Cuc_tri_ham_nhieu_bien.doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (127.65 KB, 21 trang )
I. Cực trị hàm nhiều biến:
1. Định nghĩa:
Cực trị địa phương: Cho f(x,y) xác định trên D là tập mở
chứa
( )
0 0 0
,M x y
. Ta nói:
( )
0 0 0
,M x y
là điểm cực tiểu địa phương của f nếu
( )
0 0 0
,M x y
là điểm thấp nhất của f trong một lân cận nào đó của
0
M
, nghĩa
là
( ) ( ) ( )
0 0
M 0 0
V : , , , ,
M
f x y f x y M x y V
∃ ≥ ∀ ∈
( )
0 0 0
,M x y
là điểm cực đại địa phương của f nếu
( )
0 0 0
,M x y
là
điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của
0
M
, nghĩa là
( ) ( ) ( )
0 0
M 0 0
V : , , , ,
M
f x y f x y M x y V
∃ ≤ ∀ ∈
2. Cực trị toàn cục (Giá trị lớn nhất –Giá trị nhỏ nhất):
( )
0 0 0
,M x y
là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D nếu
( )
0 0 0
,M x y
là điểm thấp nhất của f trên D, nghĩa là :
( )
( )
( )
0 0
, , , ,f x y f x y M x y D
≥ ∀ ∈
( )
0 0 0
,M x y
là điểm cực đại toàn cục của f trên D nếu
( )
0 0 0
,M x y
là điểm cao nhất của f trên D, nghĩa là :
( )
( )
( )
0 0
, , , ,f x y f x y M x y D
≤ ∀ ∈
2. Điều kiện cần: Nếu f có các đạo hàm riêng tại
( )
0 0 0
,M x y
và
f đạt cực trị địa phương tại
( )
0 0 0
,M x y
thì
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0 0
, 0
(*)
, 0
f f
M x y
x x
f f
M x y
y y
∂ ∂
= =
∂ ∂
∂ ∂
= =
∂ ∂
Các điểm
( )
0 0 0
,M x y
thỏa hệ phương trình (*) được gọi là điểm
dừng của f.
3.Điều kiện đủ :
1. Dạng toàn phương:
Biểu thức
2 2
1 2
yxax b xy b cy+ + +
được gọi là một dạng toàn
phương của x,y .
Biểu thức
2 2 2
1 2 1 2 1 2
yxax b xy b c xz c zx d yz d zy ey fz+ + + + + + + +
được gọi là một dạng toàn phương của x,y,z
Định nghĩa tổng quát cho n biến: Một dạng toàn phương n biến
là biểu thức có dạng
ij
, 1
n
i j
i j
A a h h
=
=
∑
Với dạng toàn phương
ij
, 1
n
i j
i j
A a h h
=
=
∑
, ta có ma trận
( )
ij
n n
H a
×
=
được gọi là ma trận của dạng toàn phương
và
11 1
1
k
k
k kk
a a
H
a a
=
L
M M
L
được gọi là nhân tử cấp k của dạng toàn
phương.
Dạng toàn phương
ij
, 1
n
i j
i j
A a h h
=
=
∑
được gọi là xác định dương nếu
ij i
, 1
0, , 0, 1,
n
i j j
j
k
i
A a h h h H k nh
=
= > ∀∀ =⇔ >
∑
Dạng toàn phương
ij
, 1
n
i j
i j
A a h h
=
=
∑
được gọi là xác định âm nếu
( )
ij i
, 1
1 0, 10 ,, ,
n
i j j
i j
k
k
A a h h h k nh H
=
= < − > ∀ =∀ ⇔
∑
Dạng toàn phương xác định âm hay xác định dương được gọi là
xác định dấu.
Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận của
0
M
thì vi phân cấp 2 của f là một dạng toàn phương theo
1
,...
n
dx dx
.
2. Định lý : Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một
lân cận của
0
M
khi đó
Nếu
( )
2
2
0
, 1
n
i j
i j
i i
f
d f M dx dx
x x
=
∂
=
∂ ∂
∑
là dạng toàn phương xác định
dương thì
( )
0 0 0
,M x y
là điểm cực tiểu địa phương của f. Điều
này tương đương với :
1
2
0
0
0
n
H
H
H
>
>
>
M
Tất cả H
k
đều dương >>>>cực tiểu địa phương
Nếu
( )
2
2
0
, 1
n
i j
i j
i i
f
d f M dx dx
x x
=
∂
=
∂ ∂
∑
là dạng toàn phương xác định
âm thì
0
M
là điểm cực đại địa phương của f.
Điều này tương đương với
( )
1
2
0
0 1 0
k
k
H
H H
<
> ⇔ − >
M
4.Các ví dụ:
1.
³ 3 ² -15 -12f x xy x y= +
Đạo hàm riêng : 3x²+3y²-15, 6xy-12
Điểm dừng : {[x=-1,y=-2],[x=1,y=2],[x=-2,y=-1],[x=2,y=1]}
Ma trận Hess
6 6
6 6
x y
H
y x
=
Tại (2,1)?
Tại (-2,-1)?
Giá trị hàm số là {-28,-26,26,28}
2.
2 4
1f x y
= + +
Điểm dừng M
0
(0,0) . Ma trận Hesse:
2 0
0 12y²
Tại M
0
thì
2
??0 ??H
= ⇒
3.
3 2 2
2 2 3 1f x xy y xz z y
= + + − + + −
,
Điểm dừng:
( )
1
1, 2,1/ 2M
−
,
2
1 5 1
, ,
2 4 4
M
− −
−
