Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

32
Chơng 3
biến dạng ngang và lợng dãn rộng khi cán
3.1- Khái niệm và công thức thực nghiệm xác định lợng dãn rộng b
Lợng dãn rộng tuyệt đối

b đợc đặc trng bởi hiệu số giữa hai chiều rộng
của vật cán sau và trớc khi cán:

b = b - B (3.1)
Lợng dãn rộng

b phát sinh một cách tự nhiên theo quy luật biến dạng
trong không gian ba chiều, thế nhng trên thực tế, trong quá trình cán nó là một đại
lợng biến dạng không mong muốn vì nó là một thông số biến dạng chịu ảnh hởng
của nhiều thông số công nghệ cán, nó cũng chính là nguyên nhân gây ra phế phẩm
ở nhiều trờng hợp.
Vì vậy, mà việc nghiên cứu đại lợng biến dạng ngang và lợng dãn rộng

b
khi cán là rất cần thiết nhằm mục đích khống chế hoặc cỡng bức khi cần thiết.
Song, vấn đề lại rất khó giải trong lý thuyết cán bởi vì mọi sự diễn biến các thông số
công nghệ đều xảy ra trong vùng biến dạng.
Đã có nhiều tác giả và cũng đã có nhiều công trình đợc công bố, mọi
nghiên cứu đều tập trung vào các yếu tố làm ảnh hởng đến lợng dãn rộng b.
Ta biết rằng khi một phân tố kim loại bị nén theo mọt chiều thì sẽ chảy dẻo
theo hai chiều còn lại, trên cơ sở đó ta thấy đại lợng h là yếu tố công nghệ đầu

tiên ảnh hởng đến lợng biến dạng ngang b.
Ví dụ:
h
H
ln.l.Cb
x1
=









=
H
h
.l.Cb
x2
(3.2)









=
h
h
,
H
H
.l.Cb
x3

trong đó, l
x
: chiều dài cung tiếp xúc.
C
1
, C
2
, C
3
: các hệ số thực nghiệm.
Biểu thức (3.2) cho thấy, trị số b chịu ảnh hởng trớc hết là độ dài cung
tiếp xúc (yếu tố hình học vùng biến dạng), tiếp theo là lợng ép

h (biến dạng cao).
Một số công trình nghiên cứu khác đem lại các biểu thức tính

b đơn giản hơn:


b = C
j

.

h (3.3)

h.R
h
h
.Cb
p


= (3.4)










=
f2
h
h.R
H2
h
.15,1b
(3.5)

trong đó, C
j
; C
p
: hệ số thực nghiệm
Với biểu thức (3.5) (công thức Petrov), tác giả đã đề cập đến nhiều yếu tố
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

33
công nghệ ảnh hởng đến

b nh là trạng thái ứng suất trung bình

2
, hệ số ma sát,
yếu tố hình dáng vùng biến dạng, lợng ép

h...

H
h
f2
h
h.R.f.
H
h
1b

















+=
(3.6)
Qua các biểu thức trên ta nhận xét: Lợng dãn rộng

b phụ thuộc vào các
yếu tố công nghệ: chiều rộng ban đầu vật cán B, chiều cao vật cán H, lợng ép tuyệt
đối

h, đờng kính trục cán D, hệ số ma sát f, ứng suất pháp

, ứng suất tiếp

...
3.2- Phân tích lợng dãn rộng


b theo phơng pháp thứ nguyên
Nếu ta ký hiệu lợng biến dạng ngang bằng một đại lợng a thì:
A = f(B, H,

h, D,

,

) (3.7)
Chính lợng biến dạng ngang a là tỷ số giữa khối lợng kim loại di chuyển
theo hớng ngang so với khối lợng kim loại di chuyển theo chiều cao.

h
b
h
b
V
V
h
H
ln.V
B
b
ln.V
h
dh
.V
b
db
.V

dV
dV
a ====
(3.8)
trong đó, V
b
: khối lợng kim loại di chuyển theo chiều rộng.
V
h
: khối lợng kim loại di chuyển theo chiều cao.
Hoặc:


==
1
ln
ln
h
H
ln
B
b
ln
a
(3.9)
Trên cơ sở hai biểu thức (3.7) và (3.8), ta có:
V
b
= V
h

.a = V
h
.f(B, H, h, D, , ) (3.10)
Biểu thức (3.10) gồm 8 đại lợng vật lý nhng đợc đo bằng 3 thứ nguyên
độc lập nhau là độ dài (m), trọng lợng (kg), thời gian (s). Vì thế mà lợng dãn
rộng khi cán phải xác định bằng 5 thông số không có thứ nguyên, đó là cả hai vế
của phơng trình các đại lợng có trong phơng trình phải nh nhau .
Ví dụ:

== ...y.x.AqQ
ba
n
1
(3.11)
trong đó, q: các số hạng có cùng thứ nguyên.
Q: tổng các thứ nguyên đó.
X, y: các đại lợng xác định giá trị của Q.
Biểu thức (3.10) có vế phải là một số hạng luỹ thừa, vì vậy áp dụng phơng
trình thứ nguyên, ta có:


=
n
1
qnfnlndnCnKn
nhb
DhHBAVV
(3.12)
Giáo trình: Lý thuyết cán


Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

34
trong đó, n: số lợng các số hạng có cùng thứ nguyên. Để có đợc thứ nguyên
của vế trái và vế phải nh nhau thì tồn tại một quan hệ:

( )( )
qnfn2qnfnqnfnlndnCnKn33
s.m.kg.m.mm
++++++
=

hoặc:
( )
qnfn2qnfnqnfnlndnCnKn33
s..kg.mm
+++++++
=

Do đó, 3 = 3 + Kn + Cn + dn + ln - fn - qn
0 = fn + qn (3.13)
Thực tế là vế phải và vế trái của các biểu thức trên là tập hợp các đại lợng
có cùng một thứ nguyên, cho nên:
m
3
= A
n
.m
3 + Kn + Cn + dn + ln
1 = A

n
.s
-2fn - 2qn
1 = A
n
.kg
fn + qn

A
n
= A
n
+ A
n
+ A
n

Từ (3.13) ta suy ra:
Cn = -(Kn

+ dn + ln)
fn = -qn
và do đó,
()

=
++
n
0
qnqnlndnlndnKnKn

nhb
DhHBAVV

hoặc là:





























=
n
0
qnlndnKn
n
h
b
H
D
H
h
H
B
A
V
V

Theo định luật Amonton:
f=


: hệ số ma sát
Trở lại với biểu thức (3.8), ta có:






















=
n
0
qn
lndnKn
n
f
H
D
H
h
H
B
Aa

(3.14)
Nên nhớ rằng khối lợng kim loại di chuển theo chiều rộng V
b
chính là tích
số giữa b với chiều cao H và khối lợng kim loại di chuyển theo chiều cao V
h
lại
là tích số giữa h với chiều rộng B cho nên ta có:

B.h
H.b
V
V
a
h
b


== (3.15)
Suy ra,
H
B
.a
h
b
=


là chỉ số dãn rộng


b so với lợng ép

h.
Nh vậy trên cơ sở của biểu thức (3.14) ta có thể viết:





















=


n
0

qn
lndnKn
n
f
H
D
H
h
H
B
A
H
B
h
b
(3.16)
Từ biểu thức (3.16) ta có thể hình thành các biểu thức về dãn rộng theo chiều
dài cũng nh theo chiều rộng của vùng biến dạng nếu nh ta biết đợc các số luỹ
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

35
thừa Kn, dn, ln, qn và An. Ta biết rằng trên một độ dài cung tiếp xúc l
x
của vùng
biến dạng luôn tồn tại 3 vùng: vợt trớc, dính và trễ; song trong vùng dính lực ma
sát đổi hớng khi qua tiết diện trung hoà. Vậy trong vùng dính có thể coi có hai
vùng riêng biệt khi lực ma sát đổi hớng.
Tóm lại, trên một độ dài cung tiếp xúc l

x
của vùng biến dạng có 4 điều kiện
vầ ma sát cho nên để cho tiện lợi cho việc tính toán thì trong biểu thức (3.16) ta
chọn lấy 4 số hạng. Ví dụ, theo thí nghiệm của Gupkin chọn:
A
1
= 1 với k
1
= 0; d
1
= 1/2; l
1
= 1/2; q
1
= 1
A
2
= -1/2 với k
2
= 0; d
2
= 1; l
2
= 0; q
2
= 0
A
3
= 1 với k
3

= 0; d
3
= 3/2; l
3
= 1/2; q
3
= 1
A
4
= 1/2 với k
4
= 0; d
4
= 3/2; l
4
= 0; q
4
= 0
Thay các số liệu này vào (3.16), ta có:
































+
















=


2
3
2
1
3
2
2
1
2
1
H
h
2
1
f
H
D
.
H
h
H

h
2
1
f.
H
D
.
H
h
H
B
h
b
(3.17)
Khai triển và biến đổi ta nhận đợc biểu thức:




















+=


H
h
2
1
H
D
.
H
h
.f
H
h
1
H
B
h
b
(3.18)
Nếu nh tiết diện phôi là hình vuông (B/H = 1) thì:




















+=


H
h
2
1
H
D
.
H
h
.f
H
h

1
h
b
(3.19)
Hai biểu thức thực nghiệm (3.18) và (3.19) đợc sử dụng để tính lợng dãn
rộng. Song khi tỷ số B/H

1 theo thực nghiệm sử dụng biểu thức (3.18) và khi B/H
1 sử dụng biểu thức (3.19).
Từ (3.19), riêng số hạng
H
D
H
h
f

đợc biến đổi và rút gọn:

H
l
.f.2hR.f.
H
2
H
hR2
f
H
D
H
h

f
x
2
==

=


Vậy,















+=


H
h
2

1
H
l
.f.2
H
h
1
h
b
x
(3.20)
Biểu thức (3.20) cho ta thấy b/h là một hàm số của hệ số ma sát, tỷ số l
x
/H
và h/H. Trên cơ sở của các biến số này, ngời ta xây dựng đồ thị để tiện lợi cho
việc tính toán chỉ số dãn rộng.
3.3- Phân tích lợng biến dạng ngang trên bề mặt tiếp xúc
Khi nghiên cứu quá trình chảy của các chất điểm kim loại trên bề mặt tiếp
xúc để hình thành đại lợng biến dạng ngang có hai quan điểm khác nhau.
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

36
1. Quan điểm cho rằng sự hình thành lợng biến dạng ngang là do sự di
chuyển các chất điểm của khối lợng kim loại kề sát biên mép vật cán (có nghĩa là
cho rằng biến dạng ngang phân bố không đều trên toàn bộ chiều rộng của vật cán).
2. Quan điểm cho rằng sự hình thành lợng biến dạng ngang là do sự di
chuyển các chất điểm của toàn bộ khối lợng kim loại có trong vùng biến dạng theo
chiều rộng B của vật cán (có nghĩa là cho rằng biến dạng ngang phân bố đều trên

toàn bộ chiều rộng của vật cán).
Để giải thích và chứng minh quan điểm nào có tính thuyết phục thì Galovin
làm thí nghiệm sau:
é
p nhiều mẫu thử có tiết diện hình học khác nhau (tròn, vuông,
tam giác, ôvan...) với một lợng ép

h nhất định. Sau khi thử nén, ngời ta nhận
thấy bề mặt tiếp xúc giữa dụng cụ và vật liệu nén (tiết diện phôi nén) có xu hớng
trở thành hình tròn. Từ kết quả thí nghiệm của nhiều tác giả khác nhau, ngời ta đi
đến kết luận: Các chất điểm của kim loại trên bề mặt tiếp xúc khi chịu biến dạng sẽ
di chuyển theo phơng và hớng nào có sức cản trở sự di chuyển của nó là nhỏ
nhất. Kết luận trên về sau trở thành định luật trở kháng biến dạng nhỏ nhất.
Trong quá trình biến dạng dẻo kim loại cũng cần nhớ rằng, lực cản trơt trên
bề mặt tiếp xúc chủ yếu vẫn là lực ma sát tiếp xúc. Vì vậy mà đoạn đờng đi càng
ngắn thì trở lực càng bé. Nếu thừa nhận định luật trở kháng biến dạng nhỏ nhất
thì quan điểm lợng biến dạng ngang khi cán là không đều trên bề mặt tiếp xúc.
Các nghiên cứu tiếp theo Galovin là của Bakhơtinôp; Tselicôp; Startrenco...
cũng chứng minh đợc rằng là phân bố không đều trên cơ sở hình dáng hình học
khác nhau của diện tích tiếp xúc giữa trục cán và vật cán l
x
/B
TB
(B
TB
: chiều rộng
trung bình của vật cán, B
TB
= (B + b)/2).
Để tìm đợc quy luật chảy dẻo của các chất điểm, ngời ta chia diện tích tiếp

xúc thành 4 vùng khác nhau và tùy theo tỷ số l
x
/B
TB
ta nhận đợc quy luật chảy
khác nhau và do đó biết đợc khả năng biến dạng ngang (hình 3.1).










Từ hình ta thấy lợng biến dạng ngang nhiều là ở khu vực gần biên mép phôi
vì có sức cản trở sự di chuyển bé (đoạn đờng đi ngắn). Nếu phân tích ứng suất tiếp
trên bề mặt tiếp xúc ta nhận thấy: vectơ ứng suất tiếp luôn có chiều ngợc với chiều
chuyển động của các chất điểm trên bề mặt tiếp xúc. Vì vậy, càng đi xa vùng giữa

z

x
a

a

b


b

c

d


x

z
c

d

a

a

b

b

c

d


z

x

a)

b) c)

Hình 3.1- ứng suất chắn dọc và ngang trên bề mặt tiếp xúc khi:
a) Chồn, ép phôi hình chữ nhật; b) Độ dài cung tiếp xúc lớn;
c) Độ dài cung tiếp xúc nhỏ.