BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

QUÁCH TH Ị HỒNG GAM

TÍNH TAUT Y ẾU CỦA MIEN t r o n g
KHÔNG GIAN B A N A C H

L U Ậ« N V Ă N T H Ạ« C S ĩ T O Á N H Ọ« C

Hà Nội, 2015


BỌ GIÀO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

QUÁCH TH Ị HỒNG GAM

TÍNH TAUT YẾU CỦA MIEN t r o n g
KHÔNG GIAN B A N A C H

C h u y ê n n g à n h : T o á n G iải tíc h
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN TH Ạ C Sĩ TO Á N HỌC

N gười hướng dẫn khoa học: TS. LÊ TÀI T H U

Hà Nội, 2015

M ục lục

M ở đầu

3

1 K iế n th ứ c cơ b ả n

2

7

1.1

Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức . . . .

7

1.2

Không gian phức h y p e rb o lic ................................................

9

1.3

Không gian hyperbolic đ ầ y ....................................................

11


1.4

Không gian phức T a u t ..........................................................

11

1.5

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi . . .

16

1.6

Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa d ư ớ i.............................

18

T ín h t a u t y ếu c ủ a m iề n tr o n g k h ô n g g ia n B a n a c h
2.1

Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy và tau t trong không
gian p h ứ c ...................................................................................

2.2

22

23


Tính ta u t yếu của miền trong không gian
B a n a c h .........................................................................................

1

30


K ế t lu ậ n

47

T ài liệu th a m k h ả o

48

2


MỞ ĐẦU
1. L ý d o c h ọ n đ ề tà i
Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng
lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 20, là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây,
lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới. Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng
minh bởi Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Dem ailly,... Những
công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển
mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích toán
học, đó là giải tích phức hyperbolic. Trong những năm gần đây, lý thuyết

này đã tìm thấy những mối liên hệ bất ngờ và sâu sắc với những lĩnh
vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình
trong giải tích phức và bài toán về tính hữu hạn của tập tấ t cả các ánh
xạ phân hình giữa hai lớp nào đó các không gian phức. Theo quan điểm
của A. Weil,

s.

Lang và p. Vojta, bài toán sau cùng này có liên quan

m ật thiết với hình học đại số và hình học số học. Có thể nói giải tích
phức hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhau
của nhiều bộ môn lớn của toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích
phức, Hình học đại số và Lý thuyết số. Một trong những hướng nghiên
cứu của giải tích phức hyperbolic là mở rộng các kết quả từ không gian
phức hữu hạn chiều sang không gian Banach vô hạn chiều.
Chúng ta có thể thấy ngay sẽ xuất hiện những khó khăn lớn về m ặt
3


kỹ th u ật khi chuyển từ việc nghiên cứu không gian phức hyperbolic hữu
hạn chiều lên không gian Banach. Chẳng hạn đối với miền trong không
gian Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như không
xây dựng được khái niệm ta u t theo nghĩa của Wu.
Để khắc phục các nhà toán học đã đưa ra khái niệm ta u t theo nghĩa
khác của Wu và được gọi là ta u t yếu.
Với những lý do trên,cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy T S . L ê T ài
T h u , tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu với tên đề tài: “T ín h t a u t y ếu
c ủ a m iề n tr o n g k h ô n g g ia n B a n a c h ” .
2 . C ấ u tr ú c c ủ a lu ậ n v ăn


Luận văn này gồm 2 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương là hệ thống một số khái niệm về giả khoảng
cách Kobayashi, biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi.
Sau đó đưa ra định nghĩa về không gian phức hyperbolic, hyperbolic
đầy và tau t. Định nghĩa hàm điều hòa dưới và hàm đa điều hòa dưới.
Chương 2: Tính ta u t yếu của miền trong không gian Banach.
Mục đích của chương này là đánh giá mối quan hệ giữa tính ta u t yếu
và tính hyperbolic của đa tạp Banach và mối quan hệ giữa tính ta u t yếu
địa phương và tính ta u t yếu của miền không bị chặn trong không gian
Banach

4


3. M ụ c đ ích n g h iê n cứ u
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính hyperbolic, hyperbolic
đầy và ta u t trong không gian phức.
Nghiên cứu tính ta u t yếu của miền trong không gian Banach.
4. N h iệ m v ụ n g h iê n cứ u
Nghiên cứu các dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy
và ta u t của không gian phức.
Nghiên cứu tính ta u t yếu của miền trong không gian Banach.
5. Đ ố i tượng v à p h ạ m vi n g h iê n cứ u
Đối tượng nghiên cứu là tính ta u t yếu của miền trong không gian
Banach.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trên miền trong không gian Banach.
6 . P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u


Sử dụng kiến thức và phương pháp nghiên cứu của giải tích.
Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài
nước .
7. D ự k iế n đ ó n g góp m ới
Luận văn đã hệ thống lại:
Hệ thống lại một số dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic
đầy và ta u t của không gian phức.
Mối quan hệ giữa tính ta u t yếu và tính hyperbolic của đa tạp Banach.

5


Mối quan hệ giữa tính ta u t yếu địa phương và tính ta u t yếu của miền
không bị chặn trong không gian Banach.

6


Chương 1
K iến thức cơ bản
Nội dung của chương là hệ thống một số khái niệm về giả khoảng
cách Kobayashi, biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi.
Sau đó đưa ra định nghĩa về không gian phức hyperbolic, hyperbolic
đầy và tau t. Định nghĩa hàm điều hòa dưới và hàm đa điều hòa dưới.

1.1

G iả khoảng cách K obayashi trên không gian
phức


Với 0 < r < 00 ta đặt A r = {;? e
bán kính r,

A là đĩa

đơn vị trong

c, \z\
c.

< r}, Ai = A và gọi A r là đĩa

1.1.1 G iả k h o ả n g cách
Giả khoảng cách d trên tập X là một hàm
d :X

X

X -> X

(x,y)

d (x,y)
7


thỏa mãn 3 điều kiện sau đây
(i) d (x, y) > 0 với mọi x , y £ X \
(ii) d (X, y) = d (y , x) với mọi x , y € X ;
(in) d (x, y) < d (X, 2:) + d (z, y) với mọi x , y , z € X .

Nếu

d

chỉ thỏa mãn (ii),

và

(in)

d (x, y)

> 0 với mọi

x,y e

X

Yầ X

y

thì d, được gọi là khoảng cách trên X .
1 . 1 . 2 . G iả k h o ả n g cách K o b a y a sh i

(i) Trên A ta xét mêtric Bergman - Poincaré PA cho bởi
Pa(0,

a)


= ln ^

1 +

Pa (z u Z2) = ln

|«lva G A
z í ~ z2
1- Z ^ Z i

, Vzi, Z 2
1

-

£

A

Z 1- Z 2
1 - 2:12 :2

(ii) Giả sử X là không gian phức, X và y là hai điểm tùy ý của X .
Xét dãy điểm Po =

pi,...,pk = y của X , dãy điểm ữi, ữ2, ữ j f c € A

và dãy ánh xạ chỉnh hình / 1 , / 2,

fk £ Hoi (A, X ) sao cho


f i ( 0) = P i _ i
/ i ( ữ i ) = P i , V i = 1 , 2 , . . . , Ả;

Ta gọi tập hợp {po, P i,.. •, Pk, ữ i,

,..., ak, / 1 , / 2,..., fk } là một dây chuyền

chỉnh hình nối p và q trong X .
k
Với mỗi dây chuyền chỉnh hình như trên, ta lập tổng
dxip, Ò) = inf
p và q có thể có.

P a( 0 ,

%
—1

PA(O)ứị). Đặt

theo tấ t cả các dây chuyền chỉnh hình nối


Dễ thấy dỵ thỏa mãn các tiên đề về khoảng cách, tức là
(i) d (x, y) > 0 với mọi x , y £ X ;
( i i ) d (X , y ) = d ( y , x ) v ớ i m ọ i X, y £ X ;

(m ) d (x, y) < d (x, z) + d (z, y) với mọi x , y , z G X.
Nói cách khác đx : X X X —> R là một giả khoảng cách trên X và gọi là

k
giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . Tổng ^2 pD (0,ữj)
i= 1
được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình.
1.1.3. M ộ t số tín h c h ấ t c ủ a g iả k h o ả n g cách K o b a y a sh i
Giả khoảng cách Kobayashi có các tính chất sau:
• Nếu / : X

Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì

/ làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là
dx (z, y ) > dY ( / ( z ) , / (y )), Vz, y e x .
• dỵ là hàm liên tục và xác định tô pô của X .
• dA = pA.

1.2

K hông gian phức hyperbolic

1.2.1. K h ô n g g ia n p h ứ c h y p e rb o lic
Các định nghĩa sau (xem Kobayashi [2])
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 .Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic
nếu giả khoảng cách Kobayashi dx ỉà khoảng cách trên X , tức là

9


dx (x, y) = 0 o X = y, V i, y £ X .
B arth [1] đã chứng minh, nếu dim X < 00 và dỵ là khoảng cách trên X
thì dỵ xác định tô pô của X .

Như vậy không gian phức (hữu hạn chiều) X là hyperbolic khi và chỉ
khi giả khoảng cách Kobayashi dx là khoảng cách trên X .
1.2.2. M ộ t số tín h c h ấ t c ủ a k h ô n g g ia n p h ứ c h y p e rb o lic
Đ ịn h lý 1.2.2. Nếu X , Y là các không gian phức. Khi đó X X Y là không
gian hyperbolic khi và chỉ khi cả X v à Y đều là không gian hyperbolic.
Chứng minh. Vì phép chiếu 7T : X

X

Y

X là ánh xạ chỉnh hình nên 7r

là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi trên X X Y và
trên X , tức là
dxxY ((z, ỳ ) , « 2 / 0 ) > dx (z, o
Lý luận tương tự với phép chiếu 7r' : X X Y —>■Y ta có
d x x Y ( ( x , y ) , ự , y ' ) ) > d Y ( y , y' )

Do đó dxxY ((x, y ), ự , y')) > max {dx (x, x ' ) , dY (y, y')}.
Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh.
Đ ịn h lý 1.2.3. Giả sử X là không gian phức con của không gian phức
Y . Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác,
không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic.
Chứng minh. Vì phép nhúng chính tắc i : X

Y là ánh xạ chỉnh hình

nên theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta
10



có ngay điều phải chứng minh.
V í d ụ 1.
+ Đĩa A r và đa đĩa A m là hyperbolic.
+ Một miền bị chặn trong A m là hyperbolic vì nó là tập con mở của tích
các đa đĩa.

1.3

K hông gian hyperbolic đầy

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu
mọi dãy Cauchy đối với dỵ đều hội tụ trong X .
V í d ụ 2 . Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy.
Kobayashi [2] đã chứng minh rằng, nếu X là không gian phức hữu hạn
chiều thì X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mọi tập con đóng bị chặn
trong X đều là compact.

1.4

K hông gian phức Taut

Giả s ủ X , Y là các không gian phức. Trên Hol (X , Y ) ta trang bị tô pô
compact mở.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1.
(i) Dãy

c H o l ( X , Y ) được gọi là phẫn kỳ compact nếu với


mỗi tập con compact K của X , mỗi tập con compact L của Y , tồn tại
jo £ N sao cho fj (K ) n L = 0, mọi Vj > j ữ.
11


(ii)

Họ H o ỉ ( X , Y ) được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy {/i} 0^! £

Hol (X , Y ) chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact
hoặc là phân kỳ compact.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.2. Không gian phức X được gọi là taut nếu họ Hol ( M , x )
là chuẩn tắc với mỗi không gian phức M .
Kaup đã chứng minh rằng không gian phức X là ta u t nếu và chỉ nếu họ
Hoỉ (An, X ) là chuẩn tắc với mọi n > 1.
Sau đó B arth đã chứng minh khẳng định mạnh hơn là không gian phức
X là ta u t khi và chỉ khi họ Hoỉ (A, X ) là chuẩn tắc.
Kiernan đã chứng tỏ rằng không gian phức X là ta u t th ì X là hyperbolic
và nếu X là hyperbolic đầy thì X là tau t. Các khẳng định ngược lại đều
không đúng.
Ta có thể dễ dàng chỉ ra một miền bị chặn trong c n mà không là miền
tau t. Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong c 3 là ta u t mà không
là hyperbolic đầy. Dưới đây là định lý Kiernan.
Đ ịn h lý 1.4.3.
(i) Mỗi miền taut trong không gian phức X là miền hyperbolic.
(ii) Mỗi miền hyperbolic đầy trong không gian phức X cũng là miền
taut.
(Ui) Các khẳng định ngược lại đều không đúng.
Để chứng minh Định lý Kiernan, ta đưa vào một số khái niệm sau:
Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của miền M trong không gian phức

12


X . Không m ất tính tổng quát, ta có thể giả sử p = 0 và
; |lưi|2 + ... + |iưn| < l |

B = |(cưi,

là một lân cận của p trong M sao cho q ệ. B.
B s = | ( ^ 1 , •••)

); M 2 + ... + |cưn| < s2| .

v a = {pf £ M ;p (p ,p ') < s}.
As

=

ị^z

G A; 1^|2 < ổ < 1j .

Một cặp có thứ tự (r, ổ) các số dương được gọi là có tính chất Ả nếu với
mỗi ánh xạ chỉnh hình / : A —> M với / (0) £ B rì ta có / (A j) c B.
B ổ đ ề 1.4.4. Nếu tồn tại cặp (r, ổ) có tính chất Ả thì ầM (p,q) > 0.
Chứng minh.
Chọn hằng số c > 0 sao cho
Giả sử L = {p = Po,Pi,

(0, a) > c.d&6 (0, a), Va e A í .

= q]au

là một dây chuyền

Kobayashi nối p với q. Theo giả thiết, không m ất tính tổng quát, ta có
thể giả sử V ữ i , e

A í , Po,Pi,

£ B r và Pk G d B r. Khi đó

2

i=1

dA (0, d i ) > c J 2 ÚAS (0, CLi)>cJ2 dB (Pi- 1 , Pi) > cdB (0, pk) = c'
i=1
i=1

trong đó c' là hằng số dương.
Do đó d,M (p, q) > c/ > 0 .
Sau đây là chứng minh của định lý Kiernan.
(i)

Giả sử M không hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt

p và q sao cho d,M (Pj Q) = 0- Theo Bổ đề 1.4.4, cặp ( |, -) không thỏa
13



mãn tính chất A với bất kỳ n > 0. Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình
fn : A -» M sao cho fn (0) £ Bi_ và fn

ị B. Dãy { fi} không có

dãy con hoặc hội tụ đều trên các tập compact hoặc phân kỳ compact.
Do đó M không là taut.
(ii)

Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên

Hoỉ (A, M ) là đồng liên tục. M ặt khác, M là hyperbolic đầy nên mỗi
tập con bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy, Hol (A , M ) là
chuẩn tắc. Do đó, M là tau t.
C h ú ý: Điều ngược lại không đúng.
V í d ụ 3. Tồn tại không gian phức ta u t mà không là hyperbolic đầy. Ví
dụ sau là của B arth. Ta xây dựng một không gian phức ta u t Y bằng
cách "buộc" một số đếm được các đĩa đơn vị A i, A 2, ... theo cùng cách
sau: Trong đĩa thứ n : An chọn điểm an sao cho khoảng cách Poincaré
p A n (0 ,an) = Ặ . Ta "buộc" đĩa thứ hai A 2 vào đĩa thứ nhất Ai bằng
cách đồng nhất ãị e Ai vào gốc o của A 2. Ta "buộc" đĩa thứ ba A 3 vào
đĩa A 2 bằng cách đồng nhất a2 £ A 2 vào gốc o của A 3. Bằng cách lập
luận tương tự, ta đồng nhất an e A n vào gốc o của An+1 . Cuối cùng
ta được một không gian phức ký hiệu là Y . Các đĩa An, với n = 1 , 2 ,..
là thành phần bất khả quy của Y . Từ đó V / e Hol ( A ,y ) biến A vào
một trong những thành phần bất khả quy An, họ Hoi (A, Y ) là hợp của
những họ con Hoỉ (A, A n).
Cho { f j } £ Hoỉ (A, y ) . Giả sử { f j } không có dãy con hội tụ. Lấy {/n }
là dãy con bao gồm những ánh xạ f j biến A thành An. Do Hol (A, A n)


14


là chuẩn tắc, dãy {/n } phải là phân kỳ compact. Mỗi tập con compact
L c Y được phủ bởi A l u ... u A k với k nào đó. Khi đó, với mỗi tập
compact K c A và với mỗi n cố định n < k, ta có f n. (K ) n L = 0 trừ
một số hữu hạn f n.. Đối với n > k, f n. (K ) n L = 0 do An n L = 0. Như
vậy, { f j } là phân kỳ compact. Chứng tỏ rằng Hol ( A ,y ) là chuẩn tắc.
Vậy Y là taut.
Lấy Pn là một điểm thuộc Y ứng với an e A n, tức là Pn e A n và
dy (Pn — 1ìPn) < d A n (0 ,an) trong đó o là gốc của A n (ta có thể chọn
Pn = CLn). Khi đó dãy {pn} phân kỳ trong Y nhưng lại là dãy Cauchy vì
dY (pn - l,Pn) < d A n (0, an) = Ặ . Vậy Y không là hyperbolic đầy.
Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong c 3 là ta u t mà không là
hyperbolic đầy.
Còn không gian X = 5 2(0 ,1 )\ { ( |; o ) } là hyperbolic nhưng không là
taut

(trong đ ó

B 2 (0 , 1 ) =

|(, 2 ,cư) e

2 : ||;? ||2 +

||a; | | 2 <

1 j).


T hật vậy, do X bị chặn nên nó là hyperbolic. Với mỗi n = 2, 3,... ta đặt
U : A - > X , U M = (f, £ ) , rõ ràng lllll 2 + | | ì ||2 < 1 + ì

< I < 1,

2 ^ 4 5 f 7^ 0 và VA € A, với mọi n.

Vậy fn e Hoỉ (A ,X ). Ta có lim f n (A) = / (A) = ( f ,0 ) . Vậy fn hội tụ
Tí —>00

tới hàm / .
Ta có / (0) = (0, 0 ) e I nhưng / (I) = ( |, o) e d x . Điều này nói rằng
{fn} không là dãy hàm chuẩn tắc. Vậy X không là tau t.

15


1.5

B iểu diễn tích phân của giả khoảng cách K obayashi

1.5.1. B iể u d iễ n tíc h p h â n c ủ a g iả k h o ả n g cách K o b a y a sh i tr ê n
đ a tạ p
Đ ịn h n g h ĩa 1.5.1. Giả sử M là một đa tạp phức và T M là phân thớ
tiếp xúc của M . Một ánh xạ F : T M —>■R + được gọi là metrtic vi phân
trên M nếu nó thỏa mẫn các điều kiện sau
(i) F (Oa) = 0, trong đó Oa là vecto không của TXM ;
(ii) Với mọi £x e TXM và a e

c


thì F (a^a) = |a| F (£3 ).

Hơn nữa, nếu F liên tục và F (£3 ) Ỷ 0,

£ TXM \ {0} thì F được gọi

là metric Finsler.
Royden [5] đã xây dựng trên mỗi đa tạp phức X giả metric vi phân
Royden - Kobayashi Fx trên không gian tiếp xúc T X như sau
Fỵ (X , 1 >) = inf { - , 3 / G Hoỉ (Drì M )) sao ch o / (0) =

X

và f ' (e0) = v} .

Royden đã đưa ra công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi trên
đa tạp

trong đó £ìp q là tập hợp tấ t cả các đường cong liên tục từng khúc nối p
với q, tham số hóa bởi t e [0 , 1 ].
Ngoài ra, Royden đã chứng minh rằng
(а) Fỵ là hàm nửa liên tục trên trên T M \
(б) X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi p £ X , tồn tại lân cận mở
16


u của p trong

X và hằng số


c

> 0 sao cho Fỵ (x, V) > C.H (X, V) với

mọi V £ TXM và với mọi X £ u , trong đó H là mêtric Hecmit trên T X .
Mở rộng kết quả của Royden sang không gian phức ta có
1.5.2. B iể u d iễ n tíc h p h â n c ủ a g iả k h o ả n g cách K o b a y a sh i t r ê n
k h ô n g g ia n p h ứ c
Đ ịn h n g h ĩa 1.5.2. Giả sử X là không gian phức, T X là không gian
tiếp xúc Zariski của X , e0 = g-\z=o £ T0Dr sao cho (p' (u ) = V.
Nón Royden - Kobayashi F X được xác định
C o n X = V e T X \ 3(fHol (Dr, x ) , 3u e T0D r sao cho (p' (u ) = V.
Giả mêtric vi phẫn Royden - Kobayashi Fỵ là hàm trên T X được xác
định như sau
inf { - : 3ipHol (Dr, x ) ,ip(0) = z,ip (e0) =

nếu V £ C o n X

00

nếuv Ệ C o n X

Fx (2 , V) = <

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.3. Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi với
mỗi p e X , tồn tại lân cận mở u của p trong X và hằng số

c


> 0 sao

cho Fỵ (x, V) > C.H (X, V) với mọi V e TXM và với mọi X e u , trong đó
H là mêtric Finsler trên T X .
Venturini [6] cũng đã đưa ra một công thức biểu diễn giả khoảng cách
Kobayashi trên không gian phức.
Giả sử X là không gian phức,

X

e X và u> e Jỵ { X )x giả mêtric Venturini

được định nghĩa như sau
17


F*(x,t;) = m í ị - ; 3 f e H o l ( D , X ) J ( 0 )

= X, j k ( /) ,

=

rí I .

Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X được biểu
diễn dưới dạng
dx (p , q) = inf < sup [ F ị (7 (t ) , jj/y (í)) dt : 7 e
fc>i 7
k
0


I
)

ở đó Qp q là tập hợp tấ t cả các đường cong giải tích thực liên tục từng
khúc nối p với q.

1.6

H àm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới

1.6.1. H à m đ iề u h ò a dư ớ i
Đ ịn h n g h ĩa 1.6.1. Hàm hai biến thực u (X, y) trên miền D c R 2 là điều
hòa nếu nó có các hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn điều kiện
Ạ _ d2u
—

d2u _ A

d 2x ^

d 2y ~

u

A u được gọi là toán tử Laplace.
Đ ịn h n g h ĩa 1 . 6 . 2 . Giả sử Q là tập con mở trong c m.
Hàm u :

—>■ [—00 , + 00) được gọi là nửa liên tục trên nếu lim supu (2 ) <

z^z0

u (2:0) với
Một cách tương tự được W_1 ([—00, + 00)) là mở với mọi —00 < a < + 00.
Đ ịn h n g h ĩa 1.6.3. Giả sử Q

là tập

con mở trong

cm.

Hàm u :—>■ [—00, + 00) được gọi là hàm điều hòa dưới nếu
18


(a) и nửa liên tục trên;
(ò) Dối với mọi hình tròn и với и £ Q và mọi hàm điều hòa h trên
u ỉiên tục trên и từ h > и trên d u suy ra h > и trên и .
Đ ịn h lý 1.6.4. Giả sử Q là tập con mở trong c m.
Hàm tp : Q —>■ [—00, + 00) là một hàm nửa ỉiên tục trên. Các tính chất
sau đây tương đương
(a)

S H (íì)

(ò) Với mọi đĩa D Zữr с Q và mọi đa thức p = p ( z ) , ipịdD < Ь1еР|эд
kéo theo ự)In

< R ePln


(c) Với mọi D Zor С Çi ta có (fi (20) < (27rr)_1 J d D Zor(fids, trong đó ds
là phần tử của cung
(d) Với mọi D Zor С Q ta có
(di) Với mọi Zq tồn tại r 0 < d (2:0, dQ) sao cho với mọi r < r 0 thì tính
chất (d) đúng.
M ệ n h đ ề 1.6.5. Giả sử {<£>„} ỉà hàm điều hòa dưới và bị chặn đều trên
Khi đó limsup<£„ là hàm điều hòa dưới nếu nó là nửa liên tục trên.
V

Chứng minh. Với mọi z G Q ta có
^ 2тг
lim sup <£>„<— / lim sup ipv (z + reie) de
Do tính chất hàm điều hòa dưới của B ổ đ ề 1.6.6. Nếu {trên Q thì ífi = inf (fv cũng là hàm điều hòa dưới trên Q.
V

19


Chứng minh. Với mọi с ta có {z e n|một tập mở, do đó tp là nửa liên tục trên.
Nếu

hịdK

>

4>\dK

và £ > 0 thì K v = {z £ d K : ipv (2:) > h ( z ) +

compact và giảm với mọi
tập K v phải rỗng khi

V

к

e}

là

€ Q. Do giới hạn khi 1; —> +00 là rỗng nên

đủ lớn. Do đó ipỹ (|fc < h\\K) + £ với mọi giá trị

cua V.
Đ ịn h lý 1.6.7. Nếu {(pv}v là một dãy các hàm điều hòa dưới, bị chặn
đều trên mọi tập compact của Q và limsup<£>„ < ỉ vối mọi z £ ÇI. Khi
V

đó, với mọi £ và mọi

к

ç Çl, tồn tại v£k thỏa mãn

sup

zek

Chứng minh. Cố định Z(Ị G

к

với \z — Zũ\

< ỗ Yầ

r

<

d(z(Ị, d Q )

—ỏ

với

ỏ «c r ta có trung bình dưới

2тг r+ ố

(1.1)

о 0
ở đây có phần điều chỉnh 0 (ổ). Đối với sai số khi chuyển từ việc lấy tích
phân trên В (z , r ) sang lấy tích phân trên là do tính chặn đều của Theo bổ đề Fatou nên từ (1.1) ta có

2-7Г r +5

0 0

< ỉ + 0(ỗ)
20


Do lập luận về một phủ hữu hạn đối với к và do tính tùy ý của ố ta kết
luận được lim sup sup < 1 .
V

zeK

1.6.2. H à m đ a đ iề u h ò a dưới
Đ ịn h n g h ĩa 1.6.8. Giả sử Q là tập con mở trong c n. Hàm nửa liên tục
trên tp : Q —>■ [—00, +oo) với Q là mở trong c n, lủ ф 0 hàm T —>■(f{z + r )
là điều hòa dưới trong một lân cận của 0 G c .
Kí hiệu p (Q) là tập các hàm đa điều hòa dưới trong Q.
V í d ụ 4. Nếu / G p (Q) thì l/l và log l/l là hàm đa điều hòa dưới.
Đ ịn h lý 1.6.9. Giả sử (f ỉà hàm lớp c 2 trên mở íỉ Ễ c n. Khi đó ip ỉà
hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu
Lip (z, uj) = ^2/ ×
J_t ÜZjiÜZi
i,j=1

^ 0, V-S e Q, LƯe С71.

Chứng minh. Định lý nhận được từ đẳng thức sau
n

Ш M = Ẻ äffe
*j= l

Vz e n , o, e C”

ở đây и (r) = tp (z + TU}).

21


Chương 2
Tính taut yếu của m iền trong
không gian Banach
Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền trong không gian
phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic đã đạt
được nhiều kết quả. Tuy nhiên việc khảo sát một cách hệ thống các tính
chất hình học của miền trong không gian Banach vô hạn chiều còn ít
được quan tâm . Ta có thể thấy ngay rằng sẽ xuất hiện những khó khăn
lớn về m ặt kỹ thuật khi chuyển từ việc nghiên cứu miền trong không
gian phức hữu hạn chiều lên vô hạn chiều. Chẳng hạn đối với miền trong
không gian Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như
không xây dựng được khái niệm ta u t theo kiểu Wu cho lớp miền này. Vì
vậy, trong không gian Banach người ta đưa ra khái niệm tính ta u t yếu.
Mục đích của chương này là đánh giá mối quan hệ giữa tính ta u t yếu
và tính hyperbolic của đa tạp Banach và mối quan hệ giữa tính ta u t yếu
địa phương và tính ta u t yếu của miền không bị chặn trong không gian

22

Banach.
Trước hết, ta nhắc lại một số tiêu chuẩn để nhận biết tính hyperbolic,
hyperbolic đầy và tính ta u t trong không gian phức.

2.1

T iêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy và tau t
tron g không gian phức

M ệ n h đ ề 2.1.1. Giả sử X v à Y là các không gian phức. Khi đó X X Y
là hyperbolic (đầy) khi và chỉ khi cả X v à Y là hyperbolic (đầy).
M ệ n h đ ề 2.1.2. Giả sử X v à Y là các không gian phức và / : X —>■Y
là ánh xạ chỉnh hình. Y ' là không gian phức con của Y và X ' = / -1

X

Y '.

Nếu X và Y ' là hyperbolic đầy thì X ' = / -1 X Y ' cũng là hyperbolic đầy.
Chứng minh. Giả sử Gf là đồ thị của / : X —>■ Y thế thì Gf là một
không gian phức con đóng của X x Y . Cho / ' là giới hạn của / trong X
và G f ' là đồ thị của nó.
G f' = G f n (X

X

Y ). Khi đó, G f ' là đóng trong X

X

Y ' . Theo Mệnh

đề 2.1.1, X X Y ' là hyperbolic đầy, theo Mệnh đề 1.3.2 (Chương 1) thì
Gf là hyperbolic đầy. Từ phép chiếu X X Y ' —>■X đưa ra một đẳng cấu
chỉnh hình từ G f ' vào X ' . Từ đó chỉ ra rằng X ' là hyperbolic đầy.
M ệ n h đ ề 2.1.3. Giả sử X , Y là các không gian phức và Xi, ỉ e I là
các không gian phức con của không gian phức X sao cho X = fijXj. Nếu
tất cả Xi là hyperbolic đầy thì X cũng là hyperbolic đầy.
M ệ n h đ ề 2.1.4. Giả sử X là không gian phức. Nếu tồn tại một họ các
23