PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A- ĐỀ CHÍNH THỨC:
1, KhốiA-2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) của phương trình:
cos3 x + sin 3 x 

5  s inx +
 = cos2 x + 3
1 + 2sin 2 x 


Đáp số: x =

π
3

;x =

5π
3

cos2 x
1
2, KhốiA-2003: Giải phương trình cot x − 1 =
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + t anx
2

Đáp số: x =

π
4

+ kπ

(k ∈ »)

3, Khối A-2005: Giải phương trình cos 2 3 x.cos 2 x − cos 2 x = 0

Đáp số: x = k
4, Khối A-2006: Giải phương trình

2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x

5π
+ k 2π
4
5, Khối A-2007: Giải phương trình (1 + sin 2 x ) cos x + (1 + cos 2 x ) s inx = 1 + sin 2 x

Đáp số: x =

6, Khối A-2008: Giải phương trình

1
+
s inx

π
4


,k ∈»

π

+ kπ ; x =

2

(k ∈ »)

+ k 2π ; x = k 2π

(k ∈ »)

5π
+ kπ
8

(k ∈ »)

4π
2π
+k
15
5

(k ∈ »)

2π
3


(k ∈ »)

5π
+ kπ
12

(k ∈ »)

 7π

= 4sin 
− x
3π 

 4

sin  x −

2


1

Đáp số: x = −

π

+ kπ ; x = −


4
7, CĐ khối A-2008: Giải phương trình sin 3 x − 3cos3 x = 2sin 2 x

Đáp số: x =
8, Khối A-2009: Giải phương trình

2

=0

2 − 2sin x

Đáp số: x = −

π

(1 − 2sin x ) cos x
=
(1 + 2sin x )(1 − s inx )

π
3

π
8

+ kπ ; x =

+ k 2π ; x =


3

Đáp số: x = −

π
18

+k

2

9, CĐ khối A-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x ) cos x = 1 + s inx + cos x

Đáp số: x = −

π

+ k 2π ; x =

π

2
12
2
2
2
2
10, Khối B-2002: Giải phương trình sin 3 x − cos 4 x = sin 5 x − cos 6 x

GV: Hoàng Ngọc Quang

E
d

1

+ kπ ; x =






Đáp số: x = k
11, Khối B-2003: Giải phương trình cot x − t anx + 4sin 2 x =

π
9

;x = k

π
2

(k ∈ »)

2
sin 2 x

π


+ kπ

(k ∈ »)

5π
+ k 2π
6

(k ∈ »)

2π
+ k 2π
3

(k ∈ »)

5π
+ kπ
12

(k ∈ »)

Đáp số: x = ±

3

12, Khối B-2004: Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 (1 − s inx ) tan 2 x

Đáp số: x =


π

+ k 2π ; x =

6
13, Khối B-2005: Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0

Đáp số: x = −

π

+ kπ ; x = ±

4

x

14, Khối B-2006: Giải phương trình cot x + sin 1 + t anx.tan  = 4
2


Đáp số: x =

π
12

+ kπ ; x =

15, Khối B-2007: Giải phương trình 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = s inx


π

π

2π
5π
2π
;x =
+k
8
4
18
3
18
3
3
3
2
2
16, Khối B-2008: Giải phương trình sin x − 3cos x = s inx.cos x − 3 sin x.cos x

Đáp số: x =

π

+k

;x =

+k


Đáp số: x =

π
4

+k

π
2

;x = −

π
3

+ kπ

(k ∈ »)
(k ∈ »)

17, CĐ khối B-2008: Giải phương trình sin 3 x − 3cos3 x = 2sin 2 x
4π
2π
+k
3
15
5
3
18, Khối B-2009: Giải phương trình sin x + cos x.sin 2 x + 3cos3 x = 2 ( cos4 x + sin x )


Đáp số: x =

Đáp số: x = −

π

+ k 2π ; x =

π

+ k 2π ; x =

6
2
19, CĐ khối B-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x ) cos x = 1 + s inx + cos x

Đáp số: x = −

π

+ k 2π ; x =

π

π
2

;x =


2π
7

( k ∈ »)

5π
+ kπ
12

(k ∈ »)

42

+ kπ ; x =

2
12
20, Khối D-2002: Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đúng phương trình:
cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0

Đáp số: x =

π

(k ∈ »)

+k

3π
5π

7π
;x =
;x =
2
2
2

x
x π
21, Khối D-2003: Giải phương trình sin 2  −  tan 2 x − cos 2 = 0
2
2 4

Đáp số: x = π + k 2π ; x = −

π
4

+ kπ

(k ∈ »)

22, Khối D-2004: Giải phương trình ( 2 cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − s inx

GV: Hoàng Ngọc Quang

2






π

π

+ kπ
3
4
π 
π 3

23, Khối D-2005: Giải phương trình sin 4 x + cos 4 x + cos x −  sin  3 x −  − = 0
4 
4 2


Đáp số: x ±

+ k 2π ; x = −

π

Đáp số: x =

4

+ kπ

(k ∈ »)


(k ∈ »)

24, Khối D-2006: Giải phương trình cos 3 x + cos2 x − cos x − 1 = 0

Đáp số: x = kπ ; x = ±

2π
+ k 2π k ∈ »
3

2

x
x

25, Khối D-2007: Giải phương trình  sin + cos  + 3 cos x = 2
2
2


π

Đáp số: x =

π

+ k 2π

(k ∈ »)


π
2π
+ k 2π ; x = + kπ
3
4

(k ∈ »)

4π
2π
+k
15
5

(k ∈ »)

+ k 2π ; x = −

2
26, Khối D-2008: Giải phương trình 2sin x (1 + cos2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x

Đáp số: x = ±

6

27, CĐ khối D-2008: Giải phương trình sin 3 x − 3cos3 x = 2sin 2 x

π


Đáp số: x =

28, Khối D-2009: Giải phương trình

+ k 2π ; x =

3
3cos5x − 2sin3x.cos2x − sinx = 0

Đáp số: x =

π

+k

π

3
18
2
29, CĐ khối D-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x ) cos x = 1 + s inx + cos x

Đáp số: x = −

π
2

+ k 2π ; x =

π

12

;x = −

+ kπ ; x =

π
6

+k

π
2

5π
+ kπ
12

(k ∈ »)
(k ∈ »)

B- ĐỀ DỰ BỊ:
30, Dự bị I khối A-2002: Cho phương trình

2 sin x + cos x + 1
= a (a là tham số)
s inx − 2 cos x + 3

1
3

b) Tìm a để phương trình có nghiệm

a) Giải phương trình khi a =

x

31, Dự bị II khối A-2002: Giải phương trình tan x + cos x − cos 2 x = s inx 1 + tan x.tan 
2


32, Dự bị I khối B-2002: Giải phương trình tan

GV: Hồng Ngọc Quang

3

4

( 2 − sin
x +1 =

2

)

2 x sin 3 x
4

cos x







33, Dự bị II khối B-2002: Giải phương trình

sin 4 x + cos 4 x 1
1
= cot 2 x −
5sin 2 x
2
8sin 2 x

1
= s inx
8cos 2 x

34, Dự bị I khối D-2002: Giải phương trình

35, Dự bị II khối D-2002: Xác định m để phương trình 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos4 x + 2 sin 2 x − m = 0

 π
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;  .
 2
36, Dự bị I khối A-2003: Giải phương trình cos 2 x + cos x ( 2 tan x − 1) = 2
37, Dự bị II khối A-2003: Giải phương trình 3 − t anx ( t anx + 2sin x ) + 6 cos x = 0
38, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 3cos 4 x − 8cos 6 x + 2 cos 2 x + 3 = 0

( 2 − 3 ) cos x − 2sin

39, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình

40, Dự bị I khối D-2003: Giải phương trình

2 cos x − 1
cos 2 x ( cos x − 1)
sin x + cos x

41, Dự bị II khối D-2003: Giải phương trình cot x = tan x +

2

x π
 − 
 2 4  =1

= 2 (1 + sin x )

2 cos 4 x
sin 2 x

42, Dự bị I khối A-2004: Giải phương trình 4 ( sin 3 x + cos3 x ) = cos x + 3sin x

Đáp số:
43, Dự bị II khối A-2004: Giải phương trình 1 − sin x + 1 − cos x = 1

π
1
1


44, Dự bị I khối B-2004: Giải phương trình 2 2 cos  x +  +
=
4  sin x cos x

45, Dự bị II khối B-2004: Giải phương trình sin 4 x.sin 7 x = cos 3 x.cos 6 x
46, Dự bị I khối D-2004: Giải phương trình 2 sin x.cos 2 x + sin 2 x.cos x = sin 4 x.cos x
47, Dự bị II khối D-2004: Giải phương trình sin x + sin 2 x = 3 ( cos x + cos 2 x )

GV: Hoàng Ngọc Quang

4





π

48, Dự bị I khối A-2005: Giải phương trình 2 2 cos3  x −  − 3cos x − sin x = 0
4

Đáp số: x =

π
2

+ kπ ; x =

π
4


+ kπ

sin x
 3π

49, Dự bị II khối A-2005: Giải phương trình tan 
− x+
=2
 2
 1 + cos x
50, Dự bị I khối B-2005: Giải phương trình sin 2 x + cos 2 x + 3sin x − cos x − 2 = 0
51, Dự bị II khối B-2005: Tìm nghiệm trên khoảng ( 0; π ) của phương trình
4 sin 2

3π 
x

− 3cos2 x = 1 + 2 cos 2  x −

2
4 


Đáp số: x1 =

5π
17π
5π
; x2 =

; x3 =
18
18
6

52, Dự bị I khối D-2005: Giải phương trình sin x.cos2 x + cos 2 x ( tan 2 x − 1) + 2sin 3 x = 0
cos2 x − 1
π

53, Dự bị II khối D-2005: Giải phương trình tan  + x  − 3 tan 3 x =
cos 2 x
2

54, Dự bị I khối A-2006: Giải phương trình cos 3 x.cos3 x − sin 3 x.sin 3 x =

2+3 2
8

π

55, Dự bị II khối A-2006: Giải phương trình 2 sin  2 x −  + 4 sin x + 1 = 0
6

56, Dự bị I khối B-2006: Giải phương trình ( 2 sin 2 x − 1) tan 2 2 x + 3 ( 2 cos 2 x − 1) = 0
57, Dự bị II khối B-2006: Giải phương trình cos 2 x + (1 + 2 cos x )( s inx − cos x ) = 0
58, Dự bị I khối D-2006: Giải phương trình sin 3 x + cos3 x + 2sin 2 x = 1
59, Dự bị II khối D-2006: Giải phương trình 4 sin 3 x + 4 sin 2 x + 3sin 2 x + 6 cos x = 0
60, Dự bị I khối A-2007: Giải phương trình sin 2 x + s inx −

1

1
−
= 2 cot 2 x
2sin x sin 2 x

(

61, Dự bị II khối A-2007: Giải phương trình 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 s inx + 3 cos x

GV: Hoàng Ngọc Quang

5

)





3x
 5x π 
x π
62, Dự bị I khối B-2007: Giải phương trình sin  −  − cos  −  = 2cos
2
 2 4
2 4
63, Dự bị II khối B-2007: Giải phương trình

sin 2 x cos2 x
+

= tanx − cot x
cos x
s inx

π 

64, Dự bị I khối D-2007: Giải phương trình 2 2 sin  x −  cos x = 1
12 

65, Dự bị II khối D-2007: Giải phương trình (1 − t anx )(1 + sin 2 x ) = 1 + t anx
66, Dự bị I khối A-2008: Giải phương trình tan x = cot x + 4 cos 2 2 x

π
π
3


67, Dự bị II khối A-2008: Giải phương trình sin  2 x −  = sin  x −  +
4
4 2


π 1
π


68, Dự bị I khối B-2008: Giải phương trình 2 sin  x +  − sin  2 x −  =
3
6 2



69, Dự bị II khối B-2008: Giải phương trình 3sin x + cos2 x + sin 2 x = 4sin x cos 2

x
2

70, Dự bị I khối D-2008: Giải phương trình 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos4 x + sin 2 x = 0

C – MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN KHÁC:

3π
1, Giải phương trình: 2 2 cos 2x + sin 2x cos  x +
4

Đáp số: x = −



π
 − 4 sin  x +  = 0
4



π

+ k π ; x = k 2π ; x =

4
2

2
2
2
2, Giải phương trình: sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x

Đáp số: x =

kπ
2

3π
+ k 2π
2
;x =

kπ
9

(k ∈» )
(k ∈ » )

 π
3, Tìm nghiệm trên khoảng  0;  của phương trình:
 2

π

 3π 
x
4 sin 2  π −  − 3 sin  − 2x  = 1 + 2cos 2  x4 

2

2


Đáp số: x=
4, Giải phương trình: sin 2x + sin x −

GV: Hồng Ngọc Quang

5π
18

1
1
−
= 2 cot 2x
2 sin x sin 2x

6





π

Đáp số: x =
5, Giải phương trình:


4

+k

π

(k ∈» )

2

3sin 2x − 2 sin x
=2
sin 2x .cos x

π

+ k 2π

(k ∈ » )

+ k 2π ; x = π + k 2π
2
7, Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn 1 + log 1 x ≥ 0 :

(k ∈ » )

Đáp số: x = ±

3


6, Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
x=

π

3

sin x. tan 2 x + 3(sin x − 3 tan 2 x) = 3 3

Đáp số: x =
8, Giải phương trình: cos 3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x =

π

;x =

3

5π
6

2+3 2
8

π

Đáp số: x = ±

16


+k

π

(k ∈ » )

2

9, Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

Đáp số: x =

π

2
2
3
10, Tìm nghiệm của phương trình: cos x + cos x + sin x = 2 thoả mãn : x − 1 < 3

(k ∈ » )

+ k 2π

Đáp số: x = 0
(sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2
11, Giải phương trình:
=0
2sin x + 3

Đáp số: x =


π
3

(k ∈ » )

+ k 2π

12, Giải phương trình: s inx − cosx + 4sin 2 x = 1 .

Đáp số: x =

π
4

+ kπ ; x = l

π
2

, (k , l ∈ » )

`13, Giải phương trình: cos 2 3xcos2x – cos 2 x = 0.

Đáp số: x = k
14, Giải phương trình:

π
2


(k ∈ » )

3sin 2 x − 2sin x
=2
sin 2 x.cos x

Đáp số: x = ±
1
2

15, Giải phương trình: 4cos 4 x − cos 2 x − cos 4 x + cos

π
3

+ k 2π

3x 7
=
4 2

Đáp số: x = 8kπ

GV: Hoàng Ngọc Quang

7

(k ∈ » )

( k ∈ »)







16, Giải phương trình:

cos 2 x. ( cos x − 1)
= 2 (1 + sin x )
sin x + cos x

Đáp số: x = −

π
2

+ k 2π ; x = π + k 2π

(k ∈» )

Đáp số: x = kπ

(k ∈» )

x
x
π x 
17, Giải phương trình: 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  − 
2

2
 4 2

18, Giải phương trình:

sin 3 x.sin 3 x + cos3 x cos 3 x
1
=−
π  π
8

tan  x −  tan  x + 
6
3



Đáp số: x = −
19, Giải phương trình:

6

+ kπ

(k ∈» )

sin 3 x.(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = 2sin 2 x .

Đáp số: x =
20, Giải phương trình:


π

π
4

+ 2 kπ

(k ∈ » )

π
π


sin  3 x −  = sin 2 x sin  x +  .
4
4


Đáp số: x = ±

π
4

+ kπ

(k ∈ » )

21, Giải phương trình: cos 2 x + cosx + sin 3 x = 0


Đáp số: x=π +k2π ,k ∈ »; x =
22, Giải phương trình: cos 3 x − cos 2 x + cos x =



2
± ϕ + h 2π , h ∈ »  cosϕ =
− 1, 0 < ϕ < 2π 
4
2



π

1
2

2π
, k ∈ » , với k ≠ 3 + 7m, m ∈ »
7
7
23, Tìm tổng tất cả các nghiệm x thuộc [ 2; 40] của phương trình: sinx – cos2x = 0.
Đáp số: S = 117π .
π  π

24, Giải phương trình:
tan  x −  tan  x +  .sin 3 x = sin x + sin 2 x
6
3



kπ
2π
Đáp số: x =
;x = −
+ 2 kπ ( k ∈ » )
2
3
25, Giải phương trình :
1
8
21π  1

2
2 cos x + cos 2 ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x +
 + s in x .
3
3

2  3

Đáp số: x =

π

+k

Đáp số: x =
26, Giải phương trình:


GV: Hồng Ngọc Quang

sin 2 x + sin x −

π
2

+ kπ

(k ∈ »)

1
1
−
= 2 cot 2 x
2sin x sin 2 x

8






Đáp số: x =

π
4


+k

π
2

(k ∈» )

π

2 sin  − x 
4
 (1 + sin 2 x) = 1 + tan x
cos x

27, Giải phương trình:

Đáp số: x = −

π
4

+ k π ; x = kπ

(k ∈» )

tan 2 x − tan 2 x.sin 3 x + cos3 x − 1 = 0

28, Giải phương trình:

Đáp số: x = k 2π ; x =

29, Giải phương trình:

π

+ kπ ; x =

π

+ α + k 2π ; x =

4
4
2cos3x + 3 sinx + cosx = 0

π
4

− α + k 2π

(k ∈» )

kπ
2

(k ∈ » )

Đáp số: x =
30, Giải phương trình:

π

3

+

sin 6 x + cos 6 x 1
= tan 2 x
cos 2 x − sin 2 x 4

Đáp số: Phương trình vơ nghiệm.

GV: Hoàng Ngọc Quang

9






D - Cập nhật Đề thi đại học 2010
1. (Khối A - 2010) Giải phương trình:
(1 + sin x + cos 2x) sin(x + π4 )
1
= √ cos x
1 + tan x
2
2. (CĐ Khối A - 2010) Giải phương trình:
4 cos

5x

3x
cos
+ 2(8 sin x − 1) cos x = 5
2
2

3. (Khối B - 2010) Giải phương trình:
(sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0
4. (Khối D - 2010) Giải phương trình:
sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0

10