<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHỦ ĐỀ 7: </b>

<b>Phương trình bậc hai – định lý vi</b>

<b>ét</b>

<b>I. MỤC TIÊU: </b>

 HS nắm vững các dạng tốn về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa

các nghiệm

 Rèn luyện kỷ năng giải các bài tốn có tham số m và các điều kiện của nghiệm;

 Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai ln ln có nghiệm và biết tìm các hệ thức

giữa các nghiệm độc lập đối với m

<b>II. NỘI DUNG:</b>

<b>A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN</b>

<b>1. Phương trình bậc hai: ax2_{+ bx + c = 0}</b>

  = b2 – 4ac > 0  phương trình có hai nghiệm phân bieät: x₁ = -b +

2a

 _;

x2 = -b -

2a



  = b2 – 4ac = 0  phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

b
2a


  = b2 – 4ac < 0  phương trình vô nghiệm

<b>2. Định lý Vi ét:</b>

 Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1; x2 thì tổng và tích các nghiệm đó

là: S = x1 + x2 = -b_a ; P = x1.x2 = c_a

 Nếu có hai số x1; x2 có S = x1 + x2 và P = x1.x2 thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

x2_{– Sx + P = 0}

<b>3. Chứng minh một phương trình bậc hai ln ln có nghiệm với mọi giá trị của tham số m</b>
 Lập 

 Biến đổi  về dạng:  = A2  0 với mọi m

hoặc  = A2 + k > 0 với mọi m

<i><b>Ví dụ:</b></i>

Cho phương trình: x2_{– 2(m – 1)x + m – 3 = 0}

Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>
’ = (m – 1)2 – m + 3

= m2_{– 3m + 4}

= (m – ₂3 )2₊
4
7

> 0 với mọi giá trị của m
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

<b>4. Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó: </b>

 Lập 

 Phương trình có nghiệm khi   0. Từ đó suy ra điều kiện của m
 Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

 Thay S và P vào suy ra giá trị của m
 Đối chiếu điều kiện và kết luận

<i><b>Ví dụ:</b></i>

Cho phương trình: (m – 1)x2_{– 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:}

Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: ₂ 0

5
x

x
x
x

1
2
2
1





<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m



1

Áp dụng định lý Viét ta coù: x1.x2 = _mm ₁1



= 5  m =

2
3

 _x1 + x2 = _m2m₁
 = 6

0
2
5
x
x
x
x

1
2
2

1 _ _ _

 2(x12 + x22) + 5x1x2 = 0

 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = 0

 2(x1 + x2)2 + x1x2 = 0

 2.





m 1

1
m
1
m

m

4

2
2





 = 0

 9m2 = 1
 m =

3
1


<i><b>5. </b></i><b>Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m</b>
 Khử m từ S và P ta sẽ được hệ thức cần tìm
<i><b>Ví dụ:</b></i>

Cho phương trình x2_{+ (m + 1)x + 5 – m = 0}

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với m tìm được ở câu a, hãy viết một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập đối với m
<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Ta coù:  = (m + 1)2 – 4(5 – m) = m2 + 6m – 19

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi  = m2 + 6m – 19 > 0. Ta xét dấu 

m –3 – 2 7 –3 + 2 7

 + 0 – 0 +

Vậy khi m < –3 – 2 7 hoặc m > –3 + 2 7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Ta có: x1 + x2 = –m – 1 (1) ; x1. x2 = 5 – m (2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Thay vaøo (1): x1 + x2 = x1 .x2 – 6

Vậy hệ thức cần tìm là x1 + x2 – x1.x2 + 6 = 0
<b>6. Một số hệ thức khác:</b>

Phương trình ax2_{+ bx + c = 0 (a}__{0) có:}
 Hai nghiệm trái dấu  P < 0
 Hai nghiệm đều dương 

0
S > 0
P > 0

 






 Hai nghiệm đều âm 

0
S < 0
P > 0

 





<i><b>Ví dụ:</b></i>

Cho phương trình aån x: (m – 1)x2_{+ 2(m + 1)x + m + 2 = 0}

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Phương trình có hai nghiệm dương khi:





m - 1 0
' = m + 3 0

2 m + 1
S = - > 0

m - 1
m + 2

P = > 0

m - 1




 _ _











m 1
m -3
-1 < m < 1
m < -2 hay m > 1



 _







 m  

b) Phương trình có đúng một nghiệm dương khi xảy ra một trong các trường hợp sau:

 Có nghiệm kép dương: 

0

-b m + 1
x = = - > 0

2a m - 1

 








m = -3
m + 1
- > 0

m - 1







 không có giá trị của m

 Có một nghiệm bằng 0; một nghiệm dương  x = 0 suy ra m = -2. Lúc đó nghiệm thứ hai

là x = - 2₃ khơng thoả mãn

 Có hai nghiệm trái dấu  (m – 1)(m + 2) < 0

 -2 < m < 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Baøi 1:</b>

Cho phương trình x

2

– (2m – 3)x + m

2

– 3m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x

1

; x

2

thoả mãn 1 < x

1

< x

2

< 6
c) Xác định m để x

12

+ x

22

đạt giá trị nhỏ nhất

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Ta coù Δ = (2m – 3)2 – 4(m2 – 3m) = 9 > 0

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân bieät

b) x1 = m – 3; x2 = m  1 < x1 < x2 < 6  1 < m – 3 < m < 6  4 < m < 6

c) x12 + x22 = (m – 3)2 + m2 = 2m2 – 6m + 9 = 2( m2 – 3m + ₂9 ) = 2(m – ₂3 )2 + ₂9 ₂9

Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 laø ₂9 khi m = ₂3
<b>Baøi 2:</b>

Cho phương trình: (m – 1)x2_{– 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:}

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m

1

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy
tính tổng hai nghiệm của phương trình

c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: ₂ 0

5
x
x
x
x

1
2

2

1 _ _ _

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m

1

b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = _mm ₁1



= 5  _{m =}

2
3

 x1 + x2 = _m2m₁
 = 6

a) x1 + x2 = _m2m₁

 = m 1
m
2

 – 1 + 1 =

2m-(m-1)₊₁₌m+1₊₁₌

m-1 m-1 x1.x2 + 1

Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + 1 = 0

d) _xx x_x ₂5 0

1
2
2

1 _ _ _

 2(x12 + x22) + 5x1x2 = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 2(x1 + x2)2 + x1x2 = 0

 2.





m 1

1
m
1
m

m
4

2
2





 = 0

 9m2 = 1
 m =

3
1

<b>Bài 3:</b>

Cho phương trình x2_{– 2(m + 1)x + m}2_{– 4m + 5 = 0}

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tính x12 + x22 theo m

c) Tìm m sao cho x12 + x22 = 12

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Ta coù ’ = (m + 1) 2 – m2 + 4m – 5

= 6m – 4

Phương trình có nghiệm khi ’  0  m  2

3
b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1)

P = x1. x2 = m2 – 4m + 5

x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12

4(m + 1)2_{– 2m}2_{+ 8m – 10 = 12}

2m2_{+ 16m – 6 = 12}

m2_{+ 8m – 9 = 0}

m1 = 1; m2 = -9 (loại)
<b>Bài 4:</b>

Cho phương trình x2₊ ₂_{mx – m}2_{+ m – 1 = 0}

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m. Xác định
dấu của các nghiệm

b) Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị

nhoû nhất

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 vaø c = – m2_{+ m – 1 = -(m -}1

2)2 -
3

4 < 0 nên ac < 0 với mọi
m. Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu

b) p dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = - 2m; P = x1.x2 = – m2 + m – 1

x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

= (m - 1₂ )2₊7

4 
7

4 với mọi m
Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 là

7

4 khi m =
1
2

<b>Bài 5:</b>

Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2_{– 2x – m}2_{– 4 = 0}

a) Chứng tỏ phương trình đã cho ln ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x12 + x22 = 20

c) Giải phương trình khi m = -2

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Ta có: ’ = 1 + m2 + 4 = m2 + 5 > 0 m. Vậy phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với

mọi giá trị của m

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S = x1 + x2 = 2; P = x1.x2 = – m2 – 4

maø x12 + x22 = 20 hay (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 20

4 + 2m2_{+ 8 = 20}

2m2_{= 8}

m2_{= 4}

m = 2

c) Khi m = -2 ta có phương trình: x2_{– 2x – 8 = 0. Giải phương trình này ta được hai nghiệm x}
1 =

4; x2 = -2
<b>Baøi 6:</b>

Cho phương trình 2x2_{– 5x + 1 = 0}

Tính x x1 2 x x2 1 (x1; x2 là hai nghiệm của phương trình)
<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

Ta có:  = 25 – 8 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Viét : S = x1 + x2 = ₂5 > 0; P = x1 .x2 = ₂1 > 0  hai nghiệm của phương trình

đều là nghiệm dương







2
2
2
5
2
1
2
2
5
2 1 2 2
1

2
2

1  x x  x x x    

x



2
2
2
5

2

1  x  

x

A =x x1 2 x x2 1 = x1x2



x1 x2



=

2

2

2

5

2

1





= 5 2 2

2

1



<b>Baøi 7:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) ’ = (m – 1)2 – m + 3

= m2_{– 3m + 4}

= (m – ₂3 )2₊
4
7

> 0 với mọi giá trị của m
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2(m – 1) ; x1.x2 = m – 3

Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi x1 + x2 = 2(m – 1) = 0

m = 1

<b>Bài 8:</b>

Cho hai phương trình: x2_{– (2m + n)x – 3m = 0 (1)}

x2_{– (m + 3n)x – 6 = 0 (2)}

Tìm m và n để hai phương trình tương đương

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

Xét hai phương trình: x2_{– (2m + n)x – 3m = 0 (1)}

x2_{– (m + 3n)x – 6 = 0 (2)}

Ta có: 1 = (2m + n)2 + 12m; 2 = (m + 3n)2 + 24 > 0 với mọi m; n  phương trình (2) ln ln có 2

nghiệm phân biệt . Do đó để hai phương trình tương đương thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng định lý Viét ta có:







-3m
P
n
2m
S
1
1

và 2

2

S m 3n
P 6
 





(1)  (2) nên P₁ = P₂ và S₁ = S₂ 








3n
m
n
2m
6
3m

-






-1
n
-2
m
<b>Bài 9:</b>

Cho phương trình x2_{+ mx + n – 3 = 0 (1)}

a) với n = 0. Hãy chứng minh phương trình ln ln có nghiệm
b) Tìm m; n sao cho








7
x
x
1
x
x
2

2
2
1
2
1

với x1; x2 là các nghiệm của (1)
<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Phương trình x2_{+ mx – 3 = 0 có}

 = m2 + 12 > 0 với mọi m

b) p dụng định lý Viét ta có: x1 + x2 = -m; x1.x2 = n - 3

x12 – x22 = (x1 + x2)(x1 – x2) = 7  m = -7 vaø x1 = 4; x2 = 3  n = 15
<b>Bài 10:</b>

Cho phương trình x2_{– 2(m – 1)x + m – 3 = 0}

a) Giải phương trình khi m = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Khi m = 2 ta có phương trình: x2_{– 2x – 1 = 0 . Giải phương trình ta được:}

x1 = 1 + 2; x2 = 1 – 2

b) Ta coù: ’ = (m – 1)2 – m + 3

= m2_{– 3m + 4}

= (m – 3₂)2₊7

4 
7

4 > 0 với mọi m

Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = 2m – 2

P = x1. x2 = -m + 3

 S + 2P = 4

Vậy hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 2 x1. x2 = 4
<b>Bài 11:</b>

Cho phương trình x2_{– 10x – m}2_{= 0 (1)}

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị m 0

b) Chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1) là nghịch đảo của các nghiệm của
phương trình: m2_x2_{+ 10x – 1 = 0 (2) với m}_₀

c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm thoả mãn điều kiện
6x1 + 5x2 = 5

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

a) Vì a = 1 > 0; c = -m2_{< 0}_ _{ac < 0 nên phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với mọi m khác 0}

b) Gọi a là nghiệm của phương trình (1) ta có: a2_{– 10a – m}2_{= 0}

Vì a khác 0 nên chia cả hai vế cho a2_{ta được: 1 – 10.}_{– m}2_.

2

1
a = 0
Hay: m2_.

2

1

a + 10. - 1 = 0

 là nghiệm của phương trình m2x2 + 10x – 1 = 0

Vậy nghiệm của phương trình (1) là nghịch đảo của các nghiệm của phương trình:
m2_x2_{+ 10x – 1 = 0 (2) với m}_₀

c) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = 10; P = x1. x2 = -m2

Kết hợp với giả thiết 6x1 + 5x2 = 5 ta được x1 = - 45 ; x2 = 55  x1. x2 = -m2 = -2475

 m = _ 2475

<b>Baøi 12:</b>

Cho ba số a; b; c thoả mãn a > b > c > 0 và a + b + c = 12. Chứng minh rằng
trong 3 phương trình sau: x2_{+ ax + b = 0 (1)}

x2_{+ bx + c = 0 (2)}

x2_{+ cx + a = 0 (3)}

có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Δ 1 = a2 – 4b > 4a – 4b = 4(a – b) > 0  phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm

Δ 2 = c2 – 4a < 4c – 4a = 4(c – a) < 0  phương trình x2 + cx + a = 0 vô nghiệm
<b>Bài 13:</b>

Xác định m để hai phương trình :
x2_{– mx + 2m + 1 = 0}

mx2_{– (2m + 1)x – 1 = 0}

có nghiệm chung

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có:









2

0 0

2

0 0

x mx 2m m 0 (1)
mx 2m 1 x 1 0 (2)

 _ _ _ _




   




Từ (2) suy ra x0 0. Nhân cả hai vế của (1) với x0 rồi cộng với (2) ta được: x03 = 1

 x₀ = 1

Thay x0 = 1 vào hệ phương trình ta được:

m 2 0

m 2

m 2 0

 


 


  


Vậy với m = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung

<b>Bài 14:</b>

Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn:  ₂1
b
1
a
1

. Chứng minh phương trình ẩn x
sau ln có nghiệm (x2_{+ ax + b)(x}2_{+ bx + a) = 0}

<i><b>Hướng dẫn:</b></i>

Xét phương trình (x2_{+ ax + b) = 0 (1) có}

1 = a2 – 4b

Xét phương trình (x2_{+ bx + a) = 0 (2) coù}

2 = b2 – 4a
1+ 2 = a2 + b2 – 4(a + b)

maø  ₂1
b
1
a
1

 _{2(a + b) = ab}

 1+ _2 = a2 + b2 – 4(a + b) = a2 + b2 – 2ab = (a – b)2 _0

 _{Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.}

</div>

<!--links-->