Câu 45.

[1D2-2.7-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho đa giác đều
nội tiếp trong đường tròn

đa giác đó.
A.
.

. Tính số hình chữ nhật có các đỉnh là

B.

.

C.

.

trong
D.

đỉnh của
.

Lời giải
Chọn A
Trong đa giác đều
xứng với

nội tiếp trong đường tròn

qua

cứ mỗi điểm

ta được một đường kính, tương tự với

đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều

có một điểm

đối

. Có tất cả

. Cứ hai đường kính đó ta được một

hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có

hình chữ nhật tất cả.

Câu 31: [1D2-2.7-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tập
gồm
điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có điểm nào thẳng hàng. Tìm
sao cho số
tam giác có đỉnh lấy từ điểm thuộc
gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ điểm thuộc .
A.
B.
C.

D.
Lời giải
Chọn C
Theo đề bài:
(1) (với
,
)
.

Câu 1403: [1D2-2.7-3] Cho hai đường thẳng song song
. Trên đường thẳng
lấy
điểm phân biệt, trên
lấy
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ
vừa nói trên.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau:
Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào
và một đỉnh thuộc vào
Số cách chọn bộ hai điểm trong

Số cách chọn một điểm trong
Loại này có:

:

.

điểm thuộc

:

.

tam giác.

Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào
Số cách chọn một điểm trong

và hai đỉnh thuộc vào
thuộc

Số cách chọn bộ hai điểm trong
Loại này có:

thuộc

.

:


điểm thuộc

.

.
:

.

tam giác.

Vậy có tất cả:

tam giác thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 1408: [1D2-2.7-3] Nếu một đa giác đều có
A. . B. .
C.
Chọn A
Cứ hai đỉnh của đa giác
đường chéo).
Khi đó số đường chéo là:

.

đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:
D. .
Lời giải
đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác và



(vì

).

Câu 1409: [1D2-2.7-3] Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn C
Đa giác có

cạnh

.

Số đường chéo trong đa giác là:

.

Ta có:

.

Câu 1411: [1D2-2.7-3] Cho hai đường thẳng
và
song song với nhau. Trên
có 10 điểm phân biệt, trên

có điểm phân biệt (
). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm ?
A. 20.
B. 21.
C. 30.
D. 32.
Lời giải
Chọn A
Tam giác cần lập thuộc hai loại:
Loại 1: Tam giác có một đỉnh thuộc d1 và hai đỉnh thuộc d2. Loại này có
tam giác.
Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc d2 và hai đỉnh thuộc d1. Loại này có

tam giác.

Theo bài ra ta có:
.

Câu 1412: [1D2-2.7-3] Cho đa giác đều
là trong
điểm
A. 3.

. Tìm
B. 6.

nội tiếp trong đường tròn tâm . Biết rằng số tam giác có đỉnh
lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là trong
điểm


gấp

?

Chọn C
Số tam giác có các đỉnh là

C. 8.

trong

D. 12.
Lời giải

điểm

là:

.

Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm
của đa giác
cho tương ứng một hình chữ nhật có
đỉnh là điểm trong
điểm
và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng
hai đường chéo đi qua tâm
của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n nên số hình chữ
nhật có đỉnh là trong
điểm bằng

.
Theo giả thiết:

.

Câu 3669.
[1D2-2.7-3] Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều
chéo là:
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

cạnh được vẽ thì số đường
D.

.

Chọn D
Cứ đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).
Khi đó có
cạnh.

Số đường chéo là:
.
Câu 44: [1D2-2.7-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2017 - 2018 - BTN) Cho đa giác đều
đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn
?


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Gọi ,

,…,

Gọi


là các đỉnh của đa giác đều

đỉnh.

là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều

Các đỉnh của đa giác đều chia
bằng

thành

.
cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo

.

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp
của

.

Suy ra góc lớn hơn
sẽ chắn cung có số đo lớn hơn
Cố định một đỉnh . Có
cách chọn .
Gọi

,


,

là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho
và tam giác

Khi đó

,

thì

là tam giác cần đếm.

là hợp liên tiếp của nhiều nhất

cung tròn này có
đỉnh

.

cung tròn nói trên.

đỉnh. Trừ đi đỉnh

thì còn

đỉnh. Do đó có

cách chọn hai


.

Vậy có tất cả

tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phân tích sai lầm khi giải bài tập này:
Giả sử

Tức là cung

thì cung

(không chứa điểm

(không chứa điểm

) sẽ có số đo lớn hơn

.

) sẽ là hợp liên tiếp của ít nhất

cung tròn bằng nhau nói trên.
Từ đó ta có cách dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau:
+ Bước 1: Đánh dấu một cung tròn là hợp liên tiếp của
cung tròn bằng nhau nói trên. Có
2017 - 2018 cách đánh dấu.
+ Bước 2: Trong
điểm không thuộc cung tròn ở bước 1 (bao gồm cả hai

điểm đầu mút của cung), chọn ra
tam giác có một góc lớn hơn
Vậy có tất cả

điểm bất kì, có

cách chọn,

điểm này sẽ tạo thành

.

tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách lập luận này là không chính xác, vì ta chưa trừ đi các trường hợp trùng nhau!
Câu 3040.
A.

[1D2-2.7-3] Nếu một đa giác đều có
.

Chọn A.

B.

.

đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:
C. .
Lời giải


D.

.


Cứ hai đỉnh của đa giác
giác và đường chéo).

đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa

Khi đó số đường chéo là:
(vì

).

Câu 3047.
[1D2-2.7-3] Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao
nhiêu cạnh?
A.

.

Chọn C.
Đa giác có

B.

.


C. .
Lời giải

cạnh

D.

.

Số đường chéo trong đa giác là:

.

Ta có:

.

Câu 678. [1D2-2.7-3] Nếu một đa giác đều có
A.

.

.

B.

đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:

.


C. .
Lờigiải

ChọnA.
Cứ hai đỉnh của đa giác
giác và đường chéo).

D. .

đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa

Khi đó số đường chéo là:
(vì

).

Câu 685. [1D2-2.7-3] Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu
cạnh?
A. .
ChọnC.
Đa giác có

B. .

C. .
Lờigiải

cạnh

D. .


.

Số đường chéo trong đa giác là:

.

Ta có:

.

Câu 597. [1D2-2.7-3] Cho đa giác đều
đường chéo.
A.
.
B.

đỉnh,

và

. Tìm

.

C.
Lời giải

.


biết rằng đa giác đã cho có
D.

.

Chọn D
+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi
suy ra số đường chéo là
+ Đa giác đã cho có

.
đường chéo nên

.

đỉnh là

, trong đó có

cạnh,


+ Giải PT:
.