Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

Bài tập chơng 7: Thanh chịu lực phức tạp
Bài 1: Dầm có tiết diện tròn rỗng chịu tải trọng nh trên hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx và My.
2. Xác định đờng kính D theo điều kiện bền của dầm
Biết [ ] = 16kN/cm2; D/d = 1,2; a = 1m; ; F =10kN
2F

x

2F
F

y

F

F

a

a

d
D
a

Giải

1. Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx, My.

-Biểu đồ mô men trong mặt phẳng yOz v xOz: Mx, My
2f
x

a
C

f

y

z

B

D

f

1(m)

1(m)

1(m)

o

z


Mx

z

My

<kNm>

y

4Fa/3
o

fa

x

<kNm>

VF = F

Va = F
Fa
fa

Fa

x
o


z

Mx + My
<kNm>

y

4Fa/3

2. Xác định đờng kính D theo điều kiện bền của dầm
Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

1


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

Mặt cắt nguy hiểm của dầm là tại tiết diện B vì ở đó có mô men Mx v My
4
3

đều lớn. Tại B: M x = Fa( KNm) ; M y = Fa( KNm)
Do mặt cắt ngang dầm l mặt cắt ngang tròn nên điều kiện bền cuả dầm là:
M x2 + M y 2
Wx

[ ]


Trong đó mô men chống uốn Wx = 0,1D3[1-(d/D)4]
Nh vậy:
2

4.10.10 2
2

+ 10.10
3



2

2
4 Fa
+ ( Fa )
2
2


Mx + My
3
D
=3
=
4
d
d 4

3
0,1.[ ] 1
0,1.[ ] 1
D
D

(

1 4
0,1.16. 1

1, 2

3

)

2

= 12, 6(cm)

=> Chọn D = 12,6cm

a

a

Bài 2: Một cột có tiết diện nh cho
trên hình vẽ.
1. Xác định hệ trục quán tính

chính trung tâm của tiết
diện.
2. Xác định lõi của tiết diện.
Biết a = 15 cm ; b =2a.

b

a

b

Giải:
1. Chọn hệ trục ban đầu x0y0 nh hình vẽ. Chia tiết diện thành hai hình
chữ nhật 1 và 2.
yo y
M
E
x2

2a/3

b

a

1
b

5a/6




C
C1

K

a

N
2

a a/6

C2

D
B



H

x
x1
xo

P

Ta có: xC = 0 (y0 là trục đối xứng)

yC =

yC1 A1 + yC 2 A2 0,5a.5a 2 + 1,5a.a 2 2
4a 3 2
=
= a
=
=
a
A1 + A2
5a 2 + a 2
3
6a 2 3

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

2


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

Vậy hệ trục quán tính chính trung tâm của tiết diện là xCy cách trục xo
một đoạn

2
a
3


2. Xác định lõi của tiết diện.
-Mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện:
2

I x = I x1 + I x2 =

2

a 4 5a
5a.a3 a
4
+ 5a 2 + + a 2 = a 4
12
12 6
3
6

a. ( 5a )

3

a 4 21 4
= a ; A = 6a2
12
12 2
Iy 7
I
2
rx2 = x = a 2 = 50(cm 2 ) ; ry2 = = a 2 = 393, 75(cm 2 )
A 4

A 9
1
y

2
y

Iy = I + I =

+

- Xác định lõi tiết diện
5
2

+Khi đờng trung hoà đi qua DK: a1 = a = 375cm ; b1 =
Do vậy x K 1 =

ry2
a1

=

r2
7
a = 10,5(cm) ; y K 1 = x = 0
b1
10

+Khi đờng trung hoà đi qua DH:

5
a
3
5

a2 = a + cotg = a +
= 3, 08a = 46,16(cm )

3
2

2 3
a a
1
1
b2 = a + + tg = a 1 + +
= 1, 62 a = 24,3(cm )
3 2
3 2 3
ry2
r2
Do vậy: x K 2 = = 0,58a = 8,52(cm) ; yK 2 = x = 0,14a = 2, 06(cm)
a2
b2

+Khi đờng trung hoà đi qua HE:
a3 = ; b3 =

r2
r2

1
4a
= 20(cm ) => x K 3 = y = 0 ; y K 3 = x = a = 2,5(cm )
3
a3
b3
6

+Khi đờng trung hoà đi qua KP:
a4 = ; b4 =

r2
r2 1
2a
= 10(cm ) => x K 4 = y = 0 ; y K 3 = x = a = 5(cm)
3
a4
b3 3

Do tính chất đối xứng của tiết diện nên ta nhận đợc lõi mặt cắt ngang nh
hình vẽ

a

yo y

C

K4


x

K

b

a

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

a

2a/3

K1
K3 K2

xo
b

3


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7
2F

F


Bài 3: Cho một cột chịu lực nh hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực
Nz, Mx, My.
2. Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ
nhất trên tiết diện nguy hiểm của
cột.

x

b

y
H

h

Biết h =15cm; b = 25cm; F = 15 kN;
H=3m; Bỏ qua trọng lợng bản thân cột.

Bài giải:

1. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực Nz, Mx, My.
2Fcos

F

z

Nz
F


y

F

2FHcos

2Fsin

Mx

Fh/2
F



z

2Fsin
x

My
Fh/2

2Fcos

x

2F
2FHsin+Fh/2


y

2.Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trên tiết diện nguy hiểm của cột.
Từ biểu đồ nội lực ta thấy tiết diện nguy hiểm nhất tiết diện chân cột.
Tại tiết diện chân cột ta có:
M x = 2 FH cos = 2.15.3.

25

77,18(kNm)
25 + 152
15
M y = 2 FH sin + 0, 5 Fh = 2.15.3.
+ 0,5.15.0,15 47, 44(kNm)
252 + 152
N z = F = 15(kN )
2

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

4


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

b.h 2 25.152
h.b 2 15.252

=
= 937, 5(cm3 ) ; Wx=
=
= 1562,5(cm3 )
6
6
6
6
My
M
N
15
77,18.100 47.47.100
max
max
min
= z x
min
=


A Wx Wy
15.25
1562,5
937,5
2
2
max = 9,96(kN / cm ) ; min = 10, 04(kN / cm )

Ta có:Wy=


H

Bài 4: Cột có tiết diện tròn đờng kính d chịu nén bởi một lực F song song trục z
của cột và lệch tâm một đoạn e nh trên hình vẽ.
z
1. Xác định ứng suất pháp lớn
F
e
nhất và nhỏ nhất trên tiết diện
o
chân cột khi e=2,5cm.
2. Tìm emax để trên tiết diện chân
cột không phát sinh ứng suất
kéo.
Biết H = 2,5 m; d =20 cm; F = 25 kN;
trọng lợng riêng vật liệu cột
=18kN/m3

Giải:
1. Chọn hệ trục Ouv nh hình vẽ, tại tiết diện chân cột có:


0, 2 2
N z = ( F + AH ) = 25 + 18. .
.2, 5 = 26, 41( kN )
4




min =

z
e

F

v

o

Mu
Nz

A
Wu

u
H

M u = Fe = 25.2, 5 = 62, 5( kNcm )
Ta có:
Mu
N
max = z +
A
Wu

Trong đó:
.d 2 3,14.20 2


=
= 314(cm 2 )
4
4
Wu = 0,1d 3 = 0,1.203 = 800(cm 3 )
A=

26, 41
62, 5
+
= 5, 875.10 3 ( kN / cm 3 )
314
800
26, 41
62, 5
=

= 162,13.10 3 ( kN / cm 3 )
314
800

m ax =
m in

2. Để trên tiết diện cột không phát sinh ứng suất kéo thì: max 0
Nh vậy:
Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

5



Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

Mu
Nz
26 , 41
Fe
+
=
+
0
A
Wu
314
800

max =

e 2 . 69 ( cm )
Vậy emax=2,69(cm).
3F

F

Bài 5: Cho một cột chịu lực nh hình vẽ.
Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trên tiết
diện nguy hiểm của cột trong trờng hợp:


x

1. Có kể đến trọng lợng bản thân cột.
2. Không kể đên trọng lợng bản thân cột.

y

b

H

Biết b=20 cm; h = 30 cm; F2 = 15kN; H = 2,5m;
Vật liệu cột có trọng lợng riêng = 18 kN/m3.

h

Bài giải
1. Trờng hợp không kể đến trọng lợng bản thân cột
Biểu đồ nội lực trong cột:
z

F

z

3Fcos

z


3F



3Fsin

H

3FHcos
x
y

x

F

N

y

<kN>

Mx

3FHsin
y

< k Nm >

My


x

<kNm>

Mặt cắt nguy hiểm tại chân cột có:
Nz = F = 15(kN )
M x = 3 FH cos = 3.15.250.

15

= 9360,57(kNcm )
10 + 152
10
M y = 3 FH sin = 3.15.250.
= 6240,38(kNcm)
2
10 + 152
My
M
N
Ta có: max = z + x +
A
Wx
Wy
2

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

6



Sức bền Vật liệu 2

min =

Bài tập chơng 7
My
Nz M x


A Wx
Wy

Trong đó:
A = b.h = 20.30 = 600(cm 2 )
h.b 2 30.20 2
=
= 2000(cm 3 )
6
6
2
b.h
20.30 2
Wy =
=
= 3000(cm 3 )
6
6
15 9360,57 6240,38

max =
+
+
= 6, 74(kN / cm 2 )
600
2000
3000
15 9360,57 6240,38
min =


= 6, 78(kN / cm 2 )
600
2000
3000
Wx =

Vậy:

2. Trờng hợp có kể đến trọng lợng bản thân cột
Biểu đồ nội lực trong cột:
z

F

z

3Fcos

z


3F



F
3Fsin

A
H

3FHcos
x
y

x

F+ah

N

y

<kN>

Mx

3FHsin
y


<kNm>

My

x

<kNm>

Mặt cắt nguy hiểm tại chân cột có:
Nz = ( F + AH ) = (15 + 18.0, 2.0, 3.2,5) = 17, 7(kN )
M x = 3 FH cos = 3.15.250.

Vậy:

15

= 9360,57(kNcm )
10 + 152
10
M y = 3 FH sin = 3.15.250.
= 6240,38(kNcm)
2
10 + 152
17,7 9360,57 6240,38
max =
+
+
= 6,73(kN / cm 2 )
600
2000

3000
17,7 9360,57 6240,38
min =


= 6,79(kN / cm 2 )
600
2000
3000
2

Bài 6: Cột có tiết diện chữ nhật kích thớc bxh chịu lực nh trên hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực Nz, Mx, My.
2. Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại tiết diện chân cột.
Biết F = 5 kN; q = 1,5 kN/m; b = 15cm;h = 20 cm; H = 2,5 m;
Bỏ qua trọng lợng bản thân của cột.
Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

7


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7
2F

F

h


q

H

b

Bài giải
1. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực Nz, Mx, My.
z

Fh

z

z

2F

F

q

2

f=qH /8

H

-


o

x

y

o

F

N

x

y

Mx

x

y

Fh

<kN>

o

2


FH-qH /2

My
<kNm>

<kNm>

2. Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại tiết diện chân cột
Tại tiết diện chân cột có:
N z = 2 F = 10( kN )
h
= 2.5.0,1 = 1( kNm )
2
qH 2
1, 5.2, 5 2
M y = FH +
= 5.2, 5 +
= 7, 8125( kNm )
2
2
Mx = 2F

A = b.h = 15.20 = 300(cm 2 )
bh3 15.203
=
= 10 4 (cm 4 )
12
12
hb3 20.153
Iy =

=
= 5625(cm 4 )
12
12
Ix =

Phơng trình đờng trung hoà:

M
Nz M x
+
y+ y x=0
A
Ix
Iy
Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

8


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

10 100
781, 25
+
y+
x=0
300 10000

5625

ĐTH

+
-

y = 13,89 x + 3,33

min

My
Mx
Nz
+
+
A
Wx
Wy

h

max =

-

x

+
+


My
Mx
N
= z

A
Wx
Wy

+

b

b.h 2 15.202
=
= 1000(cm 3 )
6
6
2
h.b
20.152
Wy =
=
= 750(cm 3 )
6
6
Wx =

min

-

y
+

max

Suy ra:

10
100
781, 25
+
+
= 1,11( kN / cm 2 )
300 1000
750
10 100
781, 25
=


= 1,17( kN / cm 2 )
300 1000
750

m ax =
m in

Bài 7: Cho một cột chịu lực nh hình vẽ.

F

1. Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất
trên mặt cắt ngang nguy hiểm của cột.
2.
Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại mặt cắt
ngang nguy hiểm của cột.

h

b
H

Biết b= 15 cm; h = 20 cm; F = 10kN; H = 3 m;
Vật liệu cột có trọng lợng riêng = 20 kN/m3.

1,5F

Bài giải
1. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực:
Từ các biểu đồ ứng lực suy ra mặt cắt nguy hiểm tại chân cột có:
N z = ( F + AH ) = (10 + 20.0,15.0, 20.3) = 11, 8( kN )
Fh 10.20
=
= 100( kNcm )
2
2
M y = 1, 5 FH = 1, 5.10.300 = 4500( kNcm )
Mx =


Các ứng suất pháp cực trị:
max =

My
My
M
Nz M x
N
+
+
; min = z x
A
Wx
Wy
A Wx
Wy

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

9


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7
z

Fh/2

z


z

F
F

1,5F

A
H

-

o

x

o

x

o

F + AH

y

N

Fh/2


<kN>

y

Mx

1,5FH

x

y

My
<kNm>

<kNm>

Trong đó:
A = b.h = 15.20 = 300(cm 2 )

b.h 2 15.20 2
Wx =
=
= 1000(cm 3 )
6
6
2
20.152
h.b

Wy =
=
= 750(cm 3 )
6
6
Suy ra:

11 . 8 100
4500
+
+
= 5 . 97 ( kN / cm 2 )
300
1000
750
11 . 8 100
4500
=


= 6 . 05 ( kN / cm 2 )
300
1000
750

max =
min

2. Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại mặt cắt ngang nguy hiểm:
A = b.h = 15.20 = 300(cm 2 )

bh3 15.203
=
= 10 4 (cm 4 )
12
12
hb3 20.153
Iy =
=
= 5625(cm 4 )
12
12
Ix =

x

Phơng trình đờng trung hoà:

M
Nz M x
+
y+ y x=0
A
Ix
Iy
11.8 100
4500
+
y+
x=0
300 10000

5625

min
y

y = 80 x + 3.93

max

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

10


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

Bài 8: Cho một cột chịu nén lệch tâm nh hình vẽ.
1. Xác định vị trí đờng trung hoà ở mặt cắt ngang nguy hiểm.
2. Kiểm tra điều kiện bền cho cột.
F

Biết b= 22 cm; h = 10 cm; Độ lệch tâm e = 15 cm;
F = 5kN; Vật liệu cột có []k = 2 kN/cm2; []n = 8
kN/cm2. Bỏ qua trọng lợng riêng cột.

e

h


K

K
b

Bài giải
1.Mặt cắt nguy hiểm tại chân cột có:
N z = F = 5( kN )
Mx = 0
M y = Fe = 5.15 = 75( kNcm )

Phơng trình đờng trung hoà:

Nz M y
+
x=0
A
Iy
Trong đó:

A = b .h = 22.10 = 220( cm 2 )
hb 3 10.22 3
Iy =
=
= 8873, 3( cm 4 )
12
12

5

75
+
x=0
220 8873, 3
x = 2, 69( cm )


ĐTH

10cm

+

-

x

-2.69
+

-

22cm
y

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

11



Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

2.Kiểm tra điều kiện bền cho cột.
Ta có:

max =

My
Nz
+
A
Wy

min =

My
Nz

A
Wy

hb 2 10.22 2
=
= 806, 67( cm 3 ) `
6
6
5
75

m ax =
+
= 0, 67( kN / cm 2 )
220 806, 67
5
75
m in =

= 0,12( kN / cm 2 )
220 806, 67
Wy =

Ta có:

m ax = 0, 67 < [ ]k = 2( kN / cm 2 )
m in = 0,12 < [ ]n = 8( kN / cm 2 )

Vậy cột đảm bảo điều kiện bền.
Bài 9: Cột tiết diện chữ nhật rỗng có bề dày là hằng số, chịu lực nh trên hình vẽ.
1. Vẽ các biểu đồ lực dọc và mômen uốn nội lực của cột.
2. Xác định ứng suất pháp cực trị trên tiết diện chân cột.
Biết F1 = 15kN; F2 = 10kN; q =5 kN/m; h = 20 cm; b =10 cm; H = 2,5m; = 1,5 cm.
(Bỏ qua trọng lợng bản thân của cột).
F2

F1

x
q


b

y

H

h

Bài giải:
1. Vẽ các biểu đồ lực dọc và mômen uốn nội lực của cột:
Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

12


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7
z

F1h/2

z

z

F1
F2

F1h/ 2


q

2

f=qH /8

H

F2H
o

x

y

o

F1

N

x

o

2

F1h/2+qH / 2


x

y

<kN>

y

Mx

<kNm>

My

<kNm>

2. Tại tiết diện chân cột:
N z = F1 = 15( kN )
M x = F2 H = 10.250 = 2500( kNcm )
My =

F1 h qH 2 15.0.2 5.2, 5 2
+
=
+
= 17,125( kNm ) = 1712, 5( kNcm )
2
2
2
2


Ta có:

m ax =

My
Mx
Nz
+
+
A
Wx
Wy

m in =

My
Mx
Nz


A
Wx
Wy

Trong đó:
A = bh ( b 2 )( h 2 ) = (b + h).2 + 4 2 = (10 + 20).2.1,5 + 4.1,52 = 99(cm 2 )

Ix
Ix

Iy
Iy

h.b3 (h 2 )(b 2 )3
= I I =

12
12
3
20.10 (20 2.1,5)(10 2.1,5)3
=

= 1180, 75(cm 4 )
12
12
3
b.h (b 2 )(h 2 )3
= I y1 I y2 =

12
12
3
10.20 (10 2.1,5)(20 2.1,5)3
= 3800, 75(cm 4 )
=

12
12
1
x


2
x

Phơng trình đờng trung hoà:
M
Nz M x
+
y+ y x =0
A
Ix
Iy
15
2500
1712,5

y+
x=0
99 1180, 75
3800, 75
y = 0, 213 x 0, 072

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

13


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7


++

--

-+

max

+

b

+-

x
ĐTH

-

h

min

y

Suy ra:

2500
1712.5

15
+
.5 +
.10 = 14, 93( kN / cm 2 )
90
1180, 75
3800, 75
2500
1712.5
15
=

.5
.10 = 15.26( kN / cm 2 )
90
1180, 75
3800, 75

m ax =
m in

Bài 10: Cho cột có kích thớc và chiu tải trọng nh hình vẽ. Tại mặt cắt ngang chân
cột h y xác định:
F

x

H

y


a

1. Các thành phần ứng lực.
2. Các ứng suất pháp cực trị.
Biết trọng lợng riêng của cột là: = 20 kN/m3;
F = 50 kN; a= 0,15m; H = 1m.

a

3H

a

Bài giải:
1. Tại mặt cắt chân cột:.
N z = ( F + a 2 H + 2 a 2 3 H ) = ( F + 7 a 2 H ) = (50 + 7.20.0,15 2 .1) = 53,15( kN )
M y = ( F + a 2 H ).

a
15
= (50 + 20.0,15 2.1). ( kNm ) = 378, 375( kNcm )
2
2
F+a2H
2

6a H

x


y

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4

14


Sức bền Vật liệu 2

Bài tập chơng 7

2. ứng suất pháp cực trị

max =

My
Nz
+
A
Wy

min =

My
Nz

A
Wy


Trong đó:
A = 2a 2 = 2.152 = 450(cm 2 )

a.(2 a)2 4 a3 4.153
Wy =
=
=
= 2250(cm 3 )
6
6
6
Suy ra:

53 ,15 378 ,375
+
= 0 , 050 ( kN / cm 2 )
450
2250
53 ,15 378 ,375
=

= 0 , 286 ( kN / cm 2 )
450
2250

max =
min

Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4


15