D14 điểm thuộc mặt cầu thỏa đk muc do 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (278.08 KB, 4 trang )
Câu 36. [2H3-2.14-3]
(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 0; 1; 1 , B 3; 0; 1 , C 0; 21; 19
và mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 1 . M a; b; c là điểm thuộc mặt cầu S sao
2
2
2
cho biểu thức T 3MA2 2MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c .
A. a b c
14
.
5
B. a b c 0 .
C. a b c
12
.
5
D. a b c 12 .
Lời giải
Chọn A
2
2
2
S : x 1 y 1 z 1 1 có tâm I 1; 1; 1
Gọi G x; y; z là điểm thỏa 3GA 2GB GC 0 , khi đó
3 0 x 2 3 x 0 x 0
x 1
3 1 y 2 0 y 21 y 0 y 4 G 1; 4; 3
z 3
3 1 z 2 1 z 19 z 0
Lúc này ta có
T 3MA2 2MB 2 MC 2
3MG 2 6MG.GA 3GA2 2 MG 2 4 MG.GB 2GB 2 MG 2 2 MG.GC GC 2
6MG 2 2MG 3GA 2GB GC
6MG
T đạt giá trị nhỏ nhất khi M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu S .
2
x 1
Phương trình đường thẳng IG : y 1 3t
z 1 4t
M IG S nên tọa độ M là nghiệm của hệ
x 1
1
y 1 3t
t 5
. Khi đó :
z 1 4t
t 1
x 12 y 12 z 12 1
5
8 1
M 1 1; 5 ; 5
2 9
M 2 1; ;
5 5
8 1
Vì M1G M 2G nên điểm M M1 1; ;
5 5
Vậy a b c
14
.
5
Câu 36. [2H3-2.14-3] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Cho a, b, c
sao cho hàm số
y 2 x3 ax2 bx c đạt cực trị tại x 1 đồng thời có y 0 2 và y 1 3 . Hỏi trong
không gian Oxyz , điểm M a; b; c nằm trong mặt cầu nào sau đây?
A. x 2 y 3 z 5 90 .
B. x 1 y 1 z 1 25 .
C. x 2 y 2 z 5 60 .
D. x 1 y 2 z 3 49 .
2
2
2
2
2
2
Lời giải
Chọn D
TXĐ: D
, y 6 x2 2a x b , y 12 x 2a .
2
2
2
2
y 1 0
6 2a b 0
a 1
a 6
y 1 0
b 8 .
Theo đề ra ta có:
c 2
2 c
2 c
3 2 a b c
3 2 a b c
Vậy M 1; 8; 2 .
Thay tọa độ M vào các phương trình mặt cầu, ta có:
1 2 8 3 2 5
2
1 1 8 1 2 1
25 M nằm ngoài mặt cầu này.
2
2
2
2
1 8 2 5
2
2
2
2
60 M nằm ngoài mặt cầu này.
1 1 8 2 2 3
2
90 M nằm ngoài mặt cầu này.
2
2
49 M nằm trong mặt cầu này.
Câu 47.
[2H3-2.14-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;2 , B 1;0;4 , C 0; 1;3 và điểm M thuộc mặt cầu
S : x2 y 2 z 1
2
1 . Khi biểu thức MA2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn AM
bằng
A.
2 . B.
6.
D. 2 .
C. 6 .
Lời giải
Chọn A
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có G 0;0;3 và G S .
2
2
Khi đó: MA2 MB 2 MC 2 MG GA MG GB MG GC
2
3MG 2 2MG GA GB GC GA2 GB 2 GC 2
3MG 2 6 .
Do đó MA2 MB 2 MC 2
min
MG ngắn nhất
Ta lại có, mặt cầu S có bán kính R 1 tâm I 0;0;1 thuộc trục Oz , và S qua O .
Mà G Oz nên MG ngắn nhất khi M Oz S . Do đó M 0;0; 2 .
Vậy MA 2 .
Câu 36: [2H3-2.14-3] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và hai điểm A 1;1;1 , B 3; 3; 3 . Mặt cầu S
đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với P tại điểm C . Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn
cố định. Tính bán kính của đường tròn đó
A. R 4 .
B. R 6 .
C. R
Hướng dẫn giải
Chọn B
2 33
.
3
D. R
2 11
.
3
A
B
G
I
C
x t
Phương trình đường thẳng AB là y t .
z t
Giao điểm của AB và P là I 3;3;3 . Suy ra IA 2 3 và IB 6 3 .
Vì mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng P tại C nên IC là tiếp tuyến của mặt cầu S . Do
đó IA.IB IC 2 IC IA.IB 6 (không đổi).
Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định nằm trên mặt phẳng P với tâm I 3;3;3 , bán kính
bằng 6 .
Câu 386: [2H3-2.14-3] [CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ - 2017] Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
S : x 1 y 2 z 3 9 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 3 0 . Gọi
điểm trên mặt cầu S sao cho khoảng cách từ M đến P là lớn nhất. Khi đó
2
2
2
B. a b c 6 .
A. a b c 5 .
C. a b c 7 .
Lời giải
D. a b c 8 .
Chọn C
M
d
I
H
P)
M'
Mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 9 có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 3.
2
2
2
Gọi d là đường thẳng đi qua I 1; 2;3 và vuông góc P
x 1 2t
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là y 2 2t .
z 3 t
M a; b; c là
Gọi A, B lần lượt là giao của d và S , khi đó tọa độ A, B ứng với t là nghiệm của phương
t 1
2
2
2
trình 1 2t 1 2 2t 2 3 t 3 9
t 1
13
Với t 1 A 3;0; 4 d A;( P) .
3
5
Với t 1 B 1; 4; 2 d B;( P) .
3
Với mọi điểm M a; b; c trên S ta luôn có d B;( P) d M ;( P) d A;( P) .
Vậy khoảng cách từ M đến P là lớn nhất bằng
13
khi M 3;0; 4
3
Do đó a b c 7. .
Câu 387: [2H3-2.14-3] [LÊ HỒNG PHONG – 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường
thẳng d :
x 1 y z 3
và mặt cầu S tâm I có phương trình
1 2
1
S : x 1 y 2 z 1
2
2
2
18 . Đường thẳng d cắt S tại hai điểm A, B . Tính diện tích
tam giác IAB .
A.
8 11
.
3
B.
16 11
.
3
C.
11
.
6
D.
8 11
.
9
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d đi qua điểm C 1;0; 3 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 1
Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 , bán kính R 3 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng
IC , u
Khi đó: IH
, với IC 0; 2; 2 ; 2 x y 3z 4 0
u
Vậy IH
62 22 22
66
3
1 4 1
Suy ra HB 18
Vậy, SIAB
22 4 6
3
3
1
1 66 8 6 8 11
IH AB
..
2
2 3
3
3
d.
