Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
Ch ơng III : Nguyên hàm và tích phân
Đ 1: nguyên hàm
Tuần dạy : Tiết :
I. Mục tiêu :
1. Về kiến thức : HS nắm vững định nghĩa nguyên hàm của một hàm số, định lý,
các tính chất của nguyên hàm, bảng các nguyên hàm cơ bản.
HS biết cách tìm nguyên hàm của một hàm số.
2. Về kĩ năng:
-
-
3. Về t duy thái độ:
Tích cực xây dựng bài, rèn luyện t duy logíc, cẩn thận, chính xác trong lập luận và
tính toán
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :
- Giáo án
- Bảng phụ và các phiếu học tập, máy chiếu hắt ( Nếu có).
- Học sinh xem lại bài cũ chuẩn bị đồ dùng học tập
III. Ph ơng pháp dạy học :
- Thuyết trình.
- Lý thuyết tình huống
- Gợi mở và đan xen hoạt động học tập cá nhân hoặc nhóm.
IV. Tiến trình bài học :
A. Các tình huống học tập :
- Hoạt động 1:
- Hoạt động 2:
- Hoạt động 3:
B. Tiến trình lên lớp :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số
B - Giảng bài mới:

GV nhắc lại vấn đề tổng quát:
Cho hàm số
f(x) xác định trên khoảng (a; b), tìm các hàm
số F(x) sao cho trên khoảng đó: F'(x) = f(x).
GV nêu khẳng định:
Hàm số F(x) nói trên đ-
HS đọc phần nêu vấn đề SGK(111).
1
Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
ợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) và
yêu cầu học sinh hãy nêu định nghĩa
nguyên hàm.
GV chính xác hoá.
1) Định nghĩa:
Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của
hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi
x(a; b) ta có: F'(x) = f(x).
Nếu thay cho khoảng (a; b) là đoạn [a; b]
thì phải có thêm: F'(a
+
) = f(a) và F'(b
-
) = f(b).
GV đặt câu hỏi:
* Tìm một hàm số là nguyên hàm của hàm số
y = 2x.
HS phát biểu định nghĩa.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
* y = x

2
.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
* Hàm số y = x
2
+ 11 có phải là nguyên hàm
của y = 2x không?
* Tìm một nguyên hàm của hàm số
1
2
y
x
=

trên R
*
+
.
* Hàm số
0,05y x
=
có phải là nguyên
hàm của
1
2
y
x
=
trên R
*

+
không?
*
Từ đó hãy tổng quát thành tính chất chung
và chứng minh.
*
Điều ngợc lại có đúng không? Nêu cách
chứng minh điều ngợc lại
.
GV gợi ý:
Rõ ràng (G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) =0
nên ta phải chứng minh bổ đề.
Bổ đề: Nếu F'(x) = 0 trên khoảng (a; b) thì
F(x) không đổi trên khoảng đó.
GV tổng hợp và chính xác hoá thành định lý:
2. Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a; b) thì :
* Có.
*
y x
=
.
* Có.
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên (a; b) thì :
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của
f(x), C = const.
Thật vậy: (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x).
* Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm

của f(x) ta phải chứng minh
G(x) = F(x) + C hay G(x) - F(x) = C với
C = const.
HS chứng minh bổ đề dựa vào định lý
Lagrăng.
(SGK - 113)
2
Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
+ C = const có F(x) + C cũng là một nguyên
hàm của f(x).
+ Ngợc lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x)
trên khoảng (a; b) đều có thể viết dới dạng
F(x) + C với C = const.
Hay ta nói: {F(x) + C, C R} là họ các
nguyên hàm của f(x). Kí hiệu là:
( )f x dx

và
còn đọc là tích phân bất định của f(x).
Vậy:
( ) ( ) '( ) ( ) (*)f x dx F x C F x f x= + =

Dấu

gọi là dấu tích phân, f(x)dx gọi là biểu
thức dới dấu tích phân và là vi phân của mọi
nguyên hàm F(x) của f(x) vì :
dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx
HS theo dõi và ghi chép.
HS tự rút ra nhận xét:

muốn tìm tất cả
các nguyên hàm của hàm số f(x) ta chỉ
cần tìm một nguyên hàm thì mọi
nguyên hàm khác đều suy ra đợc
bằng cách cộng vào đó một hằng số
nào đó
.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Ví dụ:
2
1) 2xdx x C= +


1
2)
2
dx x C
x
= +

3. Các tính chất của nguyên hàm:
GV đặt câu hỏi để dẫn đến các tính chất.
*
Từ (*) cho biết
( )
'
( ) ?f x dx
=

* Đã biết (aF(x))' = aF'(x) = af(x). Vậy

( ) ?af x dx
=

với a 0.
*
Đã biết (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x).
Vậy
[ ]
( ) ( ) ?f x g x dx
+ =

* Đã biết (F(u(x)))' = F'(u).u'(x).
Vậy
( ( )) '( ) ?f u x u x dx
=

HS nêu và chứng minh các tính chất.
*
*
Thật vậy:
( ) ( ( ) ) ( )a f x dx a F x C aF x aC
= + = +

mà
( )
( ) ' '( ) ( )aF x aF x af x
= =
và aC =
const nên
( ) ( )af x dx aF x aC

= +


đpcm.
*
Chứng minh tơng tự trên.
*
3
( )
'
( ) ( )f x dx f x
=

( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a
=

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
+ = +

( ) ( )
( ( )) '( ) ( ( ))
f t dt F t C
f u x u x dx F u x C
= +
= +


Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
GV bổ sung:

Vậy nếu
( ) ( )f t dt F t C= +

thì
( ) ( )f u du F u C
= +

với u = u(x)
.
4. Sự tồn tại của nguyên hàm:
GV nêu định lý, cho HS thừa nhận:
Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
GV nêu quy ớc
: Từ đây chỉ xét các hàm số
liên tục.
Hiển nhiên vì F'(t) = f(t) nên
(F(u(x)))' = F'(u).u'(x) = f(u).u'(x)
= f(u(x)).u'(x) đpcm.

HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
5. Bảng các nguyên hàm:
GV hớng dẫn HS từ đạo hàm suy ra
nguyên hàm của các hàm số sơ cấp (và của
hàm số hợp) tơng ứng.
* (x)' = ?
?dx
=


* (x

) = ?
?x dx

=

* (ln/x/)' = ? ?
* (e
x
)' = ? ?
* (a
x
)' = ? ?
* (sinx)' = ? ?
* (cosx)' = ? ?
* (tgx)' = ? ?
* (cotgx)' = ? ?
C - Luyện tập - Củng cố:
HS tìm ra đạo hàm của các hàm số sơ cấp
dới sự hớng dẫn của GV.
*
dx x C
= +

*
1
( 1)
1
x

x dx C




+
= +
+

*
ln | | ( 0)
dx
x C x
x
= +

*
x x
e dx e C
= +

*
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + <


*
cos sinxdx x C
= +

*
sin cosxdx x C
= +

*
2
cos
dx
tgx C
x
= +

*
2
co
sin
dx
tgx C
x
= +

4
Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
6. áp dụng:
GV nêu ví dụ và hớng dẫn HS tính

nguyên hàm.
*Ví dụ 1
: F(x) =
2
2
5x x dx
x

+



*Ví dụ 2
: F(x) =
2
3
2cos
sin
x dx
x





HS giải các ví dụ.

2
2
3 2

3 2
2
( ) 4 5
4 5 2
4 5 2ln | |
3 2
4 5
2ln | |
3 2
F x x dx xdx dx
x
dx
x dx xdx
x
x x
x C
x x x C
= + +
= +
= + +
= + +


2
( ) 2 cos 3
sin
2sin 3co
dx
F x xdx
x

x tgx C
=
= + +

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
*Ví dụ 3
: F(x) =
( )
2
3
2
3
4x
dx
x


*Ví dụ 4
: F(x) =
( )
3sin 2 1cotgx x dx
+


*Ví dụ 5
: F(x) =
2
x
e xdx



6 3
2
3
2 2 2
6 3
3 3 3
16 7 2
3 3 3
16 7 2
1 1 1
3 3 3
19 10 1
3 3 3
8 16
( )
8 16
8 16
8 16
16 7 2
1 1 1
3 3 3
3 24
48
19 10
x x
F x dx
x
x x x dx
x dx x dx x dx

x x x
C
x x x C


+ + +
+
=

= +


= +
= + +
+ + +
= + +



( ) ( )
( ) ( )
cos 1
( ) 3. sin 2 1 2 1
sin 2
sin 3
sin 2 1 2 1
sin 2
3
ln | sin | cos(2 1)
2

xdx
F x x d x
x
d x
x d x
x
x x C
= + +
= + +
= + + +


( )
2
2
2
1
( )
2
1
2
x
x
F x e d x
e C


=
= +


5
Gi¸o ¸n : Gi¶i tÝch 12 Lª ChÝ Hïng TTGDTX Thä Xu©n
*VÝ dô 6
: F(x) =
2
3 3
1
x dx
x
+
∫
1
3 3
3
1
1
3
3
2
3
3
1
( ) (1 ) (1 )
3
1 (1 )
1
3
1
3
1

(1 )
2
F x x d x
x
C
x C
−
− +
= + +
+
= +
− +
= + +
∫
6
Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
D - Chữa bài tập:
Đề bài Đáp số
Bài 1 (118). Tìm nguyên hàm của các hàm số:
3
1
) ( ) 3a f x x x
x
= +
3
1
) ( )
x
b f x
x


=
3
1 1
) ( )c f x
x x
=
( ) ( )
) ( ) 1 1d f x x x x
= + +
Bài 2(118). Tìm nguyên hàm của các hàm số:
( )
) ( ) 1
x x
a f x e e

=
2
) ( ) 2
cos
x
x
e
b f x e
x


= +



) ( ) 2
x
c f x a x
= +
) ( ) 2 3
x x
d f x
= +
Bài 3(118). Tính:
( )
20
) 2 1a x dx
+

( )
) cos ( 0)b ax b dx a
+

2 3
) 5c x x dx
+

2
)
xdx
d
x a
+

)e tgxdx


3cos
) sin
x
g e xdx

( )
1
2
2
) 1h x xdx
+

( )
4
ln
)
x
i dx
x

4 2
1 3
) ( ) ln | |
4 2
a F x x x x C
= + +
5 2
3 3
3 3

) ( )
5 2
b F x x x C
= +
2
3
3
) ( ) 2
2
c F x x x C
= +
5
2
2
) ( )
5
d F x x x C
= + +
) ( )
x
a F x e x C
= +
) ( ) 2
x
b F x e tgx C
= + +
2
3
2
) ( ) 2

ln 3
x
a
c F x x C
a
= + +
2 3
) ( )
ln 2 ln 3
x x
d F x C
= + +
( )
21
1
) 2 1
42
a x C
= + +
( )
1
) sinb ax b C
a
= + +
( )
3
3
2
2
) 5

9
c x C
= + +
2
1
) ln | |
2
d x a C
= + +
) ln | cos |e x C
= +
3cos
1
)
3
x
g e C
= +
( )
3
2
2
1
) 1
3
h x C
= + +
( )
5
1

) ln
5
i x C
= +


7
Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
Đ 2: Tích phân
Tuần dạy : Tiết :
I. Mục tiêu :
1. Về kiến thức : HS hiểu bài toán tính diện tích hình thang cong, nắm vững định
nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân.
HS biết cách tính một số tích phân đơn giản.
2. Về kĩ năng:
-
-
3. Về t duy thái độ:
Tích cực xây dựng bài, rèn luyện t duy logíc, cẩn thận, chính xác trong lập luận và
tính toán
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :
- Giáo án
- Bảng phụ và các phiếu học tập, máy chiếu hắt ( Nếu có).
- Học sinh xem lại bài cũ chuẩn bị đồ dùng học tập
III. Ph ơng pháp dạy học :
- Thuyết trình.
- Lý thuyết tình huống
- Gợi mở và đan xen hoạt động học tập cá nhân hoặc nhóm.
IV. Tiến trình bài học :
A. Các tình huống học tập :

- Hoạt động 1:
- Hoạt động 2:
- Hoạt động 3:
B. Tiến trình lên lớp :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số
B - Kiểm tra bài cũ:
Tính các nguyên hàm sau:
Đáp số:
8
Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
2
2
3
5
) 1
x
x
e
a e dx
x







) sin 3
5

b x dx







( )
) cos sin cos3c x x xdx



4
2 5
)
sin
7
x dx
d
x







C - Giảng bài mới:
1. Diện tích hình thang cong:

GV giới thiệu khái niệm
tam giác cong
,
hình
thang cong
và bài toán tính diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi 1 đờng cong.
GV nêu bài toán.
Bài toán
: Tính diện tích của hình thang cong
aABb, đợc giới hạn bởi đồ thị hàm số liên
tục y = f(x), f(x) 0, trục Ox và hai đờng
thẳng x = a, x = b.
( ) ( )
2
2
3
5
1 3
)
2 2
1
) cos 3
3 5
1 1
) cos 4 sin 4 sin 2 cos 2
8 4
1
)
5 7

x
a e x C
b x C
c x x x x C
d cotg x C




+ +

+


+ + +

+


HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
9
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= =


Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
GV hớng dẫn HS giải bài toán.

(SGK trang120 -> 122)
GV: bài toán trên chính là nội dung của định lý
sau. Nêu định lý.
ĐL:
Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và
f(x) 0 trên đoạn [a; b]. Thế thì diện tích của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm
số đó, trục Ox và hai đờng thẳng x = a, x = b
là: S = F(b) - F(a) , trong đó F(x) là một
nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên đoạn [a; b]
.
2. Định nghĩa tích phân:
GV nêu định nghĩa.
ĐN
:
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên
một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ của
K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi là tích phân từ a
đến b của f(x) và đợc ký hiệu là
( )
b
a
f x dx

.Ta
còn ký hiệu:

( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a
=
.
Vậy: (1)

(công thức Newton - Leibniz)
Trong đó:

là đấu tích phân, f(x) dx là biểu
thức dới dấu tích phân và là vi phân của mọi
nguyên hàm của f(x), f(x) là hàm số dới dấu tích
phân, a và b là các cận của tích phân, a là cận
trên, b là cận dới, x là biến số tích phân.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ
:
3
1
1) 2xdx



3
2
1
2)
2

dx
x

HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
HS áp dụng công thức (1) để giải ví
dụ.
( )
3
3
2
2 2
1
1
1) 2 3 1 8xdx x


= = =

3
3
4
4
2
2
1
2) 2 3
2
dx x
x

= =

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
10
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= =

Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
GV nêu chú ý.
Chú ý
: Tích phân
( )
b
a
f x dx

chỉ phụ thuộc vào
f, a và b mà không phụ thuộc vào cách ký
hiệu biến số tích phân.
GV đặt câu hỏi:
Từ định nghĩa tích phân hãy
nêu ý nghĩa hình học của tích phân
.
3. Các tính chất của tích phân:
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên

khoảng K và a, b, c thuộc K. Khi đó:
( )
( )
1 ( ) 0
2 ( ) ( )
a
a
a b
b a
f x dx
f x dx f x dx
=
=


( ) ( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
3 ( ) ( )
4 ( ) ( ) ( ) ( )
5 ( ) ( ) ( )
6 ( ) 0, ; ( ) 0

7 ( ) ( ), ; ( ) ( )
8 ( ) , ;
( )
b b
a a
b b b
a a a
c b c
a a b
b
a
b b
a a
b
a
kf x dx k f x dx k R
f x g x dx f x dx g x dx
f x dx f x dx f x dx
f x x a b f x dx
f x g x x a b f x dx g x dx
m f x M x a b
m b a f x dx M b a
=
=
= +











(
9) t biến thiên trên đoạn [a; b]

( ) ( )
t
a
G t f x dx =

là một nguyên hàm của
f(t) và G(a) = 0
.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời:
( )
b
a
f x dx

là
diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị y = f(x) là hàm số liên tục
không âm trên đoạn [a; b], trục Ox và
hai đờng thẳng x = a, x = b
.
HS theo dõi và ghi chép.

HS suy nghĩ và chứng minh một số
công thức, còn lại coi nh bài tập.
+ Chứng minh (3): Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của f(x) thì kF(x) là một
ng.hàm của kf(x). Ta có:


( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
b
a
b
a
kf x dx kF b kF a
k F b F a
k f x dx
=
=
=


+ Chứng minh (6): Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của f(x), ta có:
F'(x) = f(x) 0, x [a; b] F(x) đồng
biến trên [a; b]. Do đó:
( ) ( ) ( ) 0
b
a

f x dx F b F a do b a
= >

+ Chứng minh (7): Suy ra từ (6) với
hàm h(x) =f(x)-g(x)0,x [a; b].
+ Chứng minh (8): Suy ra từ (7).
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
11
Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
4. á p dụng :
GV nêu đề bài:
Tính các tích phân
.
3
1
1) ( 4)x dx
+

4
2
0
2) cotg xdx


2
2
2
3
2
4

3) 1
3
4)
cos
x dx
cotg x
dx
x



+



5) Chứng minh rằng:

2
2
0
14 4 3cos 8
dx
x



+

HS áp dụng các công thức đã học để giải
bài tập.

( )
3
3
2
1
1
2 2
2
2
4 4
2
4
1) ( 4) 4 12
2
1
2) 1
sin
1
4
x
x dx x
cotg xdx dx
x
cotgx x







+ = + =



=


= =


( ) ( )
( )
2 1 2
2 2 1
1 2
2 2
2 1
2
3 3
2 2 2
4 4
3
4
3) 1 1 1
5
2 2
3 3 2
4)
cos cos sin
11 3

3 2 5
3
x dx x dx x dx
x x
x x
cotg x
dx dx
x x x
tgx cotgx








+ = + +

= + + =




=


= + =



5) Ta có:
2 2
2
2
0; 0 cos 1 0 3cos 3
2
1 1 1
4 4 3cos 7
7 4 3cos 4
x x x
x
x





+
+
Do đó:
2 2 2
2
0 0 0
1 1
7 4 3cos 4
dx
dx dx
x



+


2
2
0
14 4 3cos 8
dx
x



+

(đpcm)
12
Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân
D - Chữa bài tập:
Đề bài Đáp số
Bài 1 (128). Tính các tích phân:

16
1
)a xdx


1
1
)
e

e
dx
b
x


1
2
1
3
)
dx
c
x


8
3
2
1
1
) 4
3
d x dx
x






Bài 2(128). Tính các tích phân:

2
2
3
1
2
)
x x
a dx
x



2
1
2 5 7
)
e
x x
b dx
x
+


2
2
) cos3 cos5c x xdx






2
2
) sin 2 sin 7d x xdx




Bài 3(128). Chứng minh rằng :

1
2
0
4 5
) 1
2 2
x
a dx
+



1
3
1
2 2
)
9 8 7

dx
b
x


+


3
4
2
4
)
4 3 2sin 2
dx
c
x







2 2
0 0
) sin 2 2 sind xdx xdx




Đề bài Đáp số
13