LUẬN văn sư PHẠM TOÁN KHÔNG GIAN tôpô và các MINH họa TRÊN r n

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.05 KB, 86 trang )

TRƯỜNG ðẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

Luận văn tốt nghiệp

KHÔNG GIAN TÔPÔ VÀ
CÁC MINH HỌA TRÊN Rn

Giảng viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

Ma. Trần Thị Thanh Thúy

Phạm Minh Trí (MSSV:1060088)

Cần Thơ 2010

LỜI NÓI ðẦU
oOo

Học tập và nghiên cứu toán cao cấp là một công việc rất thú vị nhưng cũng ñầy khó
khăn và thử thách. ðược trang bị kiến thức liên quan cùng với sự hỗ trợ nhiệt tình của
giáo viên hướng dẫn cô Trần Thị Thanh Thúy là những ñiều kiên thuận lợi ñể em ñã
hoàn thành ñề tài nghiên cứu của mình.
Nay em xin gởi lời cảm ơn chân thành ñến tập thể giảng viên bộ môn toán ñã tạo ñiều
kiện cho em nghiên cứu. Cám ơn các thầy cô ñã giảng dạy em trong thời gian qua.
Trong ñó thầy Lê Hồng ðức là người ñặt nền tảng giải tích cho em qua môn “giải tích
1” và “giải tích hàm”. Thầy Lâm Quốc Anh ñã giúp em hình thành tính hệ thống khi

trình bài một vấn ñề qua môn “cơ sở hình học”. Thầy Bùi Anh Kiệt dạy em môn “toán
rời rạc” giúp em hiểu tốt hơn về vấn ñề liên thông liên quan ñến ñề tài. ðặc biệt em xin
gởi lời cảm ơn ñến cô Trần Thị Thanh Thúy là giảng viên hướng dẫn cũng là người trực
tiếp giảng dạy các học phần liên quan ñến tôpô.

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

MỤC LỤC
LỜI NÓI ðẦU
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ðẦU
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ
I. KHÔNG GIAN TÔPÔ ............................................................................................. 1
II. TẬP MỞ, LÂN CẬN, TẬP ðÓNG .......................................................................... 4
1. Tập mở ........................................................................................................... 4
2. Lân cận .......................................................................................................... 5
3. Tập ñóng ........................................................................................................ 6
4. Tập Fσ và G σ ................................................................................................ 8
III. CÁC LOẠI ðIỂM, PHẦN TRONG, BAO ðÓNG ................................................. 9
1. ðiểm giới hạn – tập dẫn xuất ....................................................................... 9
2. Giới hạn của dãy ......................................................................................... 11
3. Phần trong ................................................................................................... 12
4. Bao ñóng ...................................................................................................... 14
5. ðiểm biên ..................................................................................................... 16
IV. TẬP TRÙ MẬT - KHÔNG GIAN KHẢ LY ........................................................... 18
V. CƠ SỞ SỞ TÔPÔ .................................................................................................. 19
1. Cơ sở tôpô .................................................................................................... 19
2. Tiền cơ sở .................................................................................................... 22
VI. SO SÁNH CÁC TÔPÔ .......................................................................................... 23
VII. CÁC TIÊN ðỀ ðẾM ðƯỢC ............................................................................... 26

VIII. KHÔNG GIAN CON .......................................................................................... 29
IX. ÁNH XẠ LIÊN TỤC .............................................................................................. 31
X. PHÉP ðỒNG PHÔI .............................................................................................. 35
XI. CÁC TIÊN ðỀ TÁCH .......................................................................................... 38
XII. KHÔNG GIAN COMPACT ................................................................................. 40
XIII. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG ........................................................................... 41
XIV. TÔPÔ TÍCH ....................................................................................................... 46
Chương 2. CÁC BÀI TOÁN TÔPÔ TRÊN R n
Vấn ñề 1. Vài không gian tôpô trên R ........................................................................ 53
Vấn ñề 2. Tập mở, tập ñóng ....................................................................................... 54
Vấn ñề 3. Các loại ñiểm, phần trong, bao ñóng ........................................................ 59
Vấn ñề 4. Tập trù mật- không gian khả li .................................................................. 62
Vấn ñề 5. Các tiên ñề ñếm ñược ................................................................................. 63
Vấn ñề 6. Không gian con .......................................................................................... 64
Vấn ñề 7. Ánh xạ liên tục ........................................................................................... 65
Vấn ñề 8. Phép ñồng phôi .......................................................................................... 67
Vấn ñề 9. Không gian tách ......................................................................................... 69
Vấn ñề 10. Không gian liên thông............................................................................... 71
Vấn ñề 11. Không gian compact ................................................................................ 73
PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

BẢNG TÓM TẮT CÁC KÍ HIỆU
A’
Ad

tập dẫn xuất

S(x, r0)

trong R là khoảng ( x − r0 ; x + r0 ) ; trong R 2 là ñĩa mở tâm (a ; b) bán kính r0 {( x , y) : ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 < r0

S[x, r0]

2

trong R là ñoạn [ x − r0 ; x + r0 ] ; trong R 2 là ñĩa ñóng tâm (a ; b) bán kính r0 {( x , y) : ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 ≤ r0

A0
intA

phần trong

A
[A]
Cl(A)

bao ñóng

δ( A )
Fr (A)
b(A)

biên

≅

ñồng phôi

≅/

không ñồng phôi

2

PHẦN MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài

Tiếp cận với sinh viên ngành toán với tên gọi “tôpô ñại cương”, nó như bài toán mở ñối
với sinh viên chúng ta vì việc vận dụng kết quả của nó vào các môn học tiếp theo hầu
như rất hạn chế, mãi ñến môn “giải tích hàm” và “ñộ ño và tích phân lebesgue” mới
thấy ñược nó là nền tảng cho toán hiện ñại. Với vai trò quan trọng ñó việc nghiên cứu
và nắm vững tính chất cơ bản của tôpô là hết sức quan trọng. Nhưng ñể làm ñược ñiều
ñó theo em là rất khó với các bạn mới tiếp cận toán hiện ñại. ðề tài sẽ ñưa ra nhiều ví
dụ nhằm cụ thể hóa không gian trừu tượng và các phản ví dụ giúp các bạn nắm sâu hơn
bản chất của vấn ñề.
2. Lịch sử vấn ñề

Với việc giải quyết bài toán 7 cây cầu Konigsberg vào năm 1736, Euler biết mình ñã
tiếp cận với một thứ hình học mới mà yếu tố khoảng cách không còn quan trọng.
Nhưng tư tưởng này dường như bị Archimedes và Descartes bỏ qua. Công trình này
vẫn tiếp tục ñược Euler và nhiều nhà toán học khác như Lhuilier và Mõbius, Riemann,
Jordan, …. nghiên cứu. Năm 1895 Henri Poincaré xuất bản “Analyis Situs” giới thiệu
khái niệm ñồng phôi và tương ñương tôpô, một phần của ñại số tôpô – “algebra
topology” - sau này.
Hướng phát triển thứ hai bắt ñầu vào năm 1817 khi Bolzano mở rông giới hạn của dãy
số thực lên giới hạn của tập con vô hạn bị chặn của những số thực. Cột mốc năm 1872
với sự phát triển mạnh mẽ của tôpô hiện ñại ñược xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp

của Georg Cantor. Ông thêm vào một số khái niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp như:
tập dẫn xuất, tập mở, xét tập ñiểm trong không gian Euclide một phần công trình
nghiên cứu của ông về chuỗi Fourier .… ðánh dấu sự ra ñời của “point set topology”.
Năm 1906 Maurice Fréchet hợp nhất các công trình nghiên cứu của Cantor, Volterra,
Ascoli …. giới thiệu không gian metric.

Vài năm sau ñó 1914 Hausdorff ñịnh nghĩa lân cận bằng 4 tiên ñề không dựa trên
không gian metric cho phép ñịnh nghĩa không gian tôpô trừu tượng.
Sự ra ñời của môn giải tích hàm là hướng thứ ba của sự phát triển. Với những ñóng
ghóp của Jacob Bernoulli và Johann Bernoulli với hàm một biến; Hadamard với hàm
tuyến tính, Schmidt và Fréchet khảo sát tính hội tụ trong không gian liên tục. Tiến xa
hơn trên con ñường toán học trừu tượng là không gian ñịnh chuẩn của Banach.
Trải qua chặn ñường phát triển dài với rất nhiều thành tựu ngày này tôpô có mặt trong
hầu hết các chuyên ngành của toán học: tôpô ñại số, tôpô tập ñiểm, tôpô hình học, ña
tạp … và những ứng dụng rỗng rãi của nó trong tin học.
Chương trình toán bậc ñại học trong nước chỉ mới tiếp cận các khái niệm tôpô ở dạng
ñại cương. ðể học tập và nghiên cứu tốt về sau người học cần xây dựng những nền tảng
toán học này cho thật tốt.
3. Mục ñích nghiên cứu

+ Cụ thể hóa các khái niệm, ñịnh lý bằng các ví dụ và phản ví dụ.
+ Làm rõ mối liên hệ giữa các khái niệm trong không gian tôpô.
+ Sắp xếp phân dạng các bài tập tạo nguồn tư liệu học tập.
4. Phạm vi nghiên cứu

Trong phạm vi ñề tài em ñi sâu nghiên cứu các tính chất của tôpô tổng quát và tôpô
Euclide, tìm hiểu thêm một số tôpô ñặc biệt trên Rn.
5. Phương pháp nghiên cứu

+ Tìm tòi tra cứu thông tin từ Internet.
+ Phân dạng bài tập và trình bài theo khuôn khổ giáo trình: “tôpô ñại cương”.
+ Rút kinh nghiệm và tìm hướng nghiên cứu sâu hơn.

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG
KHÔNG GIAN TÔPÔ

I. KHÔNG GIAN TÔPÔ
ðịnh nghĩa

Cho một tập hợp X ≠ ∅ . Một họ τ các tập hợp con của X là một tôpô trên X nếu τ
thỏa mãn các tiên ñề sau ñây:
i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ
ii) ∀G1 , G 2 ∈ τ ⇒ G1 ∩ G 2 ∈ τ
iii) ∀{G α } ⊂ τ ⇒ U G α ∈ τ
α

Tập hợp X cùng với τ ñược gọi là một không gian tôpô.
Kí hiệu: (X, τ )
• Ví dụ

a) Cho X ≠ ∅ . Họ τ = {X, ∅} là một tôpô trên X. Tôpô này ñược gọi là tôpô thô và
(X, τ ) ñược gọi là không gian tôpô thô hoặc gọi gọn là không gian thô.
b) Họ τ gồm tất cả các tập con của X là một tôpô trên X và ñược gọi là tôpô rời rạc. (X,

τ ) gọi là không gian tôpô rời rạc.
c) Cho tập hợp X vô hạn. Họ τ = {A ⊂ X : A = ∅ hoặc X \ A hữu hạn} là một tôpô trên

X và ñược gọi là tôpô bù hữu hạn. (X, τ ) gọi là không gian tôpô bù hữu hạn hay còn gọi
là không gian Darixki.
Tính chất

Giao của một họ các tôpô trên X cũng là một tôpô trên X.
Hợp của hai tôpô không chắc là tôpô.

1

Ví dụ. Cho X = {1,2,3} và S = {∅,{1}, X} , T = {∅, {2}, X} . S và T là các tôpô trên X nhưng
S ∪ T = {∅,{1},{2}, X} không là tôpô trên X. Vì {1},{2} ∈ S ∪ T nhưng {1,2} ∉ S ∪ T .

Các minh họa trên R

1) Cho R là tập hợp tất cả các số thực.τ gồm R, ∅ và mọi khoảng (- n, n) trong ñó n là
số nguyên dương bất kì là một tôpô trên R.
Chứng minh
+ Ta có R, ∅ thuộc τ .
+ Xét U, V ∈τ . Nếu U = ∅ hoặc V = ∅ thì U ∩ V = ∅ ∈ τ. Nếu U và V khác rỗng
thì tồn tại số tự nhiên n, m sao cho U = (- n, n) và V = (- m, m).
Do ñó U ∩ V = (− min{m, n}, min{m, n}) ∈τ
+ Xét họ {U i }∀i∈I ∈ τ ta chứng minh
thì

UU
i∈I

i

UU
i∈I

i

∈ τ . Nếu I là tập hữu hạn và U i = (− m i ; m i )

= {− max{m i }, max{m i }} ∈ τ .

Trường hợp khác của họ {U i } , ta có

UU
i∈I

i

= R ∈ τ hoặc

UU
i∈I

i

= ∅ ∈τ .

Vậyτ là một tôpô trên R.
Bằng những lập luận tương tự ta chứng minh ñược họ các tập con sau ñây của R là
một tôpô.
2) τ ' gồm R, ∅ và mọi khoảng [- n, n] trong ñó n là số nguyên dương bất kì.
3) τ ' ' gồm R, ∅ và mọi khoảng [n,+∞) trong ñó n là số nguyên dương bất kì.

4) Trên tập X một phân hoạch P của X là họ tập hợp gồm những tập con rời nhau của X
sao cho hợp của nó là X. Tôpô τ P gồm X, ∅ và họ các tập thuộc P gọi là tôpô phân
hoạch.
Ví dụ. Trên R chọn P = {[n, n+1)|n ∈ Z}. Các tập thuộc tôpô phân hoạch là R, ∅ và

các khoảng dạng [a, b) (với a, b là số nguyên).

2

5) Cho X là tập vô hạn và p ∈ X là một ñiểm bất kỳ trong X. Cho τ F là một họ các tập
con của X sao cho nó có phần bù hữu hạn hoặc nó không chứa ñiểm p. Họ τ F là một
tôpô trên X gọi là tôpô Fort.
6) Tôpô giới hạn dưới (trên) trên R gồm R, ∅ và các tập thu ñược bằng cách hợp các
khoảng dạng [a, b) ((a, b]).
7) Trên R trang bị tôpô τ = {S ⊂ R ∀x ∈ S, ∃a , b ∈ R : x ∈ (a , b) ⊆ S} không gian ( R,τ )
ñược gọi là không gian tôpô Euclide trên R.
Chú ý. Họ τ = {S ⊂ R ∀x ∈ S, ∃a , b ∈ R : x ∈ (a , b) ⊆ S} là một tôpô trên R.

Chứng minh
+ Trước tiên ta chỉ ra R ∈ τ . Thật vậy với mọi x ∈ R ñặt a = x − 1 và b = x + 1 thì
x ∈ (a , b) ⊂ R suy ra R ∈ τ . Dĩ nhiên ∅ ∈ τ .

+ Bây giờ cho {A j : j ∈ J} , với J là tập chỉ số bất kì, là họ các tập thuộc vào τ .
Ta chứng minh

U

j∈J

Aj ∈τ .

Với mọi x ∈ U A j thì tồn tại k ∈ J : x ∈ A k mà A k ∈ τ nên tồn tại số thực a; b
j∈J

(a < b) sao cho x ∈ (a , b) ⊆ A k . Nên x ∈ (a , b) ⊆ U A j , suy ra
j∈J

UA
j∈J

j

∈τ.

+ Cuối cùng ta kiểm tra với mọi A1, A2 thuộc vào τ thì A1 ∩ A 2 ∈ τ . Thật vậy với mọi
y ∈ A1 ∩ A 2 ta có y ∈ A1 nên tồn tại số thực c; d sao cho y ∈ (c, d ) ⊆ A1 tương tự ta có
y ∈ A 2 nên tồn tại số thực e; f sao cho y ∈ (e, f ) ⊆ A 2 . ðặt a = min{c, e} và b = min{d, f }

khi ñó y ∈ (a , b) ⊆ A1 ∩ A 2 , suy ra A1 ∩ A 2 ∈ τ .
Bắt ñầu từ ñây nếu không ñề cập ñến tôpô nào trên R ta hiểu nó là tôpô Euclid trên
R.

3

II. TẬP MỞ, LÂN CẬN, TẬP ðÓNG
1. Tập mở
ðịnh nghĩa

Cho (X,τ ) là không gian tôpô, G ⊂ X . G là tập mở trong (X, τ) nếu G ∈ τ .
Tính chất
∅ và X là các tập mở.

Hợp một họ các tập mở là một tập mở.
Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở.
Giao một họ tùy ý các tập mở có thể không là tập mở.
Ví dụ
a) Xét tôpô bù hữu hạn trên tập số tự nhiên N ta có giao một họ tùy ý các tập mở có thể

không là tập mở.
Thật vậy, với mỗi số tự nhiên N ñịnh nghĩa tập Sn như sau:
∞

Sn = {1} ∪ {n + 1} ∪ {n + 2} ∪ {n + 3} ∪ ... = {1} ∪ U {m}
m = n +1

∞

Rõ ràng Sn là một tập mở trong tôpô τ nhưng I Sn = {1} không là tập mở.
n =1

b) Xét tôpô Euclide trên R, họ Ui = (-1/i; 1/i) với i = 1, 2, 3, …. Mỗi tập Ui là một tập
mở nhưng giao của chúng

I Ui = {0} không là tập mở.
i

Các minh họa trên R

1) Trong không gian tôpô Euclide trên R mọi khoảng (r, s) là tập mở.
Chứng minh
Với mọi x ∈ (r, s) chọn a = r và b = s ta có x ∈ (a , b) ⊆ (r, s) . Nên (r, s) là một tập mở
trong tôpô Euclide.
2) Khoảng mở (r, ∞) và (−∞, r ) là tập mở trong R với mọi số thực r.
Chứng minh
Cho x ∈ (r, ∞) ñặt a = r và b = x + 1 khi ñó x ∈ (a , b) ⊆ (r, ∞) vì vậy (r, ∞) ∈τ

4

Tương tự ta chứng minh ñược (−∞, r ) cũng là tập mở trong R.
3) Một tập con S của R là tập mở nếu và chỉ nếu nó là hợp của những khoảng mở.
Chứng minh
(⇒) Giả sử S là hợp những khoảng mở, khi ñó tồn tại (aj, bj) ( j ∈ J) sao cho
S = U (a j , b j ) Ta có (aj, bj) là tập mở suy ra S = U (a j , b j ) là một tập mở.
j∈J

j∈J

(⇐) Giả sử S là tập mở trong R. Khi ñó với mọi x ∈ S tồn tại khoảng mở

Vx = (a, b) sao cho x ∈ Vx ⊆ S . Khi ñó S = Ux∈S {x} ⊆ Ux∈S Vx ⊆ S ⇒ S = Ux∈S Vx . Vậy S
là hợp của những khoảng mở.
4) Không phải tất cả tập mở trên R ñều là khoảng.
∞

Ví dụ. Tập (1,2) ∪ (3.4) và U (2n ,2n + 1) là hai tập mở trong tôpô Euclide trên R nhưng
n =1

rõ ràng nó không là khoảng.
5) Khoảng [c, d) không là tập mở trên R.
Chứng minh
Giả sử [c, d) là tập mở trên R, khi ñó ∀x ∈ [c, d) thì tồn tại a, b thuộc R (a < b) sao cho

x ∈ (a, b) ⊂ [c, d) . Do c ∈ [c, d) nên ∃a, b ∈ R sao cho c ∈ (a, b) ⊂ [c, d) tức là
a < c < b và vì vậy a <

a+c
a+c
a+c
< c < b suy ra
∈ (a , b) và
∉ [c, d) . Do ñó
2
2
2

(a , b) ⊄ [c, d) (mâu thuẫn). Vì vậy không tồn tại a và b sao cho c ∈ (a, b) ⊂ [c, d) .
Suy ra [c, d) ∉ τ .
Chứng minh tương tự ta có (a,b]; [c,d] không là tập mở trên R.
2. Lân cận
ðịnh nghĩa

Cho A ⊆ X, V ⊆ X . V ñược gọi là lân cận của tập A nếu: ∃G ∈ τ : A ⊂ G ⊂ V
Nếu A = {x} thì V ñược gọi là một lân cận của ñiểm x.
Tính chất. G mở khi và chỉ khi G là lân cận mọi ñiểm x thuộc G.

5

Minh họa trên R

1) Khoảng mở (a, b) là lân cận của mọi ñiểm thuộc nó.
2) ðoạn [0, 1] trên R là lân cận của mọi ñiểm x0 vì x 0 ∈ (0,1) ⊂ [0,1]
3) ðoạn [0, 1] không là lân cận của 1 vì không tồn tại khoảng (a, b): 1 ∈ (a, b) ⊂ [0,1]
Thật vậy, giả sử tồn tại khoảng (a, b): 1 ∈ (a, b) ⊂ [0,1] khi ñó ta có 0 < a < 1 < b suy ra

0 < a <1<

1+ b
1+ b
1+ b
∈ (a , b ) ∧
∉ [0,1] (mâu thuẫn vì (a, b) ⊂ [0,1] ). Vậy
2
2
2

[0,1] không là lân cận của 1.
3. Tập ñóng
ðịnh nghĩa

Cho (X, τ) là không gian tôpô F ⊂ X . F là tập ñóng trong (X, τ) nếu X\F là tập mở.
Tính chất
∅ và X là các tập ñóng.

Giao một họ bất kì các tập ñóng là một tập ñóng.
Hợp hữu hạn các tập ñóng là một tập ñóng.

Hợp một họ tùy ý các tập ñóng có thể không là tập ñóng.
Ví dụ
a) Cho tập các số tự nhiên với tôpô bù hữu hạn. Tập Un = {n, n+1} là tập ñóng vì
∞

N\{n,n+1} là tập mở. Nhưng hợp vô hạn

UU

n

= N \ {0} không là tập ñóng.

1

b) Xét R với tôpô thông thường. Chọn Fn = [1/n, 3 − 1/n].
∞

Ta có: Các Fn là tập ñóng nhưng

U Fn

= (0,3) không là tập ñóng vì

n =1

∞

( U Fn )C = ( −∞,0] ∪[3, ∞) không là tập mở.
n =1

6

Tính "ñóng" của một tập tùy thuộc vào tôpô ñang xét.
Ví dụ.
a) Tập (0,1) ñóng trong (R, τ) rời rạc nhưng không ñóng trong không gian Euclide trên
R.

b) Xét R ñược trang bị tôpô τ = { ∅, R} ∪ {(x, +∞)| x ∈ R}
Ta có (0, 1) không mở trong không gian này nhưng mở trong không gian tôpô Euclide
trên R.
Trong không gian tôpô có những tập không ñóng cũng không mở.
Ví dụ

a) Xét tôpô Eucilde trên R tập A = (0, 1] không là tập ñóng cũng không là tập mở.
b) Tập các số tự nhiên chẵn E không là tập mở trong tôpô bù hữu hạn trên R vì phần bù
của nó tập các số tự nhiên lẽ N\E không là tập hữu hạn.
Mặt khác E cũng không là tập ñóng vì phần bù N\E không là tập mở.
Minh họa trên R

1) ðoạn [a, b] là tập ñóng trong tôpô Euclide trên R.
Chứng minh
Rõ ràng R \ [a, b] = (−∞, a ) ∪ (b,+∞) ∈ τ suy ra [a, b] là tập ñóng
ðặc biệt khi a = b ta có {a} là tập ñóng.
2) Tập Z các số nguyên là tập con ñóng của R.
Chứng minh
Ta có R \ Z = U ( n , n + 1) là hợp của những tập con mở (n, n+1) trong R và vì vậy là
n∈Z

mở trong R. Suy ra Z ñóng trong R.
3) Mọi tập hữu hạn trên R là tập ñóng nhưng không mở.
Thật vậy, gọi A là tập con hữu hạn của R, ñặt A = {x 1 , x 2 ,..., x n } ta có A ñóng vì {x} là
tập ñóng mà A =

U {x} .

x∈A

7

Nếu A mở thì với mọi x i ∈ A ta có ∃(a , b) : x i ∈ (a , b) ⊂ A ñiều này là không thể vì
(a , b) = ∞ còn A là tập hữu hạn. Do ñó A không là tập mở.

4) Tập Q tất cả các số hữu tỉ không là tập ñóng cũng không phải là tập mở.
Chứng minh
Giả sử Q mở trong R khi ñó tồn tại a , b ∈ R (a < b): (a, b) ⊆ Q . Do giữa 2 số thực bất kì
luôn tồn tại số vô tỉ. Nên Q không chứa bất kì (a, b). Do ñó nó không là tập mở.
ðể chứng minh Q không là tập ñóng ta ñi chứng minh R\Q không là tập mở. Tương tự
vì giữa 2 số thực bất kì tồn tại số hữu tỉ. Nên R\Q không chứa bất kì khoảng mở (a, b)
nào. Nên Q không ñóng trong R.
4. Tập Fσ và G σ
ðịnh nghĩa. Cho (X,τ ) là một không gian tôpô.

+ Tập con S của X ñược gọi là tập dạng Fσ nếu nó là hợp ñếm ñược các tập ñóng.
+ Tập con S của X ñược gọi là tập dạng G σ nếu nó là giao ñếm ñược các tập mở.
Tích chất. Phần bù của Fσ là tập G σ và phần bù của tập G σ là tập Fσ .

Chứng minh

∞

Với mọi F dạng Fσ ta có thể viết F dưới dạng F = U Fi trong ñó Fi là tập ñóng. Do ñó
i =1

∞

∞

i =1

i =1

phần bù của nó X \ F = X \ U Fi = I (X \ Fi ) . Nên X \ F có dạng G σ .
Chứng minh tương tự ta ñược phần bù của tập dạng G σ là tập dạng Fσ .
Minh họa trên R

1) Mọi khoảng (a, b) và tất cả khoảng ñóng [a, b] là tập dạng Fσ và G σ trên R.
Chứng minh
+ Ta có [a, b] là tập ñóng trong R nên hiển nhiên nó thuộc Fσ .

8

Thêm vào ñó (a , b) =

∞

U

1
1
[a + , b − ] nên (a, b) là tập dạng Fσ .
i
i


 2
i>

 b −a 

+ Tiếp theo ta có (a, b) là tập mở trong R nên hiển nhiên nó thuộc G σ .
1
1
Mặt khác [a , b] = I (a − , b + ) nên [a, b] là tập dạng G σ .
i
i
i
2) Tập các số hữu tỉ Q là tập dạng Fσ nhưng không là tập dạng G σ trên R.

Chứng minh
∞

+ Với mọi x ∈ Q ta có {x} là tập ñóng. Mà Q = U {x} suy ra Q là tập dạng Fσ .
i =1

∞

+ Nếu Q là tập dạng G σ thì Q = I A i với A i là tập ñóng trên R.

i =1

∞

∞

i =1

i =1

Do ñó R \ Q = R \ I A i = U (R \ A i ) mà R \ A i là tập mở nên R \ Q mở. ðiều này mâu
thuẫn vì R \ Q không mở. Suy ra Q không là tập dạng G σ .
III. CÁC LOẠI ðIỂM, PHẦN TRONG, BAO ðÓNG
1. ðiểm giới hạn – tập dẫn xuất
ðịnh nghĩa. Cho không gian tôpô (X, τ) , x ∈ X và A ⊂ X .

* x là ñiểm giới hạn của A nếu ∀V ∈ Vx ⇒ (V \ {x} ∩ A ≠ ∅ ) .
* Tập hợp tất cả các ñiểm giới hạn của tập A gọi là tập dẫn xuất của A. Ký hiệu: A’
hoặc Ad.

• Ví dụ. Cho không gian tôpô (X, τ) trong ñó X = {a, b, c, d, e} tôpô
τ = {X, ∅,{a},{c, d},{a , c, d},{b, c, d, e}} , xét tập A = {a, b, c}. Chứng minh b, d và e là

ñiểm giới hạn của A nhưng a, c không là ñiểm giới hạn của A
Chứng minh
* b, d và e là ñiểm giới hạn của A.
+ Tập mở chứa b là X và {b, c, d, e} và cả hai ñều chứa phần tử khác b của A là c. Nên
b là một ñiểm giới hạn của A.

9

+ ðiểm d là ñiểm giới hạn của A mặc dù nó không thuộc A. Vì những tập mở chứa d là
{c, d} , {a , c, d} , {b, c, d, e} và X ñều chứa c. Tương tự e là ñiểm giới hạn của A mặc dù

nó không thuộc A.
* a, c không là ñiểm giới hạn của A.
+ Ta có V = {a} ∈ Va nhưng (V \ {a}) ∩ A = ∅ vì vậy a không là ñiểm giới hạn của A
+ Tương tự V = {c, d} ∈ Vc nhưng (V \ {c}) ∩ A = ∅ vì vậy c không là ñiểm giới hạn của
A.
Tích chất. Cho G là tập mở trong không gian tôpô Euclide R2. Mọi ñiểm của G ñều là

ñiểm giới hạn của G. Nếu G là tập ñóng, ñiều trên không còn ñúng.
Chứng minh
Lấy x ∈G. Vì G mở nên tồn tại r0 > 0 : S(x, r0) ⊂ G.
Chọn r ≤ r0, ta có: S(x, r) ⊂ S(x, r0) ⊂ G. Do ñó, tồn tại y ∈ S(x, r), y ≠ x và y ∈G.
Vậy, mọi x thuộc G ñều là ñiểm giới hạn của G.
Nếu G là tập ñóng, ñiều trên không còn ñúng.
Ví dụ. Xét G = {0}. Ta có 0 không là ñiểm giới hạn của G.
Minh họa trên R

1) Với A = ( −∞, +∞) , tập các ñiểm giới hạn của A là ( −∞, +∞).
2) Với A = (−2, 4] ∪ [7,12] , tập các ñiểm giới hạn của A là [−2, 4] ∪ [7,12].
3) Tập N không có ñiểm giới hạn vì nếu a ∈ R, tồn tại ∂ > 0 sao cho: ( a − ∂, a + ∂)
không có chứa ñiểm của N khác a.
4) Mọi ñiểm c∈[a, b] là ñiểm giới hạn của (a, b] vì mọi khoảng mở chứa c có chứa
ñiểm của (a, b] khác c.
5) Với A ⊂ R , có thể có các trường hợp sau:
i) A ∩ Ad = ∅
ii) A ⊂ Ad

iii) Ad ⊂ A

10

iv) A = Ad
Thật vậy:
i) Chọn A = { 1,

1
, . . . }. Khi ñó, Ad = {0} và do ñó A ∩ Ad = ∅.
2

ii) Chọn A = (a, b]. Khi ñó, A ⊂ Ad = [a, b].
iii) Chọn A = { 0, 1,

1
, . .} thì Ad = {0} ⊂ A.
2

iv) Chọn A = [a, b] thì A = Ad .
2. Giới hạn của dãy
ðịnh nghĩa

Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và {xn}∈ X là một dãy trong X.
x n → x 0 ⇔ ∀U ∈τ : x 0 ∈ U ⇒ ∃n 0 ∈ N : ∀n ≥ n 0 : x n ∈ U

ðiểm x0 gọi là giới hạn của dãy.
Kí hiệu: lim x n = x 0 .
n →∞

Tính chất

Một dãy có thể có nhiều giới hạn.
Thật vậy, xét tập X ñược trang bị tôpô τ = {∅, X} thì với mọi dãy {xn}, ta có
x n → x , ∀x ∈ X .

Trong không gian tôpô Hausdorff giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất. Ở ñây
không gian Hausdorff X ñược ñịnh nghĩa là
∀x , y ∈ X : x ≠ y ⇒ ∃U ∈ U x ; V ∈ Vx : U ∩ V = ∅ .

Chứng minh
Giả sử x n → p và x n → q với p ≠ q . Vì X là không gian Hausdoff nên tồn tại hai tập
mở U và V sao cho p ∈ U ; q ∈ V và U ∩ V = ∅ . Do p và q là hai giới hạn của dãy {xj}
nên tồn tại hai số tự nhiên N1, N2 sao cho x j ∈ U, ∀j ≥ N 1 và x j ∈ V, ∀j ≥ N 2 . Khi ñó
x j ∈ U ∩ V, ∀j ≥ max{N1 ; N 2 } (mâu thuẫn vì U ∩ V = ∅ ). Suy ra {xj} có nhiều nhất

một giới hạn.
11

Không gian tôpô Euclide là không gian Hausdorff nên giới hạn một dãy (nếu có) là
duy nhất.
Trong không gian tôpô không là không gian Hausdorff, một dãy có thể hội tụ về
nhiều ñiểm.
Trong không gian tôpô thô ( X ,τ ) , {xn} ⊂ X thì x n → x , ∀x ∈ X .
Minh họa trên R

1) Nếu xn = c là dãy hằng trong R với tôpô thông thường thì c là giới hạn của dãy
( x n ) n∈N nhưng không là ñiểm giới hạn của tập {x n n ∈ N} .

1
(n lẻ) và x n = 1 (n chẵn) thì dãy ( x n ) n∈N không có ñiểm giới hạn nhưng
n
tập {x n n ∈ N} có duy nhất ñiểm giới hạn 0.

2) Nếu x n =

3) Nếu τ = {X, ∅} thì dãy {xn} tùy ý {x n } ⊂ X , x n → x , ∀x ∈ X . ðiểm giới hạn của
tập {x1; x2; x3; ….} là ñiểm x bất kỳ trong X.
4) Trong R với tôpô bù hữu hạn, mọi dãy {x n } ⊂ R hội tụ về mọi ñiểm a ∈ R .
Chứng minh
Giả sử a ∈ R và U là lân cận mở của a. Khi ñó R\U là tập hữu hạn. Vì {xn} có vô số
phần tử nên ∃N : ∀n > N; x n ∈ U . Vậy x n → a .
3. Phần trong
ðịnh nghĩa. Cho không gian tôpô (X, τ) , x ∈ X và A ⊂ X

* x ñược gọi là ñiểm trong của A nếu ∃G ∈ τ : x ∈ G ⊂ A .
* Phần trong của A là tập mở lớn nhất trong X chứa trong A.
Kí hiệu: A0 hoặc intA.

• Ví dụ. Cho X = {a , b, c, d, e} và τ = {X, ∅, {a},{c, d},{a , c, d},{b, c, d, e}} . Tìm phần
trong của các tập sau A = {a , c, d, e} ; B = {b, c, d, e} .
Chứng minh

12

Các tập con mở của A gồm ∅ ; {a}; {c, d}; {a, c, d}. Suy ra intA = {a, c, d}.
Tương tự ta có các tập con mở của B gồm ∅ ; {c, d}; {d, c, d, e}. Suy ra

intB = {d, c, d, e}.
Tính chất

Phần trong của tập A là tập hợp tất cả các ñiểm trong của A.
IntA = ∪{G : G là tập mở G ⊂ A}

G mở ⇔ G = intG.
int( A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B

Ta có: A ⊂ A ∪ B ⇒ int A ⊂ int( A ∪ B) .
Tương tự ta có: int B ⊂ int( A ∪ B) .
Vậy int( A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B .
Minh họa trên R

1) Xét tôpô Euclide trên R, int((3, 4)) = (3, 4); int([0, 1]) = (0, 1); int({1}) = ∅
Chứng minh
+ Ta có (3, 4) là tập mở chứa trong (3, 4) và rõ ràng nó là tập mở lớn nhất chứa trong
(3, 4) nên int((3, 4)) = (3, 4).
+ Tiếp theo ta thấy (0, 1) là tập mở chứa trong [0, 1]; ta ñi chứng minh nó là tập mở lớn
nhất chứa trong [0, 1].
Thật vậy nếu tồn tại tập mở A ⊂ [0, 1] và A ⊄ (0, 1) thì hoặc {1}∈ A hoặc {0}∈ A ,
nhưng 0 và 1 không là ñiểm trong của A (mâu thuẫn với A là tập mở). Suy ra (0, 1) là
tập mở lớn nhất trong [0, 1].
+ Ta có ∅ là tập mở duy nhất chứa trong tập {1} nên nó cũng chính là tập mở lớn nhất
chứa trong {1}. Vậy int{1} = ∅ .
2) Nếu U mở thì U = int U không nhất thiết ñúng.
Xét U = R \ {0} trong R với tôpô thông thường. Khi ñó, U mở nhưng

13

int U = intR = R.
3) int( A ∪ B) ⊄ int A ∪ int B
Xét A = [0;1) và B = [1;2] . Ta có A ∪ B = [0;2] và
int( A ∪ B) = (0;2) ≠ (0;1) ∪ (1;2) = int A ∪ int B .

4. Bao ñóng
ðịnh nghĩa. Cho không gian tôpô (X,τ ) , x ∈ X và A ⊂ X

* x là ñiểm dính của A nếu ∀V ∈ Vx ⇒ V ∩ A ≠ ∅ .
* Bao ñóng của A là tập ñóng bé nhất trong X chứa A.
Kí hiệu: A hoặc [A] hoặc Cl(A).

• Ví dụ
Cho X = {a , b, c, d, e} và τ = {X, ∅, {a},{c, d},{a , c, d},{b, c, d, e}} . Khi ñó {b} = {b, e} ,
{a , c} = X và {b, d} = {b, c, d, e} .

Chứng minh
Các tập ñóng trong không gian tôpô (X,τ ) là ∅ , X, {b, c, d, e}, {a, b, e}, {b, e} và
{a}. Vì tập ñóng chứa b là tập ñóng nhỏ nhất trong không gian (X,τ ) nên {b} = {b, e} .
Tương tự ta có {a , c} = X và {b, d} = {b, c, d, e} .
Tính chất
Mệnh ñề 1. Cho không gian tôpô (X,τ ) và A ⊂ X . A ñóng khi và chỉ khi A chứa tất

cả ñiểm giới hạn.

14

Chứng minh

(⇒) Giả sử A ñóng trong (X,τ ) và p là ñiểm giới hạn của A và p ∈ X \ A . Khi ñó
X \ A là tập mở chứa p nên X \ A chứa một ñiểm nào ñó của A (mâu thuẫn). Vì thế

mọi ñiểm giới hạn của A ñều thuộc A.

(⇐) Giả sử A chứa tất cả ñiểm giới hạn của A. Khi ñó với mọi

z ∈ X \ A thì z không là

ñiểm giới hạn của A nên U z : z ∈ U z và U z ∩ A = ∅ suy ra U z ⊆ X \ A . Do ñó

X \ A = Uz∈X \ A U z là một tập mở. Do ñó A là tập ñóng.
• Áp dụng tích chất này ta ñược
+ Tập [a, b) không là tập ñóng trên R, vì b là một ñiểm giới hạn nhưng b ∉ [a , b)
+ Tập [a, b] ñóng trên R vì tất cả ñiểm giới hạn của [a, b] ñều thuộc [a, b]
+ Tập (a, b) không là tập ñóng vì không chứa ñiểm giới hạn a và b.
+ [a,+∞) ñóng trên R.
Mệnh ñề 2. Bao ñóng của A là tập hợp tất cả các ñiểm dính của A.
Mệnh ñề 3. Trong không gian tôpô (X, τ) cho Ai ⊂ X , ∀ i ∈ I với I là một tập chỉ số
nào ñó. Chứng minh rằng:

a) A i ∩ A j ⊆ A i ∩ A j .
b)

UA
i∈I

i

⊃ U Ai
i∈I

Chứng minh
a) Ta có: A i ∩ A j ⊆ A i ⇒ A i ∩ A j ⊆ A i và A i ∩ A j ⊆ A j ⇒ A i ∩ A j ⊆ A j suy ra
Ai ∩ A j ⊆ Ai ∩ A j .

b) Vì mỗi chỉ số j ∈ I chúng ta có bao hàm thức Aj ⊆

UA
i∈I

theo

UA
i∈I

i

⊆ U Ai .
i∈I

15

i

suy ra A j ⊆

UA
i∈I

i

. Kéo

Minh họa trên R

1) Bao hàm thức A ∩ B ⊃ A ∩ B có thể sai.
Ví dụ. Cho A = (0; 1) và B = (1; 2) khi ñó A ∩ B = {1} nhưng A ∩ B = ∅ .
2) Bao hàm thức

UA
i∈I

⊆ U A i có thể sai.

i

i∈I

Ví dụ
1

Xét không gian tôpô Euclide trên R và cho Ai là tập Ai = 0,2 −  với i = 1, 2, 3, …
i

Các Ai là tập ñóng và

UA = UA

i

i∈I

Do ñó bao hàm thức

UA
i∈I

i

i∈I

i

= [0,2) và vì vậy

UA
i∈I

i

= [0,2] ⊄ [0,2) = U A i .
i∈I

⊆ U A i là sai.
i∈I

5. ðiểm biên
ðịnh nghĩa. Cho không gian tôpô (X,τ ) , x ∈ X

* x là ñiểm biên của A nếu ∀V ∈ Vx ⇒ V ∩ A ≠ ∅ và V ∩ (X \ A) ≠ ∅ .
Tập hợp các ñiểm biên của A ñược gọi là biên của A.
Ký hiệu: δ(A) hoặc Fr (A) hoặc b(A).
Tính chất
∂A = A \ int( A) .

Ta có: A \ ∂A = A \ (A ∩ X \ A) = A \ X \ A = A ∩ (X \ X \ A) = A ∩ int A = int A . Suy ra
∂A = A \ int( A) .
∂ (int( A)) ⊆ ∂A .

Thật vậy, ∂A = A \ int( A) nên ∂ (int(A)) = int( A ) \ int(int( A)) = int( A ) \ int( A ) . Mà
int( A) ⊆ A ⇒ int( A ) ⊆ A ⇒ int( A ) \ int( A ) ⊆ A \ int( A ) ⇒ ∂ (int( A)) ⊆ ∂A .
∂ (A ∪ B) ⊆ ∂A ∪ ∂B .

Ta có: ∂ (A ∪ B) = A ∪ B \ int( A ∪ B) = (A ∪ B) \ int( A ∪ B)

16

LUẬN văn sư PHẠM TOÁN KHÔNG GIAN tôpô và các MINH họa TRÊN r n

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về