VI/ KHÔNG GIAN CON :
{ } { }
1. Trong R cho không gian con F = < (1, 1, 1), (2, 3, 1), (5, 1, 2) >
Tìm một cơ sở E và dim(F)
a/ dim F = 2, E = (1,1,1),(0,1, 1) b/ dim F = 2, E = (1,1,1),(0,0,1)
c/ dim F = 2, E = (1,1,
−
−
{ }
{ }
{ }
3 1 2 3 3 1 2 3
1),(2,3,1),(5, 1,2) d/ CCKĐS.
2. Trong R cho không gian con F = (x ,x ,x ) R x x x 0
Gọi E là cơ sở của F. Kđnđ
a/ dim F = 1, E = 1, 1, -1) b/ dim F = 2, E = (-1
−
∈ + − =
{ }
{ } { }
{ }
2 2
, 1 , 0 ), (1, 0, 1)
c/ dim F = 2, E = (1, 1, 2), (2, 2, 4) d/ dim F = 3, E = (1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)
3. Trong P [x] cho không gian con F = p(x) P [x] p(1) 0,p( 1) 0
E là một cơ sở cu
∈ = − =
{ }
{ }
{ }
2

2
3
ûa F. Kđnđ
a/ dim F = 1, E = x 1 b/ dim F = 2, E = x 1,x 1
c/ dim F = 1, E = x 1 d/ dim F = 1, E = (x 1) (x 1)
4. Trong R cho không gian con F = < (1, 1, 1), (2, 3,
− − +
− − +
{ }
2
1) > . Kđnđ
a/ E = (1, 1, 1), (0, 0, 1) là cơ sở của F b/ x = (0, 1, 2) F
c/ x = (0, -1, 1) F d/ CCKĐS.
5. Trong P [x] cho không gian conF
∈
∈
{ }
2 2
1
4 1 2 3 4 4
= p(x) P [x] p(1) 0 và f(x) = x x m
m bằng bao nhiêu thì f(x) F
a/ m = 2 b/ m = -2 c/ m d/ Không tồn tại m
x
6. Trong R cho không gian con F = (x ,x ,x ,x ) R
∈ = + +
∈
∀
+
∈

{ } { }
2 3 4
1 2 3 4
x x x 0
2x 3x x x 0
Gọi E là 1 cơ sở của F . Kđnđ
a/ dim F = 2, E = (-4, 3, 1, 0), (-2, 1, 0, 1) b/ dim F = 2, E = (1, 1, 1, 1), (2, 3, -1, 1)
c/ dim F = 1, E = (-4, 3, 1, 6), (-2,
 
+ + =
 
+ − + =
 
{ }
2 2
1, 0, 9) d/ CCKĐS
a b
a b c d 0
7. Trong M [R] cho không gian con F = M [R]
2a 3b c 0
c d
Gọi E là cơ của F. Kđnđ
2 1 3 2
a/ dim F = 2, E = ,
1 0 0 1
 
 
+ + − =
∈
 

 
+ + =
 
 
 
− −
   
 
   
   
 
1 1 2 3
b/ dim F = 2, E = ,
1 -1 1 0
2 1
c/ dim F = 1, E = d/ CCKĐS
1 0
 
   
 
   
   
 
 
−
 
 
 
 
 

3
3
8. Trong R cho U = < (1, 1, 1), (0, 1, -1) >
V = < (2, 2, 2), (1, 2, m) >
m bằng bao nhiêu thì U = V
a/ m 0 b/ m = 0 c/ m 1 d/ m = 1
9. Trong R cho
≠ ≠
U = < (1, 1, 1), (0, 1, -1) >
V = < (2, 2, 1), (1, 1, m) >
m bằng bao nhiêu thì U = V
a/ Không tồn tại m b/ m c/ m = 1 d/ m = 2
10. Cho F = < (1, 1, 1)
∀
{ }
, (1, 2, 1) >
G = < (2, 3, 2), (4, 7, 4) >
Tìm chiều và một cơ sở E của F + G
a/ dim (F + G) = 2, E = (1, 1, 1), (0, 1, 0)
b/ dim (F + G) = 3, E = (1, 1, 1), (0,1, 0)
{ }
{ }
, (0, 0, 1)
c/ dim (F + G) = 4, E = (1, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 3, 2), (4, 7, 4)
d/
11. Cho F = < (1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 4) >
G = < (1, -1, 1, 0), (-2, 1, 0, m) >
Tìm m đe å F + G co ùchiều lớn
0
0

nhất
13 13
a/ m b/ m = c/ m 4 d/ m = 4
2 2
x + y + z + t = 0
12. Tìm cơ sở , chiều của không gian nghiệm E của he äthuần nhất : 2x + 3y + 4z - t = 0
-x + y z t 0
a/ dim E = 1
≠ − ≠




− + =

{ } { }
{ }
0
0
, E = (2, 1, - 2, -1) b/dim E = 3, E = (1, 1, 1, 1), (0, 1, 2, - 3), (0, 0, - 4, 2)
c/ dim E 1, E = (-2 , , 2 , ) d/ CCKĐS.
13. Với gia ùtrò nào của m thì không gian ng
= α α α α ∀α
{ }
3 1 2 3 1 2 3
x y 2z t 0
hiệm của he ä 2x 2y z t 0 co ùchiều lớn nhất
x y z mt 0
a/ m b/ m 7 c/ m = 7 d/ m 5
14. Trong R cho F = (x ,x ,x ) x x x 0


+ + − =


+ + + =


− + + + =

∀ ≠ ≠
+ + =
{ }
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x 0
G = (x ,x ,x )
2x x x 0
Tìm chiều và 1 cơ sở E của F G
a/ dim (F G) = 0, không tồn tại cơ sở b/ dim (F G) = 0, E = (0, 0, 0)
c/ dim (F G) = 1, E = (1, 1, 1)
 
− + =
 
+ − =
 
∩
∩ ∩
∩
{ }

d/ dim (F G) = 3, E = (1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

∩
{ }
{ }
3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
15. Trong R cho F = (x ,x ,x ) x x x 0
x x x 0
G = (x ,x ,x )
3x x 3x 0
Tìm chiều và 1 cơ sở E của F G
a/ dim (F G) = 1, E = (1, 0, -1) b/ dim (F
+ + =
 
− + =
 
+ + =
 
∩
∩ ∩
{ }
{ } { }
{ }
2 2
G) =, E = (1, 1, 1), (0, 1, 0)
c/ dim (F G) = 1, E = ( , 0, - ) d/ dim (F G) = 2, E = (1, 1, 1), (1, -1, 1)
16. Trong P [x] cho 2 không gian con F = p(x) P [x] p(1) 0


∩ α α ∀α ∩
∈ =
{ }
{ }
{ }
{ }
2
2
G = p(x) P [x] p(2) 0
Tìm chiều và 1 cơ sở E của F G
a/ dim (F G) = 1, E = x 2x 3 b/ dim (F G) = 2, E = x 1,x 2
c/ dim (F G) = 1, E = x 1 d/ CCKĐS
1
∈ =
∩
∩ − + ∩ − −
∩ −
{ }
{ }
3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
7. Trong R cho 2 không gian con F = (x ,x ,x ) x x x 0
G = (x ,x ,x ) x x x 0
Tìm chiều và 1 cơ sở của F + G
a/ dim (F + G) = 3, E = (1, 0, 0), (0, 1
+ + =
+ − =
{ } { }
1

3 1 2 3
, 0), (0, 0, 1) b/ dim (F + G) = 2, E = (1, 1, 1), (1, 1, -1)
c/ dim (F + G) = 0, không co ùcơ sở d/ CCKĐS
x x
18. Trong R cho 2 không gian con F = (x ,x ,x )
+
{ }
2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
x 0
2x 3x x 0
G = (x ,x ,x ) x 2x 2x 0
Tìm chiều của F + G
a/ dim (F + G) = 2 b/ dim (F + G) = 3 c/ dim (F + G) = 1
 
+ =
 
+ − =
 
+ − =
3
d/ dim (F + G) = 4
19. Trong R cho2 không gian con F = < (1, 1, 1), (2, 1, -1) >
G = < (1, 2, m) >
m bằng bao nhiêu thì G là không gian con của F
a/ m = 4 b/ m c/ m 4 d/ Không tồn tại m
20. Cho U, W là 2 không gian con của không gian V. Kđ nào sau đây đúng
a/ CCKĐS
∀ ≠

{ }
{ }
3
b/ Nếu U W = 0 thì V = U W
c/ Nếu U W = 0 thì dim U + dim W = dim V d/ dim (U + V) = dim U + dimW + dim(U W)
21. Cho F là không gian con của R . Kđ nào luô
∩ ⊕
∩ ∩
{ }
3
1 2 3 3 3 1
n đúng
a/ dim (F + G) = dim R 3 b/ dim(F G) = dim F
c/ dim(F + G) = dim F + dim G dim(F G) d/ CCKĐ đúng
22. Cho không gian F = (x ,x ,x ) R x mx 0
Tìm tất cả
= ∩
− ∩
∈ + =
m để dimF = 2
a/ m b/ m = 0 c/ m 0 d/ m = 1∀ ≠
{ }
{ }
1 2 3 3 3
1 2 3 3 3
23. Cho không gian F = x ,mx ,x R . Tìm tất cả m để U = R
a/ m 0 b/ m = 0 c/ m d/ m = 1
24. Cho không gian F = ((m + 1)x ,x ,(m 2)x ) R . Tìm tất cả m để U R
a/
∈

≠ ∀
+ ∈ ≠
3
m -1 và m = -2 b/ m -1 m -2 c/ m d/ CCKĐS
25. Trong không gian R cho 2 không gian con U = < (1, 1, 2), (3, 5, 7) >

≠ ≠ ∨ ≠ ∀
V = < (m, 6, 9), (2, 2, 4) >
Với gia ùtrò nào của m thì U + V = U V
1
a/ Không co ùgia ùtrò nào của m. b/ m = 4 c/ m = 0 d/ m =
4
2
⊕
3 3
3 3
6. Giả sử F là không gian con của R , dim F = 2 và x R , x F. Khẳng đònh nào sau đây đúng
a/ F < x > = R b/ F, < x > là không gian con của R và F + < x > R
∈ ∉
⊕ ≠
{ }
3
3
2
c/ F + < x > = R và F < x > 0 d/ F < x > 0
a b
27. Trong M [R] cho không gian con F = a, b R . Tìm 1 cơ sở E của F
0 0
1 0 0 2 1 1 2 2
a / E = , b/ ,

0 0 0 0 0 0 0 0
∩ ≠ ∩ ≠
 
 
∈
 
 
 
 
 
      
 
     
      
 
{ }
2
c/ (1, 0), (0, 1) d/ CCKĐS
28. Trong C [R] - không gian các cặp số phức trên trường số thực, cho
F = < (1, 0), (i, 1), (2i +1, 2), (2 + i, 1) >

 

 
 

 
3
3
Tìm chiều của F

a/ dim F = 2 b/ dim F = 3 c/ dim F = 4 d/ dim F = 1
29. Trong R cho không gian con F = < (1, 1, 1), (2, 3, 1) > . Kđnđ
a/ dim (F R ) 2 b/ dim (F + R∩ =
3 3 3
3
) 2 c/ dim (F R ) 3 d/ dim (F R ) 1
30. Trong R cho 2 không gian con F, G. Biết F là không gian con của G. Kđn đúng
a/ F + G = F b/ F G G c/ F + G
= ∩ = ∩ =
∩ =
3
= F d/ F + G = R

{ }
{ }
1 2 3 3 3
1 2 3 3 3
23. Cho không gian F = x ,mx ,x R . Tìm tất cả m để U = R
a/ m 0 b/ m = 0 c/ m d/ m = 1
24. Cho không gian F = ((m + 1)x ,x ,(m 2)x ) R . Tìm tất cả m để U R
a/
∈
≠ ∀
+ ∈ ≠
3
m -1 và m = -2 b/ m -1 m -2 c/ m d/ CCKĐS
25. Trong không gian R cho 2 không gian con U = < (1, 1, 2), (3, 5, 7) >

≠ ≠ ∨ ≠ ∀
V = < (m, 6, 9), (2, 2, 4) >

Với gia ùtrò nào của m thì U + V = U V
1
a/ Không co ùgia ùtrò nào của m. b/ m = 4 c/ m = 0 d/ m =
4
2
⊕
3 3
3 3
6. Giả sử F là không gian con của R , dim F = 2 và x R , x F. Khẳng đònh nào sau đây đúng
a/ F < x > = R b/ F, < x > là không gian con của R và F + < x > R
∈ ∉
⊕ ≠
{ }
3
3
2
c/ F + < x > = R và F < x > 0 d/ F < x > 0
a b
27. Trong M [R] cho không gian con F = a, b R . Tìm 1 cơ sở E của F
0 0
1 0 0 2 1 1 2 2
a / E = , b/ ,
0 0 0 0 0 0 0 0
∩ ≠ ∩ ≠
 
 
∈
 
 
 

 
 
      
 
     
      
 
{ }
2
c/ (1, 0), (0, 1) d/ CCKĐS
28. Trong C [R] - không gian các cặp số phức trên trường số thực, cho
F = < (1, 0), (i, 1), (2i +1, 2), (2 + i, 1) >

 

 
 

 
3
3
Tìm chiều của F
a/ dim F = 2 b/ dim F = 3 c/ dim F = 4 d/ dim F = 1
29. Trong R cho không gian con F = < (1, 1, 1), (2, 3, 1) > . Kđnđ
a/ dim (F R ) 2 b/ dim (F + R∩ =
3 3 3
3
) 2 c/ dim (F R ) 3 d/ dim (F R ) 1
30. Trong R cho 2 không gian con F, G. Biết F là không gian con của G. Kđn đúng
a/ F + G = F b/ F G G c/ F + G

= ∩ = ∩ =
∩ =
3
= F d/ F + G = R