Giải tích đại số thế kỷ 18
Giải tích đại số thế kỷ 18



Sự phát triển của phép tính vô cùng bé trong thế kỷ 18
chịu ảnh hởng từ cơ học, quang học, và vũ trụ học.

Trong quá trình phát triển dài lâu, cơ học lý thuyết về
tổng thể đã tách khỏi các ngôn ngữ hình học của
Newton và đợc phát biểu lại dới ngôn ngữ của nhiều
phơng trình.

Các ngành mới nh thuỷ lực học (hydrodynamics) và
đàn hồi đợc ra đời, vợt xa những nỗ lực của Newton.
Hầu hết các nhà giải tích lớn của thế kỷ 18 đều tham gia
vào quá trình này.

Các nhà toán học có đóng góp cho quá trình phát triển
của giải tích trong thế kỷ 18 chỉ là một nhóm nhỏ.



Anh em nhà Jakob và Johann Bernoulli là
những đại diện tiêu biểu cho trờng phái
phép tính vi phân của Leibniz.

Jakob, sinh 27 tháng 12 năm 1654. Đầu
tiên ông nghiên cứu thần học nhng sau đó
ông nghiên cứu toán, vật lý và thiên văn, có
một thời gian dài ở nớc ngoài. Ông tự học
phép tính vô cùng bé của Leibniz và sau đó
dạy lý thuyết này cho em trai của mình là
Johann






Johann, sinh ngày 27 tháng 7 năm 1667. Johann
đi tới Geneva và Paris sau khi học y học. ở
Geneva và Paris Johann giới thiệu cho Marquis de
lHopital về phép tính vô cùng bé năm 1690 và
1691.

Họ thoả thuận rằng Bernoulli sẽ cho phép lHopital đợc
dùng tuỳ thích các kết quả của Johann theo một văn bản bí
mật, và đổi lại, ông ta nhận một khoản thu nhập hàng năm
khá lớn. Năm 1696, lHopital công bố giáo trình đầu tiên
của mình về phép tính vi phân, Analyse des infiniment
petits, có sử dụng các bài viết của Bernoulli.



Năm 1695 Johann dạy toán tại trờng đại học
Groningen. Sau những hợp tác ban đầu giữa hai anh em

nhà Bernoulli này, Jacob và Johann ngày càng trở thành
những kẻ kình địch của nhau cả trong khoa học lẫn đời
thờng. Theo tập tục của thời đó, họ thách thức nhau
bằng cách công khai đặt ra các bài toán. Những ganh
đua này lại rất tốt cho sự phát triển của phép tính vô
cùng bé, và là cơ hội để nhiều kết quả, phát minh khác
ra đời. Điển hình là bài toán branchistochrone (đoản
trình), đó là bài toán dẫn tính phép tính biến phân.



Ngoài các công trình về phép tính vô cùng bé về cơ học,
Jakob Bernoulli đã viết một cuốn sách cơ bản về xác
suất, Ars conjectandi,

Sau cái chết của ngời anh mình, Johann Bernoulli thế
chân ngời anh ở Basel và sau 1710 thì Johann chủ yếu
nghiên cứu các vấn đề cơ học. Sau khi Leibniz chết và
Newton không nghiên cứu khoa học nữa, Johann đợc
xem là nhà toán học đầu đàn của châu Âu. Johann mất
ngày 1 tháng 1 năm 1748.

Học trò xuất sắc nhất của Johann Bernoulli là Leonhard
Euler.



Euler có một trí nhớ phi thờng và là
bậc thầy của tính toán.


Trong khi các sách của Johann những
bài toán cơ học, hình học giữ vai trò
nổi bật, còn sách của Euler (Euler
1748/1988), (Euler 1755/200) và
(Euler 1768-1770) chỉ có ít ứng dụng
và đợc viết theo cách đại số.



►
 !"#$%
& '(
►
)"*+ ,-$./01'23&-456
27 h×nh häc)8&69:!
&96;<=> 
►
 =< '(?@  +"#$%1
A-®¹i sè Èn 'B:& C;A-7=!'23
D-DE'"FGH2 5-!'5
<Introductio >-FI8'(23 
 J=<6F'(23 FG
K$.LMN$M%%1OPC9Q>JR&;A-
8'<23 '23F&6 =&6&'(=<
5S



Khái niệm hàm trở thành cơ sở và Euler hiểu hàm số
nh là những biểu thức đại số hoặc giải tích.


Vào cuối thế kỷ này, các cuốn sách của Lagrange 1797
và 1801 đã đa vào khái niệm đại số hiện. Lagrange
loại trừ các khái niệm vi phân, vô cùng bé và định nghĩa
đạo hàm của hàm số không cần sử dụng giới hạn nh là
hệ số của x trong khai triển thành chuỗi luỹ thừa của
hàm f(x)với giả thiết khai triển phải tồn tại.

Trong phần mở đầu cuốn Complete introduction into
algebra Euler viết, Toán học, nói chung, là khoa học
về lợng; hay là khoa học nghiên cứu các phơng pháp
đo các đại lợng (Euler 1771/1972,1). Ông định nghĩa
lợng là một cái gì đó có thể tăng hoặc giảm,



Vào thế kỷ 18, việc hiểu phép tính vô cùng bé, nói
chung, phải gắn với ba khái niệm cơ bản là vi phân, hàm
số và chuỗi luỹ thừa.

Theo Euler, phép tính vi phân không đề cập tới chính vi
phân mà với tỉ số của chúng.

để lợi cho tính toán ngời ta thích không coi tất cả các
lợng trong một phơng trình là nh nhau mà là xem
một vài cái là biến độc lập còn biến kia là biến phụ
thuộc. Đấy chính là quan điểm của hàm số và nh vậy,
vào thế kỷ 18 ngày càng có nhiều ngời thừa nhận rằng
ngời ta nên tính toán với hàm số và đạo hàm hơn là với
các lợng biến đổi và các vi phân của chúng.




Tuy nhiên trong nhiều áp dụng, tự nhiên hơn, ngời ta
thờng nói về các lợng biến đổi và vi phân của chúng.
Đó là quan điểm mà các nhà vật lý và kỹ s áp dụng khi
họ thiết lập phơng trình vi phân. Cũng nh thế, khi giải
các phơng trình vi phân, việc xem các biến có vai trò
nh nhau thờng có lợi. Do đó, ý tởng về vi phân đợc
bảo vệ vì tính ứng dụng của nó, và một phần hay của
văn hoá toán thế kỷ 19 trở nên dễ hiểu hơn nếu vi phân
đợc xem là lợng vô cùng bé. Cả hai cách, phép tính
đạo hàm và vi phân còn giữ vai trò cho đến ngày nay.



Công cụ quan trọng nhất của biểu diễn hàm số là
chuỗi luỹ thừa. Các nhà toán học của thế kỷ 18
chủ yếu xét các chuỗi luỹ thừa nh là đa thức vô
hạn.

đề cập tới chuỗi phân kỳ là một đặc điểm quan
trọng của giải tích thế kỷ 18.


►
Trong cuèn s¸ch díi d¹ng b¶n th¶o viÕt cho l’Hopital,
'B'T@7=!A->
U-V&'W'8X-? YX 
U2Z ['23DU6

R ;'- R=R
►
K$P\423 -&, T @--423 
K$P\423 -&, T @--423 
 Y7F]  , -&]  
 Y7F]  , -&]  
@-
@-
►
KOP\^'2Z   _-=<+ '(` 
KOP\^'2Z   _-=<+ '(` 
 
 
►
K/PaF-&W? +('41A>&
K/PaF-&W? +('41A>&
'4&-b >'2Z  9c'23D-
'4&-b >'2Z  9c'23D-
&-4FF&K$dMO1$OP
&-4FF&K$dMO1$OP

)WS6
)WS6




Brook Taylor là ngời đầu tiên công bố
Brook Taylor là ngời đầu tiên công bố
định lý mà ngày nay mang tên ông; nh

định lý mà ngày nay mang tên ông; nh
ng thật ra ông không phải là ngời đầu
ng thật ra ông không phải là ngời đầu
tiên phát hiện ra điều này. Trớc ông, ít
tiên phát hiện ra điều này. Trớc ông, ít
nhất đã có năm nhà toán học đã biết
nhất đã có năm nhà toán học đã biết
định lý này hoặc dạng tơng đơng của
định lý này hoặc dạng tơng đơng của
nó. Đó là J. Gregory, (1671), I. Newton
nó. Đó là J. Gregory, (1671), I. Newton
(1691), G.W. Leibniz (khoảng 1670),
(1691), G.W. Leibniz (khoảng 1670),
Johann Bernoulli (1694), và A. de
Johann Bernoulli (1694), và A. de
Moivre (1708).
Moivre (1708).
6
6

►
S2! >'TA-&-e U-
S2! >'TA-&-e U-
>f&2V"' 
>f&2V"' 
►
& 2Z'5g8&->
& 2Z'5g8&->
('4 &8&'` ,-
('4 &8&'` ,-

$dM%'1 ?9c-&?
$dM%'1 ?9c-&?
('42"=<
('42"=<
►
"h\4&->23 "'i&-4
"h\4&->23 "'i&-4
? @ _-23 "'i&=<6
? @ _-23 "'i&=<6
23 X =<cS
23 X =<cS


jA-&- @
jA-&- @
C<=f >K$.L%P…
C<=f >K$.L%P…

C(">A-&- @
C(">A-&- @





Khái niệm hàm giải tích làm cơ sở trong cuốn
Khái niệm hàm giải tích làm cơ sở trong cuốn
Introductio của Euler đã ngự trị giải tích thế kỷ 18
Introductio của Euler đã ngự trị giải tích thế kỷ 18
cho tới tận khi một cách hiểu mới bắt đầu đợc thừa

cho tới tận khi một cách hiểu mới bắt đầu đợc thừa
nhận nhờ công trình của Cauchy. Tuy nhiên, một vài
nhận nhờ công trình của Cauchy. Tuy nhiên, một vài
hạn chế của cách tiếp cận trớc đây đã đợc thấy rõ
hạn chế của cách tiếp cận trớc đây đã đợc thấy rõ
ở thế kỷ 18. Điều này đã diễn ra trong suốt một cuộc
ở thế kỷ 18. Điều này đã diễn ra trong suốt một cuộc
tranh luận nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học.
tranh luận nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học.

Việc mở rộng phạm vi những nghiệm có thể tới
Việc mở rộng phạm vi những nghiệm có thể tới
những hàm gián đoạn đã bị dAlembert phản đối
những hàm gián đoạn đã bị dAlembert phản đối
kịch liệt. Ông đòi hỏi có một khái niệm hẹp hơn về
kịch liệt. Ông đòi hỏi có một khái niệm hẹp hơn về
hàm số.
hàm số.
C6
C6

C(">A-&- @
C(">A-&- @
K"P
K"P


Cuộc tranh luận này đợc các nhà toán học
Cuộc tranh luận này đợc các nhà toán học
khác theo đuổi qua nhiều nhiều ấn bản và

khác theo đuổi qua nhiều nhiều ấn bản và
không bao giờ đợc hoà giải. Về nguyên tắc,
không bao giờ đợc hoà giải. Về nguyên tắc,
các lập luận của dAlembert là thoả đáng.
các lập luận của dAlembert là thoả đáng.
Daniel Bernoulli, con trai của Johann Bernoulli, đa ra một
Daniel Bernoulli, con trai của Johann Bernoulli, đa ra một
lập luận hoàn toàn mới trong cuộc tranh luận này. Trong
lập luận hoàn toàn mới trong cuộc tranh luận này. Trong
một bài báo xuất bản năm 1753, ông đã cố gắng giải bài
một bài báo xuất bản năm 1753, ông đã cố gắng giải bài
toán bằng những lập luận thuần tuý vật lý. Ông đã thảo luận
toán bằng những lập luận thuần tuý vật lý. Ông đã thảo luận
các thí nghiệm mà từ đó ông kết luận mọi vật rung đều tạo
các thí nghiệm mà từ đó ông kết luận mọi vật rung đều tạo
ra nhiều tiếng động
ra nhiều tiếng động
dAlembert
dAlembert




C7=! @"#$M
kVA
jA-&-=<
C6& Fk@
k==1[1l1m===

kVA


Thế kỷ 19 thờng đợc gọi là thời kỳ chặt chẽ,

Phong trào hớng tới sự chặt chẽ có thể xem nh
Phong trào hớng tới sự chặt chẽ có thể xem nh
là một quá trình sáng tạo.
là một quá trình sáng tạo.

Nó sản sinh ra các lĩnh vực mới của toán học đặc
Nó sản sinh ra các lĩnh vực mới của toán học đặc
biệt đặt tôpô làm cơ sở cho giải tích, đề cập tới
biệt đặt tôpô làm cơ sở cho giải tích, đề cập tới
những khái niệm hoàn toàn mới nh liên tục đều
những khái niệm hoàn toàn mới nh liên tục đều
và tính đầy đủ.
và tính đầy đủ.

Việc dạy học là một động lực quan trọng khác
đứng sau sự chặt chẽ của giải tích.

kVAK"P

7=!> @@D(
Cùng lúc đó, giải tích tự tách khỏi hình học.

8^i 'B'23A **>


một vài nhà toán học đã F-? -'WS
W nói rằng một hàm liên tục nhận giá trị cả

âm và dơng trên một khoảng thì sẽ nhận giá trị zero.


kVAK"P

"#?$%1&G'B< E DU6R
7=! @Rg'(=<6FG
)8&6'BW@'<!"#$M6&'1
=<Rg&=<G'23'81,-$%.01số
học hoá đã trở thành khẩu hiệu. Các
số thực (và số phức) đợc xây dựng từ
các số hữu tỷ; các số hữu tỷ lại đợc
xây dựng từ số tự nhiên và giải tích
dựa trực tiếp vào công cụ mới này
hoàn toàn không dùng hình học.

kVAK"P
►
H 2Z =RTn> @
&Zch\4 '(> 2Zo
C6 '?  '5 & -4  '( )? 
m==='? '5)8&6? YX ?
'23p*4 B>G"#
$M?& 2Zo& 2Zq'58A-
G1V +"#$M1=' 2Z)?
6"


C6
C6


jA-&-=<

Từ thời Euler, calculus là lý thuyết hàm. Nhng
hàm số là gì? ý nghĩa của khái niệm này thay đổi
theo thời gian. Euler đa ra hai định nghĩa. Hàm
số đợc xác định nh là hàm số giải tích, chứa
hằng số và các biến nhng sau đó, hàm số đợc
định nghĩa nh là một biến phụ thuộc vào biến
khác. Tuy nhiên, trong giáo trình giải tích của
Cauchy, cuốn sách đầu tiên mở ra thời kỳ chặt
chẽ, hàm số đợc định nghĩa chặt chẽ nh là các
biến phụ thuộc vào các biến khác.

jA-&-=<K"P

Một năm sau, Fourier đã bác bỏ rõ ràng hơn khái niệm
hàm nh biểu thức giải tích. Trong công trình chính của
ông, Lý thuyết giải tích, ông viết
Nói chung hàm biểu diễn liên tiếp các giá trị hoặc toạ
độ tuỳ ý. Vô số giá trị đợc gắn với trục x thì cũng có
từng đó số gắn với toạ độ f(x). Tất cả các giá trị hằng
số xác thực hoặc âm, hoặc dơng, hoặc số 0, ta
không giả thiết rằng các toạ độ này phải tuân theo
một quy luật chung; các toạ độ này kế tiếp nhau theo
cách tuỳ ý và mỗi trong số chúng đợc gán một đại
lợng đơn lẻ.

jA-&-=<K"P


Dirichlet thừa nhận khái niệm này và định nghĩa hàm
liên tục nh sau

Giả sử a, và b là các giá trị xác định và x là biến biến
đổi giữa hai giá trị a,b. Bây giờ ứng với mỗi giá trị x là
một giá trị hữu hạn y, theo cách là x biến đổi một cách
liên tục, từ a tới bthì y = f(x)thay đổi một cách từ từ, khi
đó y là một hàm liên tục của x trong khoảng này.

Định nghĩa này nhận này nhấn mạnh tính đơn trị của
f(x), gần giống theo quan điểm của Riemann. Nếu
chúng ta chỉ nhìn vào định nghĩa thì định nghĩa này d
ờng nh là khái niệm hàm số đợc xác định nh là sự
phụ thuộc tổng quát giữa các biến.