Chương 5. Dao động của vòm và dàn

5-1
Chương 5
DAO ĐỘNG CỦA VÒM VÀ DÀN
5.1 Dao động của vòm
5.1.1 Khái niệm về cách tính dao động của vòm
Vòm là một thanh cong có tiết diện không đổi hoặc thay đổi và có trọng lượng bản
thân khá lớn. Khối lượng bản thân của vòm phân bố trên toàn chiều dài, nên vòm là hệ có
vô số bậc tự do. Cách tính chính xác bài toán dao động của vòm rất phức tạp. Để đơn
giản ta có thể dùng phương pháp tính gần đúng bằng cách thay thế khối lượng phân bố
bằng các khối lượng tập trung hữu hạn như ta đã nói trong chương 4. Muốn vậy, ta chia
vòm thành một số đoạn như trên hình 5-1a, sau đó thay thế các khối lượng phân bố bằng
các khối lượng tập trung bố trí ở trọng tâm mỗi phần khối lượng phân bố bị thay thế (hình
5-1b), hoặc bằng các khối lượng tập trung bố trí ở ranh giới các đoạn chia theo nguyên
tắc cánh tay đòn (hình 5-1c).
Ngoài ra để cho quá trình tính toán được đơn giản hơn nữa, ta còn có thể thay trục
cong của vòm bằng một đườ
ng gãy khúc (hình 5-2). Đường gãy khúc này bao gồm các
đoạn thẳng cắt nhau tại ranh giới các đoạn đã chia (hình 5-2a,b) hoặc cắt nhau tại vị trí
các khối lượng tập trung, khi đó bố trí các khối lượng tập trung này ở trọng tâm các phần
khối lượng bị thay thế (hình 5-2c).
Như vậy, khi ta tính chuyển vị ta có thể dùng phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin mà
không phải tính tích phân theo công thức Mor. Qua những thí dụ trên ta thấy số bậc tự do
của kết cấ
u phụ thuộc sơ đồ khối lượng và dạng trục đã chọn. Sau khi thay đổi sơ đồ tính
như trên, ta có thể tính dao động của vòm theo bài toán dao động hệ có một số hữu hạn
bậc tự do (số bậc tự do hữu hạn ) như đã trình bày trong chương 2.

5.1.2 Dao động riêng của vòm .
Đối với hệ thay thế có n bậc tự do, ta sẽ xác định được n tần số dao động riêng.
Trong thực tế ta chỉ cần tìm tần số cơ bản w
1
, nên có thể chọn sơ đồ thay thế sao cho đơn
giản mà vẫn đạt được yêu cầu chính xác đối với kết quả w
1
.
a,
b,
c,
n =
∞
n = 8

n = 6


Hình 5-1. Vòm có trục thay
thế dạng đường cong.

b,
a,
c,
n = 2
n = 6
n = 3

Hình 5-2. Vòm có trục thay
thế dạng đường gãy khúc.
Chương 5. Dao động của vòm và dàn

5-2
Như ta đã biết, vị trí của khối lượng có ảnh hưởng lớn đến độ chính xác của kết
quả, do đó cần căn cứ vào dạng dao động tương ứng với tần số cơ bản để chọn vị trí của
các khối lượng tập trung thay thế. Thí dụ đối với dầm đơn giản, khi chỉ cần tìm tần số cơ
bả
n w
1
thì sơ đồ đơn giản nhất là sơ đồ dầm có khối lượng tập trung ở giữa nhịp như trên
hình 5-3.
Đối với vòm không khớp và vòm hai khớp, dạng dao động chính thứ nhất tương
ứng với tần số cơ bản w
1
là dạng có điểm uốn ở đỉnh vòm. Do đó sơ đồ thích hợp là sơ đồ
có các khối lượng tập trung tại vị trí một phần tư nhịp hoặc một phần tư cung vòm (hình
5-4). Các khối lượng tập trung ở chân vòm không có ảnh hưởng đến dao động của vòm.
Sau khi chọn được sơ đồ thay thế ta có thể áp dụng phương trình tần số đã thiết lập ở
ch
ương 2 để xác định các tần số dao động.


Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng các phương pháp gần đúng đã trình bày trong
chương 4, để xác định tần số cơ bản w
1
. Chẳng hạn nếu dùng công thức gần đúng của
Dunkerley ta có:
()
∑
=
+
=
n
1i
ng
ii
d
iii
2
1
δδm
1
ω
. (5-1)
Trong đó:
s
ii
đ
, s
ii
ng
- là các chuyển vị đơn vị theo phương đứng và phương ngang của khối

lượng m
i
đặt trên vòm do lực thẳng đứng p
d
= 1 và lực nằm ngang p
ng
=1 tác dụng
tại điểm i gây ra;
n - số lượng khối lượng tập trung trên vòm.
Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một thí dụ áp dụng.
Trong trường hợp vòm thoải, khi tính tần số dao động riêng thứ nhất w
1
, ta có thể
coi phương chuyển vị của các khối lượng trên vòm vuông góc với trục vòm.
5.1.3 Dao động cưỡng bức.
Hình 5-3. Dầm đơn giản
ml
l
m
2
1
1
ml
4
1
ml
4
l/2 l/2
Hình 5-4.
Sơ đồ tính

m
s
4
s
m
4
s
m
4
s
m
8
s
m
8
l/2 l/2
Chương 5. Dao động của vòm và dàn

5-3















Khi tính dao động cưỡng bức của vòm, ta cũng dùng sơ đồ khối lượng thay thế như
khi tính dao động riêng. Nhiệm vụ cơ bản ở đây là xác định các lực quán tính do lực động
gây ra. Như đã trình bày trong chương 2, hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ
các lực quán tính khi vòm chịu các lực động biến đổi dạng hàm Psinrt cũng có dạng như
hệ phương trình (2-57).
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=++++
=++++
=++++
0Z...ZZ
...................................................
0Z...ZZ
0Z...ZZ
npn2n21n1
2pn2n2121
1pn1n2121
∆δδδ
∆δδδ
∆δδδ
*
nn

*
22
*
11
(5-2)
trong đó

2
i
ii
rm
1
−= δδ
*
ii
(5-3)
Hệ phương trình này có thể áp dụng cho kết cấu bất kỳ, nhưng cần chú ý rằng số
ẩn số không nhất thiết phải bằng số bậc tự do, mà bằng số lực quán tính (cũng tương tự
như phương trình tần số đã gặp trong thí dụ 5-2).
Nội lực động cực đại trong vòm được xác định theo biểu thức sau:
kpn
kn
2
k2
1
k1
k
SZS...ZS.ZSS ++++=
(5-4)
5.2 Dao động của vòm khi có kể đến ảnh hưởng của trọng lượng mặt cầu

Trong cầu vòm, đặc biệt là cầu vòm bê tông cốt thép, trọng lượng của bộ phận mặt
cầu có khi lớn hơn trọng lượng bản thân của vòm. Đối với những trường hợp này khi tính
dao động của vòm ta không thể bỏ qua ảnh hưởng của trọng lượng mặt cầu.
Giả sử xét vòm cho trên hình 5-13a. S
ơ đồ tính của vòm có dạng như trên hình 5-
13b.
A

B
C
A

B
C
a)

P=2sinrt(kN)
EJ=const
m
4
3
4m

4m 4m 4m
m

m
1

1

90

0

5m

2sinrt
90
o
2
2
m

m
m
4,12m
b)


Hình 5-5. Sơ đồ tính
Chương 5. Dao động của vòm và dàn

5-4
Nếu kể thêm các khối lượng m
1
của bộ phận mặt cầu thì bài toán trở nên phức tạp
hơn nhiều, vì vậy, ta có thể chuyển chúng lên trên để nhập vào các khối lượng tập trung
trên mặt cầu, vì khối lượng m
2
, m

3
, m
4
của vòm nhỏ so với khối lượng của cả kết cấu
nhịp. Cách làm này phù hợp với giả thiết là bỏ qua các thành phần ngang của lực quán
tính đặt ở các khối lưọng thuộc phần vòm. Trong thực tế, vòm thường là thoải nên giả
thiết trên có thể chấp nhận được với một sai số tương đối nhỏ.


















5.3 Dao động của dàn
5.3.1 Khái niệm về cách tính dao động của dàn
Khi giải quyết chính xác dao động dàn ta phải kể đến sự phân bố khối lượng trên
các thanh (số bậc tự do bằng vô cùng) và ảnh hưởng độ cứng của các mắt. Song như vậy
thì bài toán sẽ rất phức tạp. Ở đây ta nghiên cứu cách tính được gọi là “chính xác” với giả

thiết sơ đồ kết cấu đã được đơn giản hoá như sau: khối lượng phân bố của các thanh được
chia
đều và được tập trung về các mắt dàn; các mắt dàn được coi là khớp lý tưởng (hình
5-20). Cách tính như vậy phù hợp với giả thiết bỏ qua hiện tượng dao động của từng
thanh quanh trục của nó. Sau khi biến đổi sơ đồ tính của dàn theo giả thiết trên, số bậc tự
do của dàn sẽ giảm xuống và trở thành hữu hạn.







Xác định bậc tự do của dàn ta giả thiết dàn
có M mắ
t, tức là có m khối lượng tập trung và có C
o
liên kết loại một nối với đất. Mỗi
mắt dàn có hai thành phần chuyển vị (ngang và đứng) tức là có hai bậc tự do nên số bậc
tự do của toàn bộ dàn được xác định theo công thức sau:
n = 2M - C
o
(5-5)
H×nh 5-14. S¬ ®å tÝnh dµn

Hình 5-13. Cầu vòm
a)
m
b)
I

I
m
1
II II
1
m
1
m
1
m
1
m
4
m
3
m
2
m
3
m
4
m
Chương 5. Dao động của vòm và dàn

5-5
Thí dụ đối với dàn cho trên hình 5-23 ta có:
n = 2.7 - 3 = 11.
5.3.2 Dao động riêng của dàn
Ta có thể xem dàn như hệ có số bậc tự do hữu hạn, và áp dụng phương trình tần số
đã thiết lập trong chương 2 để xác định tần số riêng. Khi thiết lập phương trình tần số ta

phải xác định các chuyển vị đơn vị d
ik
. Trong bài toán về dàn khối lượng tính toán các
chuyển vị này đòi hỏi mất khá nhiều công sức.
Dưới đây ta hãy thiết lập hệ phương trình chính tắc của chuyển vị các khối lượng
một cách khác dưới dạng khai triển. Cách tính này không cần phải xác định các chuyển vị
đơn vị.

Khảo sát sự cân bằng động của mắt bất kỳ thứ i của dàn. Giả sử tại mắt i có u thanh
ik quy t
ụ (hình 5-21) và có các lực quán tính tác dụng theo phương thẳng đứng
()
ii
ym
&&
−
;
theo phương ngang
()
ii
xm
&&
−
. Gọi N
ik
là các nội lực động trong các thanh quy tụ tại mắt i.
Theo nguyên lý Đalămbe ta viết được phương trình cân bằng của mắt i (khi tách mắt i ).
⎪
⎪
⎭

⎪
⎪
⎬
⎫
=+−=
=+−=
∑∑
∑∑
=
0sin
0cos
1
ikikii
u
k
ikikii
NymY
NxmX
α
α
&&
&&
(5-6)
Mối quan hệ giữa các nội lực N
ik
với chuyển vị của các thanh đó (hình 5-22).
Theo định luật Húc, ta có:
ik
ik
ik

ik
l
l
EF
N ∆=
(5-7)
trong đó :
Dl
ik
= l
i
’
k
- l
i
; (5-8)
l
i
’
k
cosa
i
’
k
= l
ik
cosa
ik
+ x
k

- x
i;

i

m x

i

..

N

ik

m y

..

i

i

i

m

i

α


ik

y
x
x
y
i
i
k
k
ik
l
'

'
i
k
i
k

'
α
ik
α
ik
x
y
0


Hình 5-15. Mắt i
Hình 5-16. Thanh i-k