Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

16
Chơng 2
Vùng biến dạng
2.1- Các thông số hình học
Quan sát mô hình cán với hai trục cán có tâm O
1
và O
2
quay ngợc chiều
nhau với các tốc độ V
1
và V
2
. Bán kính trục cán là R
1
và R
2
, các điểm tiếp xúc giữa
phôi cán với trục là A
1
B
1
B
2
A
2
, góc ở tâm chắn các cung A

1
B
1
và B
2
A
2
là

1
và

2
.
Với các ký hiệu nh trên, ta có các
khái niệm về thông số hình học của
vùng biến dạng khi cán nh sau:
- A
1
B
1
B
2
A
2
: vùng biến dạng hình học
- A
1
B
1

nB
2
A
2
m: vùng biến dạng
thực tế.
- m, n: biến dạng ngoài vùng biến
dạng hình học.
-

1
,

2
: các góc ăn.
- A
1
B
1
, A
2
B
2
: các cung tiếp xúc.
- l
x
: hình chiếu cung tiếp xúc lên
phơng nằm ngang.
- H, h: chiều cao vật cán trớc và
sau khi cán.

- B, b: chiều rộng vật cán trớc và
sau khi cán.
- L, l: chiều dài vật cán trớc và
sau khi cán.
2.2- Mối quan hệ giữa các đại lợng hình học
H - h = h: lợng ép tuyệt đối.

H
h
H
h
1
H
hH

==

: lợng ép tỷ đối.
b - B = b: dãn rộng tuyệt đối.

B
b
1
B
b
B
Bb

==


: dãn rộng tỷ đối.
Từ hình 2.1, ta xét hai tam giác A
1
B
1
E và KB
1
A
1
:

11
1
1
11
AB
EB
KB
BA
= suy ra: A
1
B
1
2
= B
1
E.KB
1
= 2R
1

h
1

Do đó,
1111
hR2BA =
(2.1)
Theo hình 2.1 ta có A
1
B
1
là dây cung của cung tiếp xúc A
1
B
1
, vì góc

1
rất
bé nên ta có thể coi độ dài của dây cung bằng độ dài cung. Song cũng với lý do

1

O
1
V
1

h
1

A
1

1
O
2
V
2
R
1
R
2

2
B
2
A
2
m

n

K


h
2
h

H


Hình 2.1- Sơ đồ cán giữa hai trục.
l
x
B

b

b/2
b/2
E

B
1
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

17
nhỏ (5
0
- 8
0
) cho nên khi chiếu dây cung A
1
B
1
lên phơng nằm ngang ta coi nh
không đổi. Vì vậy, A
1

B
1
.cos

1
= A
1
K
Với cos

1


1, nên ta có:
A
1
B
1


A
1
K

l
x

Vì vậy,
111x
hR2l =

: chiều dài cung tiếp xúc (2.2)
Với giả thiết

1
bé, ta cũng có biểu thức:
l
x1


R
1
.

1
(2.3)
Nếu nh ta cũng xét tơng tự với O
2
ta có thể suy đợc:

222x
hR2l = (2.4)
Nếu nh độ dài cung tiếp xúc ở trên trục O
1
và O
2
bằng nhau, l
x1
= l
x2
:


2211
hR2hR2 =

2R
1
h
1
= 2R
2
h
2


1
2
1
22
1
2
1
h
R
R
hvàh
R
R
h ==
trong đó,


h
1
+

h
2
=

h = H - h
do đó,
h
R
RR
h
R
R
1hh
R
R
h
2
21
1
2
1
11
2
1
1
=









+
=








+=+

hoặc,
h
RR
R
hvàh
RR
R
h
21
1

2
21
2
1

+
=
+
= (2.5)
Đa (2.5) vào các biểu thức (2.2) và (2.4), ta có:

21
21
111x
RR
hRR2
h.R2l
+

==
(2.6)

21
21
222x
RR
hRR2
h.R2l
+


==
(2.7)
Nếu nh hai đờng kính trục cán bằng nhau R
1
= R
2
= R, ta có:

h.Rlll
x2x1x
===
(2.8)
Trở lại hình 2.1, ta xét các đoạn thẳng:
B
1
K = B
1
O
1
- KO
1
, với KO
1
= R
1
cos
1


B

1
K = R
1
- Rcos

1

Mà B
1
K =

h
1
nên:

h
1
= R
1
(1 - cos

1
)
Tơng tự đối với trục O
2
, ta có:


h
2

= R
2
(1 - cos

2
)


h =

h
1
+

h
2
= R
1
(1 - cos

1
) + R
2
(1 - cos

2
)
Giả thiết rằng, R
1
= R

2
= R và
1
=
2
= , do đó: cos
1
= cos
2
= cos
thì h
1
= h
2

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

18
cho nên:

h

= 2

h
1
= 2


h
2
= R (1 - cos

)


h = D(1 - cos

) (2.9)
với D: đờng kính làm việc của trục cán.
Khi góc

bé (



10 - 15
0
) thì: 1 - cos

= 2sin
2
(

/2) = 2(

/2)
2
=


2
/2
Do đó,
()
2
.D
2
sin.2.Dcos1Dh
2
2

=







==

Suy ra,
R
h
=
(2.10)
2.3- Hệ số biến dạng khi cán
Từ giả thiết là thể tích của kim loại là không đổi trong quá trình biến dạng, ta
có: H.B.L = h.b.l = const

Vậy,
1
l.b.h
L.B.H
= (2.11)
Ký hiệu:
=
h
H
: hệ số biến dạng theo chiều cao.

=
b
B
: hệ số biến dạng theo chiều rộng (hệ số dãn rộng).

=
l
L
: hệ số biến dạng theo chiều dài (hệ số dãn dài).
Vậy, .. = 1
Từ biểu thức (2.11) chúng ta có thể biến đổi:


===
1
f
F
L
l

hb
B.H
(

< 1) (2.12)
Quá trình cán làm dãn tiết diện và tăng chiều dài.
2.4- Hiện tợng tăng chiều dài vùng tiếp xúc l
x

Trong công nghệ cán nguội, đặc biệt là khi cán nguội tấm rộng và mỏng, lực
cán rất lớn. Vì vậy, trục cán có lợng biến dạng đàn hồi lớn, mặt khác khi vật cán
thì cùng với biến dạng d (dẻo) có cả biến dạng đàn hồi. Lợng biến dạng đàn hồi
này khi phôi ra ngoài vùng tiếp xúc thì lập tức bị mất đi. Do có biến dạng đàn hồi
của trục cán và vật cán mà chiều dài cung tiếp xúc của vùng biến dạng tăng lên. Giả
thiết rằng, đại lợng tăng lên đó là x
2
.
Ký hiệu lợng biến dạng đàn hồi của trục cán là y
1
, lợng biến dạng đàn hồi
của vật cán là y
2
. Để có đợc một đại lợng biến dạng

h/2 phải thu hẹp khe hở giữa
hai trục cán lại, nghĩa là phải giảm khoảng cách hai tâm trục một khoảng là y
1
+ y
2
.

Từ hình (2.2), A
1
và A
2
là điểm tiếp xúc của phôi với trục cán khi có nén đàn
hồi và không có nén đàn hồi; B
2
và B
3
và C là các điểm thể hiện khi phôi không có
nén đàn hồi và có nén đàn hồi (B
2
C và B
3
C).
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

19
Đờng tiếp xúc bình thờng giữa
trục cán và phôi là A
2
B
2
C.
l
x
= x
1

+ x
2

Ta xét 2 tam giác: A
2
B
2
C và B
1
CO:
x
1
2
= R
2
- (R - B
3
D)
2

x
2
2
= R
2
- (R - B
1
B
3
)

2
Vậy,
() ()
2
31
2
2
3
2
x
BBRRDBRRl +=
hoặc là:
31
2
31
22
3
2
3
22
x
BBR2BBRRDBR2DBRRl +++=
Bỏ qua các đại lợng vô cùng bé so với bán kính trục cán R, ta có:

313x
BB.R2DB.R2l +=
(2.14)
Từ hình ta thấy,
B
3

D =

h/2 + y
1
+ y
2
B
3
D = y
1
+ y
2
(2.15)
Vậy,
()
R2yyR2yy
2
h
l
2121x
++






++

=


Hoặc,
( ) ( )
R2yyyyR2hRl
2121x
++++= (2.16)
trong đó,
()
221
xyyR2 =+
(2.17)
Do đó,
2
2
2x
xxhRl ++=
(2.18)
Trị số y
1
và y
2
là các giá trị nén đàn hồi có biểu thức tính gần đúng nh sau:

2
2
P
2
1
2
P

1
E
1
q2y
E
1
q2y
2
1

à


à

(2.19)
trong đó, q: áp lực nén thuỷ tĩnh, trị số của q có thể biểu thị qua áp lực P trên bề
mặt tiếp xúc: q = 2X
2
P (2.20)

à
P1
,
à
P2
: hệ số Poisson của trục cán và kim loại.
E
1
, E

2
: môđun đàn hồi của trục cán và kim loại.
Đa giá trị của y
1
và y
2
vào biểu thức (2.17), ta có:












à
+

à
=
2
2
P
1
2
P

2
E
1
E
1
RP8x
21
(2.21)
Vì khi cán tấm mỏng thì chiều dày của thép tấm so với đờng kính trục cán
A
1
A
2
D

C

B
1
B
3
B
2
H

h/2

y
1
y

2
h

x
1
x
2
l
x
Hình 2.2- Sơ đồ xác định chiều dài
cung tiếp xúc khi tính biến dạng đàn
hồi của trục và vật cán.

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

20
là rất bé nên phần nén đàn hồi của vật cán có thể bỏ qua (E
2




), cho nên:













à
=
1
2
P
2
E
1
RP8x
1
(2.22)
2.5- Các đặc điểm động học trong vùng biến dạng
Quá trình cán so với các quá trình gia công kim loại bằng áp lực khác có
những đặc điểm sau đây:
- Cần thiết phải có lực ma sát tiếp xúc dù cho phải tiêu tốn năng lợng
nhiều hơn.
- Luôn luôn tồn tại một vùng không biến dạng tiếp giáp với vùng biến
dạng (tồn tại một vùng cứng bên ngoài vùng biến dạng). Vì vậy mà sự phân bố biến
dạng, tốc độ biến dạng và ứng suất trong vùng biến dạng là không đồng đều.
Ngời ta nghiên cứu ảnh hởng của lực ma sát tiếp xúc của vùng không biến
dạng kề sát vùng biến dạng đến sự phân bố ứng suất, phân bố biến dạng và tốc độ di
chuyển của các chất điểm kim loại trong vật thể biến dạng, thông qua hình dáng
hình học của vùng biến dạng đợc thể hiện qua tỷ số giữa chiều dài cung tiếp xúc

và chiều cao trung bình của vật cán trong vùng tiếp xúc (l
x
/h
TB
).
Nh ta đã biết, trên dộ dài cung tiếp xúc
bao giờ cũng tồn tại lực ma sát gọi là lực ma
sát tiếp xúc. Vì rằng giữa bề mặt trục cán và
kim loại có sự trợt đồng thời, trị số lực ma
sát này làm ảnh hởng đến sự phân bố ứng
suất và biến dạng trong vật thể phôi cán.
Lực ma sát bao giờ cũng kìm hãm (cản trở)
sự di chuyển của các chất điểm kim loại
trong vật cán, ảnh hởng của sự kìm hãm
này càng xa bề mặt tiếp xúc càng giảm đi
(tính theo chiều cao vật cán). Vì vậy mà các
chất điểm của kim loại ở vùng tâm phôi cán
có khả năng di chuyển nhanh hơn (tốc độ lớn
hơn) so với các chất điểm trên bề mặt tiếp xúc. Nếu nh chiều cao h
TB
càng lớn (khi
biến dạng trợt đợc xảy ra trên toàn bộ chiều cao) thì tốc độ di chuyển của các
chất điểm ở chính giữa phôi càng lớn (xem hình 2.4).
1. Tốc độ vùng bên ngoài tiết diện.
2. Tốc độ vùng tâm tiết diện.
3. Tốc độ trung bình trong tiết diện.
4. Đồ thị tốc độ của vùng không biến dạng.
5. Đồ thị tốc độ ở vùng ngoài vùng biến dạng phía phôi đi vào trục.
6. Đồ thị tốc độ ở vùng trễ.
O



h/2


O

R

R



h

H

Hình 2.3- Sơ đồ vùng biến dạng
và các vùng lân cận.
h
TB
l
x
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

21
7. Đồ thị tốc độ ở tiết
diện trung bình.

8. Đồ thị tốc độ ở
vùng vợt trớc.
9. Đồ thị tốc độ của
vùng ngoài vùng biến dạng
lúc phôi ra khỏi trục cán.
10. Đồ thị tốc độ của
vùng không biến dạng (cán
xong).
Lực ma sát ảnh hởng
đến sự phân bố ứng suất trong
vùng biến dạng khi l
x
/h
TB
> 0,5 ữ 1 đợc thể hiện trên hình 2.4.
Nh ở hình 2.5 chúng ta hiểu rằng ở vùng kề sát bề mặt tiếp xúc, do tồn tại
ma sát và có sự biến đổi tốc độ nên các chất điểm kim loại chịu sự lôi kéo đồng thời
với lực nén của trục cán.
ở
vùng giữa tâm phôi và ảnh hởng vùng ngoài vùng tiếp
xúc đến biến dạng và ứng suất là rất lớn, sự phân bố tốc độ không đồng đều tăng
lên, biến dạng của các lớp gần bề mặt tiếp xúc mãnh liệt hơn, cho nên xảy ra hiện
tợng kéo mãnh liệt các lớp bên trong tâm phôi. Do đó, vùng trong tâm của phôi
chịu ứng suất kéo rất lớn. Hậu quả có thể gây ra các vết nứt trong phôi rất lớn, thậm
chí có thể tạo ra những lỗ hổng.

1-1, 5-5: giả thiết ứng suất
bằng 0.
2-2: tiết diện đi vào vùng
biến dạng.

3-3: tiết diện trung hoà.
4-4: tiết diện phôi ra khỏi
vùng biến dạng.
(-): ứng suất kéo.
(+): ứng suất nén.
Khi vật cán vừa tiếp xúc với trục thì ứng suất kéo tạo điều kiện cho các chất
điểm chuyển động với một tốc độ nhanh lên. Tại tiết diện kim loại ra khỏi trục cán
thì các chất điểm có phần bị kìm hãm lại làm chậm trễ sự chuyển động của các chất
điểm ở vùng giữa phôi cán (hình 2.6).
Hình 2.6a: 1. Vùng không biến dạng.
2. Vùng đàn hồi.
3. Vùng trễ.
4. Vùng vợt.
5. Vùng đàn hồi.
6. Vùng sau cán
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v
1
v
F
.cos



v
B
a)
b)
Hình 2.4- Đồ thị tốc độ vật cán tại các tiết
diện khác nhau (a) và biểu đồ phân bố tốc độ
theo chiều cao tiết diện (b) khi B/h > 0,5
ữ
1
1 2 3 4 5
Hình 2.5- Biểu đồ phân bố ứng suất pháp theo
chiều cao tiết diện vật cán khi l/h > 0,5
ữ
1
1 2 3 4 5
-
+
-
+
+