Luận văn thạc sĩ khoa học: Gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ thế và phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (9.28 MB, 82 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ HAI YEN

GAN DUNG EIKONAL CHO BIEN DO TAN XA THE

VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHAN PHIEM HAM

TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THI HAI YEN

GAN DUNG EIKONAL CHO BIEN DO TAN XA THE

VA PHƯƠNG PHAP TÍCH PHAN PHIEM HAM

TRONG CƠ LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý ToánMã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

<small>NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tớiTS.Cao ThiVi Ba,người đã tận tinh</small>

hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tơi trong suốt q trình thực hiện luận

<small>Tơi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Khoa Vật ly và phòng Sau đại học</small>

của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên — Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện

tốt nhất cho tơi hồn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô và tồn thể cán bộ bộ mơn Vật lý lý

thuyết, khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên — Đại học Quốc gia Hà

<small>Nội, những người đã ln tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên tôi.</small>

<small>Cuôi cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những người thân trong gia đình, ban bè va</small>

đồng nghiệp đã động viên cho tơi hồn thành luận văn này.

Do thời gian và kiến thức cịn nhiều hạn chế nên khơng thé tránh khỏi nhữngthiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của q thầy cơ và các bạn.

<small>Một lan nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!</small>

<small>Hà Nội, ngày 20 tháng 9 năm 2016</small>

Nguyễn Thị Hải Yến

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Chuong 1. Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ...-...----ccc55- 41.1. Gần đúng eikonal trong quang học...‹--- << esses1.2. Phát biểu bài toán tán Xạ... -- -.c nh nhe 8

<small>1.3. Lời giải phương trình Schrodinger...---: 14</small>

Chương 2. Cơng thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm ham... 25

<small>2.1. Hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài ...25</small>

2.2. Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thắng...---.----.---30

Chương 3. Tan xạ trên thế ngoài cụ thễ...-...--ccccc5<<-c<---..-.4ÏEM) àán... 413.2. Thé GauS§... C1 1111111222222 111111111 1111 2115511111111 xxe45CE c2 2211111111221 1n nn TT k kg Tnhh vết 50

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

MỞ ĐẦU

Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1959trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các sốliệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao [10].Biéu diễn eikonal này có

thé thu được bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp sóng riêng phan (tìm hàm

<small>sóng ở xa vơ cùng), phương pháp ham Green (giải phương trình vi tích phân) và</small>

phương pháp chuẩn cơ điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổ

điển) [3].Các phương pháp này nói chung dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và khó sử dụngtrong lý thuyết trường lượng tử. Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tơi muốn giới

thiệu một phương pháp mới, đó là phương pháp tích phân phiém hàm cho bài toán tánxạ trong cơ học lượng tử phi tương đối tínhkhơng dựa vào lý thuyết nhiễu loan[9].

Trong vùng tương đối tính và năng lượng cao, việc tổng quát hoá gần đúngeikonaltrên cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trườnglượng tử.Cơ học lượng tử phi tương đối tính là lý thuyết đơn giản nhất mà trong khnkhổ của nó với giả thiết tính nhăn của thé năng, đã thành cơng trong việc giải thích vật

<small>lý những đặc trưng cơ bản tán xạ năng lượng cao của các hadron. Do mơ hình quang</small>

học và phép gần đúng eikonal liên quan đến phép gần đúng tổng quát hơn là phép gầnđúng chuẩn cô điển trong cơ học lượng tử nên lý thuyết tán xạ thé cho ta cơ sở dé đưavào Vật lý hiện đại phép gần đúng eikonal hay gần đúng quang học.

Ở đây, chúng tơi trình bay van tắt các kết quả vận dụng phương pháp chuẩn cơ điển

<small>hay cịn gọi là phương pháp WKB cho bài toán tan xạ năng lượng cao. Phương pháp</small>

WKB được hiểu là phép gần đúng mà theo nó pha tán xạ tỷ lệ với hàm tác dụng cô

Phép khai triển theo sóng riêng phan là một phương pháp chủ yếu dé nghiên cứu tán xạnăng lượng cao, song năng lượng hạt càng cao thì ta phải tính một số lượng khổng 16

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

sóng riêng phần thì phương pháp này trở nên kém hiệu quả. Vì vậy, người ta phải đềxuất các cách tiếp cận khác dé nghiên cứu bai toán tan xạ năng lượng cao của các hạtcơ bản. Một trong các cách tiếp cận khác đơn giản hơn và rõ ràng về mặt vật lý chínhlà biểu diễn eikonal hay biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ[3]. Lưu ý, biểu diễneikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ đã được sử dụng rộng rãi dé phan tich cac số liệu

<small>thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao.</small>

Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ nănglượng cao ở trường ngồi bằng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng

Luận văn gồm các phần:Mở đầu, Nội dung nghiên cứu được viết thành ba chương, Kết

Chương 1.Gần đúng eikonal cho bài tốn tán xạ thế ngồi.

¢ Mục I.1:Giới thiệu van tắt gần đúng eikonal được sử dụng trong quang học.© Mục 1.2: Phát biéubai toán tán xạ trong cơ học lượng tử.

e Mục 1.3: Lời giải phương trình Schrodinger dừng với thế ngồi ở xa vơ cùng,

<small>từ đó rút ra cơng thức eikonal hay công thức Glauber cho biên độ tan xa.</small>

Chương 2.Cơng thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm hàm.

Trong chương này, chúng ta rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ bằngphươngpháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử.

e_ Mục 2.1: Giới thiệu biểu diễn hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger

ở thế ngồi dưới dạng tích phân phiếm hàm.

¢ Mục 2.2: Tach các cực điểm từ hàm Green của hạt ở trường ngoài dé thu đượcbiên độ tán xạ thế.Trong mục này, giới thiệu cách tính gần đúng tích phânphiếm hàm bằng gần đúng quỹ đạo thăng và khảo sát đáng điệu tiệm cận của

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

biên độ tán xạ thế ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Điều kiện sử dụnggần đúng này được thảo luận từ những giới hạn lênthế năng, năng lượng của hạt

Chương 3.Tan xạ trên thế ngoài cụ thể.

Sử dụng công thức eikonal thuđược hai chương trên cho một số thế ngoài cụ thé.

e_ Mục 3.1: Nghiên cứu tán xạ thé Yukawa.e Mục 3.2: Nghiên cứu tan xạ thế Gauss.

Phan kết luận: Tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận những hướngnghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới.

<small>Trongluậnvăn, chúng tôi sử dụng hệ don vi nguyên tử #=c=1 va metric Feynman.</small>

Vớivéctơ tọa độ phản biến là

xt (x° tx! =x,x =y,x° z) (t,x)

thì các véctơ tọa độ hiệp biến là

<small>X„ Sux (x t,x, X,X; },X; z) (t, x),trong đótensor metric có dang</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

1.1. Gan đúng eikonal trong quang hoc

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu gần đúng eikonal trong quang học. Phương trìnhmơ tả việc truyền sóng ánh sáng trong mơi trường có chiết suất n mà trong trường hoptổng quát là hàm số của tọa độ n(7) và có dạng

ở đây là thành phan bat kỳ của các vectơ E và 7.

Nếu ø là khơng đổi thì nghiệm riêng của phương trình (1.1) là sóng phẳng đơn sắc

vane (1.2)Sơ song k = lk , tan sơ @ và bước sóng 4 liên hệ với nhau bang hệ thức

<small>k=n—=—. 1.3</small>mG (1.3)

Giả thiết rằng,phương truyền sóng và biên độ của sóng phang trong tồn khơng gian là

khơng đồi.

Nếu mơi trường khơng đồng nhất thì n(7) sẽ là hàm của tọa độ và sóng phăng (1.2)

<small>với vecto sóng (1.3) sẽ khơng thỏa mãn phương trình (1.1).</small>

Tuy nhiên, nếu bước sóng 4 nhỏ hơn nhiều khoảng cách đặc trưng d, mà ở đó chiếtsuất n(7) thay đổi đáng ké, thì ở khoảng cách nhỏ đó sóng ánh sáng vẫn được coi là

sóng phăng truyền theo hướng vng góc với mặt sóng. Các hướng như vậy được gọi

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<small>Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1) trong trường hợp này dưới dạng</small>

Ở những khoảng cách nhỏ của không-thời gian, hàm ø được gọi là eikonal. Ta có thểkhai triển nó thành chuỗi

Vi ở những khoảng cách nhỏ của tương tác thế giới vi m6,y có thé coi là sóng phẳng

<small>nên so sánh (1.5) và (1.4) với (1.2) chúng ta tìm được</small>

: . i“ (1.8)

=[V7a+2iVaV 9+ iaV7—a(V 9) |e”

<small>Tương tự ta có</small>

6”, „y |Ca .ơ6 . PP (ô66Ý|„

ap (ae )= my 2i OP ar ia a a P e (1.9)

Thế (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta được

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

ang a, Ag, VaVó or’ ơ ` Ot at

<sup>rong (1.10), chung ta thu dugc phuong</sup>

<small>trinh eikonal cho ¢</small>

(va) -(22) (%). (1.11)

<small>Các phương trình (1.11) va (1.12) được gọi là các phương trình eikonal.</small>

Như vậy, trong gần đúng eikonal các mặt sóng là các mặt

<small>V(F,f)= const, (1.13)</small>

<small>còn các tia được hướng theo k = Vợ.</small>

<small>Lưu ý sự tương tu ở đây, giữa các phương trình eikonal (1.11) và (1.12) với phương</small>

trình Hamilton-Jacobi, ma trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

trường thế ngoài'. Trong trường hợp khi ham Hamilton # (7,p) không phụ thuộc

<small>tường minh vào thời gian, thì phương trình Hamilton-Jacobi có dạng</small>

a(n), (1.14)

<small>ở đây E là năng lượng cua hạt, S(7,r)=5,(7)—£r là ham tac dụng. Xung lượng của</small>

hạt bằng

p=VS(7,t)=VS,(7). (1.15)

Theo Vat ly cô điền, chuyền động của hạt trong hình thức luận Hamilton-Jacobi có thể

so với các mặt sóng mà nó được xác định bằng phương trình

<small>S(¥,t) =const. (1.16)</small>

Quỹ dao của hạt, như ta có thé suy ra từ (1.1), hướng theo pháp tuyến của các mặt này”.

Đối với hạt chuyên động trong trường thế r(r) thì xung lượng của hạtđược xácđịnh

<small>'Sự tương đương giữa phương trình Hamilton -Jacobi và phương trình eikonal được Hamilton</small>

<small>thiết lập vào năm 1834.</small>

<small>? Lưu ý, tốc độ dịch chuyền của mặt Š (7.2) = cons¿ trong khơng gian khơng trùng với tốc</small>

<small>độ v của hạt và liên hệ với vbang hệ thức u =——.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Kết hop (1.17) và (1.18) ta thay phương trình (1.14) có dang

(Vs) =2m(z-r(z)) (1.19)

So sánh (1.15), (1.16) và (1.19) với (1.6), (1.13) và (1.12), ta suy ra rằng trong cơ học

cô điển, ham tác dụng s(z,:) chính là eikonal ø(z,:) trong quang hình học và đại

lượng 2z(E—V (7)) tương tự với tổ hợp các đại lượng quang học Onl? ).

ty lệ liên hệ giữa n?(7#)va 2m| E-V (7) |—, là một đại lượng có thứ ngun và khơng

thé xác định được nó nếu ta chỉ dừng trong Vật lý cô điển. Nếu sử dụng sự tương tự

<small>này gitta quang hoc sóng và cơ học cơ điên thi ta có thê viet</small>

()= zL£=Y(Z)]Ss.0-20)

1.2. Phat biếu bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử

<small>Trước tiên, chúng ta xem xét gan đúng eikonal trong cơ học lượng tử dựa vào việc phát</small>

<small>biêu bài toán tán xa. Nêusự tán xạ xảy ra trong thê năng có đơi xứng câu thi ham sóngở xa vơ cùng gơm sóng phăng tới và sóng câu tán xạ có dạng</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Theo cơng thức tính tiết diện ta cần phải tính mật độ dịng của các hạt tới và mật độdịng các hạt tán xạ theo cơng thức tổng quát

h —ikz > ikz ikz > sikz (

mm. é(ike —e ”é (—ik)e ]

=- 2q), _ =ve,=V,

trong đó, é, là véc tơ đơn vi theo trục z, ý là van tốc của hạt tới.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

7„d§ = jyr?dQ=|f (A) vdQ.(1.30)

tớiđược gọi là tiết điện tán xạ vi phân

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

dơ =|7(ø) dQ.(1.32)

Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi

3a 7 (9) 33)Nhu vay, viéc xac dinh tiết diện tán xa hoặc mật độ tiết diện tán xạ quy về việctìm biên

độ tán xạ. Việc tính biên độ tán xạ thường được tiễn hành như sau: Tim nghiệm củaphương trình Schrodinger cho chuyên động của hạt trong trường của tâm tán xạ. Tạicác khoảng cách ở xa tâm, nghiệm có dạng (1.21).Khi đó Z(ø) là biên độ cần tìm.

Dé tìm biên độ tán xạ / (0), ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger

<small>Khi r >othiy(7)co dạng tiệm cận (1.21).</small>

Trong nhiều trường hợp ta có thé kết hợp phương trình Schrodinger (1.34) và các điềukiện biên (1.21) vào một phương trình tích phân. Điều này có thê thực hiện được nếu ta

sử dụng hàm Green của phương trình Schrodinger tự do G, (7, 7), mà nó thỏa mãn

<small>phương trình</small>

(E-H, tứ)@ (R7 )=[E+#TAxie ]@(n7)=ð{r=r}(138)

Ta cho AG, (7.7) =-q”Œ, (7.7) , rồi thế vào (1.35) ta được

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Nhờ có G, (F fF ) phương trình (1.34) sẽ chuyên thành phương trình tích phân

vy; (7)=9; (7)+[G (77 )V (Fy; (7 Jar, (1.38)

ở đây ø, (z) là nghiệm bat kỳ của phương trình Schrodinger tự do,vi dụ: ø; (7) = ef

Bay giờ, ta chứng minh y, (7) được xác định bằng phương trình (1.38) khi z->œ có

F te (1.39)

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Khi lấy tích phân theo df’ ta chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng r{r)(xem hình 1). Khi r > cta có thé tính gần đúng như sau

ự,(z)=e# 2 1 2m e"V(F ly, (7 ar. (1.41)

Dai lượng k = k— là vectơ sóng theo hướng của vectơ bán kính, và nó đặc trưng cho

hướng truyền các sóng cầu phân kỳ.

<small>Hình 1.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.39)</small>

So sánh (1.41) và (1.21), chúng ta thu được biéu thức cho biên độ tán xạ

f(9)= ƒ<“rữ}w;()œ.a42)

Biểu thức (1.42) cho ta biên độ tán xạ f (8), nếu biết nghiệm của phương trình

Schrodinger ự„ (z'). Lưu ý, trong biểu thức (1.42) ta cần hiểu y, (z') khơng phải tồn

bộ khơng gian, mà chỉ ở vùng tác dụng của thế V(F').

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

1.3. Lời giải của phương trình Schrodinger trong gần đúng eikonal

Chúng ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.34) có dạng song phang mà trong quá trìnhtương tác với thé năng sẽ xuất hiện thêm số hạng dịch pha bésung z(7). Ta thu được

ự()=e”z), (1.43)

<small>Thay (1.43) vào (1.34), ta có phương trình chính xác cho y</small>

rổ ays” [2Sy +(92) |+yŒ)=0 (1.44)

Néu ta gia thiét rang xz(7) là ham nhăn của toa độ, như ta đã làm khi rút ra phương

<small>trình eikonal trong quang học (1.12) thi trong (1.44) ta sẽ bỏ qua đạo ham bậc hai của</small>

<small>+. Như vậy trong cơ học lượng tử, phương trình tương tự với phương trình eikonal là</small>

2#Šz(r)+(Šz()} =_^ y(z). (1.45)

So sánh (1.43) với (1.4) ta có vai trò eikonal bây giờ là đại lượng #7 + z(?).

Nếu năng lượng của các hạt va chạm là lớn, thì ở về trái (1.45) SỐ hạng thứ nhất

2kVz (Vz) là vượt trội, va khi đó

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Khiz=-œ thì chi tồn tại sóng tớiự(7)=e“. Từ phương trình (1.43) ta suy ra

<small>tan xa đ có thé lây với độ chính xác 1 vng góc với & ,, tức là vng góc với trục Oz.</small>

Trong trường hợp này,tích phân theo đztrongbiêu thức (1.50) là của một vi phân toànphan bởi vi GF đ7, nên không phụ thuộc vào z (các vecto nay là vecto hai chiều,vng góc với trục z và chúng ta ký hiệu bằng L). Lay tích phân theo dz trong (1.50),

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

70) “Sạn [J axdveTMTM <sup>|v (x,»,z)e ”” a</sup>

== 2n [are Í[- hy yee

= san Ỉ d°?b,eth ” Jjrœuz) 4

ở đây b, =(x,y,0); kan ae .

Đối với các thế năng có tính đối xứng thì trong (1.51) có thé lấy tích phân theo góc

<small>phương vi. Sử dụng cơng thức tích phan Bessel</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Trong công thức (1.51) ta thay

<small>e ”” —l=const,</small>

^ + H ^ 0 < b <r

nén khi chuyén hé ii} dxdy = ff bdbdg 0<ø<2z

=/(9)= ⁄ ,#) = const [ bab | dọe*hw%# = —— const| babar, (qb)

=/|# ,k)=-ik [bdbJ, (4b)|e ”” -1l, (1.54)

với q=2ksin— , Ø là góc giữa k và k'.

Biểu thức (1.51) cho phép giải thích vật lý dưới đây (xem hình 2). Từng phần của sóngphang tới, đi qua vùng tác dụng của thé với thơng số ngắm b, sẽ nhận sự dịch chun

củapha,mà nó tỷ lệ với tích phân dọc theo quỹ đạo thắng, song song với trục z:

[r(B.z)&'.

<small>Hình 2. Việc lấy tích phân trong pha eikonal trong công thức (1.51)được tiến hành dọc theo đường cham cham,</small>

<small>I- vùng tương tác của thé, II- sóng phẳng tới.</small>

Bây giờ chúng ta sẽ tìm các điều kiện cho thế năng, năng lượng của hạt bị tán xạ và

góc tán xạ, để cho biểu thức (1.51) là đúng. Đề đạt được mục tiêu này, ta cần thiết lập

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Nếu đưa vào khoảng cách đặc trưng là a, mà ở đó thế năng tác dung V(F) sao cho

alVV (7) ~V thì bat đăng thức thu được sẽ tương đương với

<small>A ahavka l1. (1.57)</small>

Như vay,(1.57) là điều kiện cần tìm cho thé năng.

Bây giờ ta đánh giá số hạng thứ hai dé có thé bỏ qua

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Vậy (1.60) chính là điều kiện can tìm cho góc tán xa @ .

Như vậy, điều kiện để áp dụng gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế là (1.57) và(1.59). Nếu có bé sung điều kiện góc tán xạ (1.55) thì biên độ tán xạ có thể biểu diễn

<small>eikonal ở dạng (1.51) hay (1.54).</small>

Khi rút ra biéu diễn eikonal cho biên độ tán xạ, ta đã khơng cần đặt điều kiện cho théngồi phải là hàm thực. Như đã biết ở một số trường hợp, ví dụ như tán xạ lên hệ phứctạp (hạt nhân nguyên tử), ta cần nghiên cứu thế năng phức mô tả tương tác hiệu dụng

của hạt với bia phức tạp có sự hấp thụ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Nếu thế là phức, thì với mật độ dịng xác suất (1.22) ta khơng thẻ viết định luật bảo

div == Inv (F)y" (Fw (7). (1.61)

Do tương tac vớibia, hạt có thé tan xa đàn hồi hay hap thu, thì div7 phải bằng khơng,hoặc là số âm. Suy ra ImV (F)<0.

Trong trường hợp thé là hàm phức, theo công thức (1.51) pha eikonal cũng là một số

Chúng ta dẫn ra biéu thức dé cho tiết diện tán xạ khi biên độ được biểu diễn ở dang

eikonal (1.51). Ta viết pha y dưới dạng phức

o, = 2k [hab fad, Jin 60467, [2 sin 5] Jy 2%, sin Sle -1)(e"") -1)

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Vùng lấy tích phân theo dx có thé coi xét đến vô cùng”

[rate (dx)Jy (box) frets, (x) Jy (b5x) = £6 (b =ð,)(1.68)

Oy = 2z |b,db, foae, „ö(h —b,)(e70) -1)(ez2 — )

= 2z |b.db, (zz= -1)(e"TM -1) (1.66)

Chuyén ky hiéu b, >bva đặt y(b)= yx, +iz,, ta có

er He

o,, =4Z[bdb(L—e Z cos z,)—2z [bdb(L—e ”“.).(1.68)

Số hạng cuối của (1.68) chính là tiết điện tán xạ khơng đàn hồi

Øy„= 2z |bab(I —e?). (1.69)

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Tiết điện tán xạ toàn phần theo (1.68) và (1.69) bằng

Ơ,=Ø,+Ø„= 4z | bdb(1 —e* cosy, ) (1.70)

Từ các biểu thức cho biên độ tán xạ (1.54) và tiết điện toàn phan (1.70), dé dàng chứng

<small>minh được định ly quang học</small>

Ø, “...a cos Z, )= 4z [bdb(1-e* cos z, ).(1.74)

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Xét vi dụ tan xạ trong giếng thé hình cầu có bán kính z

đỡ _ ; (2 4 _ 2 Ji (a4)

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

ở đây g= 2ak sin,

Biểu thức này quen thuộc với chúng ta trong quang hoc. Nó xác định cường độ tan xạánh sáng khi nhiễu xạ lên hình cầu (nhiễu xạ Fraunhofer). Lấy tích phân (1.79) theo

=za7 [1-75 (2ak)- J7 (2ak) | ma’ +04}, ak —y œ.

Tiết diện tán xa không đàn hồi (hấp thụ) theo (1.69) được xác định bằng biểu thức sau

C., ~ 2nfpar| 1exp( Fe a?—bˆ lo I-sp0~« “(I+4p)]J,(0180

ở đây? = “ . Col 7 1 như trước đây, chúng ta thu được

Oi, =O. _ =Za”(1.82)

<small>Đây là trường hợp riêng của nguyên lý Babine trong quang học.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<small>Chương 2</small>

CONG THỨC EIKONAL CHO BIEN ĐỘ TAN XA THE

BANG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHAN PHIEMHAM

<small>2.1. Ham Green cho hạt trong trường ngoai[4]</small>

Khi giải thích biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ, như đã nói đến ở chương 1, ta cóthé coi các hat tán xạ chuyển động theo các quỹ đạo thăng. Để nhận được biểu diễn

eikonal này trong bài toán tán xạ, người ta sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm

<small>trong cơ học lượng tử do Feynman khởi xướng.</small>

Biên độ xác suất dời chuyền một hệ lượng tử từ trạng thái a đến trạng thái b được xácđịnh bằng tổng (hay tích phân) theo tất cả các quỹ đạo trong không gian pha {q(t)} của

biểu thức esp{2.s[z0)| , trong đó S[4]= [z[a6).40)}m là tác dụng cơ điển của hệ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<small>Thay E thành £+ié trong (2.1) cho phép nhận được ham Green mà nó chỉ chứa sóngphân kỳ khi ro.</small>

Áp dụng biểu diễn giả thiết của Fock viết toán tử ngược dưới dạng hàm mũ, ta thu

—

—

NE”

ở đây ø(£)=-—Ý, (é).

<small>Hàm mũ trong công thức (2.2), mà ở lũy thừa của hàm này có các đại lượng khơng</small>

giao hoán Ÿ?và v(F), được hiểu như T- hàm mũ theo chi số thứ tự ¿.“Gỡ rối” biểu

thức (2.2) không thê thực hiện được nếu khơng khai triển nó thành chuỗi, vì ở lũy thừa

Ta có thé hạ bậc tốn tử V ở lũy thừa hàm mũ (2.2) được nhờ phép biến đổi hình thức

mà nó chứa tích phân phiém hàm ba chiều.Trongcông thức (2.2) ta xét thừa số

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

ae ) .27(6) ~ hộ

—+V(6) Jase | Í [ae F276) as]

Ta sử dung tích phân Gauss dé tim C"

Từ biểu thức của tích phân Gauss

mm (x+b) ‘are [= Ísel —ax’|

<small>(tích phân này khơng phụ thuộc vào b)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

ở dayC,' = [Tle if ins.

seu 12 [meres Joo | reas 20 -#),

Jes eres awry

oday eff? | P(@) pews] là toán tử dich chuyên ham toa độđi mộtđoạn ‘a | P(đ)đ£

, “sap xếp” lại biểu thức toán tử. Hàm Green của phương trình Schrodinger ở trường

ngồi V (7), có thể viết dưới dang

G(7,7")=- lực (E+iz) slIt*6 oho npr] nde

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

G(Z,Z')= (5 pete, ine Z0ep| [20040001 |.

Jacobian của phép biến đổi này không phụ thuộc vào biến phân phiém hàm mới x (t)

[Zena " =da |2 |a(r—ryo Ø(¡"~?)|

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

© (2)

>oa'(t)= 5Thế (2.7) vào (2.5), ham Green G(7,7") có dạng

2.2. _ Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thang[5-8], [11-13]

Biên độ tán xạ liên quan tới hàm Green của phương trình Schrodinger đầy đủ

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

<small>Ta có thêthực hiện cách làm nêu trên như sau:</small>

<small>Trước tiên ta tìm ảnh Fourier G(7,7'')</small>

ø#) =G(k,k') =Gay farar'e®TM G(F,F) 2.11)

(oxy e sjII# (7)

<0 ban-[ 7s W 2 freon ls} [ren

Ta cho 7'= z+n |Ê filnan Khi đó

—ik'F +iKF'=—iK'F +i.|

Z—¬

Km]

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

(IG#)=@Œ,#)= Nuớn | lặnh ef [I“0)

-enljø (n)dn “iy [re FE fata 2a (2)

Néu trong (2.16) ta cho V = 0 ;Œ|J]J#2(n) Jes if

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Luu ý: Đối số của V lay tích phân theo nên ¿ chạy từ0—>z

Khi é<ø thì cumkO(a—)+k'0(E-a)=k (trước tán xa)Khi >a thì cụm#Ø(z-£)+k'Ø(£@—øœ)=' (sau tán xa)

Xét fen me =exp| i(k —k)F+ if oO inn (2.22)

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

2 ir 2 i RY) h_. i, _ J! 32

B® (m)+5 8 (n-a)(k-K) +2 =5(n)8(n=z)(W=#)=#(n)

Ha. Flot Ete)

Pa: "exp i(k —k')| ¥-n [a(n Jays Ee a)pen z)(# £'Ì dn

Iơ~Gj|È) = “lee on nk TL (r-az)(ˆ -F)}s

xC,, 4 (nso eft a exp| i(k 9# | V(ä)x

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

*2esl¬2j[s- nJ2|ptn Jan ( c-z)[felz~2)‹E(zz)||2ẻ,

Thay đổi thứ tự lấy tích phân theor và ø và giả thiết z =z, +a, ta có

[ar[az =[dz[ar =[dafar,

Mặt khác, khi đổi biéno,(7) =a@,(n +a) thì

fe (n)dn fo (n-a)d(n a)=| o; (q)dn.

Iø~Gj|#) =-|Mz[an on ne Je foo [z- ve Js

n Hà “5 eID jII#s. ines} aon [rộ V(X)exp| i(k (k

-con vz m2] [2.(n Jan ef O(-&,)+k (sy) 46}

Trong (2.26), đổi biéné, thành , ta được

</div>