TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Khoa Sư Phạm
Bộ môn SP Toán

Luận văn toán học

CÁC ÁNH XẠ KHẢ VI
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

GVHD:

Sinh viên thực hiện:

ThS Lê Hồng Đức

Nguyễn Minh Thiện
MSSV: 1070094
Lớp: Sư phạm Toán học K33
(TL0701A2)

Cần Thơ, 5/ 2011

1


Lời nói đầu
Sau hơn ba tháng nhận đề tài và nghiên cứu, em đã hoàn thành luận văn
cuối khóa này. Em xin gửi lời cám ơn chân thành: đến quý thầy cô ở bộ môn sư
phạm Toán trong bốn năm qua đã tận tình dạy bảo, đặc biệt là thầy Lê Hồng Đức
(người hướng dẫn đề tài này); đến gia đình và bạn bè đã giúp đỡ và khích lệ em

trong quá trình học tập và thực hiện đề tài. Đó là những hành trang rất quý giá để
em bước vào đời. Xin chúc sức khỏe và thành công đến thầy cô, gia đình và bạn
bè của em.

Người thực hiện
Nguyễn Minh Thiện

2


MỤC LỤC
Trang
Chương 1. Không gian L(E1, …, En; F) ……………………………………….9
Chương 2. Các ánh xạ khả vi ………………………………………………....19
1. Khái niệm đạo hàm …………………………………………………19
2. Các quy tắc tính đạo hàm …………………………………………...37
3. Đạo hàm riêng ………………………………………………………42
4. Công thức số gia giới nội.
Mối liên hệ giữa tính liên tục của đạo hàm và đạo hàm riêng……….48
5. Một số định lý của phép tính vi phân đối với hàm vô hướng ……….59

3


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài
Toán học trên các không gian trừu tượng ít nhiều làm cho sinh viên
học toán tỏ ra lúng túng và không nắm được vấn đề. Với mong muốn:
+ tập nghiên cứu khoa học,
+ nhận ra một số mối liên hệ giữa các vấn đề cổ điển và hiện đại,

+ học hỏi phương pháp phát triển toán học,
+ và góp một phần nhỏ giúp sinh viên toán tham khảo và làm quen
với toán học trừu tượng bằng một trong những khái niệm cổ
điển và quan trọng nhất (phép tính vi phân)
nên em quyết định chọn đề tài Các ánh xạ khả vi trong không gian
Banach.
Em mong rằng khi một học sinh, sinh viên nào đó cầm trên tay đề tài
này, họ đọc và tự tìm ra một phương pháp học tập hiệu quả mà em rất tâm
quyết và gọi là “sóng ngắn đi xa”.

2) Lịch sử vấn đề
Vào thời cổ Hy Lạp, nhà khoa học lỗi lạc Archimedes (287 – 212
BC) đã dùng phép cùng kiệt (phương pháp xấp xỉ) để giải rất nhiều bài
toán hình học có liên quan đến diện tích, thể tích bên trong các đường cong
và mặt cong, tương tự như việc tìm tích phân bằng giới hạn. Ông tiên đoán
có một vấn đề toán học, nếu được phát hiện, sẽ phát triển rất mạnh mẽ. Cho
nên xét về mặt nào đó thì Archimedes được xem như là thủy tổ của phép
tính vi tích phân.
Đặt nền móng cho khái niệm vi phân và tích phân là nhà toán học,
vật lý học Anh Newton (1642 – 1727), và nhà khoa học toàn năng người
Đức Leibnitz (1646 – 1716) ở thế kỷ thứ 17. Tuy nhiên, cách diễn đạt của
hai ông khác nhau:
4


+ Phương pháp thông lượng (hay thuật lưu suất) của Newton được
xây dựng bằng hình học (đồ thị), nó được sinh ra từ các bài toán cơ học và
dùng để giải quyết các bài toán cơ học thời bấy giờ của Newton, ông đã đưa
ra các kí hiệu: f’, f(1), …, f(n), g x' k , g 'x' i x j , ….
+ Các thuật ngữ vi phân, tích phân, các kí hiệu:


dy
,  f ( x)dx ,
dx

dn f

f
2 f
,
,
, … ta dùng ngày nay do Leibnitz đưa ra, ông đã trình
dx n xk xi x j

bày chúng bằng đại số một cách sáng sủa và gọn gàng. Kí hiệu  dựa theo
chữ d là viết tắt của differential (tiếng Anh – nghĩa là khác biệt), còn kí hiệu

 được sinh ra từ chữ s trong sum (tiếng Latin – nghĩa là tổng).
Hai ông đã tìm ra mối liên hệ sâu sắc giữa nguyên hàm và tích phân,
thể hiện qua công thức:
b

 f ( x) dx = F(b) – F(a)

(*)

a

(*) còn được viết dưới dạng:
/


x

  f (t ) dt   f ( x )


a

chứng tỏ việc tìm tiếp tuyến và việc tính diện tích hình thang cong là hai
bài toán ngược nhau, mà trước đó không ai nghĩ đến. Tuy Newton nghiên
cứu trước Leibnitz, nhưng đến gần 20 năm sau ông mới công bố công trình
và sau Leibnitz, nên đã xảy cuộc tranh cãi không hay trong giới khoa học.
Đó là lý do tại sao công thức trên đây mang tên Newton – Leibnitz.
Cần nói thêm rằng, nhà toán học Seki Kowa đã phát triển phép tính
vi tích phân của Nhật Bản, nó được gọi là yenri (nguyên lý hình tròn).
Người ta còn lưu lại một hình vẽ bởi một học trò của ông vào năm 1670,

5


thể hiện cách đo diện tích hình tròn bằng cách cộng một chuỗi các hình chữ
nhật lại với nhau.
Cách định nghĩa đạo hàm của Newton bằng giới hạn

f (a  h)  f (a )
h
h0
lim

rất thích hợp cho các bài toán vật lý. Cách định nghĩa đạo hàm như là một

xấp xỉ tuyến tính của Fréchet và Gateaux làm rỏ mối liên hệ giữa đạo hàm
và các ánh xạ tuyến tính, cho phép chúng ta đưa các bài toán phi tuyến
trong cơ lý về các bài toán tuyến tính.
Cho đến nay, cùng với sự phát triển của các ngành toán học khác,
khái niệm vi phân đã được xây dựng trên không gian Banach tổng quát hơn
trên không gian các số thực R và ngành giải tích hàm đang được nghiên
cứu để ứng dụng, nhất là cho vật lý lượng tử và hóa học lượng tử. Newton
(cùng phép tính vi tích phân) được xem là có tầm ảnh hưởng lớn nhất trong
lịch sử khoa học của nhân loại.
Nhân đây tôi xin phép được nêu một trong số những câu hỏi nổi
tiếng nhất của Zénon (một nhà thông thái thời cổ Hy Lạp), mang tên Không
thể có chuyển động: Cho hai điểm P và Q, không thể nào các bạn có thể di
chuyển từ P đến Q được! Chắc các bạn không tin.
Hãy nghe ông ấy giải thích: Giả sử bạn đi trên đường nối hai điểm P
và Q, gọi t0 là thời điểm bạn khởi hành tại P và t1 là thời điểm bạn về tới
đích. Gọi f(t) là vị trí của bạn tại thời điểm t trong khoảng [t0, t1]. Ta cố
định một thời điểm t, ở thời điểm này bạn chỉ ở tại một địa điểm duy nhất
A mà thôi, nói khác là bạn không di chuyển tại thời điểm này, bạn hoàn
toàn đứng yên một chổ tại mỗi thời điểm bất kỳ t trong khoảng [t0, t1]. Vậy
thì làm sao bạn di chuyển được từ P đến Q? Tức là không thể có di chuyển!
Có người đưa ra giải pháp thô bạo cho câu hỏi này: Họ lấy một cây
cung lắp tên sẵn và nói với ông Zénon là: thử xem đầu mũi tên là điểm P và
thân hình ông là điểm Q, và họ sẽ chứng minh mũi tên di chuyển được từ P
6


đến Q bằng cách bắn một phát tên! Ông Zénon đồng ý cho họ làm việc đó
nếu họ chứng minh được bằng lý luận là mũi tên có thể bay đến người ông.
Vào thời cổ và trung đại, chưa có ai trả lời được, và ông tiếp tục làm mệt óc
thiên hạ bằng những câu hỏi loại kỳ quặc này (trong đó có câu nổi tiếng

hơn, đó là Thần Achille không đuổi kịp rùa).
Kể từ thế kỷ 17, người ta đã giải thích được điều này thông qua khái
niệm đạo hàm (tức vi phân). Thực ra bạn không đứng yên tại thời điểm t,
mà tại thời điểm t bạn có vận tốc f’(t), cho nên bạn di chuyển.

3) Mục đích nghiên cứu
Em nghiên cứu đề tài này với mục đích:
+ Tập nghiên cứu khoa học và tìm hiểu khả năng bản thân.
+ Nhận ra mối liên hệ giữa cụ thể (cổ điển, sơ cấp) và trừu tượng (hiện đại,
cao cấp) trong toán học.
+ Tìm hiểu sâu hơn toán hiện đại để có bước chuẩn bị cho tương lai.
+ Góp phần cho các sinh viên toán tham khảo quá trình phát triển của toán
học.

4) Phạm vi nghiên cứu
Em chỉ nghiên cứu đến lớp C1 của các ánh xạ khả vi, trên nền tảng
các kết quả mẫu mực trong không gian Banach (các định nghĩa và tính chất
cơ bản của không gian vectơ, chuẩn, giới hạn, … xin được phép không
trình bày ở đây), cùng một số ứng dụng gần gũi nhất.

5) Phương pháp và các bước nghiên cứu
+ Tổng hợp tài liệu.
+ Đọc hiểu và phân tích các kiến thức cần thiết.
+ Trao đổi thông tin từ Internet và bạn bè.
+ Chọn lọc và hệ thống các kết quả.

7


B. NỘI DUNG


8


Chương 1.

KHÔNG GIAN L(E1, …,En; F)

Trước tiên chúng ta nêu lên một số kiến thức về không gian L(E1, …, En; F),
các ánh xạ n - tuyến tính liên tục từ tích Descarte của các không gian định chuẩn
E1, E2, …, En vào không gian định chuẩn F trên trường K. Trong toàn bộ luận văn
này ta hiểu K là trường số thực hay phức.

1.1. Định nghĩa. Giả sử E1, …, En và F là các không gian định chuẩn. Ánh xạ
f: E1 x … x En → F được gọi là n - tuyến tính nếu với mọi k  {1, 2, …, n} và với
hệ tùy ý các phần tử ai  Ei , i ≠ k, ánh xạ riêng xk → f(a1, …, ak-1, xk, ak+1, …, an)
từ không gian Ek vào không gian F là tuyến tính.
Nghĩa là nếu cố định n–1 biến, ánh xạ f tuyến tính theo một biến còn lại.
Từ đó ta thấy
f(x1, …, xn) = 0
nếu ít nhất một xk = 0, k = 1, n .
Đặc biệt,

f(0, …,0) = 0.

Đối với ánh xạ n - tuyến tính f, ta có:
f( λ 1x1, …, λ nxn) = λ 1… λ n.f(x1, …, xn), λ i  K.

(1)


1.2. Định lý. Giả sử E1, …, En và F là các không gian định chuẩn và giả sử
f: E1 x … x En → F là ánh xạ n - tuyến tính. Khi đó các điều kiện sau đây là tương
đương:
(a) f liên tục tại mọi điểm của tích E1 x … x En.
(b) f liên tục tại gốc (0, …,0)  E1 x … x En.
(c) chuẩn f(x1 , ... , x n ) giới nội trên tích các hình cầu đơn vị:
x1  1, …, xn  1.

9


(Nghĩa là tồn tại M > 0 sao cho với mọi (x1, …, xn)  E1 x … x En ta đều có:
f(x1 , ..., x n )  M. x1 … xn ).

Chứng minh.
(a)(b). Hiển nhiên.
(b)(c). Giả sử f liên tục tại gốc tọa độ. Khi đó nghịch ảnh của hình cầu đơn vị
trong F là một lân cận của gốc tọa độ trong không gian E1x ...xEn.
Suy ra  (x1,…,xn)  E1x ...xEn ,  N > 0:
(x1 ,..., xn )  N

hay là  r > 0: xi  r i



f(x1 ,..., x n )  1



f(x1 ,..., x n )  1.


Do đó  (x1,…,xn): xi  1 i ta có:
f( rx1 ,..., rxn )  1 

f(x1 ,..., x n )  1/rn :=M

nghĩa là f(x1 ,..., x n ) giới nội trên tích các hình cầu đơn vị.
(c)(a). Giả sử  M > 0:
xi  1 i



f(x1 ,..., x n )  M.

Khi đó  xi  Ei ta có:
f(x1 , ..., x n )  M. x1 … x n

(2)

Với tùy ý (a1,…,an)  E1x ...xEn , ta có:
f(x1,…,xn) – f(a1,…,an) = f(x1-a1,x2,…,xn) + f(a1,x2-a2,x3,…,xn)
+ … + f(a1,…,an-1,xn-an).
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:
f(x1 ,..., xn )  f(a1 ,...,a n )  M. x1  a1 . x 2 … x n

+ M. x1 . x 2  a 2 . x3 … x n
+…+ M. a1 … a n 1 . xn  a n .
Giả sử xi  ai  ε

i




Suy ra  A > 0: xi  ai  ε i

xi  ai + ε .



xi  A i

Do vậy f(x1 , ..., x n )  f(a1 , ..., an )  n.M.An-1. ε
10

(3)


khi xi  ai  ε i .
Nếu ε > 0 đủ bé thì số A có thể được chọn độc lập với ε . Khi đó (3)
chứng tỏ f(x) → f(a) khi xi → ai i .
Vậy f liên tục tại (a1,…,an) (đpcm). ■
1.3. Nhận xét:
* Xét tập L(E1, …, En; F) tất cả các ánh xạ n-tuyến tính liên tục từ tích
E1x ...xEn của các không gian định chuẩn E1, E2, …, En vào không gian định chuẩn
F. Ta thấy L(E1, …, En; F) là một không gian tuyến tính với các phép cộng hai ánh
xạ và phép nhân ánh xạ với một vô hướng theo nghĩa thông thường.
* Ta xác định trên nó một chuẩn dạng:

f = sup


f(x1 ,..., xn )

xi  1
i  1, n

Vậy L(E1, …, En; F) là một không gian định chuẩn, và
f(x1 ,..., x n )  f . x1 ... x n

Trường hợp E1= … = En = E ta viết Ln(E; F) thay cho L(E,…, E; F) (n lần E).
1.4. Định nghĩa. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. Ánh xạ f  Ln(E; F)
được gọi là đối xứng nếu:
f ( x (1) , ..., x ( n) )  f ( x1 , ..., x n )

với mọi x1,…,xn  E, và với mọi hoán vị  của {1, …, n}. Kí hiệu Lsn (E; F) là tập
tất cả các ánh xạ đối xứng của Ln(E; F).
Ta thấy rằng Lsn (E; F ) là không gian con đóng của không gian định chuẩn
Ln(E; F) và công thức
(Sf)(x1,…, xn) =

1
 f ( x (1) , ..., x (n) )
n !  S
n

(Sn : là nhóm các phép thế (hoán vị) cấp n trên {1, …, n})
11


xác định ánh xạ tuyến tính liên tục S từ Ln(E; F) lên Lsn (E; F). Hơn nữa
Sf = f  f  Lsn (E; F) và S = 1.

(Xem thêm vd mục 2.2 chương 2).
* Với mỗi x  E, kí hiệu ( x) n  ( x, ..., x)  En. Khi đó  E  ( x ) n : x E

n

là không gian con đóng của En. Ta gọi  E là đường chéo trong En.

1.5. Mệnh đề. Nếu f  Lsn (E; F) và f  = 0 , thì f = 0.
E
Chứng minh.
Để đơn giản ta kiểm lại với n = 2.  x, y E ta có:
f(x + y)2 = f(x + y, x + y)
= f(x, x) + f(x, y) + f(y, x) + f(y, y)
= f(x)2 + 2f(x, y) + f(y)2
Suy ra
f(x, y) =

f ( x  y) 2  f ( x) 2  f ( y) 2
= 0  x, y E.
2

Vậy f = 0. ■
Ta có thể phát biểu mệnh đề 1.5 thành: Mọi ánh xạ n – tuyến tính đối xứng
nếu đồng nhất không trên đường chéo thì nó đồng nhất không.
* Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại thế nào là một đẳng cấu, một đẳng cự.

1.6. Định nghĩa: Giả sử E và F là hai không gian định chuẩn.
Ánh xạ f: E → F được gọi là đẳng cấu nếu:
(a) f liên tục tuyến tính.
(b) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục g: F → E sao cho

g ° f = idE (ánh xạ đồng nhất từ E vào E)
và

f ° g = idF

12


1.7. Nhận xét:
a) f và g trong định nghĩa 1.6 là các song ánh.
b) Định nghĩa 1.6 có thể phát biểu lại là:
Ánh xạ f: E → F là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là phép đồng phôi tuyến tính.

1.8. Định nghĩa:
Giả sử E và F là hai không gian định chuẩn. Song ánh tuyến tính f: E → F được
gọi là đẳng cự nếu nó bảo toàn chuẩn.
Tức là f(x) = x

x  E.

1.9. Nhận xét:
Ta thấy f = 1 nên f liên tục. Mà ánh xạ ngược của f là g: F → E cũng tuyến
tính liên tục. Do đó f là đẳng cấu. Vậy mỗi đẳng cự là một đẳng cấu.

1.10. Các ví dụ:
a) Giả sử E = Kn, F = Km và giả sử cơ sở của Kn, của Km đã được xác định.
Khi đó không L(Kn; Km) sẽ trùng với không gian các ma trận m dòng, n cột (các
phần tử của ma trận thuộc trường cơ sở). Số chiều của L(Kn; Km) bằng n.m.
b) Phép đẳng cự tự nhiên giữa L(K; F) và F:
* Ta xác định ánh xạ  : F → L(K; F)

y  ( λ  λy )
Với mỗi y  F ta cho ứng với một ánh xạ tuyến tính ( λ  λy ) từ K vào F
(ánh xạ này liên tục, vì λy = λ. y ).
Ta có  ( y )( ) = λy = y .λ suy ra  (y) = y .
Dễ thấy  là ánh xạ tuyến tính.
* Ngược lại, ánh xạ ψ : L(K; F) → F
f

 f(1)

13

(4)


là tuyến tính.
Ngoài ra  và ψ là ngược của nhau, do đó cũng là các song ánh.
Theo đẳng thức (4) mỗi một trong hai ánh xạ  và ψ là một đẳng cự.
Như vậy ψ là đẳng cự giữa L(K; F) và F. Ta viết L(K; F)  F.

1.11. Định lý.
Giả sử E1, E2, …, En và F là các không gian Banach. Khi đó tồn tại đẳng cự chính
tắc giữa L(E1,...,En; F) và L(E1; L(E2; …; L(En; F)…))
Chứng minh.
Do tính quy nạp, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 2.
Giả sử ta có các không gian Banach E1, E2, F. Ta chứng minh
L(E1, E2; F)  L(E1; L(E2; F)).
* Trước tiên ta xác định ánh xạ  : L(E1, E2; F) → L(E1; L(E2; F)) cho bởi
 (f)(x1)(x2) = f(x1, x2).


Ta thấy  tuyến tính, ngoài ra nó bảo toàn chuẩn vì:

 (f) =

sup

f(x1 , x 2 )

=

f

x1 1, x 2 1

*  có ánh xạ ngược là ψ : L(E1; L(E2; F)) → L(E1, E2; F) cho bởi
ψ (g)(x1, x2) = g(x1)(x2).

Vậy L(E1, E2; F)  L(E1; L(E2; F)).■
* Hệ quả. Nếu F là không gian Banach thì L(E1, …, En; F) là không gian
Banach.
Thật vậy, vì F là không gian Banach nên L(En; F) là không gian Banach.
Vì L(En; F) là không gian Banach nên L(En–1; L(En; F)) là không gian Banach.
Tiếp tục quá trình trên ta được L(E1; L(E2; …; L(En; F)…)) là không gian Banach,
theo định lý 1.11 thì L(E1,...,En; F)  L(E1; L(E2; …; L(En; F)…)) do đó chúng
đẳng cấu nhau.
Vậy L(E1,...,En; F) là không gian Banach.■

14



1.12. Các bài toán.
1.12.1
Cho E, F, G là những không gian định chuẩn và:
Φ : L(F; G) x L(E; F) → L(E; G)

là ánh xạ cho bởi:

Φ (T, S) = T  S ,

T L(F; G),

S L(E; F).

Chứng minh rằng Φ là ánh xạ song tuyến tính liên tục.
Chứng minh.
Vì  a, b  K và  T1, T2  L(F; G) ta có:

(aT1 + bT2 , S) = (aT1 + bT2 )  S
= aT1  S + bT2  S
= a (T1 , S )  b (T2 , S )
nên Φ tuyến tính theo biến T, tương tự như thế ta chứng minh được Φ tuyến tính
theo biến S. Vậy Φ là ánh xạ song tuyến tính.
Ngoài ra vì:

sup T  S(x)  sup T . S . x  T . S
x 1

x 1

tức là Φ(T, S)  T . S , nên Φ liên tục. ■

1.12.2
Kí hiệu E = L(C[0,1],C[0,1]). Giả sử Φ : En → E là ánh xạ được xác định bởi
công thức:

Φ(T1 ,...,Tn ) = T1  ...  Tn , Ti  E .
Chứng minh ánh xạ Φ là n-tuyến tính liên tục và Φ = 1.
Chứng minh.
Ta kiểm tra được tính chất n-tuyến tính của Φ , tương tự 1.12.1. Tính liên
tục của Φ được suy ra từ bất đẳng thức:

15


Φ(T1 , ...,Tn )  T1 ... Tn

Đồng thời cũng từ đây ta có Φ  1 . Chọn T1 = … = Tn = I (ánh xạ đồng nhất). Ta
có: Φ(I, ..., I) = I = 1. Vậy Φ = 1. ■
1.12.3
Với mỗi cặp (x,y) các phần tử của Rn, đặt:
n

Φ(x, y) =  xi yi
i=1

Chứng minh rằng Φ là ánh xạ song tuyến tính liên tục và hãy tính Φ .
Chứng minh.
Hiển nhiên Φ là ánh xạ song tuyến tính. Từ bất đẳng thức Cauchy-Swatch:
n
n
n


  xi yi  xi2 .  yi2
i=1  i=1
i=1

suy ra Φ liên tục.
Để chứng tỏ Φ = 1, ta chọn x = y = (1,0,…,0)  Rn. ■
1.12.4
Cho E1, E2, …, En là những không gian tuyến tính định chuẩn. Hãy chứng minh
rằng nếu fi : Ei → R là những phiếm hàm tuyến tính liên tục thì:
F(x) = f1(x1)…fn(xn),
n

với x = (x1,…,xn)  E =  Ei
i=1

là ánh xạ n-tuyến tính liên tục và:
F = f1 . f 2 ... f n .

Chứng minh.
Vì fi là phiếm hàm tuyến tính, i = 1, n , nên F là ánh xạ n-tuyến tính. Do các
phiếm hàm fi , i = 1, n , liên tục nên ta có bất đẳng thức:
F(x)  f1 ... f n . x1 ... xn , với x = (x1,…,xn).

16


Suy ra F  f1 ... f n . Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại ta hãy chú ý rằng:
Theo định nghĩa của chẩn f i , ε > 0 đủ bé,  xi  Ei với xi =1 sao cho:
f i (xi ) > n 1  ε f i .


Do đó F  F(x) , với xi = 1,
= f1(x1 ) ... f n (x n )

> ( 1  ε) f1 ... f n . ■
1.12.5
Trong không gian tuyến định chuẩn M0 của tất cả các dãy chỉ gồm một số hữu hạn
phần tử khác 0. Với x = (xi), y = (yi)  M0 , đặt:


Φ(x, y) =  xi yi
i=1

Hãy chứng minh rằng: ánh xạ Φ song tuyến tính không liên tục, tuy nó liên
tục đối với từng biến.
Chứng minh.
Hiển nhiên ánh xạ Φ là song tuyến tính. Ta thấy với mỗi y0  M0 , ánh xạ
x  Φ (x, y0) là tuyến tính liên tục trên M0.


Thật vậy, đặt M =  yi0 < +  , ở đây y0 = (y01,y02,…). Ta có
i=1


Φ(x, y0 ) =  xi yi0  M .max xi = M . x .
i=1

Bất đẳng thức
Φ (x, y0 )  M . x


chứng tỏ rằng ánh xạ x  Φ (x, y0) liên tục.
Tính chất liên tục của ánh xạ y  Φ (x0, y) được chứng minh tương tự.
Vậy Φ song tuyến tính, và đối với từng biến thì nó liên tục.

17


* Xét dãy xn = (1,1,…,1,0,0,…) (có đúng n phần tử đơn vị ở n vị trí đầu
tiên). Khi đó xn  M0 và x n = 1.


Ta có Φ(x n , y n ) =  xin yin = n .
i=1

Suy ra

sup

Φ(x, y) = +  .

x  y 1

Vậy Φ không liên tục. ■

18


CÁC ÁNH XẠ KHẢ VI

Chương 2.


1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
Giả sử E và F là các không gian Banach, f: U → F là ánh xạ từ tập con U
mở của E vào F.

1.1. Định nghĩa. Ánh xạ f được gọi là khả vi (hay khả vi Frechet) tại a  U nếu
tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục g: E → F sao cho
f(x)  f( a )  g(x  a ) = o x  a

(*)

Điều này tương đương  ε > 0 cho trước,  δ > 0 sao cho
f(x)  f( a )  g(x  a ) < ε x  a

 x  U, x  a

<δ

Hay là  ε > 0,  δ > 0:
f (a  z )  f (a )  g ( z ) <  z

 z  U, z < δ

1.2. Nhận xét.
(a) Tính khả vi và giá trị đạo hàm của f tại a không thay đổi nếu chuẩn của
E được thay bởi chuẩn khác tương đương.
(b) Ánh xạ tuyến tính liên tục g thõa (*) là duy nhất. Thật vậy, giả sử h 
L(E; F) cũng thõa (*). Tức là  ε > 0,  δ 1 > 0 và δ 2 > 0 để

và


f(x)  f( a )  g(x  a ) <

ε
xa
2

f(x)  f( a )  h(x  a ) <

ε
x  a với x  a < δ 2
2

Đặt δ = min { δ 1, δ 2} thì
(g  h)(x  a ) = g(x  a )  h(x  a )

19

với x  a < δ 1


=

 f(x)  f( a )  h(x  a )   f(x)  f( a )  g(x  a )



f(x)  f( a )  h(x  a ) + f(x)  f( a )  g(x  a )





< 2 xa + 2 xa
= ε x  a với x  a < δ .
nghĩa là g  h < ε với ε > 0 tùy ý.
Vậy g  h = 0, hay g = h. ■
(c) Nếu f khả vi tại a, từ (*) và do tính liên tục của g, suy ra f liên tục tại a.
(d) Do g là duy nhất nên g sẽ được gọi là đạo hàm (hay đạo ánh, hay vi
phân) của f tại a. Kí hiệu là Df(a) hay f’(a).
Như vậy (*) có thể được viết dưới dạng
f(x)  f( a )  f '( a )(x  a ) = o x  a

(e) Xét E = R. Qua đồng nhất tự nhiên:
ψ : L(R; F)

F

Ta có

f(x)  f( a )
xa
x a

ψ (f’(a)) = lim

nên có thể coi

f(x)  f( a )
xa
x a


f’(a) = lim

khi E = R.

Đây chính là định nghĩa quen thuộc của đạo hàm.

1.3. Định nghĩa.
Ánh xạ f: U → F gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm của U.
* Như vậy ta có ánh xạ f’: U → L(E; F) với
(f’)(x) = f’(x), x  U.
Nếu E = R, ta coi
f’: U → F
20


qua đồng nhất tự nhiên  .
* Nếu f: U → F khả vi thì f’: U → L(E; F) có thể xét như ánh xạ
f’: U  E → F
cho bởi (x, h)  f’(x, h) = f’(x)(h)
Khi một trong hai biến cố định thì ánh xạ này liên tục theo biến còn lại.

1.4. Đạo hàm của một số ánh xạ đặc biệt.
1.4.1. Nếu f : U → F là ánh xạ hằng thì (*) đúng  a  U với g = 0. Vậy f
khả vi tại mọi a  U và
f’(a) = 0
Ở phần 4 chương 2, ta sẽ thấy điều ngược lại cững đúng nếu U là tập lồi
mở. Tức là nếu f: U → F là ánh xạ khả vi tại mọi a  U lồi mở và f’(a) = 0 thì f là
ánh xạ hằng.
1.4.2. Giả sử f = S|U là hạn chế trên U của ánh xạ tuyến tính liên tục S từ E

vào F. Khi đó (*) với g = S trở thành
f(x)  f( a )  S(x  a ) = S(x)  S( a )  S(x  a )
= S(x  a )  S(x  a ) = 0
 a  U và mọi x đủ gần a (thật ra  x  E). Cho nên f khả vi tại mọi a  U và

f’(a) = S.
Vậy đạo hàm của ánh xạ tuyến tính liên tục trên E chính là ánh xạ tuyến tính liên
tục đó.
1.4.3. Giả sử f = S|U với S: E1  E2 → F là song tuyến tính liên tục.
Vì E1  E2 là không gian hai chiều nên các chuẩn tương đương nhau, ở đây ta sử
dụng chuẩn . 1 . Cho (a1, a2)  U là tập con mở của E1  E2 .
Bởi vì: với (z1, z2)  E1  E2 ta có:
f [(a1, a 2 )  ( z1, z2 )]  f (a1, a 2 )  [ S (a1, z2 )  S ( z1, a 2 )]

= S (a1  z1, a 2  z 2 )  S (a1, a 2 )  S (a1, z 2 )  S ( z1 , a 2 )

21


= S ( z1 , z 2 )
 S . z1 . z 2
 S . 2 z1 . z 2

 S .( z1  z 2 ) 2
 S . o( z1  z 2 )

= S . o ( z1 , z 2 )
= o ( z1 , z 2 ) .
Nên f khả vi tại (a1, a2) và
f’(a1, a2)(z1, z2) = S(a1, z2) + S(z1, a2)  (z1, z2)  E1  E2. ■

* Một cách tổng quát:
Nếu f = S|U , U là tập con mở của tích Descarte E1x ...xEn, và S  L(E1, …, En; F)
thì f khả vi tại mọi (x1, …, xn)  U và
f’(x1, …, xn)(z1, …, zn) = S(z1, x2, …,xn) + S(x1, z2, x3, …, xn) + …
+ S(x1, …, xn–1, zn)
 (z1, …, zn)  E1x ...xEn.

1.4.4. Kí hiệu Isom(E; F) là tập các phép đẳng cấu từ E lên F. Hiển nhiên
Isom(E; F)  L(E; F). Ta sẽ tìm đạo hàm của ánh xạ nghịch đảo  : u  u – 1 từ
Isom(E; F) vào L(F; E), bằng cách xét:
* Định lý. Giả sử E và F là các không gian Banach. Khi đó:
(a) Isom(E; F) là tập mở trong L(E; F)
(b) Ánh xạ  : u  u – 1 từ Isom(E; F) vào L(F; E) liên tục
(c)  khả vi liên tục (thuộc lớp C1) và đạo hàm của nó được xác định bởi
đẳng thức:
 ’(u)h = – u–1  h  u–1 , với h  L(E; F).

Chứng minh.

22


(a) Trường hợp Isom(E; F) rổng (nếu các không gian E và F không đẳng
cấu nhau) thì khẳng định đúng. Giả sử Isom(E; F) khác rổng, gọi u0  Isom(E; F).
Ta chứng minh mọi u  Isom(E; F) đủ gần u0 là một đẳng cấu. Ánh xạ u: E → F là
đẳng cấu, khi và chỉ khi ánh xạ:
u0–1u : E → E
là đẳng cấu, khi và chỉ khi I  u 01u < 1.
Ta biết rằng, I  u 01u = u 01 (u 0  u )


1

chọn u sao cho u 0  u <

u 01



u 01 . u 0  u , do đó nếu ta

thì I  u 01u < 1.

Vậy Isom(E; F) là tập mở.
(b) Đặt v = I – u0–1u
Ta có u–1 = [ u0(I – v) ] –1 = (I – v) –1(u0) –1.
Suy ra

u 1  u 01  [( I  v) 1  I ].u 01


= (  v n ).u 01
n 1


 u 01 .  v

n

n 1


= u 01 .

v
1 v

2

 u 01 .

hay

u 1  u 01 

u 01
1 v

u0  u
1 v

2

. u  u0

Cho nên khi u  u0 thì u 1  u 01 . Vậy  là ánh xạ liên tục.

23


(c) Ta thấy – u–1  h  u–1  L(F; E).
Cho biến u gia lượng h, khi đó gia lượng của  là:

 (u + h) –  (u) = (u + h)–1 – u–1

= (u + h) –1  [ I – (u + h)  u –1 ]
= (u + h) –1  [ u – (u + h)]  u –1
= – (u + h) –1  h  u –1
Vì thế  (u  h)   (u )  u 1  h  u 1
=  (u  h) 1  h  u 1  u 1  h  u 1
= [u 1  (u  h) 1 ]  h  u 1

 u 1  (u  h) 1 . h . u 1
= o h , khi h  0 (vì ánh xạ  liên tục).
Vậy  khả vi trên Isom(E; F) và  ’(u)h = – u–1  h  u–1.
* Ta còn phải chứng minh  thuộc lớp C1, tức là ánh xạ

 ’: Isom(E; F)  L(L(E; F); L(F; E))
liên tục.
Giả sử v, w  L(F; E). Nhờ có ánh xạ tuyến tính

 (v, w): L(E; F)  L(F; E)
h

 – v h  w

mà ánh xạ

 : L(F; E)  L(F; E)  L(L(E; F); L(F; E))
(v, w)




 (v, w)

song tuyến tính.
Ngoài ra:

 (v , w) h = v  h  w  v . h . w

Suy ra  (u , w)  v . w hay  liên tục.

24


Không khó thấy rằng ánh xạ u   ’(u) =  ( u–1, u–1) là hợp thành của hai
ánh xạ liên tục:
u



và

( u–1, u–1)

  (v, w)

(u, w)

nghĩa là  ’ liên tục. ■

* Nhận xét: Trong trường hợp E = F = R. Nhờ đồng nhất chính tắc L(R; R)
với R, ánh xạ u  u–1 đồng nhất chính tắc với ánh xạ R*  R* : x 


1
. Vì
x

phép lấy đạo hàm là tuyến tính, nên đạo hàm của ánh xạ u  u–1 sẽ đồng nhất
với đạo hàm của hàm số x 

1
1
, như ta đã biết nó bằng 
.
x
x2

1.5. Định nghĩa.
Giả sử f: U → F, h E. Ánh xạ f được gọi là khả vi theo hướng h tại a, nếu
tồn tại giới hạn:

f (a  th)  f (a )
t
t 0
lim

Giới hạn trên nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm theo hướng h của f tại a, ta viết:
Df(a; h) hay f’(a; h).

1.6. Nhận xét.
(a) f’(a; h) thuần nhất theo h, tức là:
f’(a; sh) = sf’(a; h)

Thật vậy, ta có

f (a  t sh)  f (a )
t
t 0

f’(a; sh) = lim

f (a  ts h)  f (a )
ts
ts  0

= s lim

25