TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Ngành: SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. LÊ HỒNG ĐỨC

NGUYỄN DUY CƯỜNG
MSSV: 1080003
LỚP: SƯ PHẠM TOÁN HỌC
KHÓA: 34

CẦN THƠ – 05/2012


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
NỘI DUNG....................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 4
1.1 Định nghĩa không gian tôpô ...................................................................... 4

1.2 Tập mở, tập đóng, lân cận ......................................................................... 4
1.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng ........................................................ 6
1.4 Cơ sở tôpô................................................................................................... 7
1.5 Các tiên đề đếm được................................................................................. 8
1.6 Các tiên đề tách.......................................................................................... 8
1.7 Ánh xạ liên tục ............................................................................................ 9
1.8 Không gian compact ................................................................................. 10
1.9 Lưới và sự hội tụ theo quan điểm lưới trong không gian tôpô ............... 11
CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ .............................................. 13
2.1 Định nghĩa không gian vectơ tôpô............................................................ 13
2.2 Tập hút, tập cân, tập lồi, tập tuyệt đối lồi trong không gian vectơ......... 16
2.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn trong không gian vectơ tôpô................ 27
2.4 Cơ sở lân cận ............................................................................................ 31
2.5 Không gian vectơ tôpô Hausdorff ........................................................... 38
2.6 Không gian vectơ tôpô lồi địa phương .................................................... 41
2.7 Không gian vectơ tôpô mêtric .................................................................. 65
2.8 Không gian vectơ tôpô chuẩn hóa được.................................................. 73
2.9 Ánh xạ tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính .......................................... 75
2.10 Không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều................................................... 77
CHƯƠNG 3. BÀI TẬP .................................................................................. 82
KẾT LUẬN .................................................................................................... 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 98

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 1

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()



Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như ta đã biết một cách đơn giản để đưa một tôpô vào một không gian vectơ là
cho trước một chuẩn, khi đó ta có một không gian định chuẩn như đã biết. Tuy nhiên,
lớp các không gian đó chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề của giải tích, bởi vì có
nhiều không gian vectơ quan trọng mà tôpô tự nhiên nảy sinh trên nó không được cho
được bởi chuẩn nào, lớp không gian này tổng quát hơn các không gian định chuẩn và
được gọi là các không gian vectơ tôpô. Từ đó, được sự hướng dẫn và gợi ý của thầy Lê
Hồng Đức, em đã chọn đề tài “ Không gian vectơ tôpô ” với mục đích bổ sung kiến
thức và hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các không gian kể trên.
2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng được nghiên cứu trong luận văn này là về không gian vectơ tôpô và
một số tính chất có liên quan.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của luận văn là giúp em nâng cao kiến thức về giải tích
hàm, đặc biệt là về không gian vectơ tôpô. Bên cạnh đó, việc nghiên cứu một kiến thức
mới sẽ thúc đẩy tinh thần học hỏi, từ đó giúp em có sự đam mê đối với toán nhiều hơn.
Ngoài ra, qua việc thực hiện luận văn này, sẽ giúp em bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học, tạo một nền tảng kiến thức cần thiết cho việc học tập sau này.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Sưu tầm, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài.

 Phương pháp tổng hợp, khái quát hóa dùng để trình bày các kiến thức dưới dạng


các định lý, mệnh đề.
 Phương pháp hệ thống hóa được sử dụng để sắp xếp các kiến thức theo một trình

tự phù hợp.
5. TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nhắc lại một số khái niệm trong không gian tôpô và một số tính chất, định lý được
sử dụng trong bài nghiên cứu này.
CHƯƠNG II. KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 2

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

 Đây là phần nội dung chính của luận văn, đầu tiên là định nghĩa về không gian

vectơ tôpô. Từ định nghĩa, ta đã suy ra được một số tính chất hay của không gian vectơ
tôpô, trong đó có một tính chất rất quan trọng đó là: cấu trúc tôpô của một không gian
vectơ hoàn toàn xác định nếu ta xác định được cơ sở lân cận tại 0 trong không gian
vectơ tôpô đó.
 Luận văn cũng khảo sát một số loại tập như: tập hút, tập cân, tập lồi, tập tuyệt


đối lồi… Việc tìm hiểu các loại tập này là rất quan trọng, bởi vì bài nghiên cứu này
khảo sát tôpô trong không gian vectơ tôpô theo quan điểm lân cận, nên các loại tập này
sẽ là một công cụ đắc lực giúp ta nghiên cứu tôpô trong không gian vectơ tôpô.
 Phần tiếp theo là nghiên cứu về cơ sở lân cận của 0 trong không gian vectơ tôpô,

như đã nói ở trên việc khảo sát cơ sở lân cận tại 0 là vô cùng cần thiết, nó giúp ta nắm
được cấu trúc tôpô đang khảo sát. Ở đây ta khảo sát tính hút, cân, lồi của lân cận của 0,
ngoài ra còn một số tính chất khá hay khác. Định lý về tính chất tính của không gian
vectơ tôpô cũng được khảo sát trong phần này.
 Luận văn cũng khảo sát một loại không gian vectơ tôpô quen thuộc là không gian

vectơ tôpô Hausdorff, mà cụ thể là điều kiện cần và đủ để một không gian vectơ tôpô
đã cho là một không gian vectơ tôpô Hausdorff.
 Luận văn cũng nghiên cứu một loại không gian vectơ tôpô quan trọng là không

gian vectơ tôpô lồi địa phương. Bên cạnh đó, đã khảo sát các tính chất của nửa chuẩn,
từ đó đã xây dựng và khảo sát một số tính chất quan trọng của phiếm hàm Minkowski
tương ứng với các tập lồi, cân, hút. Ngoài ra, luận văn cũng đã xây dựng được một
không gian vectơ tôpô có tôpô cảm sinh bởi họ nửa chuẩn, từ đó đã đưa ra sự so sánh
về độ “mạnh – yếu” về tôpô của không gian vectơ tôpô cảm sinh bởi họ nửa chuẩn với
tôpô của các không gian vectơ tôpô khác (trên cùng một không gian vectơ nền). Hơn
thế nữa, bài nghiên cứu cũng đưa ra khẳng định, với một không gian lồi địa phương
bất kỳ, thì luôn tồn tại họ nửa chuẩn gồm các phiếm hàm Minkowski sao cho tôpô của
không gian lồi địa phương được cảm sinh bởi họ nửa chuẩn đó.
 Như ta đã biết, trong không gian tôpô việc nghiên cứu “đo” khoảng cách giữa các

phần tử đã làm nảy sinh không gian vectơ tôpô mêtric với những tính chất thú vị. Một
cách tự nhiên, điều kiện nào để ta có thể “đo” khoảng cách giữa các phần tử trong

SVTH: Nguyễn Duy Cường


Trang 3

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

không gian vectơ tôpô ? Để trả lời câu hỏi trên, luận văn đã nghiên cứu về điều kiện
cần và đủ để một không gian vectơ tôpô có tôpô cảm sinh bởi một mêtric.
 Bài nghiên cứu cũng đề cập đến không gian vectơ chuẩn hóa được, mà cụ thể là

điều kiện cần và đủ để một không gian vectơ tôpô có tôpô cảm sinh bởi một chuẩn.
Cuối cùng, luận văn nghiên cứu về ánh xạ tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính trong
không gian vectơ tôpô, cũng như không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều.
CHƯƠNG III. BÀI TẬP
Bài tập về không gian vectơ tôpô là rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên do sự hạn
chế về kiến thức của bản thân, nên các bài tập được trình bày ở mức độ vận dụng lý
thuyết kết hợp với một số kỹ thuật đơn giản. Cụ thể là:
 Một số bài tập về các loại tập: hút, lồi, mở, đóng…
 Chứng minh một tôpô tương thích hay không tương thích với cấu trúc đại số trên

không gian vectơ nền.
 Chứng minh một không gian vectơ tôpô có tôpô cảm sinh bởi một mêtric cho

trước.


SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 4

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Định nghĩa không gian tôpô
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ  các tập con của X được gọi là một tôpô
trên X nếu nó thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:

i )   , X 
ii ) Nếu U1  ,U 2  thì U1  U 2  

iii ) Nếu U i iI   thì

U

i




iI

Khi đó cặp

 X ,  được

gọi là một không gian tôpô. Ta thường viết X thay cho

 X ,  .
Ví dụ : Với X là một tập hợp khác rỗng. Khi đó   , X  là một tôpô trên X .
Tôpô này được gọi là tôpô thô hay tôpô tầm thường trên X .
Ví dụ : Họ tất cả các tập con của X là một tôpô trên X . Tôpô này được gọi là tôpô rời
rạc.
Ví dụ : Trên tập số thực  , xét

   A   | A là hợp hữu hạn hay đếm được các khoảng rời nhau từng đôi một



Khi đó  là một tôpô trên X . Tôpô này được gọi là tôpô tự nhiên trên  .
1.2 Tập mở, tập đóng, lân cận
1.2.1 Tập mở
1.2.1.1 Định nghĩa
Cho  X ,  là một không gian tôpô, G  X . Khi đó G được gọi là tập hợp mở trong

 X , 

nếu G   .


1.2.1.2 Nhận xét
i ) , X là các tập mở.

ii ) Hợp một họ các tập mở là một tập mở
iii ) Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở.

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 5

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

Chú ý
Giao một họ tùy ý các tập mở có thể không là một tập mở.
1.2.2 Lân cận
1.2.2.1 Định nghĩa
Cho A  X , V  X . Khi đó V được gọi là một lân cận của tập A nếu G   sao
cho A  G  V .
Nếu A   x thì V được gọi là một lân cận của điểm x . Nếu V là một tập mở thì V
được gọi là một lân cận mở của điểm x .
1.2.2.2 Định lý


G là tập mở khi và chỉ khi G là lân cận của mọi điểm thuộc G .
1.2.2.3 Định nghĩa
Họ tất cả các lân cận của điểm x trong  X ,  được gọi là hệ lân cận của x . Kí hiệu:
Vx

1.2.2.4 Định lý
Nếu Vx là họ tất cả các lân cận của điểm x thì :

i) x  V , V  Vx
ii ) V1 ,V2  Vx  V1  V2  Vx

iii ) V1  Vx ,V1  V2  V2  Vx
iv) V  Vx , U  Vx : V  Vy , y  U
Ngược lại nếu với mỗi x  X có họ Vx các tập con nào đó của X thỏa các tính chất

i), ii ), iii ), iv) thì có một tôpô duy nhất trên X nhận họ Vx là hệ lân cận của x.
1.2.2.5 Nhận xét

i) Hợp các lân cận của x cũng là một lân cận của x .
ii ) Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của x.

1.2.2.6 Định nghĩa
Họ  x  Vx là một cơ sở lân cận của điểm x ( hay cơ sở địa phương của không gian

X tại điểm x ) nếu V  Vx ,    x : x    V .

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 6


Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

Ví dụ : Cho X là một không gian rời rạc, a  X . Khi đó họ

a lập thành một cơ sở

lân cận của điểm a .
Ví dụ : Xét  với tôpô thông thường, a   . Khi đó họ  a các khoảng mở có dạng

 a   , a      0 

là một cơ sở lân cận của điểm a.

1.2.3 Tập đóng
1.2.3.1 Định nghĩa
Cho  X ,  , F  X . Khi đó F được gọi là tập đóng nếu X \ F là mở.
1.2.3.2 Nhận xét
i) , X là các tập đóng.

ii ) Giao một họ bất kỳ các tập đóng là một tập đóng.
iii ) Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng.
Chú ý
Hợp một họ tùy ý các tập đóng có thể không là một tập đóng.

1.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng
1.3.1 Các loại điểm
Cho không gian tôpô  X ,  , x  X và A  X .
i) x được gọi là điểm trong của A nếu G   : x  G  A
ii ) x được gọi là điểm ngoài của A nếu G   : x  G  X \ A

iii ) x được gọi là điểm biên của A nếu V  Vx  V  A   và V   X \ A   
iv ) x được gọi là điểm dính của A nếu V  Vx  V  A  
v ) x được gọi là điểm giới hạn của A nếu V  Vx  V \  x   A  

vi ) x được gọi là điểm cô lập của A nếu V  Vx : V  A   x
Tập hợp tất cả các điểm biên của tập A được gọi là biên của A . Kí hiệu:   A  hoặc
Fr  A  , hoặc b  A  .

Tập hợp tất cả các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn xuất của A . Kí hiệu

A' .

1.3.2 Phần trong
SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 7

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp


Không gian vectơ tôpô

1.3.2.1 Định nghĩa
Phần trong của tập A là tập hợp tất cả các điểm trong của A . Kí hiệu: int A hoặc A0 .
1.3.2.2 Định lý

int A là tập mở lớn nhất được chứa trong A .
1.3.2.3 Hệ quả
i) int A   G : G là tập mở nằm trong A

ii ) G mở  G  int G
1.3.3 Bao đóng
1.3.3.1 Định nghĩa
Bao đóng của tập A là tập đóng bé nhất trong X chứa A . Ký hiệu  A hoặc A hoặc
Cl  A  .

1.3.3.2 Hệ quả

i) A   F : F đóng  A
ii ) F đóng  A  A

1.3.3.3 Định lý
Cho  X ,  , A  X , x  X . Khi đó x  A khi và chỉ khi x là điểm dính của tập A .
Từ định lý trên ta nhận thấy bao đóng của một tập là tập hợp tất cả các điểm dính của
tập đó.
1.4 Cơ sở tôpô
1.4.1 Định nghĩa
Cho  X ,  . Họ    là một cơ sở tôpô của  nếu x  X , V  Vx thì    sao
cho x    V .
Cơ sở tôpô  được gọi là đếm được nếu  gồm một số đếm được những tập hợp mở.

1.4.2 Nhận xét
Mỗi tập thuộc  là một tập mở, nhưng tập mở thì chưa chắc thuộc  .
1.4.3 Định lý
Cho không gian tôpô  X ,  . Họ    là một cơ sở của  X ,  khi và chỉ khi mỗi tập
mở trong X là hợp của một họ nào đó những tập thuộc  .

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 8

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

1.4.4 Định lý
Họ  là một cơ sở của tôpô nào đó trên X   B : B  khi và chỉ khi với mỗi

B1 , B2 thuộc  đều tồn tại B   sao cho x  B  B1  B2 .
1.4.5 Định lý
Giả sử  là một họ tập hợp khác rỗng. Khi đó họ  các giao hữu hạn có thể của các
phần tử trong  là một cơ sở của một tôpô nào đó trên X  S : S   
1.5 Các tiên đề đếm được
1.5.1 Định nghĩa
Không gian tôpô  X ,  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mỗi
điểm x thuộc X đều tồn tại một cơ sở lân cận của x gồm đếm được phần tử.

1.5.2 Định nghĩa
Không gian tôpô  X ,  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu X có một
cơ sở tôpô gồm đếm được phần tử.
1.5.3 Định lý
Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
1.5.4 Nhận xét
Không gian tôpô  X ,  thỏa tiên đề đếm được thứ nhất thì nói chung chưa chắc nó
thỏa tiên đề đếm được thứ hai.
1.6 Một số tiên đề tách ( Ti  không gian)
1.6.1 T1  không gian (không gian Frechet)
1.6.1.1 Định nghĩa
Không gian tôpô  X ,  được gọi là T1  không gian nếu với hai phần tử x, y khác
nhau, tồn tại một lân cận của x không chứa y.
1.6.1.2 Định lý
Không gian tôpô X là T1  không gian khi và chỉ khi mỗi tập con gồm một phần tử
của X đều là tập đóng.
Ví dụ: Không gian tôpô rời rạc là T1  không gian.
1.6.2 T2  không gian (không gian Hausdorff)

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 9

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp


Không gian vectơ tôpô

1.6.2.1 Định nghĩa
Không gian tôpô  X ,  được gọi là T2  không gian nếu với mọi cặp điểm khác nhau

x, y thì U  Vx , V  Vy sao cho U  V   .
Ví dụ:  với tôpô thông thường là T2 không gian
1.6.2.2 Nhận xét
Nếu X là T2  không gian thì X là T1  không gian.
1.6.3 T3  không gian
1.6.3.1 Định nghĩa
Không gian tôpô X là không gian chính qui nếu mỗi điểm x  X , và tập đóng F
không chứa điểm x luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của F sao cho

U V   .
1.6.3.2 Định nghĩa
Nếu X là không gian chính qui vá X là T1  không gian thì X được gọi là
T3  không gian.

1.7 Ánh xạ liên tục
1.7.1 Định nghĩa
Giả sử f : X  Y là một ánh xạ từ không gian tôpô  X , X  vào không gian tôpô

 X , Y  . Khi đó:
 Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x  X nếu với mọi lận cận V của f  x  thì
tồn tại lân cận U của x sao cho f U   V .

 Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x  X .
1.7.2 Định lý
Giả sử  X , X  , Y , Y  là hai không gian tôpô và f là ánh xạ từ X vào Y . Khi đó

các mệnh đề sau là tương đương:
i) Ánh xạ f là liên tục trên X .

ii ) Nghịch ảnh của mỗi tập mở là một tập mở.
iii ) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng là một tập đóng.

 

iv) A  X  f A  f  A 
SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 10

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

iv) B  Y  f 1  B     f 1  B  

Không gian vectơ tôpô


1.7.3 Phép đồng phôi
1.7.3.1 Định nghĩa
Cho hai không gian tôpô X , Y . Ánh xạ f : X  Y được gọi là một phép đồng phôi
nếu f thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:


i) f là một song ánh.
ii ) f liên tục.
iii ) f 1 liên tục.

Ví dụ: a) Ánh xạ đồng nhất từ không gian tôpô X vào chính nó là một phép đồng
phôi.
b) Hai không gian rời rạc cùng lực lượng thì đồng phôi với nhau.
c ) Hai không gian thô cùng lực lượng thì đồng phôi nhau.

1.7.3.2 Nhận xét
i) Phép đồng phôi biến tập mở (tập đóng) trong không gian này thành tập mở

(tập đóng) trong không gian kia và ngược lại. Do đó có thể đồng nhất hai không gian
đồng phôi với nhau.
1.8 Không gian compact
1.8.1 Định nghĩa
Không gian tôpô X được gọi là một không gian compact nếu mỗi phủ mở của X
luôn tồn tại một phủ con hữu hạn.
Điều này có nghĩa rằng X là không gian compact nếu với mọi họ tập mở Gi iI t
n

thỏa X   Gi thì tồn tại Gi1 , Gi2 ,..., Gin để X   Gi .
iI

i 1

1.8.2 Định nghĩa
Giả sử X là không gian tôpô, A  X , A  . Khi đó:

 A được gọi là tập compact trong X nếu tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô trên X là

không gian compact.

 A được gọi là tập compact tương đối nếu A là tập compact.
Ví dụ: a ) Tập X tùy ý với tôpô thô là không gian compact.
SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 11

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

b)  với tôpô thông thường là không gian không compact vì họ

 r , r 

r

là

một phủ mở của  nhưng không có phủ con hữu hạn nào.
1.8.3 Định lý

i) Mỗi tập con đóng K của không gian compact X đều là tập compact.
ii ) Nếu X là không gian Hausdorff và K là tập compact trong X thì K là tập đóng.

1.9 Lưới và sự hội tụ theo quan điểm lưới trong không gian tôpô
1.9.1 Định nghĩa
Cho D là một tập khác rỗng và  là một quan hệ trên D . Khi đó  D,   được gọi là
một tập định hướng nếu nó đồng thời thỏa mãn:
Với mọi  ,  ,  trong D thì
i) Nếu    và    thì   
ii )   
iii ) Có  trong D sao cho    và    .

1.9.2 Định nghĩa
Cho X là một tập hợp khác rỗng, tập D là một tập định hướng với quan hệ  . Ta xác
định một ánh xạ f từ D vào X . Với mỗi   D ta đặt x  f   . Khi đó ta gọi họ

x D

là một lưới trong X .

Nhận xét
Dãy số trong không gian mêtric là một trường hợp đặc biệt của lưới với tập định
hướng là  * và quan hệ  (lớn hơn hoặc bằng).
1.9.3 Sự hội tụ
Cho  x D là một lưới trong không gian tôpô X , x  X . Khi đó lưới  x D được
gọi là hội tụ đến x trong X khi và chỉ khi với mọi tập mở G thỏa G   thỏa x  G
thì có một  trong D sao cho x  G với mọi    .
Khi đó ta nói điểm x là điểm giới hạn của lưới  x D , ký hiệu x  lim x
 D

Nhận xét

i) Lưới  x D hội tụ tới x  X nếu V Vx thì tồn tại  trong D sao cho x V

với mọi    .
SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 12

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

ii ) Một lưới có thể hội tụ đến nhiều điểm khác nhau.

1.9.4 Định lý
Nếu X là không gian Hausdorff thì một lưới trong X chỉ có thể hội tụ đến một điểm
giới hạn.
1.9.5 Ánh xạ liên tục theo quan điểm lưới
1.9.5.1 Định lý
Giả sử f là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y , x0  X . Khi
đó ánh xạ f được gọi là liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu với mỗi lưới

x D

trong X

hội tụ đến x0 thì lưới  f  x 
trong Y hội tụ đến f  x0  .

 D

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 13

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

2.1 Định nghĩa không gian vectơ tôpô
2.1.1 Định nghĩa
Cho X là một không gian vectơ trên trường K ( K   hoặc  ),  là một tôpô trên X .
Khi đó: cặp ( X , ) được gọi là một không gian vectơ tôpô trên trường K nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:
(i ) Ánh xạ  : X  X  X , ( x, y )  x  y là liên tục.
(ii) Ánh xạ  : K  X  X , ( , x )   x là liên tục.

Khi đó tôpô  được gọi là tôpô tương thích với cấu trúc đại số trên X .
Nếu như tôpô  hoàn toàn xác định và không sợ nhầm lẫn thì ta viết X thay cho

( X , ) .
Nếu K =  (hoặc  ) thì không gian vectơ tôpô X được gọi là không gian vectơ tôpô

thực (hoặc phức).
Do không gian vectơ tôpô có bản chất là một không gian tôpô, nên mọi tính chất đúng
với không gian tôpô thì đều đúng với không gian vectơ tôpô.

Theo quan điểm lân cận thì hai điều kiện trong định nghĩa lần lượt tương đương với
các phát biểu sau:

 Với mỗi ( x, y )  X  X , lấy W là một lân cận tùy ý của x  y thì tồn tại U  Vx ,
V  Vy thỏa U  V  W

 Với mỗi ( , x)  K  R , lấy W là một lân cận tùy ý của  x thì tồn tại V  Vx ,

  0 sao cho tV  W , t  K thỏa   t   .

Để thuận lợi cho việc tìm hiểu về không gian vectơ tôpô, ta cần định nghĩa một số
phép toán về tập hợp như sau:
Giả sử X là không gian vectơ trên trường K ; A, B là hai tập con tùy ý của X . Khi đó
ta định nghĩa:

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 14

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp


Không gian vectơ tôpô

A  B   x  X : x  a  b, a  A, b  B
tA   x  X : x  ta, a  A , t  K .
z  A   z  A   x  X : x  z  a, a  A , z  X

Trường hợp đặc biệt  A   x  X : x   a, a  A
Lưu ý rằng s, t  K , A  X thì ta luôn có ( s  t ) A  sA  tA . Nhưng chiều ngược lại
không phải lúc nào cũng xảy ra. Thật vậy: Giả sử X   , ta chọn s  t  1 , A  1, i .
Suy ra ( s  t ) A  2 A  2, 2i , trong khi đó sA  tA  2, 2i ,1  i .
2.1.2 Mệnh đề
Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K . Khi đó với mỗi a  K thì ánh
xạ Ta : X  X , Ta ( x )  x  a là một phép đồng phôi.

Ta được gọi là phép tịnh tiến (theo vectơ a ) trên X .
Đặc biệt, nếu U là lân cận tùy ý của 0  X thì a  U là lân cận của a , a  X .
CHỨNG MINH

 Dễ thấy Ta là một song ánh.
 Rõ ràng Ta là liên tục và Ta có ánh xạ ngược là T a cũng liên tục.
Suy ra Ta là một phép đồng phôi.

 Vì U là một lân cận của 0 nên tồn tại G mở sao cho 0  G  U , suy ra
a  a  G  a  U , mà do Ta là phép đồng phôi và G mở nên Ta (G )  a  G mở. Vậy

nên a  U là một lân cận của a.
2.1.3 Hệ quả
Cấu trúc tôpô trong không gian vectơ tôpô hoàn toàn xác định nếu ta biết được một cơ
sở lân cận mở  0 tại 0 .
CHỨNG MINH

Như ta biết, nếu V là một lân cận của a thì b  a  V là một lân cận của b , a, b  X .
Giả sử  a là một cơ sở lân cận địa phương tại a  X . Lấy b tùy ý nằm trong X , và
G là một lân cận bất kỳ của b .

Khi đó ta có Ta b (G )  a  b  G là một lân cận của a (vì Ta b nên biến lân cận thành
lân cận).
SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 15

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

Khi đó U   a thỏa U  a  b  G , suy ra b  a  U  G . Hơn nữa b  a  U là một
lân cận của b .Từ đó ta suy ra họ b  a  U : U   a  là một cơ sở lân cận tại b . Do
đó họ a  U : U  0  , với  0 là một cơ sở lân cận địa phương tại 0 , là một cơ sở lân
cận địa phương tại vectơ a bất kỳ nằm trong X .
Nhắc lại một tính chất trong không gian tôpô: Trong không gian tôpô X bất kỳ, nếu

 x là một cơ sở lân cận mở bất kỳ tại điểm X thì họ



x


là một cơ sở của không

x X

gian tôpô X .
Áp dụng tính chất trên trong trường hợp này ta được họ a   0 : a  X  , với  0 là
một cơ sở lân cận mở bất kỳ của 0, là một cơ sở của của tôpô trên X . Do đó cấu trúc
tôpô của không gian vectơ tôpô X hoàn toàn xác định nếu ta biết được một cơ sở lân
cận mở bất kỳ của 0.
2.1.4 Mệnh đề
Giả sử X là một không gian vectơ tôpô (trên trường K ). Khi đó với mỗi   K \ 0 thì
ánh xạ M  : X  X , M  ( x)   x là một phép đồng phôi.
Ta gọi M  là phép vị tự (theo  ) trên X .
Đặc biệt , nếu U là lân cận tùy ý của 0  X thì U là một lân cận của 0.
CHỨNG MINH

 Dễ thấy M  là một song ánh.
 Rõ ràng M  là liên tục và M  có ánh xạ ngược là M  1 cũng liên tục.
Suy ra M  là một phép đồng phôi.

 Giả sử U là một lân cận tùy ý của 0. Khi đó tồn tại G mở thỏa 0  G  U , từ đây
suy ra 0   G  U . Mặt khác vì M  (G )  G , nên  G là tập mở (vì phép đồng phôi
biến tập mở thành tập mở). Do đó U là một lân cận của 0.

2.1.5 Hệ quả
Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K ,   K , a  X . Khi đó ánh xạ

 : X  X với   x    x  a là liên tục. Hơn nữa nếu   0 thì ánh xạ trên là một
phép đồng phôi.

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 16

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

CHỨNG MINH

 Với Ta và M  là những ánh xạ liên tục được xác định như trên. Dễ dàng nhận thấy

  Ta  M 

 a  X ,   K  , vì ánh xạ

 là tích của hai ánh xạ liên tục nên 

cũng là một ánh xạ liên tục.

 Hoàn toàn tương tự khi   0 thì theo chứng minh trên ta được M  và là những
phép đồng phôi, khi đó vì ánh xạ  là tích của hai phép đồng phôi nên  cũng là một
phép đồng phôi. Dễ dàng kiểm tra được  1 : X  X với  1  x    1 x   1a là ánh
xạ ngược của  .
2.1.6 Hệ quả

Giả sử

X

là một không gian vectơ tôpô trên trường

K . Khi đó

a  X , A  X , s  K \ 0 ta có các tập a  G, A  G, sG là các tập mở.

CHỨNG MINH
Ta có a  G  Ta (G ) và sG  M a (G ) . Do Ta , M a là những phép đồng phôi và G mở
nên a  G , sG là những tập mở.
Hơn nữa do A  G   (a  G ) là hợp của một họ các tập mở nên cũng là tập mở.
a A

2.2 Tập hút, tập cân, tập lồi, tập tuyệt đối lồi trong không gian vectơ
2.2.1 Tập hút
2.2.1.1 Định nghĩa
Giả sử

X

là một không gian vectơ trên trường K , A  X được gọi là tập hấp thụ (hay

tập hút) khi và chỉ khi x  X thì luôn   0 sao cho x   A ,     .
Từ định nghĩa của tập hút A , ta dễ dàng nhận thấy định nghĩa này tương đương với
phát biểu sau:
Giả sử X là một không gian vectơ, A  X là hút khi và chỉ khi x  X thì luôn


  0 sao cho  x  A ,     .
2.2.1.2 Mệnh đề

i) Mỗi tập hút luôn chứa 0.
ii ) Giao hữu hạn của các tập hút là một tập hút.

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 17

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

iii ) Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , A  X là tập hút. Khi đó nếu


 rn n là dãy số không bị chặn trong K thì X   rn A .
n 1

CHỨNG MINH

i) Do A hút nên x  X ,   0 , sao cho x   A ,     . Khi đó chọn x  0 ta
được 0   A hay a  A sao cho 0  .a mà   0 nên 0  0. 1   1. .a  a (do


K là một trường), suy ra 0  A .
n0

ii ) Giả sử A1 , A2 ,..., An0 là những tập hút. Đặt A   Ai , ta chứng minh A là tập hút.
i 1

Do mỗi Ai (i  1, n0 ) là một tập hút nên x  X , i  0 (i  1, n0 ) sao cho  x  Ai

(i  1, n0 ) ,    i (i  1, n0 ) .





Khi đó đặt   min i , i  1, n0 , suy ra x  X ,  x  Ai , i  1, n0 ,     .
n0

hay x  X ,  x   Ai ,     . Vậy nên A là tập hút.
i 1


iii )  Vì rn  X , n   , và A  X nên rn A  X n   . Suy ra

r A  X
n

n 1

 Lấy x tùy ý thuộc X , do A là tập hút nên   0 sao cho x   A ,     .



Vì  rn n là dãy không bị chặn nên n0   sao cho rn0   , suy ra x  rn0 A   rn A
n 1


Vậy nên X   rn A .
n 1

2.2.2 Tập cân
2.2.2.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , A  X được gọi là tập cân khi và
chỉ khi  A  A ,   K và   1
Định nghĩa tập cân được phát biểu tương đương với: A   A ,   K và   1 .
2.2.2.2 Mệnh đề

i) Mỗi tập cân luôn chứa 0.

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 18

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô


ii ) Giao một họ tập cân là tập cân.

iii ) Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , A và B là hai tập cân trong X ,

  K . Khi đó  A , A  B là những tập cân.
iv ) Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , A  X là tập cân. Khi đó:

( a)   K mà   1 thì  A  A .

b 

 ,   K mà    thì  A   A .
CHỨNG MINH

i) Chọn   0 , suy ra 0  0  0.A  A .
ii ) Giả sử

A  



iI

Ai

cân i  I , đặt

A   iI Ai . Khi đó ta có:    1 thì

Ai   iI  Ai   iI Ai  A . Vậy A cân.




iii )     1 ta có  ( A)     A    A ( vì A cân ), suy ra  A là tập cân.
    1 ta có  ( A  B)   A   B  A  B ( vì A, B là những tập cân ), suy ra

A  B là tập cân.

iv) ( a) Do A cân và   1  1 nên  A  A (1)
Mặt khác  1  

1

 11  1  1 nên  1 A  A , suy ra A   1 A   A (2).

Từ (1) và (2) suy ra  A  A ,   K mà   1 .

(b) Trường hợp 1:   0
Do    nên   0 . Khi đó suy ra  A   A , suy ra  A   A .
Trường hợp 2:   0
Do    nên  1    1   

1

 1 ( vì  

1

  1  1  1 ) và A cân


nên  1 A  A , suy ra  A   A .
Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều có điều phải chứng minh.
2.2.2.3 Định lý
Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K , A  X là một tập cân. Khi đó

A là tập cân. Hơn nữa, nếu 0  int A (hay A là một lân cận của 0) thì int A là

tập

cân.

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 19

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

CHỨNG MINH

 Ta chứng minh A là tập cân.
Xét   K thỏa 0    1 , với mỗi  thì M  là một phép đồng phôi nên

M  ( A)  M  ( A) 1 . Mà do A là tập cân nên  A  A , 0    1 , suy ra  A  A (2).

Từ (1) và (2) ta được  A  A , 0    1 . Với   0 , do A cân nên 0  A , suy ra
0  A . Vậy:  A  A ,    1 . Do đó A là tập cân.

 Giả sử 0  int A , ta chứng minh int A là tập cân.
Xét   K thỏa 0    1 . Đầu tiên ta chứng minh:  int A  int( A) , 0    1 .

(i ) CM:  int A  int( A) .
Lấy y   int A , suy ra a  int A sao cho y   a . Do a  int A nên tồn tại G mở sao
cho a  G  A , suy ra  a   G   A , mà M  (G )  G nên  G mở. Do đó  a là
một điểm trong của  A suy ra  a  int( A) hay y  int( A) . Vậy  int A  int( A) .

(ii ) CM:  int A  int( A)
Lấy y  int( A) , suy ra tồn tại G mở sao cho  1 y   1G   1 A  A , mà

M  1 (G )   1G , suy ra  1G là mở nên  1 y là một điểm trong của A , suy ra

 1 y  int A , suy ra y   . 1. y   int A . Vậy nên  int A  int( A) .
Từ đó:  int A  int( A) , 0    1 .
Khi đó:  int A  int( A)   A  A ,   K thỏa 0    1
Suy ra  int A  A (1). Hơn nữa 0    1 , suy ra  int A là tập mở (2). Từ (1) và (2)
suy ra  int A  int A , 0    1 . Do 0  int A (theo giả thiết) nên nhận định trên vẫn
đúng cho trường hợp   0 . Vậy nên  int A  int A ,    1 . Vậy int A là tập cân.
2.2.3 Tập lồi
2.2.3.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K , A  X được gọi là tập lồi khi
và chỉ khi  A  1    A  A ,   0,1 .
2.2.3.2 Mệnh đề

SVTH: Nguyễn Duy Cường


Trang 20

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

i) Giao một họ tập lồi là lồi.

ii ) Nếu A  X là một tập lồi chứa 0 thì  A  A ,   0,1 .
iii ) Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , A và B là hai tập lồi trong X ,
x  X ,   K . Khi đó  A , x  A , A  B là những tập lồi.

iv) Tổ hợp tuyến tính của các tập lồi là một tập lồi.
CHỨNG MINH

i) Giả sử Ai lồi i  I , đặt A   iI Ai .
Lấy

x, y  A ,

suy

ra

x , y  Ai , i  I ,


khi

đó

  0,1

ta

có:

 x  1    y  Ai , i  I .


 x  1    y   iI Ai  A  A là tập lồi.

ii ) Vì A lồi nên  a  1    0  A ,    0,1 , a  A hay  A  A ,   0,1 .
iii )

   0,1 ,  .( A)  (1   ).  A    ( A  (1   ) A)   A (vì A lồi), suy ra  A là
tập lồi.

   0,1 ,  .( x  A)  (1   ).  x  A   x   A  (1   ) A  x  A (vì A lồi), suy ra

x  A là tập lồi.
   0,1 ,  .( A  B )  (1   ).( A  B )   A  (1   ) A   B  (1   ) B  A  B
(vì A, B lồi), suy ra A  B là tập lồi.

iv) Từ iii ) ta có được điều phải chứng minh
2.2.3.3 Định lý

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K , A  X là một tập lồi. Khi đó
A , int A là những tập lồi.

CHỨNG MINH
 CM A là tập lồi

Lấy x, y tùy ý thuộc A , U là một lân cận tùy ý của 0. Khi đó tồn tại lân cận cân V
của 0 sao cho V  V  U . Khi đó theo chứng minh ở phần đầu thì x  V , y  V là
những lân cận lần lượt của x và y .

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 21

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Do

Không gian vectơ tôpô

nên

x, y  A

ta


x V   A  

được

và

 y V   A   ,

suy ra

x0   x  V   A   , y0   y  V   A   . Khi đó   K thỏa    0,1 ta có

 x0  1    y0    x  V     A    1    y  1   V    1    A
Mà V cân nên V  V , 1   V  V   0,1 .
Do đó:  x0  1    y0    x  V    A   1    y  V   1    A *
Đến đây ta sử dụng một kết quả cơ bản của phép toán về tập hợp: '' Giả sử

B , C , D, E , F , G

là

những

B  D  C  E  F  G '' .

tập
Áp

hợp


thỏa

dụng

BC  F

trong

trường

và

D E G
hợp

này

B   x  V , C  1    y  V , D   A, E  1    A, F   x  1    y  U , G  A ,

thì
với
ta

được:

* 

  x0  1    y0    x  1    y  U   A ** . Vì U là một lân cận tùy ý của


0, nên  x  1    y  U là một lân cận tùy ý của  x  1    y . Từ ** suy ra

  x  1    y  U   A   . Vậy nên

 x  1    y  A ,   0,1 , do đó A là tập

lồi.

 Chứng minh int A là tập lồi.
Lấy x, y tùy ý nằm trong int A . Gọi U ,V lần lượt là lân cận của x và y , U và V
cùng nằm trong A . Rõ ràng U ,V luôn tồn tại vì nếu trong trường hợp '' khó khăn '' thì
ta hoàn toàn có thể chọn U  V  int A (vì int A là lân cận của mọi điểm nằm trong
nó).
Ta chứng minh  x  1    y  int A với mỗi   0,1 . Thật vậy:
Vì U ,V lần lượt là hai lân cận của x và y nên tồn tại hai tập mở G1 , G2 sao cho
x  G1  U , y  G2  V . Khi đó với  đã được xác định như trên thì  x  G1  U

và 1    y  1    G2  1   V . Lưu ý rằng G1 , 1    G2 là hai tập mở, suy ra

 G1  1    G2 là một tập mở (theo chứng minh ở phần trước ).
Theo

trên

ta

có

 x  1    y  G1  1    G2  U  1   V ,


suy

ra

U  1   V là một lân cận của z .

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 22

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

Mặt khác, với mỗi    0,1 thì U  1   V  A (vì A là một tập lồi). Khi đó ta có

 x  1    y  G1  1    G2  U  1   V  A , suy ra A là một lân cận của
 x  1    y , suy ra  x  1    y là một điểm trong của A hay  x  1    y  int A
với mỗi   0,1 . Do đó int A là một tập lồi.
2.2.3.4 Mệnh đề
Giả sử X là một không gian vectơ, A  X . Khi đó nếu A lồi thì ( s  t ) A  sA  tA ,
với mọi s, t dương..
CHỨNG MINH
Lấy x   s  t  A suy ra tồn tại a  A sao cho x   s  t  a  sa  ta  sA  tA , do đó


x  sA  tA , suy ra ( s  t ) A  sA  tA .
Ngược lại, lấy x  sA  tA , suy ra tồn tại a1 , a2  A sao cho x  sa1  ta2 ,
khi đó vì A là lồi nên

s
t
a1 
a2  A  sa1  ta2   s  t  A
s t
s t

Do đó sA  tA  ( s  t ) A , vậy nên ( s  t ) A  sA  tA .
2.2.3.5 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K . Vectơ x  X được gọi là tổ hợp lồi
n

của các vectơ xi  X , i  1..m nếu tồn tại i  0 sao cho

m



i

 1 và x   i xi .

i 1

i 1


Dễ dàng chứng minh được tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của một hệ vectơ cho trước
cũng là một tập lồi.

2.2.3.6 Định lý
Giả sử là một không gian vectơ trên trường K , tập A  X là một tập lồi,

xi  A, i  1..m . Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1 , x2 ,..., xm .
CHỨNG MINH
Ta chứng minh bằng quy nạp.
m  2 : mệnh đề hiển nhiên đúng vì A là tập lồi.

Giả sử mệnh đề đúng với m  k , k  2 . Ta chứng minh đúng với m  k  1 .

SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 23

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()


Luận văn tốt nghiệp

Không gian vectơ tôpô

Lấy xi  A, i  1..k  1 và i  0, i  1..k  1 , ta cần chứng minh

x  1 x1  2 x2  ...  k 1 xk 1  A
Không mất tính tổng quát ta giả sử k 1  1 , bởi vì nếu k 1  1 thì


1  2  ...  k  0 , ta có ngay x  A .
Khi đó 1  k 1  1  2  ...  k  0 , suy ra

y

i
 0, i  1..k , và
1  k 1

k

i

1 
i 1

 1 nên

k 1

1
2

x1 
x2  ...  k xk  A , suy ra
1  k 1
1  k 1
1  k


x  1  k 1  y  k 1 xk 1  A .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.2.3.7 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian vectơ, A  X . Bao lồi của tập A là giao của tất cả các
tập lồi trong X chứa A . Ký hiệu: coA
Từ định nghĩa và tính chất của tập lồi ta dễ có được các nhận xét sau:
i) coA là tập lồi bé nhất chứa A .
ii ) A lồi  A  coA

2.2.3.8 Định lý
Giả sử X là một không gian vectơ, A  X . Khi đó, coA trùng với tập tất cả các tổ
hợp lồi của A .
CHỨNG MINH
Do tập hợp tất cả các tổ hợp lồi là chứa trong A và A  coA nên tập tất cả các tổ hợp
lồi là nằm trong coA.
Mặt khác, tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi, chứa A , do đó chứa coA .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.2.3.9 Hệ quả
Giả sử X là một không gian vectơ, A  X . Khi đó, A lồi khi và chỉ khi A chứa tất
cả các tổ hợp lồi của A .
CHỨNG MINH

   Theo định lý 2.3.3.6 ta suy ra điều cần chứng minh.
SVTH: Nguyễn Duy Cường

Trang 24

Lớp: Sư phạm Toán học K34

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ()