TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

KHÔNG GIAN LIÊN HỢP

Giảng viên hướng dẫn:
Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên thực hiện:
Danh Huệ Minh
Lớp: Sư phạm Toán-tin K35
MSSV: 1090094

Cần Thơ, tháng 5 năm 2013


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

LỜI CẢM ƠN
Đến nay tôi đã hoàn thành bài luận văn “Không gian liên hợp”. Tôi rất vui
mừng vì mình đã hoàn thành tác phẩm đầu tiên của mình sau 4 năm học, mặc dù trong
quá trình thực hiện tôi đã gặp rất nhiều khó khăn, đấu tranh tư tưởng và có lúc tưởng
chừng đã từ bỏ. Nhưng với sự cổ vũ nhiệt tình của thầy cô và bạn bè tôi cũng đã vượt

qua.
Em xin chân thành cảm ơn Thầy Lê Hồng Đức, người đã tận tình dạy dỗ, động
viên, giúp đỡ và tạo cho em niềm tin trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn trong lớp Sư phạm toán tin k35 đã nhiệt tình
cổ vũ, động viên tinh thần cho tôi vượt qua khó khăn trong quá trình làm luận văn.
Với nguồn kiến thức hạn hẹp của bản thân, tôi đã bắt tay vào nghiên cứu một
vấn đề của toán học, mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi
sai sót. Mong nhận được sự chỉ bảo từ thầy cô và các ý kiến đóng góp của các bạn bè
để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Cần thơ, ngày 03 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Danh Huệ Minh

1

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Trong chương trình đào tạo của nghành Sư phạm Toán-tin học nói riêng cũng
như chương trình đào tạo nhiều nghành của Khoa Sư phạm nói chung đều có học phần
Luận văn tốt nghiệp. Đối với sinh viên, đây là cơ hội để mình tập nghiên cứu, trao dồi
kiến thức cũng như năng lực tự tìm hiểu của bản thân. Trong nhiều loại không gian
xuất hiện trong chương trình giải tích hàm thì không gian liên hợp đóng một vai trò
quan trọng vì mỗi phần tử là một phiếm hàm tuyến tính liên tục nên có nhiều đặc điểm

thú vị.
Qua sự gợi ý của Thầy Lê Hồng Đức, em đã quyết định chọn thực hiện đề tài
“Không gian liên hợp” cho luận văn tốt nghiệp của mình với mục đích trau dồi thêm
vốn kiến thức hạn hẹp đồng thời nâng cao khả năng tự tìm hiểu của bản thân.
2. Mục đích nghiên cứu
Với đề tài “Không gian liên hợp”, em mong muốn tìm hiểu khái niệm, đưa ra
các ví dụ làm rõ định nghĩa, tìm hiểu các tính chất, định lý liên quan đến không gian
liên hợp, đồng thời tìm hiểu về liên hợp của một số không gian liên hợp cụ thể.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tổng hợp tài liệu từ nhiều nguồn: Sách, giáo trình, các tài liệu trên mạng…rồi
phân tích, so sánh, trình bày lại một cách logic theo cách nhìn nhận của bản thân.
4. Nội dung nghiên cứu
Chương I: Nhắc lại các khái niệm, định lý cần thiết để nghiên cứu nội dung
chính.
Chương II: Tìm hiểu về Không gian liên hợp
 Trình bày các khái niệm, các ví dụ, tính chất, định lý liên quan đến

không gian liên hợp.
Trình bày các không gian liên hợp cụ thể và một số bài tập liên quan
đến phiếm hàm tuyến tính.

2

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU........................................................................................................................ 2
MỤC LỤC ................................................................................................................................. 3
PHẦN NỘI DUNG .................................................................................................................... 4
CHƢƠNG I: .............................................................................................................................. 4
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................................................ 4
1.1 Không gian định chuẩn .................................................................................................. 4
1.2 Một số không gian định chuẩn cụ thể ........................................................................... 5
1.3 Không gian Banach ......................................................................................................... 7
1.4 Không gian L( X , Y ) ...................................................................................................... 10
1.5 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm........................................................................ 11
1.6 Không gian Hilbert ....................................................................................................... 12
CHƢƠNG II: ........................................................................................................................... 14
KHÔNG GIAN LIÊN HỢP ................................................................................................... 14
2.1 Định nghĩa ..................................................................................................................... 14
2.2 Chuẩn trong không gian liên hợp ................................................................................ 14
2.3 Ví dụ về không gian liên hợp và phiếm hàm tuyến tính liên tục .............................. 15
2.4 Các tính chất.................................................................................................................. 20
2.5 Hội tụ trong không gian liên hợp, dãy song trực giao ............................................... 22
2.6 Không gian phản xạ, mối liên hệ của không gian liên hợp với không gian Banach
và không gian định chuẩn. ................................................................................................. 24
2.7 Liên hợp của không gian con và không gian thƣơng................................................. 28
2.8 Liên hợp của các không gian c0 , l p ( p  1) ................................................................... 31
BÀI TẬP CHƢƠNG II:...................................................................................................... 35

3

Luận Văn Tốt Nghiệp



GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG I:
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian định chuẩn
1.1.1 Định nghĩa
Một chuẩn trên không gian tuyến tính X là ánh xạ . : X  R thỏa mãn:
i) Với mọi x  X x  0  x  0 .
ii) x   x với x  X ,   K .
iii) x  y  x  y với x, y  X .
Không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn xác định trên nó gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn.
Nhận xét:
Giả sử X là không gian định chuẩn, với mọi x, y  X ta đặt d ( x, y)  x  y thì d là
một khoảng cách trong X . Vậy không gian định chuẩn cũng là không gian mêtric. Do
đó các lý thuyết của không gian mêtric đều áp dụng được cho không gian định chuẩn.
1.1.2 Tính chất
Trong không gian tuyến tính định chuẩn X , .  .
i) Phép cộng và phép nhân với vô hướng là những ánh xạ liên tục trên X
ii) Chuẩn x  x là một ánh xạ liên tục.
1.1.3 Không gian con
Giả sử ( X ,

) là một không gian con tuyến tính định chuẩn và L là một không gian

con tuyến tính của X . Thấy rằng hàm số
L


:X R
x

x

L

 x , (x  L)

4

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

là một chuẩn trên L . Không gian tuyến tính định chuẩn (L,
của không gian tuyến tính định chuẩn ( X ,
Khi đó tôpô trên L sinh ra bởi

L

L

) gọi là không gian con

).


là tôpô cảm sinh trên X sinh ra bởi chuẩn.

1.1.4 Không gian thƣơng
Giả sử L là một không gian con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn X . Ký
hiệu X L  x  x  L : x  X  là tập thương của X theo quan hệ tương đương.
Ta đã biết rằng X L là một không gian tuyến tính với hai phép toán như sau:
x y  x y

 x   x, x, y  X L ,   K
Ta trang bị cho X L một chuẩn như sau:
:X LR
x

x  inf y
yx

(1)

Khi đó, X L là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định trong
(1).
1.1.5 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
a. Định lý
Tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến tính với nhau.
b. Định lý
Giả sử X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, Y là không gian định chuẩn
tùy ý và A : X  Y là toán tử tuyến tính. Khi đó, A liên tục.
1.2 Một số không gian định chuẩn cụ thể
1.2.1 Không gian c0
Không gian c0 là không gian các dãy số thực (hoặc phức) hội tụ đến 0.

Nếu x  1 ,  2 ,...  c0 thì ta có:
|| x || Sup |  n | .
1 n  

1.2.2 Không gian l p , 1  p  

5

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

Không gian l p , 1  p   là không gian các dãy số thực (hoặc phức) x  1 ,  2 ,... sao






1
p

cho || x ||p   | |    .
n
p

 n 1




1.2.3 Không gian l
Không gian l là không gian các dãy số thực (hoặc phức) giới nội
Nếu x  1 ,  2 ,...  l thì ta có:
|| x ||  Sup |  n | .
1 n  

1.2.4 Không gian L p ( E ,  )
Cho một không gian E và một độ đo  trên một   đại số F các tập con của E .
Họ tất cả các hàm số f (x) có lũy thừa bậc p (1  p  ) của mô đun khả tích trên E ,
tức là sao cho

f

p

d là không gian L p ( E ,  ) .

E

Khi E là một tập đo được Lesbesgue trong R K và  là một độ đo Lesbesgue thì ta
viết L p (E ) .
Ta xác định chuẩn:
1


p
p

f    f d 
E


1.2.5 Không gian L 0,1
Giả sử  (t ) là hàm đo được và bị chặn cốt yếu trên 0,1 , có nghĩa là tồn tại tập
A  0,1có độ đo Lebesgue  ( A)  0, sao cho:
Sup |  (t ) | .

t0 ,1\ A

Khi đó,


||  ||  inf  Sup |  (t ) |  ,
A:  ( A)  0 t0,1\ A



6

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

Đó là cận trên cốt yếu của  (t ) và còn được ký hiệu là
vrai Sup |  (t ) | hoặc ess . Sup |  (t ) | .

t0 ,1

t0,1

Gọi L 0,1 là tập hợp tất cả các hàm đo được và bị chặn cốt yếu trên 0,1 . Ta có
L 0,1 là một không gian tuyến tính, và là không gian định chuẩn, với chuẩn || . || .

1.2.6 Các bất đẳng thức tích phân
a. Bất đẳng thức Holder
Giả sử x(t ), y(t ) là hai hàm  đo được trên tập E , p và q là hai số thực sao cho
p  1,

1 1
  1 . Khi đó ta nhận được bất đẳng thức tích phân Holder
p q
1


E

1


p
q
p
q
x(t ) y (t ) d    x(t ) d    y (t ) d 
E
 E



b. Bất đẳng thức Mincovxki
Giả sử x(t ), y(t ) là hai hàm  đo được trên tập E , p và là số thực và p  1 . Khi đó
ta nhận được bất đẳng thức tích phân Mincovxki
1

1

1


p 
p 
p
p
p
p
  x(t )  y (t ) d     x(t ) d     y (t ) d 






E

E

E



1.3 Không gian Banach
1.3.1 Định nghĩa
Không gian tuyến tính định chuẩn (X , . ) được gọi là không gian Banach nếu X với
metric d ( x, y)  x  y là không gian metric đầy đủ. Như vậy X là không gian Banach
khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
1.3.2 Chuỗi trong không gian Banach
a. Định nghĩa
Giả sử X là không gian định chuẩn và xn  là một dãy trong X .

7

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh



Tổng hình thức x1  x2  ...  xn  ...   xi (1) gọi là chuổi trong không gian Banach
i 1

X.
n

Với mọi n  1 , đặt S n  x1  x2  ...  xn   xi , S n được gọi là tổng riêng thứ
i 1


n của chuỗi (1).

Chuỗi (1) gọi là hội tụ tới S  X và gọi S là tổng của (1) nếu lim S n  S
n 

Chuỗi



x
i 1

i

gọi là hội tụ tuyệt đối nếu




i 1

xi hội tụ.

b. Các định lý
Không gian tuyến tính định chuẩn X là Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ
tuyệt đối trong X đều hội tụ.
Giả sử X là không gian Banach, M là không gian con đóng của X . Khi đó
M và không gian thương X \ M là không gian Banach.


Với chuẩn M được xác định bởi x M  x , x  M và chuẩn trên X \ M xác
định bởi x  M  inf  x  y : y  M .
1.3.3 Toán tử tuyến tính liên tục
a. Toán tử tuyến tính
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường số K , ánh xạ
A : X  Y được gọi là một ánh xạ tuyến tính hoặc toán tử tuyến tính, nếu

x, y  X ,  ,   K : Ax  y   A( x)  A( y) .

Ánh xạ A được gọi là liên tục tại x0  X khi và chỉ khi với một dãy bất kỳ xn 
những phần tử của X , nếu lim xn  x0
n

X

 0 thì lim Axn  Ax0
n

Y

 0 . A là liên tục trên

X nếu A liên tục tại mọi điểm thuộc X .

b. Định lý ( 4 mệnh đề tƣơng đƣơng)
Giả sử A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định
chuẩn Y . Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương:

8


Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

i) A liên tục (liên tục tại mọi điểm của X ).
ii) A liên tục tại điểm x0  X .
iii) A liên tục tại 0  X .
iv) M  0, x  X : Ax  M x .
Toán tử A : X  Y được gọi là tập bị chặn (giới nội) nếu tồn tại M  0, x  X ta
có Ax  M x .
c. Định nghĩa
Giả sử A là một toán tử tuyến tính giới nội từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Khi đó:
A  inf M : x  X , Ax  M x 

gọi là chuẩn của toán tử A .
d. Định lý
Giả sử X , Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A : X  Y là toán tử giới nội.
Khi đó:
i) Ax  A x , x  X
ii) A  sup Ax  sup Ax  sup
x 1

x 1

x 0


Ax
x

e. Định nghĩa
i) Đồng phôi tuyến tính
Ánh xạ A : X  Y gọi là một phép đồng phôi tuyến tính nếu A thỏa:
 ,   K , x, y  X
 Ax  y   A( x)  A( y)

m, M sao cho m A( x)  Ax  M Ax


Hai gian tuyến tính định chuẩn X và Y gọi là đồng phôi tuyến tính nếu tồn tại
một phép đồng phôi tuyến tính từ một không gian vào không gian thứ hai.
ii) Đẳng cự tuyến tính

9

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

Ánh xạ A : X  Y gọi là một phép đẳng cự tuyến tính nếu A thỏa:
 Ax  y   A( x)  A( y)  ,   K , x, y  X

Ax1  Ax2  x1  x2



Khi đó hiển nhiên A là đơn ánh.
Hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y gọi là đẳng cự tuyến tính nếu tồn
tại một phép đẳng cự tuyến tính từ một không gian lên không gian thứ hai.
Nhận xét:
Hai không gian đẳng cự tuyến tính thì đồng phôi tuyến tính.
iii) Đẳng cấu tuyến tính
Ánh xạ A : X  Y gọi là một phép đẳng cấu tuyến tính nếu A là song ánh tuyến
tính.
Hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y gọi là đẳng cấu tuyến tính nếu tồn
tại một phép đẳng cấu tuyến tính từ một không gian lên không gian thứ hai.
Ký hiệu: X  Y
f Định lý
i) Giả sử X , Y là hai không gian định chuẩn hữu hạn chiều. Khi đó:
X  Y  dim X  dim Y

ii) Giả sử X , Y là hai không gian tuyến tính. Khi đó:
ii.1) KerA là một không gian con tuyến tính của X .
ii.2) Im A là một không gian con tuyến tính của Y .
ii.3) X | KerA  Im A .
1.4 Không gian L( X , Y )
Giả sử L( X , Y ) là không gian các toán tử liên tục từ X vào Y , với X , Y là các không
gian định chuẩn. Với phép toán cộng và nhân vô hướng thông thường L( X , Y ) là không
gian tuyến tính.
Không gian L( X , Y ) là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định
như sau:

10

Luận Văn Tốt Nghiệp



GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

A  inf M : x  X , Ax  M x ,

A  L( X , Y )

Nếu Y là một không gian Banach thì L( X , Y ) là một không gian Banach.

Nếu f  L( X , Y ), g  L(Y , Z ) thì gf  L( X , Z ) và gf  g f .
1.5 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm
1.5.1 Định lý Hahn-Banach
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con X 0 của
không gian định chuẩn X ( X 0  X ) đều có thể thác triển lên toàn không gian X với
chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác
định trên toàn không gian X sao cho:
i) F ( x )  f ( x )
ii) F

X

 f

x  X 0

X0


Hệ quả 1:
Cho không gian định chuẩn X . Với mỗi phần tử khác không x0  X tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn không gian X sao cho f ( x0 )  x0 và f  1.
Hệ quả 2:
Cho Y là không gian tuyến tính con của không gian định chuẩn X và x0  X là một phần
tử thỏa mãn điều kiện:
d ( x0 , Y )  inf x0  y  d  0
yY

Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian X sao cho:
i) f ( y )  0, y Y
1
ii) f 
d
iii) f ( x0 )  1

1.5.3 Định lý Banach-Steinhauss
Giả sử X là một không gian Banach, Y là một không gian tuyến tính định chuẩn,

At tT là một họ toán tử tuyến tính giới nội từ

X vào Y sao cho với mỗi x thuộc X ,

At x :t  T  là một tập giới nội trong Y . Khi đó At tT giới nội trong không gian

L(X ) ,

tức là tồn tại số k sao cho

11


Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

At  k

(t T )

Hệ quả:
Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn, An  là một
dãy toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y . Nếu với mỗi x  X dãy An x đều hội tụ
trong Y thì An x giới nội trong không gian L( X , Y ).
1.5.4 Nguyên lý ánh xạ mở
Giả sử X , Y là hai không gian Banach, A là toán tử tuyến tính liên tục từ X lên Y .
Khi đó A là ánh xạ mở.
Hệ quả:
Song ánh tuyến tính liên tục A từ không gian Banach X lên không gian Banach Y
là một phép đồng phôi tuyến tính.
1.6 Không gian Hilbert
1.6.1 Định nghĩa
Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường số K . Tích vô hướng trên X là một
ánh xạ  : X  X  K thỏa mãn các điều kiện sau:
i)  ( x  y, z)   ( x, z)   ( y, z)

(x, y, z  X )


ii)  (x, y)   ( x, y)

(x, y  X ,   K )

iii)  ( x, y )   ( y, x)

(x, y  X )

iv)  ( x, x)  0

(x  X )

Trong đó  ( y, x) là số phức liên hợp của số  ( y, x) . Thay cho ký hiệu  ( x, y) ta viết
x, y và gọi là tích vô hướng của x và y .

Nhận xét:
Từ i) và iii) suy ra
a) x, y  z  x, y  x, z

12

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

b) x, y   x, y
1.6.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwars

x, y

2

 x, x y , y

x, y  X

1.6.3 Bất đẳng thức Minkowski
x  y, x  y 

x, x 

y, y

x, y  X

1.6.4 Hệ trực giao và trực chuẩn
a. Định nghĩa
Giả sử X là không gian tiền Hilbert. Một hệ x I các vector khác không của
X gọi là trực giao nếu x , x  0    .

Nếu x  1,  thì gọi là hệ trực chuẩn.
b. Mệnh đề
Mọi hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert là độc lập tuyến tính.
c. Bất đẳng thức Bessel
Giả sử ei iI là một trực chuẩn trong không gian Hilbert thì


iI


x, ei

2

 x

2

x  X

d. Trực giao
Cho hai tập con M và N của không gian Hilbert X . Ta nói M trực giao với N ,
ký hiệu M  N nếu x, y  0, x  M , y  N . Nếu x  M thì x  M .
Với mỗi tập con M của X . Ta đặt M   x  X : x  M  . Khi đó M  là không
gian con đóng của X .
Nếu M là không gian con đóng của X thì không gian con đóng M  được gọi là
phần bù trực giao của M và X  M  M  .

13

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

CHƢƠNG II:
KHÔNG GIAN LIÊN HỢP

2.1 Định nghĩa
Cho X là không gian định chuẩn. Khi đó, không gian L( X , K ) , các phiếm hàm tuyến
tính liên tục xác định trên X được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu
của X (còn gọi là không gian liên hợp thứ nhất của X ).
Ký hiệu: X * .
Không gian liên hợp của không gian X * được gọi là không gian liên hợp thứ hai của
không gian định chuẩn X . Tương tự ta có không gian liên hợp của X ** được gọi là
không gian liên hợp thứ ba của không gian định chuẩn X ,…và được lần lượt ký hiệu
là X ** và X *** .
2.2 Chuẩn trong không gian liên hợp
Nhận xét:
Không gian liên hợp X * là một trường hợp đặc biệt của không gian tuyến tính định
chuẩn L( X , Y ) với Y là trường số K nên hiển nhiên X * là một không gian định chuẩn
với chuẩn được xác định như trong không gian L( X , Y ) :
Số f  inf k : f ( x)  k x , x  X  là chuẩn của phiếm hàm f trong không gian X * .
Ngoài ra f  X * ta có:
i. f ( x)  f x , x  X
ii. f  sup f ( x)  sup f ( x)  sup
x 1
xX

x 1
xX

x 0

f ( x)
x

2.2.1 Định lý

Cho X là một không gian định chuẩn, M là một không gian con tuyến tính trù mật
trong X và f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên M .
Khi đó, tồn tại duy nhất một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X sao cho:
i. F suy rộng f , tức là F ( x)  f ( x) ( x  M ) ;

14

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

ii. || F |||| f || .
Chứng minh:
Thật vậy:
M trù mật trong X  x  X , xn   M hội tụ đến x

Ta có:
| f ( xn )  f ( xm ) || f ( xn  xm ) ||| f || . ||x n  x m ||

  f ( xn )n1 là dãy cô si

Vì K là đầy đủ, nên tồn tại lim f ( xn )
n

Ta xác định F : X  K
x  F ( x)  lim f ( xn )
n


Vậy || F ( x) || lim || f ( xn ) || .
n

Ta có: || f ( xn ) |||| f || . || xn ||
|| F ( x ) |||| f || . || x ||
|| F |||| f ||
(1)

Mặt khác:
|| F || Sup || F ( x) || Sup || F ( x) || Sup || f ( x) |||| f ||
|| x|| 1
xX

|| x|| 1
xM

|| x|| 1
xM

(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Tính duy nhất là hiển nhiên theo tính chất của lim .
2.3 Ví dụ về không gian liên hợp và phiếm hàm tuyến tính liên tục
2.3.1 Ví dụ 1
Không gian Euclide R n có không gian liên hợp là R n .
Thật vậy:
Xét không gian R n với chuẩn Euclide.
Gọi e1 , e2 ,....,en là một cơ sở của nó.


15

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

n

Suy ra x  R n , x   xi ei
i 1

Với mỗi u  (u1 , u2 ,...,un )  R n , ta xác định một phiếm hàm f u như sau:
n

Nếu x  ( x1 , x 2 ,...,x n )  R n thì f u ( x )   ui xi
i 1

Phiếm hàm f u tuyến tính vì:
x  ( x1 , x2 ,...xn ), y  ( y1 , y2 ,... yn )  R n
n

n

n

i 1


i 1

 fu ( x  y )   ui ( xi  yi )   ui xi   ui yi  f u ( x)  f u ( y )
i 1

x  ( x1 , x2 ,...xn )  R ,   K
n

n

n

i 1

i 1

 fu ( x)   ui  xi    ui xi   f u ( x )

Phiếm hàm f u liên tục vì:
Theo bất đẳng thức Schwartz ta có
n

| f u ( x ) ||  ui xi |
i 1

1

1


 n
2  n
2
   | ui |2     | xi |2  || u || . || x ||
 i 1
  i 1


(1)

Vậy f u  ( R n ) * .
Ngược lại, với mọi f  ( R n )* .
Ta có
n

n

n

i 1

i 1

i 1

f ( x)  f ( ei xi )   f (ei ) xi   ui xi

Với ui  f (ei ), i  1,2,...,n không phụ thuộc vào x.
Đẳng thức chứng tỏ, với mỗi f  ( R n )* đều tồn tại u  R n sao cho f  f u .
Mặt khác:

Nếu lấy x0  ( x ( 0)1 , x ( 0) 2 ,...,x ( 0) n )  R n với

16

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

x(0)i  0 nếu ui  0,

SVTH: Danh Huệ Minh

x (0)i 

| ui | 2
nếu ui  0 (i  1,2,...,n)
ui

Thì
1

2 2
 n
|| xo ||   x ( 0) i 
 i 1

1

 n

2
   | ui |2   u
 i 1


Suy ra
n

u x0  u   ui xi  f u ( x)  f u x0
2

i 1

 u  fu

(2)

Từ (1) và (2) suy ra fu  u .
Ta lập ánh xạ:
A : R n  ( R n )*
x

A( x)  fu ( x)

(u  R n )

Với cách định nghĩa ánh xạ như vậy thì A là tuyến tính.
Vì với mỗi f  ( R n )* đều tồn tại u  R n sao cho f  f u nên ánh xạ A lên.
Đẳng thức fu  u chứng tỏ A là ánh xạ 1-1, bảo toàn chuẩn.
Nên ánh xạ A là một song ánh tuyến tính.

Do đó không gian R n và không gian liên hợp của nó đẳng cấu tuyến tính với nhau.
Vì vậy không gian liên hợp của R n là chính nó.
Nhận xét:
Một cách tương tự, trong trường hợp X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều nếu
ta sử dụng chuẩn Euclide thì X  là đẳng cấu tuyến tính với X .
2.3.2 Ví dụ 2
Không gian liên hợp của l1 là l .
Thật vậy:

17

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

Với mỗi u  (u1 , u2 ,...) l , ta xét phiếm hàm


f u ( x )   un n

( x  (1 ,  2 ,...) l1 ).

n 1

Ta có:





| f u ( x ) |  | un | . |  n | Sup | un |  |  n |
1 n  

n 1

n 1

|| u || . || x ||1 .

(1)

Phiếm hàm fu là tuyến tính vì:
x  (1 ,  2 ,...), y  ( 1 ,  2 ,...) l1






n1

n1

n1

 f ( x  y )   un ( n   n )   un n   un n  f ( x)  f ( y )
x  (1 ,  2 ,...) l1 ,   K





n1

n1

 f (x)   un  n    un n  f ( x)

Từ (1) suy ra:
|| f u |||| u ||

( 2)

Do đó, fu là tuyến tính liên tục xác định trên không gian l1 .
*
Ngược lại, lấy f  l1 .

Với x  (1 ,  2 ,...) l1 ta có:




n 1

n 1

f ( x )  f (  n en )   f (en ) n .

Đặt un  f (en ), ta có un không phụ thuộc vào x.

Với n  1,2,....ta có:
|| un ||| f (en ) ||| f || . || en ||1 || f || .

Như vậy, dãy (u1 , u2 ,...)bị chặn, có nghĩa là u  (u1 , u2 ,...) l ; đồng thời
|| u ||  Sup | un ||| f ||

(3)

1 n  

*
Như vậy, f  l1 , u  l : f  f u .

18

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

Từ (2), (3) suy ra:
|| f u |||| u ||

Do đó, xác định được ánh xạ
A1 : l  l1*
x

f u ( x)


Với cách định nghĩa ánh xạ như vậy thì A1 là tuyến tính
*
Vì f  l1 , u  l : f  f u nên ánh xạ A1 là ánh xạ lên.

Đẳng thức fu  u  chứng tỏ A1 là ánh xạ 1-1, bảo toàn chuẩn.
Suy ra A1 là một phép đẳng cấu tuyến tính l lên l1* .
Do đó không gian l1 và không gian l đẳng cấu với nhau.
Vậy không gian liên hợp của l1 là l .
2.3.3 Ví dụ 3
Phiếm hàm
f : LP 0,1  K
1

x  f ( x)   x(t ) (t )dt

; x : 0,1  R

0

t  x(t )

Với  (t )  Lq 0,1, q thỏa

1 1
  1 là phiếm hàm tuyến tính liên tục.
p q

Thật vậy:
Theo tính chất của tích phân ta có:


19

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

x, y  LP 0,1
1

1

 f ( x  y )    x(t )  y (t )  (t )dt    xt  (t )  y (t ) (t ) dt
0

0

1

1

0

0

  x(t ) (t )dt   y (t ) (t )dt  f ( x)  f ( y )
x  LP 0,1,   K

1

1

0

0

 f (x)   x(t ) (t )dt    x(t ) (t )dt  f ( x)

Suy ra f là phiếm hàm tuyến tính.
Mặt khác:
Theo bất đẳng thức Holder ta có:
1

f ( x)   x(t ) (t )dt
0
1

1

p 1
q
1
p 
q
  x(t ) (t ) dt    x(t )     (t ) 
0
0
 0


  x
1

 f  

Suy ra f liên tục.
Vậy f là phiếm hàm tuyến tính liên tục.

2.4 Các tính chất
2.4.1 Định lý
Với mọi không gian định chuẩn X , không gian liên hợp X * là không gian Banach.
Chứng minh:
Do K là không gian Banach nên X *  L( X , K ) là không gian Banach.
2.4.2 Định lý
Không gian liên hợp X  tách các điểm của X
( Tức là x1 , x2  X : x1  x2 thì tồn tại f  X  sao cho f ( x1 )  f ( x2 ) ).
Chứng minh:

20

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

Lấy bất kỳ x1 , x2  X sao cho x1  x2 .
Từ đó suy ra x1  x2  0 và hiển nhiên x1  x2  X .

Khi đó, theo hệ quả của định lý Hahn-Banach thì f 0  X * thỏa f0 ( x1  x2 )  x1  x2

Suy ra x1  x2  0 nên f 0 ( x1  x2 )  f 0 ( x1 )  f 0 ( x2 )  0
Vậy f 0 ( x1 )  f 0 ( x2 ) .
2.4.3 Định lý
Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian
liên hợp thứ hai X ** .
Chứng minh:
Với mỗi phần tử x  X ta lập một phiếm hàm ~x trên không gian X * như sau:
~
x :X*  K
f ~
x ( f )  f ( x), ( f  X * )
~x là một phiếm hàm tuyến tính.

Thật vậy:
f , g  X * ,  ,   K ta có:

~
x (f  y)  (f  g ) x  f ( x)  g ( x)  ~
x ( f )  ~
x (g)
~x là liên tục.

Thật vậy:
~
x ( f )  f ( x)  f x ,

Vậy ~x  X ** và ~
x  x


(f  X * )
(1)

Mặt khác:
Nếu x   thì hiển nhiên ~
x  x  0.
Nếu x   thì theo hệ quả của định lý Hahn-Banach ta có:
f 0  X * thỏa f 0 ( x)  x , f 0  1

Do đó x  f 0 ( x)  Sup f ( x)  Sup ~x ( f )  ~x
f X * , f 1

(2)

f X * , f 1

21

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

Từ (1) và (2) suy ra ~
x  x
Xét ánh xạ:
H : X  X **

x  H ( x)  ~
x

Dễ thấy H là ánh xạ tuyến tính.
Ta lại có:
Hx  ~
x  x  Hx  x

(x  X )

Do đó H là phép đẳng cự tuyến tính.
Nhận xét:
Vì H là phép đẳng cự nên H là đơn ánh, do đó ta có thể xem X  X  .
Từ đó có thể đồng nhất x với ~x .
Mà ~
x ( f )  f ( x)  x( f )  f ( x) .
Với x  X và f  X  .
2.4.4 Định lý
Giả sử X là không gian định chuẩn. Khi đó: dim X  n  dim X   n .
Chứng minh:
Nếu dim X  n , thì dim X   n .
Nếu dim X   n thì dim X   n . Nhưng X  X   dim X  dim X   n
Do đó X có số chiều hữu hạn nên dim X  dim X   n .
2.5 Hội tụ trong không gian liên hợp, dãy song trực giao
2.5.1 Hội tụ theo chuẩn
Dãy  f n   X  được gọi là hội tụ theo chuẩn đến f  X  , nếu lim f n  f  0 .
n

2.5.2 Hội tụ đơn giản (hội tụ tại từng điểm)
Dãy  f n   X  được gọi là hội tụ đơn giản đến f  X  , nếu x  X , dãy số  f n (x)

hội tụ đến f (x) .
2.5.3 Dãy song trực giao

22

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huệ Minh

a. Định nghĩa
Các dãy xn   X và  f n   X  được gọi là song trực giao với nhau, nếu
1, Nếu i  j
f i ( x j )   ij  
(i, j  1,...,n) .
0, Nếu i  j

b. Định lý
Giả sử dãy xn   X và  f n   X  là song trực giao với nhau. Khi đó, hệ x1 , x2 ,...
là độc lập tuyến tính trong X và hệ  f1, f 2 ,... là độc lập tuyến tính trong X  .
Chứng minh:
Phản chứng: Hệ x1 , x2 ,... là phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại một chỉ số m và
các số 1 , 2 ,..., m không đồng thời bằng 0 sao cho:
1 x1   2 x2  ...   m xm  0

Nếu  k  0 , ta có:
m


0  f k (  i xi )   k (Vô lý)
i 1

Vì vậy, hệ x1 , x2 ,... độc lập tuyến tính.
Ngược lại:
Giả sử hệ  f1, f 2 ,... là phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, tồn tại một chỉ số n và các số
1 , 2 ,..., n không đồng thời bằng 0 sao cho:

1 f1   2 f 2  ...   n f n  0

Giả sử  k  0 , ta có:
n

n

i 1

i 1

0  ( i f i ) xk   i f i ( xk )   k (Vô lý)

Vì vậy, hệ  f1, f 2 ,... độc lập tuyến tính.

23

Luận Văn Tốt Nghiệp


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức


SVTH: Danh Huệ Minh

2.6 Không gian phản xạ, mối liên hệ của không gian liên hợp với không gian
Banach và không gian định chuẩn.
2.6.1 Không gian phản xạ
Không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu X   X .
Ví dụ:
Không gian Euclide R n là không gian phản xạ.
Không gian l2 là không gian phản xạ.
Nhận xét:
i. Nếu X là không gian phản xạ thì X là không gian đầy đủ.
Thật vậy:
Vì X là không gian phản xạ nên X  X   L( X  , K )
Mà K là đầy đủ nên L( X  , K ) đầy đủ.
ii. Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ
Thật vậy:
Nếu X hữu hạn chiều thì dim X  dim X   n
Và do X  X   X  X 
2.6.2 Mối liên hệ của không gian liên hợp với không gian Banach và không gian
định chuẩn.
a. Định lý
Không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi không gian liên hợp X  là phản xạ
Chứng minh:
Để chứng minh định lý trên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Giả sử X là không gian phản xạ, L là không gian con đóng của X . Khi đó
L là một không gian phản xạ.

Thật vậy:
Ta chứng minh L  L .
Hiển nhiên L  L nên ta chứng minh L  L


24

Luận Văn Tốt Nghiệp