TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 3.4 Bài toán lãi suất.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2D2-3.4-3] [THPT Lê Hồng Phong] Huyện A có 300 nghìn người. Với mức tăng dân số
bình quân 1, 2% /năm thì sau n năm dân số sẽ vượt lên 330 nghìn người. Hỏi n nhỏ nhất bằng
bao nhiêu?
A. 7 năm.
B. 9 năm.
C. 8 năm.
D. 10 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
n
Số dân của huyện A sau n năm là x  300.000  1  0, 012  .

x  300.000 � 300.000  1  0, 012   330.000 � n  log1,012
n

Câu 2.

33
� n  7,99 .
30

[2D2-3.4-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho

thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2.000.000đ /1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ
tăng giá mỗi phòng trọ lên 200.000đ / 1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh
doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?
A. 2.000.000  đ .
B. 2.400.000  đ .
C. 2.200.000  đ .
D. 2.600.000  đ .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
:
Gọi n,  n �� là số lần tăng giá.
Hàm thu nhập của tháng: f  n    2000000  n.200000   32  n.2  .
 400000n 2  2400000n  64000000 là hàm bậc 2 theo n , có hệ số a  0 .
2400000
 3.
Vậy f  n  đạt giá trị lớn nhất khi n 
2.  400000 
* f  3  67.600.000 �
�
�� f  3  f  0  .
* f  0   64.000.000 �
Vậy chủ hộ sẽ cho thuê với giá 2.000.000  3x 200.000  2.600.000đ .

Câu 3.

[2D2-3.4-3] [THPT chuyên Nguyễn trãi lần 2] Biết rằng năm 2001 , dân số Việt Nam là
78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1, 7% . Cho biết sự tăng dân số được ước tính
theo công thức S  A.e Nr (trong đó A : là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N
năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số
nước ta ở mức 150 triệu người?

A. 2030 .
B. 2038 .
C. 2035 .
D. 2042 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Theo giả thiết ta có phương trình

150.000.000 78.685.800.e0.017 N
N 37.95 (năm).
Tức là đến năm 2038 dân số nước ta ở mức 150 triệu người.

Câu 4.

[2D2-3.4-3] [THPT Nguyễn Trãi Lần 1] Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng
một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6%mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó
có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trông các số sau ?
TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. 635000.

PHƯƠNG PHÁP

B. 643000.

C. 613000.
Hướng dẫn giải


D. 535000.

Chọn A.
Ta có.

1 0,006
�
(1 0,006)15  1�
�
�
0,006
.
T15
�T
 635301,4591
1 0,006
�
(1 0,006)15  1�
�
�
0,006
T15  T.

Câu 5.

[2D2-3.4-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6%/năm và lãi
hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm, người đó thu được số tiền gấp ba số tiền
ban đầu ?
A. 20.

B. 17.
C. 19.
D. 18.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi số tiền gửi ban đầu là P. Sau n năm, số tiền thu được là:
Pn  P  1  0, 06   P (1, 06) n .
n

n
Để Pn  3P thì phải có  1, 06   3. Do đó n  log1,06 3 �18,85 .
Vì n là số tự nhien nên ta chọn n  19. .

Câu 6.

[2D2-3.4-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của ngân hàng
cho con với số tiền là 500000000 VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không lấy lãi hàng
năm theo định kỳ sổ tiết kiệm.Hỏi sau 18 năm, số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu? (Biết
rằng, theo định kì rút tiền hằng năm, nếu không lấy lãi thì số tiền sẽ được nhập vào thành tiền
gốc và sổ tiết kiệm sẽ chuyển thành kì hạn 1 năm tiếp theo).
A. 2.689.966.000 VNĐ.
B. 4.689.966.000 VNĐ.
C. 3.689.966.000 VNĐ.
D. 1.689.966.000 VNĐ.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Giải:
Gọi a là số tiền gửi vào hàng tháng gửi vào ngân hàng.
x là lãi suất ngân hàng.
n là số năm gửi.

Ta có.
Sau năm 1 thì số tiền là : a  ax  a  x  1 .
Sau năm 2: a  x  1  a  x  1 x  a  x  1  x  1  a  x  1 .
2

Sau năm 3 : a  x  1  a  x  1 x  a  x  1

 x  1  a  x  1 .
3
3
3
4
Sau năm 4: a  x  1  a  x  1 x  a  x  1  x  1  a  x  1 .
n
Sau n năm,số tiền cả gốc lẫn lãi là : a  x  1 .
18
Vậy sau 18 năm, số tiền người ý nhận được là: 500.000.000  0, 07  1  1, 689,966,000 VNĐ.
2

Câu 7.

2

2

3

[2D2-3.4-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Một cửa hàng bán lẻ phần mềm soạn thảo công thức
toán học MathType với giá là 10 USD. Với giá bán này, cửa hàng chỉ bán được khoảng 25 sản
phẩm. Cửa hàng dự định sẽ giảm giá bán, ước tính cứ mỗi lần giảm giá bán đi 2 USD thì số sản


TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

phẩm bán được tăng thêm 40 sản phẩm. Xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn
nhất, biết rằng giá mua về của một sản phẩm là 5 USD.
A. 8, 625 USD.
B. 8,125 USD.
C. 8,525 USD.
D. 7, 625 USD.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi x là giá giảm trên một sản phẩm, khi đó sẽ bán thêm được 20x sản phẩm.
Vậy lợi nhuận thu được bằng:
2
15 � 3125 3125 .
L  x    25  20 x   10  x  5   20 x 2  75 x  125  20 �
�
�x  �
16
� 8 � 16
3125
15
 195,3125 USD khi x 
Lợi nhuận tối đa thu được là
hay giá bán một sản phẩm là

16
8
15
10   8,125 USD.
8
Câu 8.

[2D2-3.4-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Sau 13 năm ra trường, thầy An đã tiết kiệm được cho
mình số tiền 300 triệu đồng, thầy dự định sẽ dùng số tiền đó để mua một căn nhà. Nhưng hiện
nay để mua được căn nhà vừa ý, thầy An cũng cần phải có 600 triệu đồng. Rất may một học trò
cũ của thầy sau khi ra trường công tác đã lập gia đình và mua nhà ở thành phố nên đồng ý để
thầy An ở lại căn nhà của mình trong khoảng thời gian tối đa 10 năm, đồng thời chỉ bán lại căn
nhà khi trong khoảng thời gian đó thầy An giao đủ số tiền 600 triệu đồng. Sau khi tính toán
thầy quyết định gửi toàn bộ số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,1% / năm và lãi
hàng năm nhập vào vốn. Hỏi phải mất thời gian tối thiểu bao nhiêu năm nữa thầy An mới mua
được căn nhà này.
A. 8 năm.
B. 7 năm.
C. 6 năm.
D. 9 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Áp
dụng
công
thức
lãi
kép
ta
có:

n
n
Pn  P0  1  r  � 600  300  1  8,1%  � n  log18,1% 2 �8, 699 .
Chọn n  9 .

Câu 9.

[2D2-3.4-3] [THPT chuyên Lương Thế Vinh] Số lượng của một loài vi khuẩn sau t (giờ)
0.195 t
được xấp xỉ bởi đẳng thức Q  t   Q0 .e
, trong đó Q0 là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số

lượng vi khuẩn ban đầu là 5000 con thì sau bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn có 100.000 con?
A. 3,55 .

B. 20 .

C. 15,36 .
Hướng dẫn giải

D. 24 .

Chọn C.
0.195 t
Từ giả thiết ta suy ra Q  t   5000.e
. Để số lượng vi khuẩn là 100.000 con thì.

Q  t   5000.e0.195t  100.000 � e0.195t  2 � t 

1

ln 20 �15.36  h  .
0.195

Câu 10. [2D2-3.4-3] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2] Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế
cán bộ công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn 2015  2021 (
6 năm) là 10,6% so với số lượng hiện có năm 2015 theo phương thức “ra 2 vào 1 ” (tức là khi
giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước 2 người thì được tuyển mới 1 người). Giả
TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng mới hàng năm so với năm trước đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng
mới hàng năm (làm tròn đến 0,01% ).
A. 1,85% .
B. 2,02% .
C. 1,13% .
D. 1,72% .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi x  x �N  là số cán bộ công chức tỉnh A năm 2015 .
Gọi r là tỉ lệ giảm hàng năm.
r.
Số người mất việc năm thứ nhất là: x �
r  x  1 r  .
Số người còn lại sau năm thứ nhất là: x  x �
*


Tương tự, số người mất việc sau năm thứ hai là: x  1  r  r .

r  x  1 r  .
Số người còn lại sau năm thứ hai là: x  1  r   x  1  r  �
2

� Số người mất việc sau năm thứ sáu là: x  1  r  �
r.
5

r  x�
r  x�
r  ...  x �
r  10, 6% x .
Tổng số người mất việc là: x �
1 r  �
 1 r  �
 1 r  �
2

5

� r   1  r  r   1  r  r  ...   1  r  r  0,106 .
2

5

r�
1 1 r  �
�

� 0,106  r 0, 0185 .
�
1  1 r 
Vì tỉ lệ giảm hàng năm bằng với tỉ lệ tuyển dụng mới nên tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm là
1,85% .
6

p
Câu 11. [2D2-3.4-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Số nguyên tố dạng M p  2  1 , trong đó p là

một số nguyên tố, được gọi là số nguyên tố Mec-xen (M.Mersenne, 1588 – 1648, người Pháp).
Số M 6972593 được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao
nhiêu chữ số?
A. 6972592 chữ số.

B. 2098961 chữ số. C. 2098960 chữ số.
Hướng dẫn giải

D. 6972593 chữ số.

Chọn C.
M 6973593 có số chữ số bằng số 226972593 và là.
 6973593.log 2  1   6972593.0,3010  1  2098960 số.
Câu 12. [2D2-3.4-3] [THPT An Lão lần 2] Ngày 01 tháng 01 năm 2017 , ông An đem 800 triệu
đồng gửi vào một ngân hàng với lãi suất 0,5% một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng, ông đến
ngân hàng rút 6 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày 01 tháng 01 năm 2018 , sau khi
rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất trong suốt thời gian
ông An gửi không thay đổi.
A. 1200  400.  1, 005 


12

(triệu đồng).

C. 800.  1, 005   72 (triệu đồng).
12

B. 800.  1, 005   72 (triệu đồng).
11

D. 1200  400.  1, 005 

11

(triệu đồng).

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Từ ngày 01 tháng 01 năm 2017 đến ngày 01 tháng 01 năm 2018 , ông An gửi được tròn 12
tháng.
Gọi a là số tiền ban đầu, r là lãi suất hàng tháng, n là số tháng gửi, x là số tiền rút ra hàng
tháng, Pn là số tiền còn lại sau n tháng.
Khi gửi được tròn 1 tháng, sau khi rút số tiền là x , số tiền còn lại là:
TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP


P1  a  ar  x  a  r  1  x  ad  x, d  r  1 .
Khi gửi được tròn 2 tháng, sau khi rút số tiền là x , số tiền còn lại là:
d 2 1
.
P2  P1  P1.r  x  ad 2  x  d  1  ad 2  x �
d 1
Khi gửi được tròn 3 tháng, sau khi rút số tiền là x , số tiền còn lại là:
d 3 1
.
P3  P2  P2 .r  x  ad 3  x d 2  d  1  ad 3  x �
d 1
Tương tự, khi gửi được tròn n tháng, sau khi rút số tiền là x , số tiền còn lại là:
d n 1
.
Pn  ad n  x �
d 1
Áp dụng với a  800 triệu, r  0,5% , n  12 , x  6 triệu, số tiền còn lại ciủa ông An là:
1, 00512  1
12
12
P12  800.  1, 005  6 �
 800.  1, 005   1200. 1,00512  1  1200  400.1, 00512
0, 005
(triệu đồng).










Câu 13. [2D2-3.4-3] [BTN 164] Giả sử tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm qua là 5% . Hỏi nếu
năm 2007, giá xăng là 12000 VND/lít . Hỏi năm 2016 giá tiền xăng là bao nhiêu tiền một lít.
A. 186160,94 VND/lít .
B. 11340,000 VND/lít .
C. 113400 VND/lít .

D. 18615,94 VND/lít .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Giá xăng năm 2008 là 12000  1  0, 05  .
Giá xăng năm 2009 là 12000  1  0, 05  .
….
9
Giá xăng năm 2016 là 12000  1  0, 05  �18615,94 VND/lit .
2

Câu 14. [2D2-3.4-3] [BTN 163] Số tiền 58 000 000 đ gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được
61 329 000 đ . Lãi suất hàng tháng là:
A. 0,8% .
B. 0, 7% .
C. 0,5% .
D. 0, 6% .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
8

61,329  58  1  q  ( q là lãi suất).
�  1 q 
8

61,329
61,329
61,329
� 1 q  8
�q8
 1 �0, 7% .
59
58
58

Câu 15. [2D2-3.4-3] [THPT Tiên Lãng] Để đầu tư dự án trồng rau sạch theo công nghệ mới, ông An
đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng với số tiền 800 triệu đồng với lãi suất x % / năm , điều
kiện kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho
tháng sau. Sau hai năm thành công với dự án rau sạch của mình, ông An đã thanh toán hợp
đồng ngân hàng số tiền là 1.058 triệu đồng. Hỏi lãi suất trong hợp đồng giữa ông An và ngân
hàng là bao nhiêu?
A. 13% / năm .
B. 14% / năm .
C. 12% / năm .
D. 15% / năm .
zzzzz.
zzzzz.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
TRANG 5



TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Công thức tính tiền vay lãi kép Tn  a  1  x  .
n

T
Trong đó a : số tiền vay ban đầu, x : lãi suất x% / năm, n : số năm  x  n n  1 .
a
Vậy x 

1 058
 1 = 0,15 tức là 15% / năm .
800

Câu 16. [2D2-3.4-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Anh Hưng đi làm được lĩnh lương khởi điểm
4.000.000 đồng/tháng. Cứ 3 năm, lương của anh Hưng lại được tăng thêm 7% /1 tháng. Hỏi
sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được tất cả bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn đến hàng
nghìn đồng).
A. 2.575.937.000 đồng.
C. 1.931.953.000 đồng.

B. 3.219.921.000 đồng.
D. 1.287.968.000 đồng.
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Gọi a là số tiền lương khởi điểm, r là lương được tăng thêm.

+ Số tiền lương trong ba năm đầu tiên: 36a .
1
+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp: 36  a  a.r   36a  1  r  .
+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp: 36a  1  r  .
….
11
+ Số tiền lương trong ba năm cuối: 36a  1  r  .
2

Vậy sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được:
1
2
3
11
�
1   1  r    1  r    1  r   ...   1  r  �
.a.36  2.575.936983 ; 2.575.937.000 đồng.
�
�
Câu 17. [2D2-3.4-3] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Ông A vay ngân hàng 220 triệu đồng và
trả góp trong vòng 1 năm với lãi suất 1,15% mỗi tháng. Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, ông
sẽ hoàn nợ cho ngân hàng với số tiền hoàn nợ mỗi tháng là như nhau, hỏi mỗi tháng ông A sẽ
phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng, biết lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian
ông A hoàn nợ.
220.  1, 0115 
A.
3

12


(triệu đồng).

220.  1, 0115  .0, 0115

B.

12

C.

 1, 0115

12

1

220.  1, 0115 

 1, 0115 

12

12

1

(triệu đồng).

55.  1,0115  .0,0115
D.

(triệu đồng).
3
12

(triệu đồng).

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Mỗi tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng.
a  1  r  .r
n

x

1 r

n

1

220  1  1,15%  .1,15%
12



 1  1,15% 

12

1


220.  1, 0115  .0, 0115
12



 1, 0115 

12

1

với

a  200, r  1,15%, n  12 .
Chứng minh công thức tổng quát: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp.
Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho
số tiền chưa trả là r % một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là
tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, sau
TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

đúng một tháng kể từ ngày vay, người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau
đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x
đồng. Tìm công thức tính x ?Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay.
Chứng minh.

n
P
Gọi n là số tiền còn lại sau tháng thứ .
Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a ar  a 1 r   ad với d  1 r .

d 1
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là: P1  ad  x  ad  x
.

d 1
Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad  x   ad  x r   ad  x  1 r    ad  x d .
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 2 là:

P2   ad  x d  x  ad2  xd  x  ad2  x  d  1  ad2  x

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:

d2  1
.
d 1

ad2  x d  1  �
ad2  x d  1 �
r�
ad2  x d  1 �
ad2  x  d  1 �
d
 1 r   �
�
� �

�
�
�.
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là:





d3  1
.
P3  �
ad2  x d  1 �
d  x  ad3  xd2  xd  x  ad3  x d2  d  1  ad3  x
�
�
d 1

……………………………………….

n
1 r   1
Số tiền còn lại sau tháng thứ n là: P  adn  x d  1 � P  a 1 r  n  x 
(5a) với
n
n
n

d 1


d  1 r .

r

Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có.
n
a  1  r  .r
n
n
ad
d

1


d 1
�x
n
Pn  0 � adn  x
 0� x 
n
1 r 1 .
d 1
d 1
Câu 18. [2D2-3.4-3] [CHUYÊN SƠN LA] Số sản phẩm của một hãng đầu DVD sản suất được trong 1
2

1

ngày là giá trị của hàm số: f (m, n)  m 3 .n 3 , trong đó là m số lượng nhân viên và n là số lượng

lao động chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu
khách hàng. Biết rằng mỗi ngày hãng đó phải trả lương cho một nhân viên là 6 USD và cho
một lao động chính là 24 USD. Tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong 1 ngày của hãng sản xuất
này.
A. 720 USD.
B. 1720 USD.
C. 600 USD.
D. 560 USD.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Vì mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm nên
2

f (m, n) �۳۳
40

1

m 3 .n 3

40

m 2 .n 403 . Chi phí phải trả trong 1 ngày của hãng là

m m
�m m
�
6m  24n  6  m  4n   6 �   4n ��6.3. 3 � �
4n  18 3 m 2 .n �18 3 403  18.40  720. .
2 2

�2 2
�
Câu 19. [2D2-3.4-3] [BTN 173] Một người gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8, 4% / năm và lãi
suất hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm người đó thu được
tổng số tiền 20 triệu đồng (biết rằng lãi suất không thay đổi).
A. 7 năm.
B. 8 năm.
C. 10 năm.
D. 9 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Gọi

P

PHƯƠNG PHÁP

là số tiền gửi ban đầu. Sau

n

năm

 n �� ,


số tiền thu được là

Pn  P  1  0, 084   P  1, 084  .
n

n

Áp dụng với số tiền bài toán cho ta được:
20
�20 �
n
n
20  9,8.  1,084  �  1, 084  
� n  log1,084 � ��8,844 .
9,8
�9,8 �
Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n  9 .
Câu 20. [2D2-3.4-3] [THPT THÁI PHIÊN HP] Hiện tại dân số ở Hà Nội là 7,55 triệu người
với tốc độ tăng dân số 2% một năm và dân số Thành phố Hồ Chí Minh là 8,15 triệu người với
tốc dộ tăng dân số 1,5% một năm. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu năm nữa thì số dân Hà Nội vượt số
dân Thành phố Hồ Chí Minh.
A. 16 năm.
B. 20 năm.

C. 18 năm.
Hướng dẫn giải

D. 17 năm.


Chọn A.
n
n
Số dân của Hà Nội sau n năm là X 1  7,55  1  0, 02   7,55.  1, 02  .
n
n
Số dân của thành phố Hồ Chí Minh sau n năm là X 2  8,15  1  0,015   8,15.  1, 015  .

X 1  X 2 � 7,55.  1, 02 

n

n

�1, 02 � 8,15
�8,15 �
 8,15.  1.015  � �

� n  log 1,02 �
�15,56 .
�
1, 015 � 7,55
7,55 �
�
�
1,015 �
n

Vậy sau ít nhất 16 năm.
Câu 21. [2D2-3.4-3] [THPT HÀM LONG] Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất kép

theo quý là 2% . Hỏi sau 2 năm người đó lấy lại được tổng là bao nhiêu tiền?
A. 1 71 triệu.
B. 117,1 triệu.
C. 116 triệu.
D. 160 triệu.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
A  A0  1  r %   100.106  1  2%  �117165938 .
n

8

Câu 22. [2D2-3.4-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Tỷ lệ tãng dân số ở Việt Nam hằng nãm ðýợc duy
trì ở mức 1, 07% . Theo số liệu của Tổng Cục Thống Kê, dân số của Việt Nam nãm 2016 là
94.104.871 ngýời. Với tốc ðộ tãng dân số nhý thế thì vào nãm 2030 thì dân số của Việt Nam là
bao nhiêu?
A. 108.118.331 người.
C. 110.971.355 người.

B. 107.232.573 người.
D. 109.312.397 người.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Áp dụng công thức: Dân số vào năm n, n  2016 sẽ là N n  N 2016  1  1, 07% 

n  2016

. Do đó


N 2030  109.225.445 người. ( Không có đáp án).
n  2016  r
 109312396,9 .
Áp dụng công thức tăng trưởng mũ: N n  N 2016 e

Đề bài cần nói rõ dùng công thức nào?
Câu 23. [2D2-3.4-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Bác B gởi tiết kiệm số tiền ban đầu là 50 triệu
đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0, 72% tháng. Sau một năm bác B rút cả vốn lẫn lãi và
gởi theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0, 78% tháng. Sau khi gởi đúng một kỳ hạn 6 tháng do gia
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

đình có việc bác gởi thêm 3 tháng nữa thì phải rút tiền trước hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là
57.694.945,55 đồng (chưa làm tròn ). Biết rằng khi rút tiền trước hạn lãi suất được tính theo lãi
suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong số 3 tháng bác gởi thêm lãi suất là.
A. 0,55% .

B. 0,5% .

C. 0,3% .
Hướng dẫn giải

D. 0, 4% .

Chọn D.
Số tiền bác B rút ra sau năm đầu: T1  50.000.000*  1  0, 0072*3  .

4

Số tiền bác B rút ra sau sáu tháng tiếp theo: T2  T1 *  1  0, 0078*6  .
Số

tiền

�r 

3

bác

B

rút

ra

sau

ba

tháng

tiếp

theo: T3  T2 *  1  r   57.694.945,55
3


57.694.945, 55
 1 �0, 004  0, 4% .
T2

Câu 24. [2D2-3.4-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Một công ty bất động sản có 150 căn hộ cho
thuê, biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có
người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100.00 đồng mỗi tháng thì có thêm
5 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ bao
nhiêu đồng một tháng?
A. 2.600.000 đồng.

B. 2.450.000 đồng.
C. 2.250.000 đồng.
Hướng dẫn giải

D. 2.500.000 đồng.

Chọn D.
Số tiền thuê căn hộ: y   150  5 x   2.000.000  100.000 x  ,( x �N ).
y�
 1.000.000 x  5.000.000  0 � x  5 .
Vậy ymax  2.500.000 � x  5 .
Câu 25. [2D2-3.4-3] [THPT CHUYÊN VINH] Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân
bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu
có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung
thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm
4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có
và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín
mặt hồ?
A. 7 �log 3 24 .


B. 7 �log3 25 .

25

C. 3 7 .

24
D. 7 � .
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Theo đề bài số lượng bèo ban đầu 0, 04 diện tích mặt hồ.
Sau 7 ngày số lượng bèo là 0, 04 �31 diện tích mặt hồ.
Sau 14 ngày số lượng bèo là 0, 04 �32 diện tích mặt hồ.
….
Sau 7 �n ngày số lượng bèo là 0, 04 �3n diện tích mặt hồ.
n
n
Để bèo phủ kín mặt hồ thì 0, 04 �3  1 � 3  25 � n  log 3 25 .
TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Vậy sau 7 �log 3 25 ngày thì bèo vừa phủ kín mặt hồ.
Câu 26. [2D2-3.4-3] [SỞ GD ĐT HƯNG YÊN] Một người gửi tiết kiệm số tiền 100.000.000 VNĐ vào

ngân hàng với lãi suất 8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau 15 năm số tiền
người ấy nhận về là bao nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng?
A. 317.217.000 VNĐ.
B. 117.217.000 VNĐ.
C. 417.217.000 VNĐ.
D. 217.217.000 VNĐ.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phân tích: Sau 15 năm số tiền người ấy nhận về là: 108  1 0.08 �317.217.000 .
15

Câu 27. [2D2-3.4-3] [SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2] Anh T muốn xây một ngôi nhà trị giá 500 triệu đồng
sau 3 năm nữa, biết lãi suất ngân hàng vẫn không đổi là 8% một năm. Vậy tại thời điểm hiện tại
số tiền ít nhất anh T phải gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép để có đủ tiền xây
nhà (kết quả làm tròn đến hàng triệu ) là.
A. 397 triệu đồng.
B. 395 triệu đồng.
C. 396 triệu đồng.
D. 398 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
 sẽ là A(1 0.08)3 500 A 397 .
Số tiền hiện tại là A thì sau 5 năm
Câu 28. [2D2-3.4-3] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1
triệu đồng, với lãi suất kép 1% / tháng . Gửi được hai năm 3 tháng người đó có công việc nên
đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là.
(1, 01) 27  1�
(1, 01) 27 - 1�
A. 100. �
B. 101. �

�
�(triệu đồng).
�
�(triệu đồng).
(1, 01) 26 - 1�
(1, 01) 26 - 1�
C. 101. �
D. 100. �
�
�(triệu đồng).
�
�(triệu đồng).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta gọi ui là tổng số tiền người đó có được cuối tháng thứ i .
u1  a  1  r  .
u2   u1  a   1  r   a  1  r   a  1  r  .
2

u3   u2  a   1  r   a  1  r   a  1  r   a  1  r  .
2

3

….
un  a  1  r   a  1  r   a  1  r   ...  a  1  r   a  1  r 
2

3


n

1 r 
.
r

n

1

.

Áp dụng với a  1, n  27; r  1%  0, 01 .
Câu 29. [2D2-3.4-3] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Anh Việt muốn xây một căn nhà. Chi phí xây nhà hết
1 tỉ đồng, hiện nay anh Việt có 700 triệu đồng. Vì không muốn vay tiền nên anh Việt quyết
định gửi số tiền 700 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 12% một năm, tiền lãi của năm
trước được cộng vào tiền gốc của năm sau. Tuy nhiên giá xây dựng cũng tăng mỗi năm 1% so
với năm trước. Hỏi sau bao lâu anh Việt sẽ tiết kiệm đủ tiền xây nhà ? (Kết quả lấy gần đúng
đến 1 chữ số thập phân).
TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. Xấp xỉ 3,1 năm.

B. Xấp xỉ 4,1 năm.
C. Xấp xỉ 3,6 năm.
Hướng dẫn giải


PHƯƠNG PHÁP

D. Xấp xỉ 3,5 năm.

Chọn D.
Số tiền anh Việt nhận được sau x năm tiền gửi là.
x
T1  700.  1  12%   700.1,12 x .(triệu đồng).
Trong thời gian đó, chi phí xây dựng tăng lên thành.
x
T2  1000.  1  1%   1000.1, 01x (triệu đồng).
x

112 � 10
�
Để anh Việt có thể đủ tiền xây nhà thì: T �T �‫�׳‬
700 1,12 x 1000 1, 01x ۳ � �
1
2
�101 � 7
10
۳�x log 92
3,5 .
91 7

Câu 30. [2D2-3.4-3] [THPT Ngô Gia Tự] Cường độ một trận động đất M  richter  được cho bởi công
thức M  log A  log Ao , với A là biên độ rung chấn tối đa và Ao là một biên độ chuẩn (hằng
số). Đầu thế kỷ 20 , một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8.3 độ richter. Trong cùng
năm đó, trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận
động đất ở Nam Mỹ là:

A. 33.2 .
B. 11.
C. 8.9 .
D. 2.075 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
A
M 1  log 1  8,3 � A1  108,3. Ao .
Ao
M 2  log

4.108,3 Ao
A2
4A
 log 1  log
 log  4.108,3   8,3  log 4 �8,9. .
Ao
Ao
Ao

Câu 31. [2D2-3.4-3] [THPT Ngô Gia Tự] Số lượng của một số loài vi khuẩn sau t (giờ) được xấp xỉ
0,195t
, trong đó Qo là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn
bởi đẳng thức Q  Qo .e
ban đầu là 5000 con thì sau bao lâu có 100 000 con?
A. 24 .
B. 15,36 .
C. 3,55 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Q  Qo e0,195t � 100 000  5000e0,195t � t  15,36 .

D. 20 .

Câu 32. [2D2-3.4-3] [THPT Lý Văn Thịnh] Ông An gửi 100 triệu vào tiết kiệm trong một thời gian
khá lâu mà không rút ra với lãi suất ổn định trong mấy chục năm qua là 10% / năm . Tết năm
nay do ông kẹt tiền nên rút hết ra để gia đình đón Tết. Sau khi rút cả vốn lẫn lãi, ông trích ra
gần 10 triệu để sắm sửa đồ Tết trong nhà thì ông còn 250 triệu. Hỏi ông đã gửi tiết kiệm bao
nhiêu lâu ?
A. 17 năm.
B. 10 năm.
C. 19 năm.
D. 15 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: Số tiền ông A rút tiết kiệm được là 10  250  260 triệu.
n
n
n
�
Khi đó: Pn P�
 1�0,1
  100  1,1 260  1,1 2, 6 n log1,1 2, 6 n 10 năm.

TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP


Câu 33. [2D2-3.4-3] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT] Ông A muốn có 100 triệu sau 15 tháng bằng cách
gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất 12%/năm như sau: mỗi tháng ông A gửi vào ngân hàng m
triệu đồng vào đầu tháng. Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông A gửi hàng tháng là bao nhiêu?
Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A gửi tiền.
1500.0, 01
100.0, 01.106
A. m 
.
B. m 
.
15
1, 01.  (1, 01)15  1
1, 01.  (1, 01)  1
C. m 

1500.0,12
.
1,12.  (1,12)15  1

D. m 

15.100
.
1, 01.  (1, 01)15  1

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ông A gửi m triệu đồng với lãi suất r .
Cuối tháng thứ nhất số tiền là m  1  r  .

Đầu kì 2 số tiền là m  1  r   m  m �
 1  r   1�
�
�

m�
2
�1  r   1�
�.
r

m�
2
 1  r   1�
 1 r  .
�
�
r
m
16
Đến cuối tháng thứ 15 thì số tiền là �
�1  r    1  r  �
�.
r
Cuối kì 2 số tiền là

Ta có
m

m �

16
 100.106 do đó.
 1  0, 01   1  0, 01 �
�
�
0, 01

106
.
1, 01 1, 0115  1

Câu 34. [2D2-3.4-3] [THPT Lý Thái Tổ] Một người gửi 58 triệu với lãi suất 1,5% /1 tháng. Hỏi sau ít
nhất bao nhiêu tháng người ấy rút cả gốc lẫn lãi được nhiều hơn 84 triệu.
A. 24 .
B. 26 .
C. 23 .
D. 25 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Số tiền cả gốc lẫn lãi sau n tháng: P  A.(1  r ) n  58.(1, 015) n .
Để số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 84 triệu thì:
P  84 � 58.(1,015) n  84 � n  log1,015

84
� n  24,87631 � n  25 (tháng).
58

Câu 35. [2D2-3.4-3] [THPT Lý Nhân Tông] Một người vay ngân hàng 100 (triệu) với lãi suất 12%
năm. Ông muốn hoàn nợ theo cách: Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, mỗi
tháng ông sẽ trả đúng 10 (triệu). Sau 3 tháng trả đầu tiên ông còn nợ ngân hàng số tiền là.

A. 72, 7291 triệu.
B. 73 triệu.
C. 92,8 triệu.
D. 72, 74 triệu.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Vì Số nợ sau khi trả tháng 1 là 100  1  0.01  10  91 .
Số nợ sau khi trả tháng 2 là 91 1  0.01  10 

8191
.
100

TRANG 12


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Số nợ sau khi trả tháng 3 là

PHƯƠNG PHÁP

8191
 1  0.01  10  72, 7291 .
100

Câu 36. [2D2-3.4-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Một người quan sát một đám bèo phát triển trên mặt hồ
thì thấy cứ sau một giờ thì diện tích của đám bèo lớn gấp 10 lần diện tích đám bèo trước đó,
với tốc độ tăng không đổi thì sau 9 giờ đám bèo ấy phủ kín mặt hồ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì
đám bèo ấy phủ kín một phần ba mặt hồ?

9
109
A. 9  log 3 .
B.
.
C. 3 .
D.
.
log 3
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Một người quan sát một đám bèo phát triển trên mặt hồ thì thấy cứ sau một giờ thì diện tích của
đám bèo lớn gấp 10 lần diện tích đám bèo trước đó, với tốc độ tăng không đổi thì sau 9 giờ
đám bèo ấy phủ kín mặt hồ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì đám bèo ấy phủ kín một phần ba mặt hồ?
Gọi a diện tích ban đầu của đám bèo.
n
Sau một giờ diện tích đám bèo là a1  10a ; Sau n giờ diện tích đám bèo là a n  a.10 .
9
Sau 9 giờ diện tích đám bèo là a9  a.10  S ; ( S ) là diện tích của mặt hồ.

Ta

có
đám
bèo
ấy
phủ
kín
một

9
9
9
S a.10
10
10
� 
 a.10n � 10n 
� n  log
 9  log 3
.
3
3
3
3

phần

ba

mặt

hồ

Câu 37. [2D2-3.4-3] [THPT Lương Tài] Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo
thể thức lãi kép với lãi suất 0.65% trên tháng. Hỏi sau ba năm người đó có số tiền lãi là bao
nhiêu?
A. 123.400.000 đồng.
B. 126.268.800 đồng.
C. 26.268.800 đồng.

D. 23.400.000 đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Số tiền cả gốc và lãi sau 1 tháng là a  ar  a (1  r ). .
Số tiền cả gốc và lãi sau 2 tháng là a  ar  a (1  r )  a (1  r )r  a (1  r ) 2 . .
Số tiền cả gốc và lãi sau n tháng là a (1  r ) n . .
(Trong đó là a số tiền ban đầu, r lãi suất).
0, 65 36
)  126268000 đồng.
Vậy ta có số tiền cả gốc và lãi sau 36 tháng là 100000000(1 
100
Vậy ta có số tiền lãi sau 36 tháng là126268000  100000000  26268000 đồng.
Câu 38. [2D2-3.4-3] [THPT Tiên Du 1] Cho một chất uranium phóng xạ có tỉ lệ phóng xạ hằng ngày là
0, 4% tức là khối lượng của nó giảm 0, 4% mỗi ngày. Khối lượng của chất đó sau n ngày
ni
được tính theo công thức M  M 0 .e trong đó M 0 là khối lượng ngày đầu, i là tỉ lệ phóng xạ

hàng ngày. Hỏi sau 50 ngày phóng xạ, 30 gam chất đó sẽ còn lại bao nhiêu?
A. 25, 2287  g  .

B. 24,5619  g  .

C. 22, 4653  g  .

D. 2, 45619  g  .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

0,00450

.
ni
�24, 5619 g  .
Áp dụng công thức M  M 0.e ta được M  30.e

TRANG 13


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Cách khác: Khối lượng uranium giảm từng ngày 0, 4% nên:
4
4 �
�
 30�
1
Sau ngày thứ nhất lượng uranium còn 30  30.
� g  .
1000
� 1000 �
2

4 � �
4 � 4
4 �
�
�
Sau ngày thứ hai lượng uranium còn 30�

1
1
.
=30 �
1
� 30�
�
� g  .
� 1000 � � 1000 �1000
� 1000 �
….
50
4 �
�
50
Sau ngày thứ
lượng uranium còn 30 �
1
� �24, 5520  g  .
� 1000 �
(Công thức đầu tính khối lượng giảm liên tục, cách 2 tính theo kiểu lãi kép(tức có “kì hạn”).
Câu 39. [2D2-3.4-3] [THPT Thuận Thành] Bác An gửi 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 7%
/tháng. Chưa đầy một năm sau lãi suất tăng lên thành 1,15% /tháng, sáu tháng sau lãi suất lại
thay đổi xuống còn 0,9% /tháng. Bác An tiếp tục gửi tròn một số tháng nữa rồi rút cả vốn và lãi
được 5787710, 707 đồng. Hỏi bác An đã gửi tổng là bao nhiêu tháng ? (Biết rằng trong quá
trình gửi bác An không rút đồng nào và tiền lãi của mỗi tháng được cộng vào tiền gốc của tháng
sau).
A. 15 tháng.
B. 17 tháng.
C. 18 tháng.

D. 16 tháng.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 40. [2D2-3.4-3] [THPT Thuận Thành] Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được
một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị cacbon). Khi một bộ phận của cái cây đó bị chết thì
hiện tượng quang hợp cũng sẽ ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon
14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14 . Gọi P  t  là số
phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây
thì P  t  được cho bởi công thức.
t

�1 �
5750
P  t   100. � �
 % . .
2
��
Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại
trong gỗ là 65, 21 (%). Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.
A. 3574 năm.

B. 3475 năm.

C. 3547 năm.
Hướng dẫn giải

D. 3754 năm.

Chọn C.
t


1�
5750 .
Theo đề, ta có: 65, 21% = 100.��
�
�
�
�
�
��
2
� t = 3547 .
Câu 41. [2D2-3.4-3] [THPT Thuận Thành 3] Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1
triệu đồng, với lãi suất kép 1% / tháng. Gửi được hai năm 6 tháng người đó có công việc nên
đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền người đó rút được là.
30
 1, 01  1�
A. 100. �
�
�(triệu đồng).

30
 1, 01  1�
B. 100. �
�
�(triệu đồng).

30
 1, 01  1�
C. 101. �

�
�(triệu đồng).

29
 1, 01  1�
D. 101. �
�
�(triệu đồng).

Hướng dẫn giải
TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn C.
A
1
n
P
1, 0130  1 (1,01)  101  (1,01) 30 1 .
 1  r   1 (1  r ) 

r
0, 01






Câu 42. [2D2-3.4-3] [THPT Quế Võ 1] Theo tổng cục thống kê, năm 2003 Việt Nam có 80 902 400
người và tỉ lệ tăng dân số hàng năm là 1, 47% ( giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi ).
Hỏi đến năm 2016 Việt Nam sẽ có số người khoảng (chọn đáp án gần đúng nhất).
A. 96 247 183 .
B. 95 992 878 .
C. 98 802 372 .
D. 94 432 113 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
n
Ta vận dụng công thức : Pn  P.(1  x) .
Với n là số năm, x là tỉ lệ gia tăng.
Theo đề ta có 80902400 .(1+1,47%)13  97802732.84 .
Câu 43. [2D2-3.4-3] [THPT Quế Vân 2] Một nguời có 1 tỉ đồng gửi tiết kiệm với lãi suất 8% năm và
lãi hàng năm được nhập vào vốn. Để thu được số tiền là 2 tỉ đồng thì người đó cần bao nhiêu
năm (kết quả làm tròn đến phần nguyên)?
A. 8 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 9 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi n là số năm cần tìm, từ giả thiết ta có n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa
1.(1  0, 08) n  2 � n  log1,08 2 �9 .
Câu 44. [2D2-3.4-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Số lượng của loại vi khuẩn X trong một phòng
t
thí nghiệm được tính theo công thức s ( t ) = s ( 0) .3 , trong đó s ( 0) là số lượng vi khuẩn lúc ban


đầu, s ( t ) là số lượng vi khuẩn X có sau t phút. Biết rằng sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn X
là 20 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn X là 540 nghìn con?
A. 6 phút.
B. 12 phút.
C. 81 phút.
D. 9 phút.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
20.103
.
s ( 3) = s ( 0) .33 � s ( 0) .33 = 20.103 � s ( 0) =
33
s ( t ) = s ( 0) .3t = 540.103 � 3t =

540.103 540.103 3
=
.3 = 729 � t = log 3 729 = 6 .
s ( 0)
20.103

Câu 45. [2D2-3.4-3] Ông Anh muốn mua một chiếc ô tô trị giá 700 triệu đồng nhưng ông chỉ có 500
triệu đồng và muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối
tháng) vơi slaix suất 0, 75% / tháng. Hỏi hàng tháng, ông Anh phải trả số tiền là bao nhiêu (làm
tròn đến nghìn đồng) để sau đúng 2 năm thì trả hết nợ ngân hàng?
A. 9971000 .
B. 9236000 .
C. 9137000 .
D. 9970000 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Gọi x là số tiền mà ông Anh trả mỗi tháng trong 2 năm.
Số tiền ông Anh còn nợ sau 1 tháng: 200  1  r   x .
1  1 r  �
Số tiền ông Anh còn nợ sau 2 tháng:  200  1  r   x   1  r   x  200  1  r   x �
�
�.
3
2
1  1  r    1  r  �.
Số tiền ông Anh còn nợ sau 3 tháng: 200  1  r   x �
� 
�
2

TRANG 15


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

….
Số tiền ông Anh còn nợ sau 24 tháng: 200  1  r 

24

23
x�
1   1  r   ...   1  r  �.
�

�

Sau 24 tháng ông Anh trả hết nợ nên:
24
23
200  1  r   x �
1   1  r   ...   1  r  � 0 .
�
�
� 200  1  r 

24

 1 r 
 x.

24

1

r

 0  x 9,137 (triệu đồng).

Câu 46. [2D2-3.4-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Một gia đình có con vào lớp một, họ muốn để dành
cho con một số tiền là 250.000.000 để sau này chi phí cho 4 năm học đại học của con mình.
Hỏi bây giờ họ phải gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu để sau 12 năm họ sẽ được số tiền
trên biết lãi suất của ngân hàng là 6, 7% một năm và lãi suất này không đổi trong thời gian
trên?
250.000.000

250.000.000
A. P 
(triệu đồng).
B. P 
(triệu đồng).
12
(0, 067)
(1, 67)12
250.000.000
250.000.000
C. P 
(triệu đồng).
D. P 
(triệu đồng).
12
(1  6, 7)
(1, 067)12
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Theo công thức lãi kép: 250000000  P.  1, 067 

12

�P

250000000

 1, 067 

12


.

Câu 47. [2D2-3.4-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của nước Nhật là
0, 2% . Năm 1998 , dân số của Nhật là 125 932 000 người. Vào năm nào dân số của Nhật là
140 000 000 người?
A. Năm 2050 .
B. Năm 2049 .
C. Năm 2052 .
D. Năm 2051 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
n





� 0, 2 �
14000000 125932000. �
1
�
� 100 �

n 53 . Năm đạt được là: 1998  53  2051 .

Câu 48. [2D2-3.4-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6%/năm và lãi
hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm, người đó thu được số tiền gấp ba số tiền
ban đầu ?
A. 20.

B. 17.
C. 19.
D. 18.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi số tiền gửi ban đầu là P. Sau n năm, số tiền thu được là:
Pn  P  1  0, 06   P (1, 06) n .
n

n
Để Pn  3P thì phải có  1, 06   3. Do đó n  log1,06 3 �18,85 .
Vì n là số tự nhien nên ta chọn n  19. .

Câu 49. [2D2-3.4-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của ngân hàng
cho con với số tiền là 500000000 VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không lấy lãi hàng
năm theo định kỳ sổ tiết kiệm.Hỏi sau 18 năm, số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu? (Biết
rằng, theo định kì rút tiền hằng năm, nếu không lấy lãi thì số tiền sẽ được nhập vào thành tiền
gốc và sổ tiết kiệm sẽ chuyển thành kì hạn 1 năm tiếp theo).
TRANG 16


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

A. 2.689.966.000 VNĐ.
C. 3.689.966.000 VNĐ.

B. 4.689.966.000 VNĐ.
D. 1.689.966.000 VNĐ.

Hướng dẫn giải

Chọn D.
Giải:
Gọi a là số tiền gửi vào hàng tháng gửi vào ngân hàng.
x là lãi suất ngân hàng.
n là số năm gửi.
Ta có.
Sau năm 1 thì số tiền là : a  ax  a  x  1 .
Sau năm 2: a  x  1  a  x  1 x  a  x  1  x  1  a  x  1 .
2

Sau năm 3 : a  x  1  a  x  1 x  a  x  1

 x  1  a  x  1 .
3
3
3
4
Sau năm 4: a  x  1  a  x  1 x  a  x  1  x  1  a  x  1 .
n
Sau n năm,số tiền cả gốc lẫn lãi là : a  x  1 .
18
Vậy sau 18 năm, số tiền người ý nhận được là: 500.000.000  0, 07  1  1, 689,966,000 VNĐ.
2

2

2


3

Câu 50. [2D2-3.4-3] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8, 4%
năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu tháng ngưòi đó thu được gấp đôi số
tiền ban đầu (lấy giá trị quy tròn) ?
A. 97 .
B. 98 .
C. 96 .
D. 99 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Sử dụng công thức tính lãi suất:
T 
A  2 A
 1 �r �
n

1

r A
n

n

� 8, 4% � 1
1
�
�
� 12 � 2


n 99, 4 (tháng).

Câu 51. [2D2-3.4-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa] Một khách hàng có 100 triệu đồng gửi vào
ngân hàng kì hạn 3 tháng với lãi suất 0.65% một tháng theo phương thức lãi kép. Hỏi sau bao
nhiêu quý thì vị khách này mới có số tiền lãi nhiều hơn số tiền gốc.
A. 48 quý.

B. 36 quý.

C. 12 quý.
Hướng dẫn giải

D. 24 quý.

Chọn B.
Sau n quý thì ta có tổng số tiền cả vốn và lãi là T  A  1  3r  .
Với A : Số tiền ban đầu, r là lãi suất một tháng.
� Số tiền lãi sau n quý là.
n
T  A  A�
 1  3r   1�
�
�.
Theo bài ra.
n
n
T  A  A�
 A �  1  3r   2 � n  log13r 2 � n  35,89 .
�1  3r   1�
�

Câu 52. [2D2-3.4-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Một người X vay 500 triệu theo phương
thức trả góp, nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất người X trả 5000000 và chịu lãi số
tiền chưa trả là 0, 6% trên tháng thì sau bao lâu người đó trả hết số tiền trên?
A. 154 .
B. 153 .
C. 151 .
D. 150 .
Hướng dẫn giải
n

TRANG 17


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn B.
Sau khi trả tiền vào tháng thứ nhất, số tiền người ấy còn nợ 500 ( 1 + 0, 6%) - 5 .
Sau khi trả tiền vào tháng thứ hai, số tiền người ấy còn nợ.
2
( 1 + 0, 6% ) +1�
.
( 500 ( 1 + 0, 6%) - 5) ( 1+ 0, 6%) - 5 = 500 ( 1+ 0, 6%) - 5 �
�
�
Sau khi trả tiền vào tháng thứ ba, số tiền người ấy còn nợ.
2
500 ( 1 + 0, 6%) - 5 �
( 1 + 0, 6%) +1�

�
�( 1 + 0, 6%) - 5 =

{

}

3
2
= 500 ( 1 + 0, 6%) - 5 �
( 1 + 0, 6%) +( 1 + 0, 6%) +1�
.
�
�
�
�
Sau khi trả tiền vào tháng thứ n , số tiền người ấy còn nợ.
n

1- ( 1 + 0,6%)
n- 1
n- 2
n
500 ( 1 + 0, 6) - 5 �
1 + 0, 6%) +( 1 + 0, 6% ) +... +1�
== 500 ( 1 + 0, 6% ) - 5.
(�
�
�
�

1- ( 1 + 0, 6%)
n

.
5( 1 + 0, 6%)
5
= 500 ( 1 + 0, 6%) +
0, 6%
0, 6%

n

n

2500 2500
2500 1000
n
( 1 + 0, 6%) =
( 1 + 0, 6%) .
3
3
3
3
Người ấy trả hết nợ sau.
2500 1000
5
5
n
n
( 1 + 0, 6%) = 0 � ( 1+ 0, 6%) = � n = log1+0,6% �153 tháng.

3
3
3
2
Câu 53. [2D2-3.4-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Lãi suất ngân hàng hiện nay là 6%/năm Lúc con
ông An, bắt đầu vào học lớp 1 thì ông An gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồngHỏi sau khi con
ông An tốt nghiệp THPT (gửi được 12 năm) thì ông An nhận cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
A. 170 triệu đồng.
B. 190 triệu đồng.
C. 150 triệu đồng.
D. Hơn 200 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Số tiền ông An nhận cả vốn lẫn lãi sau 12 năm là.
12
12
� 6 �
S12  A  1  r   100 ��
1
� �201, 2196472 triệu đồng.
� 100 �
n

= 500 ( 1+ 0, 6%) +

Câu 54. [2D2-3.4-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Một cửa hàng bán lẻ phần mềm soạn thảo công thức
toán học MathType với giá là 10 USD. Với giá bán này, cửa hàng chỉ bán được khoảng 25 sản
phẩm. Cửa hàng dự định sẽ giảm giá bán, ước tính cứ mỗi lần giảm giá bán đi 2 USD thì số sản
phẩm bán được tăng thêm 40 sản phẩm. Xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn
nhất, biết rằng giá mua về của một sản phẩm là 5 USD.

A. 8, 625 USD.
B. 8,125 USD.
C. 8,525 USD.
D. 7, 625 USD.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi x là giá giảm trên một sản phẩm, khi đó sẽ bán thêm được 20x sản phẩm.
Vậy lợi nhuận thu được bằng:
2
15 � 3125 3125 .
L  x    25  20 x   10  x  5   20 x 2  75 x  125  20 �
�
�x  �
16
� 8 � 16

TRANG 18


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Lợi nhuận tối đa thu được là

3125
15
 195,3125 USD khi x 
hay giá bán một sản phẩm là
16

8

10 

15
 8,125 USD.
8

Câu 55. [2D2-3.4-3] [THPT Đặng Thúc Hứa] Sau 13 năm ra trường, thầy An đã tiết kiệm được cho
mình số tiền 300 triệu đồng, thầy dự định sẽ dùng số tiền đó để mua một căn nhà. Nhưng hiện
nay để mua được căn nhà vừa ý, thầy An cũng cần phải có 600 triệu đồng. Rất may một học trò
cũ của thầy sau khi ra trường công tác đã lập gia đình và mua nhà ở thành phố nên đồng ý để
thầy An ở lại căn nhà của mình trong khoảng thời gian tối đa 10 năm, đồng thời chỉ bán lại căn
nhà khi trong khoảng thời gian đó thầy An giao đủ số tiền 600 triệu đồng. Sau khi tính toán
thầy quyết định gửi toàn bộ số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,1% / năm và lãi
hàng năm nhập vào vốn. Hỏi phải mất thời gian tối thiểu bao nhiêu năm nữa thầy An mới mua
được căn nhà này.
A. 8 năm.
B. 7 năm.
C. 6 năm.
D. 9 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Áp
dụng
công
thức
lãi
kép
ta

có:
n
n
Pn  P0  1  r  � 600  300  1  8,1%  � n  log18,1% 2 �8, 699 .
Chọn n  9 .
Câu 56. [2D2-3.4-3] [BTN 165] Bà hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất
8% / năm . Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp
tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
A. 78 tr.
B. 81, 412 tr.
C. 115,892 tr.
D. 119 tr.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Sau 5 năm bà Hoa rút được tổng số tiền là: 100  1  8%   146.932 triệu.
5

Suy ra số tiền lãi là: 100  1  8%   100  L1 .
Bà dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào ngân hàng.
5
Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: 73.466  1  8%   107.946 triệu. Suy ra số tiền lãi
5

là 107.946  73.466  L2 .
Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sao 10 năm là:

�L  L  L
1

2


�81, 412tr . .

Câu 57. [2D2-3.4-3] [BTN 164] Giả sử tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm qua là 5% . Hỏi nếu
năm 2007, giá xăng là 12000 VND/lít . Hỏi năm 2016 giá tiền xăng là bao nhiêu tiền một lít.
A. 186160,94 VND/lít .
B. 11340,000 VND/lít .
C. 113400 VND/lít .

D. 18615,94 VND/lít .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Giá xăng năm 2008 là 12000  1  0, 05  .
Giá xăng năm 2009 là 12000  1  0, 05  .
….
9
Giá xăng năm 2016 là 12000  1  0, 05  �18615,94 VND/lit .
2

TRANG 19


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 58. [2D2-3.4-3] [BTN 163] Số tiền 58 000 000 đ gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được
61 329 000 đ . Lãi suất hàng tháng là:

A. 0,8% .
B. 0, 7% .
C. 0,5% .
D. 0, 6% .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
8
61,329  58  1  q  ( q là lãi suất).
�  1 q 
8

61,329
61,329
61,329
� 1 q  8
�q8
 1 �0, 7% .
59
58
58

Câu 59. [2D2-3.4-3] [BTN 162] Bạn An gửi tiết kiệm số tiền 58000000 đồng trong 8 tháng tại một
ngân hàng thì nhận được 61329000 đồng. Khi đó, lãi suất hàng tháng là:
A. 7% .
B. 6% .
C. 0, 7% .
D. 0, 6% .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Lãi được tính theo công thức lãi kép, vì 8 tháng sau bạn An mới rút tiền.

Ta có công thức tính lãi:
61329
61329
8
8
.
58000000  1  x   61329000 �  1  x  
� 1 x  8
58000
58000

x

8

61329
 1 �0, 007  0, 7% .
58000

Câu 60. [2D2-3.4-3] [THPT TH Cao Nguyên] Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8, 4% năm và lãi
hàng tháng được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số vốn ban
đầu?
A. 6 năm.

B. 9 năm.

C. 7 năm.
Hướng dẫn giải

D. 15 năm.


Chọn B.
n
Ta có Pn  P(1  r ) trong đó Pn là số tiền nhận được sau n năm, P là số tiền ban đầu, r là lãi
suất theo năm.
n
n
Yêu cầu bài toán: 2 P  P(1  r ) � (1  r )  2 � n  log1 r 2  log1,084 2  8,5936... do
n ��� n  9 .
Câu 61. [2D2-3.4-3] [THPT Chuyên NBK(QN)] Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công
thức S  A.er .t , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng  r  0  , t là
thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ là 300 con. Hỏi
sau 15 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?
A. 900 con.
B. 600 con.
C. 1800 con.
D. 2700 con.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
ln 3
ln 3
r .5
r .5
Ta có: 300  100.e � e  3 � r 
. Số vi khuẩn sau 15 giờ là: S  100.e15. 5  2700
5
con.
Câu 62. [2D2-3.4-3] [THPT Kim Liên -HN] Theo thống kê từ sở du lịch Hà nội, năm 2016 doanh thu
từ ngành du lịch Hà nội đạt khoảng 55 ngàn tỷ đồng. Dự báo giai đoạn 2016-2020 doanh thu từ
du lịch Hà Nội tăng ổn định đạt 15,5%/ 1 năm. Hỏi theo dự báo năm 2020 doanh thu từ du lịc

TRANG 20


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hà nội đạt khoảng bao nhiêu tỷ đồng?
A. 98 ngàn tỷ đồng.
B. 113 ngàn tỷ đồng. C. 66 ngàn tỷ đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

D. 75 ngàn tỷ đồng.

Đặt doanh thu nằm 2015 là A ( ngàn tỷ đồng).
Phần trăm tăng hàng nằm là r ( % /năm).
4
Doanh thu năm 2020 là A ( 1 + r ) = 97,879249 �98 ( ngàn tỷ đồng).
Câu 63. [2D2-3.4-3] [BTN 173] Một người gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8, 4% / năm và lãi
suất hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm người đó thu được
tổng số tiền 20 triệu đồng (biết rằng lãi suất không thay đổi).
A. 7 năm.
B. 8 năm.
C. 10 năm.
D. 9 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi P là số tiền gửi ban đầu. Sau n năm  n �� , số tiền thu được là
Pn  P  1  0, 084   P  1, 084  .

n

n

Áp dụng với số tiền bài toán cho ta được:
20  9,8.  1,084  �  1, 084  
n

n

20
�20 �
� n  log1,084 � ��8,844 .
9,8
�9,8 �

Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n  9 .
Câu 64. [2D2-3.4-3] [BTN 166] Một người gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn một năm với
lãi suất 1, 75% năm thì sau bao nhiêu năm người đó thu được một số tiền là 200 triệu. Biết
rằng tiền lãi sau mỗi năm được cộng vào tiền gốc trước đó và trở thành tiền gốc của năm tiếp
theo. Đáp án nào sau đây gần số năm thực tế nhất.
A. 40 năm.
B. 42 năm.
C. 43 năm.
D. 41 năm.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt r  1, 75% .
Số tiền gốc sau 1 năm là: 100  100.r  100  1  r  .
Số tiền gốc sau 2 năm là: 100  1  r   100  1  r  r  100  1  r  .

2

Như vậy số tiền gốc sau n năm là: 100  1  r  .
n

Theo đề 100  1  r   200 �  1  r   2 � n  log1 r 2 �40 .
n

n

Câu 65. [2D2-3.4-3] [THPT – THD Nam Dinh] Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số
tiền là 100 triệu đồng với lãi suất mỗi quý (3 tháng) là 2,1% . Số tiền lãi được cộng vào vốn sau mỗi
quý. Sau 2 năm người đó vẫn tiếp tục gửi tiết kiệm số tiền thu được từ trên nhưng với lãi suất 1,1%
mỗi tháng. Số tiền lãi được cộng vào vốn sau mỗi tháng. Hỏi sau 3 năm kể từ ngày gửi tiết kiệm vào
ngân hàng A người đó thu được số tiền gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 130,1 triệu đồng.
B. 156, 25 triệu đồng.
C. 134, 65 triệu đồng.
D. 140, 2 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có 2 năm có 8 quý.
TRANG 21


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Tổng số tiền người đó thu được sau 3 năm: 100000000 � 1, 021 � 1, 011

8

12

�134654169 đồng.

Câu 66. [2D2-3.4-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Số lượng của loại vi khuẩn X trong một phòng
t
thí nghiệm được tính theo công thức s ( t ) = s ( 0) .3 , trong đó s ( 0) là số lượng vi khuẩn lúc ban

đầu, s ( t ) là số lượng vi khuẩn X có sau t phút. Biết rằng sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn X
là 20 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn X là 540 nghìn con?
A. 6 phút.
B. 12 phút.
C. 81 phút.
D. 9 phút.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
20.103
.
s ( 3) = s ( 0) .33 � s ( 0) .33 = 20.103 � s ( 0) =
33
s ( t ) = s ( 0) .3t = 540.103 � 3t =

540.103 540.103 3
=
.3 = 729 � t = log 3 729 = 6 .
s ( 0)
20.103


Câu 67. [2D2-3.4-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Dynamo là một nhà ảo thuật gia đại tài người
Anh nhưng người ta thường nói Dynamo làm ma thuật chứ không phải làm ảo thuật. Bất kì
màn trình diến nào của anh chảng trẻ tuổi tài cao này đều khiến người xem há hốc miệng kinh
ngạc vì nó vượt qua giới hạn của khoa học. Một lần đến New York anh ngấu hứng trình diễn
khả năng bay lơ lửng trong không trung của mình bằng cách di truyển từ tòa nhà này đến toà
nhà khác và trong quá trình anh di chuyển đấy có một lần anh đáp đất tại một điểm trong
khoảng cách của hai tòa nhà ( Biết mọi di chuyển của anh đều là đường thẳng ). Biết tòa nhà
ban đầu Dynamo đứng có chiều cao là a (m) , tòa nhà sau đó Dynamo đến có chiều cao là b(m)
(a < b) và khoảng cách giữa hai tòa nhà là c(m) . Vị trí đáp đất cách tòa nhà thứ nhất một đoạn
là x(m) hỏi x bằng bao nhiêu để quãng đường di chuyển của Dynamo là bé nhất.
A. x =

3ac
.
a +b

ac

B. x = 2 a + b .
(
)

C. x =

ac
.
a +b

D. x =


ac
.
3( a + b)

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi các điểm như hình vẽ ta có quãng đường mà Dynamo đi là SA  SB .
Trong đó SA  a 2  x 2 , SB  b2   c  x  . .
2

Do đó quãng đường Dynamo phải di chuyển là.
S  SA  SB  a 2  x 2  b 2   c  x  . .
2

.
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có.
TRANG 22


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

S  a 2  x 2  b2   c  x  �  a  b   c 2 . .
2

Dấu bằng xảy ra khi

2


a
x
ac

� x
..
b cx
ab

Cách 2: Phương pháp hàm số S  f  x   a 2  x 2  b 2   c  x 
x

Ta có f '  x  
f ' x  0 �

x a
2

x
x2  a2

2




 c  x
2 .
b2   c  x 
 c  x � x

2
b2   c  x 

2

 0  x  c .

b2   c  x    c  x  x2  a 2 .
2

ac
2
2
2
� x2 �
b 2   c  x  �  c  x   x 2  a 2  � x 2b2  a 2  x  c  � x 
..
�
�
ab
ac
Lập bảng biến thiên của f  x  ta được khi x 
thì quãng đường bé nhất.
ab
Câu 68. [2D2-3.4-3] [THPT Hùng Vương-PT] Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1
triệu đồng, với lãi suất kép 1% trên tháng. Sau hai năm 3 tháng (tháng thứ 28 ) người đó có
công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Hỏi người đó được rút về bao nhiêu tiền?

 1, 01
A. 100. �

�

27

 1�triệu đồng.
�

 1, 01
B. 101. �
�

 1, 01
C. 101. �
�

27

 1�triệu đồng.
�

 1, 01 6  1�
D. 100. �
�
�triệu đồng.

26

 1�triệu đồng.
�


Hướng dẫn giải
Chọn C.
1 �
6�
1
Sau tháng thứ nhất : 10 �
�.
� 100 �
2
� 6� 1 � 6�
1 �
� 1 � 6� 1 �
6�
10
1


10
1


10
1

1
Sau tháng thứ hai : � �
�
�
�
�

� 10 �
�.
�
� 100 �
� 100 �
� 100 �
� � 100 �
�
3

2

1 �
1 �
� 1 �
6�
6�
1
1
1
Sau tháng thứ ba : 10 �
� 10 �
� 10 �
�.
� 100 �
� 100 �
� 100 �
….
Sau hai năm ba tháng :
27

26
2
1 �
1 �
1 �
1 �
6�
6�
6�
6�
10 �
1
1
1
1
�  10 �
�  ...  10 �
� 10 �
�.
� 100 �
� 100 �
� 100 �
� 100 �
6

 106.1, 01 1, 0126  1, 0125  ...  1  1, 01.106

1, 0127  1
 101 1, 0127  1 triệu đồng.
1, 01  1


TRANG 23