Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do

2-1

Chương 2
DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT SỐ HỮU
HẠN BẬC TỰ DO

2.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động









Ta nghiên cứu dao động của dầm có n khối lượng tập trung (hình 2-1). Giả thiết
không để ý đến kích thước của khối lượng và bỏ qua trọng lượng bản thân dầm. Như vậy
hệ có n bậc tự do. Hệ này dao động dưới tác dụng của các lực sau:
- Các lực kích thích q(t), P(t), M(t);
- Các lực quán tính do các khối lượng m
k
dao động:
)(. tymZ
kkK
&&
−=
;
hướng theo chiều chuyển động.

- Các lực cản đặt tại khối lượng R
K
(t) hướng ngược chiều chuyển động.
Theo nguyên lý Đalambe, ta viết được phương trình chuyển động của các khối
lượng:
[][ ] [ ]
)()()(...)()()()()(
222111
ttRtZtRtZtRtZty
kPnnKnKKk
∆+−++−+−=
δδδ
(2-1)
(k = 1, 2, 3, ..., n).
Trong đó:
Ki
δ
- chuyển vị của khối lượng m
K
do lực đơn vị đặt tại khối lượng m
i
theo phương
của chuyển vị y
i
gây ra trong hệ;
)(t
KP
∆
- chuyển vị của khối lượng m
K

do các tải trọng q(t), P(t), M(t) gây ra với giả
thiết m
K
= 0 (coi như bài toán tĩnh).
Thay biểu thức của lực quán tính vào (2-1) và sau khi biến đổi, ta có:
−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−− ...)()()()()(
22221111
tRtymtRtymty
kkk
&&&&
δδ
0)()()( =∆−
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
−−− ttRtym
kPnnnkn
&&
δ
.
hay:
++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++ ...)()()()()(
22221111
tRtymtRtymty
kkk
&&&&
δδ

0)()()( =∆−

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++ ttRtym
KPnnnKn
&&
δ
(2-2)
m
1
k
m
n
m
1
y (t)
y (t)
k
y (t)
n
y
z
P(t)
q(t)
M(t)
Hình 2-1. Sơ đồ tính
Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do


2-2

(k = 1, 2,..., n)
Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động hay còn gọi là phương trình
chính tắc của hệ có n bậc tự do dùng để xác định các chuyển vị động y
1
(t),...,y
n
(t) của các
khối lượng.
Nếu không kể tới lực cản, hệ phương trình (2-2) có dạng:
0)()(...)()()(
22211
=∆−++++ ttymtymtymty
kPnnknkkk
&&&&&&
δδδ
, (2-3)
(k = 1, 2,..., n)
Khi xét dao động tự do, vì không có lực kích thích nên trong các phương trình vi
phân (2-2) và (2-3) ta chỉ cần cho
0)( =∆ t
kP
.
Ngoài ra, ta cũng có thể thiết lập phương trình vi phân của dao động đối với từng
khối lượng riêng biệt, hoặc thay tác dụng của các lực quán tính và lực cản bằng phản lực
của các liên kết đàn hồi đặt tại các vị trí có mang khối lượng, sau đó áp dụng các phương
pháp tính toán tĩnh học đã quen biết để giải.
2.2 Dao động riêng của hệ có một số hữu hạn bậ

c tự do
2.2.1 Phương trình cơ bản của dao động riêng
Khi không kể lực cản (R
K
= 0), từ phương trình (2-3) ta suy ra phương trình vi phân
của dao động riêng đối với hệ có n bậc tự do như sau:
0)t(ym...)t(ym)t(ym)t(y
nnkn222k111kk
=δ++δ+δ+
&&&&&&
(2-4)
(k = 1, 2, ..., n).
Giả sử nghiệm tổng quát của (2-4) có dạng:
)()(
1
tyty
n
i
KiK
∑
=
=
(2-5)
Với các nghiệm riêng viết dưới dạng:
)(.)( tFyty
iKiKi
=
(2-6)
(i = 1, 2, ..., n),
trong đó:

y
ki
- các hằng số chưa biết;
F
i
(t) - các hàm số theo thời gian t, chưa xác định.
Ta xét một nghiệm riêng thứ i tương ứng với các khối lượng:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
=
)(.)(
)(.)(
)(.)(
22
11
tFyty
tFyty
tFyty
inini
iii
iii
(2-7)





m
1
k
m
n
m
1i
y
y
ki
y
ni
(ω )
i
Hình 2-2. Các chuyển vị
Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do

2-3

Từ (2-7) ta thấy tại mọi thời điểm, tỷ số giữa chuyển vị của các khối lượng là không
đổi ( nghĩa là không phụ thuộc thời gian). Đường đàn hồi của dầm xác định bởi các đại
lượng không đổi y
1i
, y
2 i
,..., y
ni
gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng (hình 2-2).
Thay (2-7) vào (2-4) ta có:

[]
0)t(Fym...ym)t(F.y
iniKnni11K1iKi
=δ++δ+
&&

Hay:
niKnni11K1
Ki
i
i
ym...ym
y
)t(F
)t(F
δ++δ
−=
&&
(2-8)
Vế trái của (2-8) phụ thuộc t còn vế phải phụ thuộc vị trí và trị số của các
khối lượng. Như vậy mỗi vế của đẳng thức này là một đại lượng không đổi và được ký
hiệu là
2
ω
±
. Vì dao động riêng là dao động điều hoà nên ở đây phải đặt là
2
ω
−
. Do đó

từ (2-8) ta rút ra được hai phương trình:
1)
0)()(
2
=+ tFtF
iii
ω
&&
(2-9)
2)
0...
2
1
2
11
=−++
KiniiKnniiK
yymym
ωδωδ
(2-10)
Phương trình (2-9) có dạng như phương trình vi phân dao động của hệ có một bậc
tự do (xem chương 1), nên có nghiệm:
tBtAtF
iiiii
ωω
cossin)(
+=

hay:
)sin()(

iiii
tAtF
λω
+=
∗

(2-11)
trong đó:
22
iii
BAA +=
∗
;
i
i
i
A
B
tg =
λ
.
Như vậy nghiệm riêng thứ i của phương trình vi phân (2-4) chính là một hàm tuần
hoàn có tần số vòng thứ i của dao động riêng là
i
ω
và pha ban đầu của dao động là
i

λ
.

Từ phương trình (2-10) lần lượt cho k = 1, 2, ..., n ta được hệ n phương trình chính
tắc để xác định n các chuyển vị y
ki
:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=−+++
=−+++
=−+++
0...
..........................................................................
0...
0...
2
2
2
221
2
11
2
2
22
2
2221
2

211
1
2
12
2
1221
2
111
niniinnniiniin
iniinniiii
iniinniiii
yymymym
yymymym
yymymym
ωδωδωδ
ωδωδωδ
ωδωδωδ


hay:
Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do

2-4

⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬

⎫
=−+++
=++−+
=+++−
0)1(...
..........................................................................
0...)1(
0...)1(
2
2
2
221
2
11
2
22
2
2221
2
211
2
12
2
1221
2
111
niinnniiniin
niinniiii
niinniiii
ymymym

ymymym
ymymym
ωδωδωδ
ωδωδωδ
ωδωδωδ
(2-12)
Chia tất cả các phần tử trong hệ (1-12) cho
2
i
ω
và đặt
2
1
i
i
u
ω
=
ta có:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=−+++
=++−+
=+++−
0)(...

..........................................................................
0...)(
0...)(
222111
222221211
121221111
niinnninin
ninniii
ninniii
yumymym
ymyumym
ymymyum
δδδ
δδδ
δδδ
(2-13)

Hệ phương trình (2-12) và (2-13) là hệ phương trình thuần nhất đối với các ẩn số
là chuyển vị y
1i
, y
2 i
, ..., y
ni
. Đó là phương trình cơ bản của dao động riêng.
Từ hệ này ta xác định được trị số của các tần số dao động riêng và phương trình
dao động riêng, ta thấy nghiệm tầm thường với y
1i
= y
2 i

= ... = y
n i
= 0 không thích hợp với
bài toán.
Vậy, điều kiện tồn tại nghiệm (tức là tồn tại dao động) là định thức của hệ số các
ẩn số bằng không:
()
()
()
0.
1ωδm...ωδmωδm
..................
ωδm...1ωδmωδm
ωδm...ωδm1ωδm
D
2
innn
2
in22
2
in11
2
i2nn
2
i222
2
i211
2
i1nn
2

i122
2
i111
=
−
−
−
=
(2-14)
hay

()
()
()
0.
uδm...δmδm
..................
δm...uδmδm
δm...δmuδm
D
innnn22n11
2nni222211
1nn122i111
=
−
−
−
=
(2-15)
Điều kiện này dẫn đến phương trình bậc n đối với u

i
. Từ phương trình này ta xác
định được n nghiệm thực u
1
, u
2
, ..., u
n
; tương ứng với các nghiệm đó ta suy ra một phổ
của các tần số dao động riêng:
1
ω
,
2
ω
, ...,
n
ω
. Xếp thứ tự cấc
i
ω
từ trị số nhỏ đến trị số
lớn và gọi
1
ω
là tần số thứ nhất hay tần số cơ bản.
Phương trình (2-14) hay (2-15) gọi là phương trình tần số hay phương trình thế kỷ.
Phương trình này tìm được đầu tiên trong thiên văn học, dùng để xác định chu kỳ chuyển
động của các hành tinh đo bằng thế kỷ. Việc giải phương trình này khá phức tạp đặc biệt
là khi số bậc càng lớn.

Trong thức tế, thường chỉ cần tìm tần số th
ấp nhất, nên ta sẽ nghiên cứu cách tính
gần đúng đơn giản để xác định
1
ω
(xem chương 4). Như vậy, đối với hệ có n bậc tự do, ta
xác định được n trị số tần số dao động riêng, ứng với mỗi tần số dao động riêng
i
ω
, ta có
một dạng chính của dao động.
Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do

2-5

Tiếp theo là xác định phương trình chuyển động tổng quát của các khối lượng.
Theo (2-7) và (2-11), phương trình chuyển động của các khối lượng ứng với tần số
i
ω
có
dạng:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫

+=
+=
+=
+=
∗
∗
∗
∗
)sin(.)(
)sin(.)(
.........................................
)sin(.)(
)sin(.)(
1
22
11
iinini
iiikiki
iiiii
iiiii
tAyty
tAyty
tAyty
tAyty




λω
λω

λω
λω
. (2-16)
Thay (2-16) vào nghiệm (2-5), ta được phương trình dao động tổng quát của khối
lượng m
k
:
∑
=
∗
+=
n
i
iikik
tAyty
1
1
)sin(.)(

λω
(2-17)
Đặt:
i
ki
ki
y
y
1
=
µ

(2-18)
Trong đó:
k = 1, 2, ..., n chỉ thứ tự khối lượng (m
k
);
i = 1, 2, ..., n chỉ thứ tự tần số riêng (
i
ω
).
Lúc này phương trình (2-17) có dạng :
)sin()(
1
1
iii
n
i
ikik
tAyty

λωµ
+=
∗
=
∑
(2-19)
hay:
)sin()(
1
ii
n

i
ikik
tCty

λωµ
+=
∑
=
(2-20)
với :
∗
=
iii
AyC .
1
.
Đó là phương trình tổng quát của dao động tự do tại khối lượng
k
m
; trong đó các
đại lượng
ki
µ
,
i
C
,
i

λ

xác định như sau:
a) Xác định các tỷ số chuyển vị
i
ki
ki
y
y
1
=
µ
. Từ (2-12) sau khi chia tất cả các phần tử
cho
i
y
1
ta được:
()
0...1
1
2
1
1
2
2
122
2
111
=+++−
i
ni

inn
i
i
ii
y
y
m
y
y
mm
ωδωδωδ
()
0...1
1
2
2
1
2
2
222
2
211
=++−+
i
ni
inn
i
i
ii
y

y
m
y
y
mm
ωδωδωδ

Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do

2-6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
()
01...
1
2
1
2
2
22
2
11
=−+++
i
ni
innn
i
i
inin
y

y
m
y
y
mm
ωδωδωδ

Nếu chú ý đến (2-18), ta có:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=−+++
=++−+
=+++−
0)1(...
..........................................................................
0...)1(
0...)1(
2
2
2
22
2
11
2
22

2
222
2
211
2
12
2
122
2
111
niinnniinin
niinniii
niinniii
mmm
mmm
mmm
µωδµωδωδ
µωδµωδωδ
µωδµωδωδ
(2-21)

Ta thấy ứng với mỗi giá trị
i
ω
, hệ n phương trình đại số tuyến tính (2-21) chỉ có (n -
1) ẩn
ki
µ
(vì đã biết
1

1
1
1
==
i
i
k
y
y
µ
). Do vậy, ta chỉ cần lấy (n -1) phương trình bất kỳ trong
hệ phương trình (2-21) để xác định các ẩn số. Điều đó có nghĩa là một phương trình bất
kỳ trong hệ trên phụ thuộc tuyến tính vào các phương trình còn lại.
b) Xác định
i
C
và
i

λ
.
Sau khi tính được các trị số
ki
µ
, trong phương trình chuyển vị của khối lượng
k
m

(2-20) chỉ còn n trị số
i

C
và n trị số
i

λ
là chưa biết. Đó là các hằng số phụ thuộc các
điều kiện ban đầu của dao động tự do. Ta có 2n điều kiện ban đầu:
- Khi t = 0, thì
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
∑
∑
=
=
n
i
iiikik
n
i
iikik
Cv
Cy
1

1
cos)0(
sin)0(


λωµ
λµ
(k = 1, 2, ..., n) (2-22)
Từ hệ 2n phương trình trên ta xác định được 2n trị số
i
C
và
i

λ
.
Trường hợp có kể lực cản, nếu quan niệm gần đúng là lực cản tỷ lệ với vận tốc:
)()( tytR
kkk
&
β
=
, thì theo (2-2), phương trình vi phân của dao động riêng có dạng:
[][ ]
0)t(y)t(ym...)t(y)t(ym)t(y
nnnnkn11111kk
=β+δ++β+δ=
&&&&&&

Cũng dùng nghiệm theo dạng (2-5); tương tự như trên, ta có phương trình viết cho

nghiệm riêng thứ i:
0)()(...)()()(.
1
1
1
11
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
nii
n
n
iknniiikiki
ytF
m
tFmytF
m
tFmtFy

&&&&&&
β
δ
β
δ

Giả sử
α
β
2== const
m
i
i

Phương trình trên có thể viết dưới dạng tương tự (2-8):
niknni11k1
ki
i
ii
ym...ym
y
)t(F
)t(F2)t(F
δ++δ
−=
α+
&&&

Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do


2-7

Cũng lý luận tương tự như trên, sau khi cho đẳng thức này bằng
2
i
ω
−
, ta rút ra được
hai phương trình:
1.
0)()(2)(
2
=++
tFtFtF
iiii
ωα
&&&
(a)
2.
0...
2
1
2
1
=−++
kiniiknniiki
yymym
ωδωδ
(b)
Phương trình (a) có dạng giống như phương trình dao động của hệ một bậc tự do

có kể tới lực cản. Do đó nghiệm của phương trình này khi lực cản nhỏ, có dạng:
)cossin()(
.
tBtAetF
iiii
t
i
∗∗−
+=
ωω
α

Trong đó:
22
αωω
−=
∗
ii

Phương trình (b) có dạng giống như (2-10), nên các tần số riêng
i
ω
cũng có giá trị
giống như trên và được xác định theo phương trình tần số (2-14). Phương trình chuyển
động của khối lượng
k
m
, khi có kể tới lực cản, có dạng:
[ ]
∑∑

==
∗∗−
+==
n
i
n
i
iiii
t
kiikik
tBtAeytFyty
11
.
cossin.)(.)(
ωω
α

hay:
)sin(..)(
1
.
iii
n
i
t
kik
tCety

λωµ
α

+=
∗
=
−
∑
(2-23)
trong đó các đại lượng
ki
µ
,
i
C
,
i

λ
cũng được xác định như trên.
2.2.2 Cách sử dụng tính chất đối xứng của hệ.
Tương tự như bài toán ổn định, trong bài toán dao động của hệ đối xứng, dạng
chính của dao động riêng có hai loại: dao động có dạng đối xứng và dao động có dạng
phản xứng.
Khi hệ dao động với dạng đối xứng, các lực quán tính cũng đối xứng; còn khi hệ
dao động với dạng phản xứng, các lực quán tính cũng phản xứng. Do đó, để đơn giản
việc tính toán ta có thể
tìm cách tách bài toán thành hai loại bài toán riêng biệt, và tìm các
tần số dao động riêng ứng với từng loại.
Cách tính theo một nửa hệ.
Tương tự ứng với mỗi dạng dao động đối xứng hoặc phản xứng, thay thế hệ đã
cho bằng một nửa hệ có sơ đồ phù hợp với biến dạng đối xứng hoặc phản xứng. Cách
thay thế này đã được trình bày như phần I. Trên (hình 2-7) trình bày m

ột vài thí dụ về
cách biến đổi sơ đồ tương ứng với dạng dao động đối xứng và phản xứng. Sau đó ta lần
lượt xác định các tần số dao động riêng cho từng nửa hệ riêng biệt.
2.3 Các dạnh chính của dao động riêng, khai triển tải trọng và chuyển vị
theo các dạng chính
2.3.1 Các dạng chính của dao động riêng
Tại một thời điểm bất kỳ, dạng dao động của kết cấu được xác định theo vị trí của
khối lượng, tính theo công thức (2-20).
Đối với hệ có n bậc tự do, khi dao động riêng, chuyển vị của từng khối lượng là
tổng hợp của n dao động, ứng với các tần số riêng
1
ω
khác nhau. Dạng dao động ứng với