Nội dung bài giảng

Tôi chia lịch sử giải tích làm ba giai đoạn:

Tr ớc Newton Leibniz (đại diện là Archimedes, Kepler,
Descartes, Huygens, Sluse, tính từ 500 BC đến thế kỷ 17)

Thời kỳ Newton, Leibniz (đại diện là hai ng ời này, tính từ
giữa thế kỷ 17 đến đầu thế kỷ 18)

Sau Newton, Leibniz (đại diện là hai anh em Bernoulli,
Euler, L Hopital, Cauchy, Gauss, Bolzano, Abel,
Weierstrass, Cantor, Dedekin, Heine, tính từ đầu thế kỷ 18
cho đến hết thế kỷ 19)

Nh ng tr ớc hết tôi muốn nói rằng lịch sử giải tích là
lịch sử thống nhất, có sự kế thừa liên tiếp. Mặc dù

Nội dung bài giảng (tiếp)

không có chiến tranh, hoặc những xung đột gay gắt nh ng
trong giải tích cũng có những cuộc tranh luận và những
lời chỉ trích khá chua cay. Bên cạnh những cây đại thụ
lớn còn có một số nhà toán học khác có những đóng góp
đáng kể.

Đối thủ của Newton là Leibniz;

Đối thủ của Descartes là Fermat;

Đối thủ của Fourier là Poisson;

Đối thủ của Jacob Bernoulli là ng ời em Johann Bernoulli
(dòng họ này có ba thế hệ làm giải tích xuất sắc)

Giải tích toán học là gì?

Giải tích toán học (Mathematical Analysis) còn có
tên là phép tính các đại l ợng vô cùng bé và vô cùng
lớn (calculus of Infinitely Small and Large
Quantities) hoặc phép tính vi tích phân (Calculus
of Differentiation and Integration), hoặc gọi tắt là
Calculus), ra đời vào nửa cuối thế kỷ 17. Calculus
là ngành toán học nghiên cứu chuyển động và sự
thay đổi của vật chất. Nơi nào có chuyển động
hoặc sự tăng tr ởng thì nơi ấy có thể dùng Calculus.

Giải tích toán học là gì?

Phép tính vi phân cho phép ta xác định mặt phẳng tiếp
xúc với mặt cong, tính tốc độ và gia tốc của vật chuyển
động . Phép tính tích phân cho phép ta tính diện tích
mặt, tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể theo tốc độ
của nó .

Có rất nhiều học giả xuất chúng tham gia xây dựng
lĩnh vực toán học này. Đầu tiên phải kể tới Sir Issac
Newton (1642-1727), ng ời Anh), Barow Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716). Tr ớc Newton và Leibniz
cần phải nhắc tới nhà thiên văn Johannes Kepler

(1571-1630), ng ời Đức, đã giành 20 năm để

Giải tích toán học là gì? (tiếp)
để khám phá ra ba định luật chuyển động của các
hành tinh.

Mỗi hành tinh chuyển động theo một ellipse có một
tiêu điểm là mặt trời.

Bán kính vector từ mặt trời tới hành tinh quét những
diện tích nh nhau trong những thời gian nh nhau.

Bình ph ơng chu kỳ quay của hành tinh quanh mặt
trời tỷ lệ với luỹ thừa ba của nửa trục lớn, tức là, nếu
T là chiều dài quãng đ ờng hành tinh đi đ ợc trong

Giải tích toán học là gì? (tiếp)
một năm và a là nửa trục lớn của ellipse t ơng ứng thì
T^2/a^3 có giá trị không đổi đối với mọi hành tinh
trong hệ mặt trời.

Bằng Calculus ta có thể rút ra ba định luật trên từ
các định luật chuyển động của Newton, nh ng đấy là
công việc buổi chiều. Vậy là Kepler nhờ các quan
sát thực nghiệm đã mô tả hệ mặt trời hoạt động nh
thế nào, sau đó Newton và Leibniz dùng Calculus
giải thích vì sao lại nh thế. Theo tôi điều này chứng
tỏ vật lý, cơ học, thiên văn là cội nguồn của giải tích.

Nguån gèc

Cã 4 nguån gèc chÝnh

TÝnh to¸n víi c¸c ký hiÖu b»ng ch÷ (Viette)

H×nh häc gi¶i tÝch (Descartes, Fermat)

Y t ëng vÒ hµm sè lµ kh¸i niÖm trung t©m cña gi¶i
tÝch (Euler, Dirichlet)

Tr êng sè thùc (Dedekind, Cantor)

Về danh từ giải tích (Analysis) và
tổng hợp (Synthesis)

Gọi việc cộng của một số đại l ợng là một tổ là tổng
hợp (sythesis)

Gọi việc chia tách của một tổng cho tr ớc là giải tích
(analysis)

Giải tích là việc tách của một bài toán cho tr ớc ra
nhờ các b ớc đúng đắn và lôgíc cho đến khi ta kết
thúc với một điều gì đó mà ta đã biết là đúng hay
mâu thuẫn.

Ngày nay giải tích bài toán của ng ời Hy lạp trở
thành ph ơng pháp giải tích

Về danh từ giải tích (Analysis) và
tổng hợp (Synthesis) (tiếp)


Thế kỷ 18, thuật ngữ giải tích giải thích đôi khi còn có
nghĩa là áp dụng của tính toán đại số cho hình học.

Nh ng từ đầu thế kỷ 18 thuật ngữ giải tích dần dần
nhận ý nghĩa của nó.

Giải tích từ thời x a nói về hình học và do đó chỉ sử
dụng khi có hình học trợ giúp; giải tích hiện đại bao
gồm tất cả các đối t ợng đo đ ợc và sử dụng số học
thông dụng bằng cách đặt các mối liên hệ giữa các l
ợng vào ph ơng trình.

Khái niệm về số và l ợng của ng ời Hy
lạp

Số nh đối t ợng toán học
Gosta Mittag-Leffler đã nói rằng số là khởi nguồn
của suy nghĩ, câu này đã đ ợc khắc đá vào lò s ởi
của Viện toán của ông.
Toán học cổ điển nhất của Hy lạp, (có nghĩa là
giảng dạy, h ớng dẫn) là lý thuyết toán học đơn
giản nhất về số chẵn, số lẻ, và là đối t ợng của cuốn
sách Cơ sở của Euclid và sự phân biệt đơn giản
này đã dẫn đến những kết quả đáng kể

Bµi to¸n cÇu ph ¬ng

TiÒn sö


PhÐp ®o vßng trßn cña Archimedes


Tiền sử
Bài toán cổ nhất của giải tích liên quan đến việc
tính toán độ dài đ ờng cong, diện tích mặt, và thể
tích của khối.
Trong toán học cổ Hy lạp, diện tích của một hình
đ ợc tính nếu tồn tại một phép dựng hình của một
hình vuông có diện tích đã cho.
Trong tr ờng hợp không thể hoặc không biết cách
xác định một l ợng bằng một phép dựng hình, ng ời
Hy lạp sử dụng xấp xỉ.

Phép đo vòng tròn của Archimedes

Archimedes sử dụng một ph ơng
pháp gọi là nén với hình đa giác
nội tiếp và ngoại tiếp 96 cạnh.
Theo danh từ hiện đại thì ông
đã thu đ ợc các cận sau của số pi

Phép đo vòng tròn của
Archimedes (tiếp)

Hiệu số giữa cận trên và cận d ới chỉ là 0,0002!

Khônng có nhà toán học Hy lạp nào sử dụng ký hiệu pi để ký hiệu tỷ số của chu vi với đ
ờng kính; ký hiệu này của William Jones (1706) và đ ợc Leonard Euler phổ cập. Ông sử
dụng công thức

tính diện tích đ ờng tròn bán kính r để đi đến kết quả của mình.

Dsfs

Sdfs

Sdfsd

Sdf

Phép đo vòng tròn
của Archimedes (tiếp)

Archimedes đã không đ a ra ph ơng pháp tổng quát
để vét hết vòng tròn.

Ông đã tìm ra mối liên hệ giữa S_n và S_2n.

Theo quan điểm của chúng ta, dễ thấy rằng mối
liên hệ này là mối liên hệ biểu diễn sin x và sin
(x/2). Vì vậy ph ơng pháp là sự khởi nguồn của l
ợng giác.

Những đóng góp của Archimede đối
với toán học vô cùng bé

Cuộc đời (~287 tr ớc CN)

Tác phẩm


Ph ơng pháp cơ học

Có phải Archimede đã nghĩ ra khái niệm tích
phân không?

Cuộc đời Archimedes

Vua Hieron của Syracuse đòi
Archimedes kiểm tra thành phần vàng
trong vòng nguyệt quế của mình

Khi đang tắm, Archimedes phát hiện
ra nguyên lý cân bằng giữa cơ thể nổi
và lực đẩy của nớc. Ông chạy ra đ ờng
mà không dừng lại mặc quần áo và hô
vang từ ``eureka!'', có nghĩa là ``tôi tìm
ra rồi" trên môi khi ch a kịp đ a ra các
thí nghiệm cần thiết.

Cuộc đời Archimedes (tiếp)

Một câu nổi tiếng không kém của Archimedes
nữa, phát biểu sau khi hạ thấp một chiếc
thuyền xuống n ớc chỉ bằng vật nặng và hệ
thống ròng rọc, rằng cho tôi một điểm tựa, tôi
sẽ nâng trái đất lên = give me a place to stand
and I can move the earth

Ph ơng pháp cơ học


Tự nhiên đ ợc sắp xếp bởi các quy luật toán học
chứ không phải tinh thần

Archimedes nghiên cứu các bài toán vật lý bằng
ph ơng pháp toán học.

Ph ơng pháp cơ học (tiếp)

Tôi cần phải giải thích để viết ra chi tiết nét đặc sắc của
một ph ơng pháp nhờ đó anh có thể bắt đầu nghiên cứu
một số vấn đề toán học bằng vật lý. Chẳng hạn một vài
sự việc trở nên rõ ràng với tôi nhờ ph ơng pháp cơ học,
mặc dù những điều này cần phải chứng minh chi tiết
bằng hình học, vì việc nghiên cứu bằng ph ơng pháp đã
nói không cung cấp một chứng minh thật sự. Tất nhiên
sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta đã có đ ợc, nhờ ph ơng pháp
này, một số kiến thức về câu hỏi

Archimedes không coi ph ơng pháp cơ học tự nó đã

Ph ơng pháp cơ học (tiếp)
mang tính lập luận về mặt toán học; các kết quả
đạt đ ợc nhờ suy diễn cần phải đ ợc chứng minh
chặt chẽ. Ph ơng pháp này đã đ ợc dùng nh là một
chuẩn mực so sánh chặt chẽ cho tới tận ngày nay.

Hình trụ ngoại tiếp hình cầu có thể tích bằng 3/2
thể tích hình cầu. Archimedes rõ ràng đã coi kết
quả này là hết sức quan trọng vì theo ý nguyện của
ông, những từ này đã đ ợc khắc vào bia mộ của

ông.

Có phải Archimedes nghĩ ra khái
niệm tích phân?

Trừ việc không chuyển tới giới hạn, phép cầu ph
ơng xấp xỉ parabol t ơng ứng với tích phân của
hàm liên tục bằng phép lấy tổng của các hình chữ
nhật khi sử dụng tổng trên và tổng d ới nh sách
giáo khoa phổ thông hiện đại. Theo quan điểm
hiện đại, d ờng nh ta đã gặp tổng trên tổng d ới
Darboux của tích phân Riemann.

Ph ¬ng ph¸p cña Newton vµ Leibniz

Giíi thiÖu

Ph ¬ng ph¸p chuçi vµ Fluxions cña Newton

Giới thiệu

Từ những năm 1660 đến những năm 1680 , Isaac
Newton và Gottfried Wilhem Leibniz đã tạo ra cái
mà ngày nay ta gọi là tính toán vô cùng bé.

Ba khía cạnh của những việc họ làm cho toán học:

Thu gọn bài toán

Tính diện tích theo quá trình ng ợc của tính tiếp

tuyến.

Xây dựng thuật toán

Giới thiệu(tiếp)

Xác định trọng tâm, diện tích, thể tích, tiếp tuyến,
độ dài cung, bán kính cong, diện tích mặt, mà đã
thu hút sự chú ý của các nhà toán học thế kỷ 17 là
các thí dụ của hai bài toán cơ bản. Hơn nữa, họ đã
nhận thức đầy đủ rằng hai bài toán này là ng ợc
của nhau (đó là định lý cơ bản của calculus).

Calculus của Newton và Leibniz không đề cập đến
hàm số