Giáo trình thủy khí - Chương 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.41 KB, 16 trang )
Chơng 8 chuyển động thế phẳng
Mục đích: Nghiên cứu một số đặc trng động lực học của chuyển động thế phẳng
của chất lỏng lý tởng
Phơng pháp: Sử dụng lý thuyết hàm biến phức
8.1- ứng dụng hàm biến phức
I. Thế phức:
Dòng chất lỏng lý tởng chuyển động có thế khi thoả mãn điều kiện:
0urot =
Khi đó ta đa vào hàm thế vận tốc , trong đó các thành phần vận tốc đợc xác định:
i
u
i
=
(i=x,y,z) (1)
Vectơ vận tốc:
= gradu
Ta giả thiết ;
dt
d
;
2
2
dt
d
là liên tục theo toạ độ
Ta nhận thấy bất kỳ hàm + C nào cũng thoả mãn (1) : thế của trờng vận tốc
chính xác đến hằng số.
Đối với chuyển động thế dừng: =(x,y,z); khi =(x,y,z)=const ta đợc phơng
trình mặt đẳng thế (mặt có thế bằng nhau)
Lý thuyết giải tích vectơ cho thấy: vectơ grad vuông góc với mặt =const do đó
trên mặt đẳng thế vecơ vận tốc tại mọi điểm sẽ vuông góc với nó.
Xét chuyển động thế, phẳng, dừng, khi đó chất lỏng di chuyển trong mặt phẳng
xOy, thế vận tốc đợc xác định nh sau:
x
u
x
=
;
y
u
y
=
Phơng trình các đờng đẳng thế trong mặt phẳng xOy sẽ là: (x,y) = C
Gọi hàm (x,y) thoả mãn điều kiện:
y
u
x
=
;
x
u
y
=
Biểu thức (x,y) = C là phơng trình đờng dòng
1
Hàm thế và hàm dòng thoả mãn phơng trình Laplace; bởi vì:
Từ điều kiện không xoáy:
0
x
u
x
u
urot
x
y
x
=
=
ta có
0
yx
2
2
2
2
=
+
Từ phơng trình liên tục:
0
y
u
x
u
y
x
=
+
ta có
0
yx
2
2
2
2
=
+
Nh vậy hàm thế và hàm dòng là các hàm điều hoà (Laplace=0)
Ta nhận thấy hàm thế và hàm dòng thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann (điều
kiện trực giao giữa đờng dòng và đờng đẳng thế)
0
yyxx
=
+
Trong lý thuyết hàm biến phức, nếu và là các hàm điều hoà và thoả mãn điều
kiện Cauchy- Riemann thì hàm phức (x,y) + i(x,y) là hàm của 1 biến số phức z
với z= x+iy=r(cos+isin)=e.exp(i)
Nh vậy tồn tại hàm phức W(z)= (x,y) + i(x,y) và còn gọi là thế phức.
Hình 1
II. Vận tốc phức
Lý thuyết hàm biến phức cho:
)iy(d
dW
dx
dW
dz
dW
==
nghĩa là đạo hàm
dz
dW
và đạo hàm theo 2 phơng của trục thực và trục ảo bằng
nhau, ta có thể chứng minh:
2
z
x
y
i
1
( )
uiuu
yy
i
dy
dW
i
iyd
dW
uiuu
x
i
xdx
dW
yx
yx
==
+
==
==
+
=
u=u
x
+iu
y
gọi là vận tốc phức;
u
= u
x
+iu
y
gọi là vận tốc liên hợp; mặt phẳng (u
x,
u
y
)
gọi là mặt phẳng vận tốc.
Kết luận: Để khảo sát chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tởng ta áp dụng lý
thuyết hàm biến phức, mỗi thế phức tơng ứng với 1 chuyển động nào đấy của chất
lỏng; ngợc lại, một chuyển động thế sẽ đợc biểu diễn bằng một thế phức nào đấy.
Từ đấy ta có 2 loại bài toán:
- Xác định chuyển động (trờng vận tốc) khi cho biết thế phức.
- Xác định thế phức khi cho biết đờng biên của vật bị bao quanh và vận tốc ở vô
cùng.
8.2 Một số chuyển động đơn giản:
I. Chuyển động phẳng:
Thế phức
( ) ( )
iyxaazzW +==
trong đó a là hằng số.
Ta có 2 cas:
a) a là số thực a
1
( ) ( )
+=+== iiyxazazW
11
Do đó = a
1
x và = a
1
y
Đờng đẳng thế: = a
1
x = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.
Các đờng dòng: = a
1
y = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.
Các thành phần vận tốc:
1x
a
yx
u =
=
= 0
xy
u
y
=
=
=
Vậy ta có chuyển động thẳng theo phơng x (hình2a)
3
=const
y
x
=const
u
x
=a
1
=const
y
x
=const
u
Hình 2b
b) a là số ảo: a = ia
1
(a
1
là số thực); tơng tự nh trên, ta tìm đợc:
Đờng đẳng thế: = - a
1
y = Const là họ các đờng thẳng song song với trục x.
Các đờng dòng: = a
1
x = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.
Các thành phần vận tốc:
0
yx
u
x
=
=
=
1y
a
xy
u =
=
=
So với cas a thì các đờng dòng và các đờng đẳng thế đổi chỗ cho nhau; các hình
chiếu vận tốc cũng đổi chỗ cho nhau.
c) a là số phức: a = a
1
+ ia
2
(a
1
; a
2
là số thực dơng)
Thế phức có dạng:
( ) ( )( ) ( ) ( )
+=++=++== iyaxaiyaxaiyxiaaazzW
122121
Vậy
( ) ( )
yaxayaxa
1221
+==
Ta có u
x
= a
1
u
y
= - a
2
Đờng đẳng thế: = a
1
x - a
2
y = Const hay
Cx
a
a
y
2
1
+=
Các đờng dòng: = a
2
x + a
1
y = Const hay
'
1
2
Cx
a
a
y +=
Đây là phơng trình các đờng thẳng nghiêng vuông góc với nhau (hình 2b)
II. Điểm nguồn và điểm hút:
Thế phức:
( )
+=++=+===
iiarlnaelnarlna)reln(azlnazW
ii
Hàm thế vận tốc: =alnr : =const r = const: đờng đẳng thế là họ
các vòng tròn có tâm trùng với gốc toạ độ
Hàm dòng: =a : =const = const: đờng dòng là họ đờng
thẳng đi qua gốc toạ độ
4
Hình 2a
Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dới dạng toạ độ trụ:
( )
0
r
1
u
r
a
rlna
rr
u
r
=
=
=
=
=
Nh vậy chỉ có thành phần vận tốc theo phơng bán kính, u
r
dơng khi có chiều hớng
từ tâm ra ngoài tức là a dơng, khi đó ta có các đờng dòng đi từ tâm ra: điểm
nguồn.
Ngợc lại, u
r
âm (tức là a âm) khi có chiều hớng từ ngoài vào tâm, khi đó ta có các
đờng dòng đi ngoài vào tâm : điểm hút. Tại tâm ta có r=0, khi đó u
r
có giá trị
bằng , ta gọi đây là điểm đặt biệt.
Lu lợng điểm nguồn hay điểm hút đợc xác định nh sau:
a2dr
r
a
druQ
2
0
2
0
r
===
Nh vậy hằng số a của thế phức có thể biểu diễn qua Q:
=
2
Q
a
Thế phức có dạng
zln
2
Q
W
z
=
III Chuyển động xoáy (xoáy thế vận tốc):
Xét thế phức W=a lnz trong đó a là số ảo: a=ia
1
(a
1
là số thực)
W=a lnz =ia
1
lnz=ia
1
ln(re
i
)=+i
Trong trờng hợp này ta có:
Hàm thế vận tốc: =-a
1
: =const = const: đờng đẳng thế là họ
đờng thẳng đi qua gốc toạ độ
5
=const
=const
Hàm dòng: = a
1
lnr: =const r = const: đờng dòng là họ các vòng
tròn có tâm trùng với gốc toạ độ (chuyển động xoáy)
Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dới dạng toạ độ trụ:
( )
r
a
r
1
u
0a
rr
u
1
1r
=
=
=
=
=
ý nghĩa của a
1
: ta định nghĩa
1
1
2
0
s
a2r2
r
a
rd.udsu ====
:lu số vận tốc
(circular).
Thay vào biểu thức của thế phức:
zln
i2
zln
2
i
WƯ
=
=
Vận tốc
r2
u
=
nghĩa là
const
2
ru =
=
Một chuyển động nh thế ứng với dòng có lu số vận tốc quanh sợi xoáy. Trong
chuyển động phẳng đây là dòng quanh 1 điểm xoáy nằm ở tâm toạ độ.
IV Chuyển động lỡng cực:
Khảo sát thé phức:
z
1
2
m
W
z
=
Thay z=x+iy ta có
( )
( )( )
( )
22
z
yx
iyx
2
m
iyxiyx
iyx
2
m
W
+
=
+
=
Suy ra
22
yx
x
2
m
+
=
và
22
yx
y
2
m
+
=
Phơng trình đờng đẳng thế: x
2
+ y
2
= Cx: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục x
và đi qua gốc toạ độ
Phơng trình đờng dòng: x
2
+ y
2
= Cy: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục y và
đi qua gốc toạ độ
Chuyển động này là chuyển động lỡng cực, m gọi là moment của lỡng cực
6
=const
=const
