Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do

3-1
Chương 3
DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ
DO
(Trong chương này không giảng trực tiếp mà chỉ hướng dẫn trên tài liệu, chỉ ra các
phần tính toán đã được lập thành bảng sẵn, đồng thời biết sử dụng 1 số công thức trong
chương để làm bài tập lớn)
3.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động ngang của thanh thẳng
Ta xét thanh thẳng có khối lượng phân bố, đây là hệ có vô số bậc tự do. Dao động
ngang của hệ tại một thời đ
iểm bất kỳ được biểu diễn bằng đường đàn hồi của hệ đó.
Phương trình đường đàn hồi này là hàm số của hai biến số: toạ độ z và thời gian t :
y = f(z, t)
Theo sức bền vật liệu, ta đã biết độ võng và nội lực trong dầm có sự liên hệ vi phân
như sau:
),(
2
2
tzM
z
y
EJ −=
∂
∂

Ngoài ra giữa nội lực và tải trọng cũng có sự liên hệ như sau:
),(
),(
2

2
tzp
z
tzM
=
∂
∂

Trong đó p(z, t) là cường độ của tải trọng phân bố; đại lượng này mang dấu dương
khi chiều của tải trọng hướng lên. Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:
),(
2
2
2
2
2
2
tzp
z
M
z
y
EJ
z
−=
∂
∂
−=
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
(3-1)
Khi dầm dao động, tải trọng tác dụng trên dầm gồm có các lực kích thích, lực quán
tính và lực cản (hình 3-1); lực kích thích phân bố có cường độ q(z, t) với chiều hướng lên
trên là chiều dương; lực quán tính phân bố hướng theo chiều của chuyển vị , nếu xét tại
thời điểm dầm có chuyển vị dương thì lực này có cường độ:
2
2
),(
)(
t
tzy
zm
∂
∂
−















z
y
q(z,t)
-m(z)
r(z,t)
δ
y
2
2
δ
t
Hình 3-1. Các lực tác dụng
Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do

3-2
Lực cản có chiều ngược với chiều của chuyển động và có cường độ r(z, t).
Vậy ta có :
),()(),(),(
2
2
tzr

t
y
zmtzqtzp +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−−=
,
hay
)t,z(r
t
y
)z(m)t,z(q)t,z(p
2
2
+
∂
∂
+=
. (3-2)
Thay (3-2) vào (3-1) ta có:
),()(),(
2
2
2

2
2
2
tzr
t
y
zmtzq
z
y
EJ
z
−
∂
∂
−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂

Như vậy phương trình vi phân tổng quát của dao động ngang của dầm có dạng:
),(),()(
2
2

2
2
2
2
tzqtzr
t
y
zm
z
y
EJ
z
−=+
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
(3-3)
Đó chính là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức.
Phương trình vi phân của dao động riêng:
0),()(

2
2
2
2
2
2
=+
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
tzr
t
y
zm
z
y
EJ
z
(3-4)
Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi thì các phương trình vi phân (3-3) và (3-4) có

dạng:
EJ
)t,z(q
)t,z(r
t
y
EJ
)z(m
z
y
2
2
4
4
−=+
∂
∂
+
∂
∂
(3-5)
0)t,z(r
t
y
EJ
)z(m
z
y
2
2

4
4
=+
∂
∂
+
∂
∂
(3-6)
Khi dầm có khối lượng phân bố đều, trong các phương trình trên ta có m(z) = m.

3.2 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng không kể lực cản, chịu lực bất
kỳ q(z,t)
Theo (3-3), phương trình vi phân của dao động cưỡng bức khi không kể lực cản có
dạng :
),()()(
2
2
2
2
2
2
tzq
t
y
zm
z
y
zEJ
z

−=
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
(3-7)
Giả thử nghiệm tổng quát của (3-7) có dạng :
∑
∞
=
=
1
)()(),(
i
ii
tFzytzy
, (3-8)
ứng dụng cách phân tích tải trọng ta có:
Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do

3-3

∑
∞
=
=
1
)()()(),(
i
ii
tqzyzmtzq
(3-9)
Thay(3-8), (3-9) vào (3-7) và chỉ xét số hạng thứ i của các tổng trong phương
trình này, ta có:
[]
)()()()()()()()()(
,,
2
2
tqzyzmtFzyzmtFzyzEJ
z
iiiii
−=+
∂
∂
&&

Chia hai vế của phương trình trên cho tích [m(z) y
i
(z)F
i
(t)], sau khi biến đổi, ta

được:
[]
)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
"
tF
tq
tF
tF
zyzm
zyzEJ
i
i
i
i
i
i
+=
″
&&
(3-10)
Sau khi cho cả hai vế bằng đại lượng không đổi
2
i
ω
−

, ta có :
)()(
2
tqtFF
iiii
−=+
ω
&&
(3-11)
Phương trình này có dạng tương tự phương trình vi phân của hệ có một bậc tự do,
nghiệm của phương trình :
∫
−−++=
t
ii
i
iiiii
duutuqtBtAtF
0
)(sin)(
1
cossin)(
ω
ω
ωω

hay:
∫
−−++=
∗

t
ii
i
iiii
duutuqtAtF
0
)(sin)(
1
)sin()(
ω
ω
λω
(3-12)
thay (3-12) vào (3-8), ta có nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3-7):
()
)(.)(sin)(
1
sin),(
1
0
zyduutuqtAtzy
i
i
t
ii
i
iii
∑
∫
∞

=
∗
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−++=
ω
ω
λω
(3-13)
3.3 Dao động riêng của thanh có khối lượng phân bố đều và tiết diện
không đổi
Ta xét trường hợ
p
m=const; EJ=const và không kể lực cản [r(z,t)=0]. Theo (3-6) phương
trình vi phân của dao động riêng cho trường hợp này có dạng:
0
2
2
4
4
=
∂
∂
+
∂
∂

t
y
EJ
m
z
y
(3-14)
Nghiệm của phương trình (3-14) có dạng:
∑∑
∞
=
∞
=
==
11
)()(),(),(
ii
iii
tFzytzytzy
(3-15)
trong đó :
( )
iiiiiiii
tAtBtAtF
λωωω
+=+=
∗
sincossin)(

Các dạng chính y

i
(z) được xác định theo phương trình :
0)()(
4
=− zykzy
ii
IV
i
(3-16)
Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do

3-4
với:
EJ
m
k
2
i
4
i
ω
=
(3-17)
Nghiệm của phương trình (3-16) có dạng:
zkcosdzksincbeae)z(y
ii
z.ki
i
z.ki
i

+++=
−

Hay cũng có thể viết :
zkDzkCzBshkzAchkzy
iiii
cossin)( +++=
(3-18)
Phương trình này biểu diễn dạng chính của dao động riêng ứng với tần số dao
động
i
ω

Để tiện cho việc tính toán sau này ,ta đặt:
()
31
2
1
CCA +=
;
()
42
2
1
CCB +=

()
31
2
1

CCC −=
;
()
42
2
1
CCD −=

Do đó, phương trình (3-18) có dạng mới :
zkzkzkzk
iiii
DCCCBCACzy
4321
)( +++=
(3-19)
Trong đó :
Để cho việc tính toán được dễ dàng, trong phần phụ lục đã thiết lập sẵn bảng giá trị
của các hàm A
kiz
,B
kiz
,C
kiz
,D
kiz
theo các biến số k
i
z (bảng4). Các hàm số trên có những
tính chất sau:
a)

zkizk
ii
DkA =
,

zkizk
ii
BkC =
,

zkizk
ii
AkB =
,

zkizk
ii
CkD =
,

b) A(0)=1 ; B(0)=0 ; C(0)=0; D(0)=0
Muốn xác định C
1
, C
2
, C
3
, C
4
trong phương trình (3-19) ta phải dùng các điều kiện

biên sau:
Tại z=0 ; y(z) = y
0
;

,
0
,
)( yzy =
;
EJ
)(
0
,,
M
zy −=
;
EJ
)(
0
,,,
Q
zy −=
.
Từ phương trình (3-19) ta suy ra:


()
()
()

⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
+++=−=
+++=−=
+++=
zk4zk3zk2zk1
3
i
,,,
zk4zk3zk2zk1
2
i
,,
zk4zk3zk2zk1i
,
iiii
iiii
iiii
ACDCCCBCk
EJ
Q
)z(y
BCACDCCCk

EJ
M
)z(y
CCBCACDCk)z(y
(3-20)
()
;cos
2
1
zkzchkA
iizk
i
+=
()
;sin
2
1
zkzshkB
iizk
i
+=
()
;cos
2
1
zkzchkC
iizk
i
−=
()

.sin
2
1
zkzshkD
iizk
i
−=
Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do

3-5
Từ các điều kiện biên ta xác định được :
01
yC =
;
,
02
1
y
k
C
i
=




EJ
M
k
C

i
0
2
3
1
−=
;
EJ
Q
k
C
i
0
3
4
1
−=
.
Thay những kết quả này vào các phương trình trên , ta có :
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−−+=
−−+=
zk
i

zk
i
zkzki
zk
i
zk
i
zk
i
zk
iiii
iiii
C
EJk
Q
B
EJk
M
AyDkyzy
D
EJk
Q
C
EJk
M
B
k
y
Ayzy
2

00
,
00
,
3
0
2
0
,
0
0
)(
)(

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
++−−=
++−−=
zkzkizkizki
zk
i
zkzkizki
iiii
iiii
AQDkMCkEJyBkEJyzQ
B
k

QAMDkEJyCkEJyzM
00
2,
0
3
0
00
,
0
2
0
)(
1
)(
(3-21)
Các phương trình (3-21) cho phép ta xác định được các đại lượng cần nghiên cứu
trong dao động riêng của dầm. Từ điều kiện tồn tại dao động riêng tức là tồn tại các thông
số chưa biết ta sẽ lập được phương trình xác địmh thông số k
i
sau đó thay vào công thức
(3-17) ta sẽ tính được tần số dao động riêng.
.
2
M
EJ
k
ii
=
ω
(3-22)

Vì phương trình để xác định k
j
là phương trình siêu việt nên ta sẽ giải được vô số
nghiệm k
j
, nghĩa là có vô số tần số
i
ω
(i=1,2,3...). Với mỗi tần số riêng
i
ω
, hệ sẽ có một
dạng chính tương ứng. Tần số thấp nhất
i
ω
gọi là tần số cơ bản. Trong trường hợp tổng
quát, hệ dao động với tổng của các dạng chính.
3.4 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và
tiết diện không đổi, chịu tác dụng của lực q(z,t) = q(z)sinrt
Trong trường hợp m=const; EJ=cosnt; lực cản r(z,t) = 0; theo (3-5), phương trình vi
phân dao động cưỡng bức có dạng :
EJ
rtzq
t
y
EJ
m
z
y sin)(
.

2
2
4
4
−=
∂
∂
+
∂
∂
(3-23)
Nghiệm tổng quát

của phương trình (3-23) gồm nghiệm của phương trình không có vế
phải. Khi dao động đã bình ổn trong hệ chỉ tồn tại dao động cưỡng bức. Ta tìm nghiệm riêng của
phương trình (3-23) dưới dạng:
y(z,t)=y(z).sinrt (3-24)
Để xác định biên độ của dao động cưỡng bức y(z), ta thay (3-24) vào phương trình
(3-23), sau khi biến đổi ta được :
EJ
zq
zykzy
IV
)(
)()(
4
−=−
(3-25)
trong đó :