn veợ õọỹ lồùn cuớa AB vaỡ goùc cuớa AB vồùi P
1
, ta veợ
nhổ hỗnh hoỹc phúng mọỹt tam giaùc vuọng vồùi mọỹt caỷnh goùc vuọng bũng A
1
B
1
, vaỡ
caỷnh kia bũng hióỷu õọỹ cao cuớa AB. Caỷnh huyóửn cuớa tam giaùc vổỡa veợ laỡ õọỹ lồùn
cuớa AB. Goùc nhoỹn ổùng vồùi A
1
B
1
laỡ goùc cuớa AB õọỳi vồùi P
1
. Phổồng phaùp trón
coỡn goỹi laỡ phổồng phaùp tam giaùc. (H-5.2) Vồùi phổồng phaùp tam giaùc ta dóự
daỡng xaùc õởnh hai yóỳu tọỳ khi bióỳt hai yóỳu tọỳ coỡn laỷi.
Tổồng tổỷ, ta cuợng coù mọỹt tam giaùc vuọng trón hỗnh chióỳu õổùng vaỡ coù thóứ
veợ õổồỹc õọỹ lồùn AB laỡ caỷnh huyóửn cuớa mọỹt tam giaùc vuọng coù caỷnh goùc vuọng laỡ

hỗnh chióỳu õổùng A
2
B
2
,caỷnh kia bũng hióỷu õọỹ xa cuớa AB. Vồùi tam giaùc nỏửy ta coù
goùc nghióng cuớa AB vồùi P
2
.












Hỗnh-6.1 Hỗnh-6.2

Vờ duỷ: Xaùc õởnh õọỹ daỡi cuớa õoaỷn thúng caỷnh AB. (H-6.3)
A
P1
P2
C

A
1

B
1
x
B

Hióỷu õọỹ cao A,B
A
1
B
0
=AB
= (AB/P
1
)
A
2
A
1
B
1
B
2

(cao A,B)
(cao A,B)
B
0
x