Câu 470: [2H2-1.6-3] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính

phải làm một cái phễu

bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của
hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình
nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như
sau:
Gọi
là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa).
Khi đó
Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là
Thể tích khối nón sẽ là:
Đến đây các em đạo hàm hàm

tìm được GTLN của

đạt được khi

Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:
Câu 486: [2H2-1.6-3] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của là:
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B
Thể tích của cốc:
Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

(theo BĐT Cauchy)

.

D.

với chiều cao

.


nhỏ nhất

.

Câu 501: [2H2-1.6-3] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình
vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là

, bán kính đáy cốc là
, bán kính miệng cốc là
.
Một con kiến đang đứng ở điểm
của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để
lên đến đáy cốc ở điểm . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định
của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?
A.
B.
C.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như
trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của
một khuyên với cung nhỏ
và cung lớn
.

Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số
cosin ta được:

.

Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được
Ghi chú. Để tồn tại Lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung
tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của


tại

tại điểm nào khác B,

B. Điều này tương đương với

Tuy nhiên, trong Lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài
cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).


Câu 470: [HH12.C2.1.D06.c] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính

phải làm một cái

phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn
của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình
nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như
sau:
Gọi
là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa).
Khi đó
Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là
Thể tích khối nón sẽ là:

Đến đây các em đạo hàm hàm

tìm được GTLN của

đạt được khi

Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:
Câu 486: [HH12.C2.1.D06.c] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
chiều cao là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của là:
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B
Thể tích của cốc:
Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

(theo BĐT Cauchy)

.

D.


.

với


nhỏ nhất

.

Câu 501: [HH12.C2.1.D06.c] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược
như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là
, bán kính đáy cốc là
, bán kính miệng cốc
là
. Một con kiến đang đứng ở điểm
của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than
cốc để lên đến đáy cốc ở điểm . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được
dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?
A.
B.
C.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như
trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của
một khuyên với cung nhỏ
và cung lớn

.

Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số
cosin ta được:

.

Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được
Ghi chú. Để tồn tại Lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung
tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của

tại

tại điểm nào khác B,

B. Điều này tương đương với

Tuy nhiên, trong Lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài
cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).
Câu 43:
[2H2-1.6-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho
mặt nón tròn xoay đỉnh
đáy là đường tròn tâm
có thiết diện qua trục là


một tam giác đều cạnh bằng . ,
là hai điểm bất kỳ trên
khối chóp
đạt giá trị lớn nhất bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

. Thể tích
.

Lời giải
Chọn B

Ta có

. Lại có

Mặt khác

,

.
.


Do đó thể tích khối chóp

đạt giá trị lớn nhất khi

Khi đó

.

.

Câu 42. [2H2-1.6-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép
bán kính , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành
một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là . Tìm để thể tích khối nón tạo thành nhận
giá trị lớn nhất.
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn A

Chu vi đường tròn đĩa là:
.

Chu vi đường tròn đáy của hình nón là:
Bán kính đường tròn đáy hình nón là:
Chiều cao của hình nón là:

.
.

.

D.

.


Thể tích khối nón là:

.

.

.
Câu 43: [2H2-1.6-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu
nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao của hình nón có
thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính
cho trước.
A.

B.

C.


D.

Lời giải
Chọn D

Gọi chiều cao của hình nón là

,

Thể tích của hình nón là

. Gọi bán kính đáy của hình nón là
.

ta có

.

Mặt khác ta lại có

. Vậy

. Dấu

xảy ra khi

Câu 40:
[2H2-1.6-3] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 BTN) Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình
tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình

quạt tròn
rồi dán hai bán kính
và
lại với nhau (diện tích chỗ
dán nhỏ không đáng kể). Gọi
là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu.
Tìm để thể tích phễu lớn nhất?


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Dựa vào hình vẽ, độ dài cung

lớn bằng


, bán kính hình nón

Đường cao của hình nón
Thể tích khối nón (phễu)
Theo Cauchy ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi

. Vậy thể tích phễu lớn nhất khi

.
Câu 1373:

[2H2-1.6-3] [BTN 163 - 2017] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
với chiều cao là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của

là:
A.

.

B.

.

C.


.

D.

Lời giải
Chọn A
Thể tích của cốc:

.

Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.
.
.
(theo BĐT Cauchy).
nhỏ nhất

.

.


Câu 2150.
[2H2-1.6-3] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) -2017] Bạn A có một tấm bìa hình tròn
(như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải
cắt bỏ phần quạt tròn
rồi dán hai bán kính
và
lại với nhau. Gọi là góc ở tâm
của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của để thể tích phễu lớn nhất là.


.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Không mất tính tổng quát ta chọn
Khi đó, hình nón có đường sinh bằng

.
và chu vi đáy bằng

và chiều cao bằng

(rad) nên có bán kính đáy bằng

.


Thế tích phễu bằng

.

Xét hàm số

với

.

Ta có:

.

Cho

Tính

.

,

,

nên thể tích phễu lớn nhất khi

.

Câu 273. [2H2-1.6-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình nón đỉnh , đáy là hình

tròn tâm , góc ở đỉnh bằng
. Trên đường tròn đáy, lấy điểm
cố định và điểm
di
động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm
để diện tích tam giác
đạt giá trị lớn nhất?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. vô số.
Lời giải
Chọn A


Gọi

là bán kính đáy của hình nón.

Vì góc ở đỉnh

.

Suy ra
Gọi

.
là trung điểm của

và đặt


Ta có:

.
,

Diện tích tam giác

.

bằng

đạt được khi

. Tức là

Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của

.

thỏa yêu cầu.

Câu 274. [2H2-1.6-3] [2H2-4.1-3] [PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN-2017] Trong các hình nón nội tiếp một
hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất.
A. Đáp án khác.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D


Giả sử chóp đỉnh
vuông tại

như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất.
Ta thấy

là bán kính đáy của chóp,

là chiều cao của chóp.


trên

.

Câu 275. [2H2-1.6-3] [CHUYÊN ĐH VINH-2017] Cho nửa đường tròn đường kính
thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt

và gọi

và điểm

là hình chiếu vuông góc của

. Tìm
sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
đạt giá trị lớn nhất.
A.


.

B.

.

C.

.

D.

lên

quanh trục
.

Lời giải
Chọn C

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác

quanh trục

là

.
Đặt

Vậy


lớn nhất khi

khi

.

 Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm
Câu 276. [2H2-1.6-3] [SỞ GD BẮC NINH-2017] Cho một hình nón
Đường kính

và đường cao

vuông góc với
đáy là hình tròn

tại

. Cho điểm

có đáy là hình tròn tâm

thay đổi trên đoạn thẳng

và cắt hình nón theo đường tròn

.

. Mặt phẳng


. Khối nón có đỉnh là

và

có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B
Gọi

là mặt phẳng qua trục của hình nón

cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn
giao điểm của
và
tại .Suy ra tam giác

.Ta có:
vuông cân tại

Thể tích khối nón có đỉnh là


cắt hình nón

theo thiết là tam giác

theo thiết diện là tam giác
.Do đó tam giác
.Đặt

và đáy là hình tròn
.

là:

, gọi

,
là

vuông cân


Bảng biến thiên:

Câu 291. [2H2-1.6-3] Cho hình nón đỉnh , chiều cao là . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy
và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh
đã cho (hình vẽ). Tính
chiều cao của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết
.

A.


.

B.

.

C.

.

Lời giải
Chọn A

Từ hình vẽ ta có

.

Thể tích khối nón cần tìm là:
Xét hàm số

.
.

D.

.


Ta có

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của nó là

;

.
Câu 470: [2H2-1.6-3] Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính

phải làm một cái phễu

bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của
hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình
nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như
sau:
Gọi
là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa).
Khi đó
Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là
Thể tích khối nón sẽ là:
Đến đây các em đạo hàm hàm

tìm được GTLN của


đạt được khi

Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:
Câu 486: [2H2-1.6-3] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
là và bán kính đáy là để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

với chiều cao

.


Lời giải
Chọn B
Thể tích của cốc:
Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.


(theo BĐT Cauchy)

nhỏ nhất

.

Câu 501: [2H2-1.6-3] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình
vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là
, bán kính đáy cốc là
, bán kính miệng cốc là
.
Một con kiến đang đứng ở điểm
của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để
lên đến đáy cốc ở điểm . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định
của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?
A.
B.
C.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như
trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của
một khuyên với cung nhỏ
và cung lớn
.

Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số

cosin ta được:


.

Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được
Ghi chú. Để tồn tại Lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung
tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của

tại

tại điểm nào khác B,

B. Điều này tương đương với

Tuy nhiên, trong Lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài
cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).
Câu 7358:[2H2-1.6-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2 - 2017] Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng
làm các chiếc cốc hình nón không nắp bằng nhôm có thể tích là
. Để tiết kiệm sản
suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất những chiếc cốc hình nón có bán kính
miệng cốc là
sao cho diện tích nhôm cần sử dụng là ít nhất. Tính ?
A.

.

B.

.


C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

.
.

.

Dấu bằng xảy ra khi

.

Câu 7369:[2H2-1.6-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng Lần 6 - 2017] Một công ty sản xuất một loại cốc giấy
hình nón có thể tích
. Với chiều cao
và bán kính đáy là . Tìm
để lượng giấy tiêu
thụ ít nhất.


A.


.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có:

suy ra độ dài đường sinh là:
.

Diện tích xung quanh của hình nòn là:

.

Áp dụng BDDT Cosi ta được giá trị nhỏ nhất là khi

.


Câu 37:
[2H2-1.6-3]
(THPT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc - 2018 - BTN –
6ID – HDG) Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể
tích
, với chiều cao
và bán kính đáy . Giá trị để lượng giấy
tiêu thụ ít nhất:
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B
Ta có thể tích cốc hình nón
Khi đó

.

. Suy ra

.

Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì diện tích xung quanh phải nhỏ nhất.
Ta xét


.

.

Vậy để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì

.