ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

PHẠM NGỌC MINH CHÂU

GẦN ĐÚNG EIKONAL
TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VI BA

Hà Nội – 2016


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Cao Thị
Vi Ba, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể
hoàn thành khóa luận này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học
tập tại Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý Lí
Thuyết.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy, cô và toàn thể
cán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung,
những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi. Tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và trao
đổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi
những thiếu sót,tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và
các bạn.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2016
Học viên

Phạm Ngọc Minh Châu


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU……………………………………...................................................1
CHƢƠNG 1. BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH
PHÂN PHIẾM HÀM………………………………………………..............4
1.1.Hàm Green hai hạt…………………………………………………...........4
1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman………….........9
CHƢƠNG 2. BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN
PHIẾM HÀM………………………………………………………….........12
2.1.Biên độ tán xạ hai hạt………………………………………………........12
2.2.Tính các tích phân phiếm hàm………………………………………......20
CHƢƠNG 3. BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI
HẠT Ở VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO.........................................................23
3.1.Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt……………………….......23
3.2.Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt……………………………….......28
KẾT LUẬN…………………………………………………………............30
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………....31
PHỤ LỤC……………………………………………………………..........34


MỞ ĐẦU


Lý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được
đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và đã được sử
dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm cho tán xạ các hạt với năng
lượng lớn. Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm
truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của các hạt trao đổi là nhỏ. Phép gần
đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ hạt năng lượng cao và
được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng .Vậy biểu diễn eikonal liệu có thể ứng
dụng trong lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề này cũng được các nhà
vật lý nghiên cứu trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] và phương trình chuẩn
thế [13].

Mục đích của Luận văn: Nghiên cứu tính đúng đắn của phép gần đúng
eikonal bằng phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét quá trình tán xạ hai
hạt trong mô hình tương tác Lint  x   g 2  x    x  [7]. Phương pháp tích phân phiếm
hàm trong toán học còn được gọi phương pháp tích phân liên tục, trong vật lý nó
được gọi là phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân đường.

Phƣơng pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức của hàm Green một hạt ở
trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi tìm hàm Green hai hạt [719]. Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu được biên độ tán xạ của
hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Vấn đề đặt ra là việc tính toán
tích phân phiếm hàm bằng cách sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng ở vùng năng


lượng cao và góc tán xạ nhỏ liệu trong lý thuyết trường lượng tử có thu được biểu
diễn eikonal cho biên độ tán xạ giữa hai hạt?

Nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong ba chương, kèm theo tài
liệu tham khảo và năm phụ lục.
Chương 1. Biểu diễn hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân

phiếm hàm. Trong mục §1.1, bằng cách sử dụng biểu thức chính xác cho hàm
Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi thu được
biểu thức cho hàm Green hai hạt. Việc phân tích ý nghĩa của biểu thức cho hàm
Green liên quan đến các thừa số được bàn luận tại mục §1.2.
Chương 2. Tính biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm. Bằng cách
chuyển tới mặt khối lượng các hàm Green nêu trên, chúng tôi thu được biên độ tán
xạ hai hạt với nhau dưới dạng tích phân phiếm hàm tương ứng. Mục §2.1 dành
cho việc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm. Việc tính
các tích phân phiếm hàm trong gần đúng quỹ đạo thẳng được trình bày tại mục
§2.2.
Chương 3. Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ tại vùng năng lượng
cao. Việc đánh giá các tích phân phiếm hàm sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng dựa
trên ý tưởng các quỹ đạo của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và xung aâlượng
truyền nhỏ là thẳng. Kết quả chúng tôi tìm được các biểu diễn Glauber cho tán xạ
năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục §3.1. Việc tái chuẩn hóa khối
lượng các hạt tán xạ được tiến hành ở mục §3.2.


Kết luận. Chúng tôi tóm tắt lại các kết quả thu được trong Luận văn và thảo
luận cách tổng quát hóa phương pháp này cho những trường hợp tương tác các hạt
phức tạp hơn.
Trong Luận văn chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và
metric Feynman .
Các véctơ phản biến: x    x0  t , x1  x, x2  y, x3  z  .
Các véctơ hiệp biến: x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z  .
Tenxơ metric:

g 

g




1 0 0 0 


0 1 0 0 


.
 0 0 1 0 


 0 0 0 1

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.


CHƢƠNG 1

BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT
DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
§1.1 Hàm Green hai hạt
Muốn tìm biên độ tán xạ chúng ta sử dụng công thức rút gọn mà nó liên hệ yếu
tố S-ma trận với trung bình chân không của tích các toán tử trường [11]. Đối với
biên độ tán xạ của hai hạt, công thức này có dạng
4
 2   4  p1  p2  q1  q2  T  p1 , p2 ; q1 , q2  

2

 
 
 i 4   dxk dyk K xm1 K xm2  0 | T   x1    x2    y1    y2   | 0  K ym1 K ym1 ,

(1.1)

k 1

trong đó p1 , p2 và q1 , q2 là các xung lượng tương ứng của các hạt thuộc trường








trước và sau tán xạ, K xm   i 2 2 , x  m2  , i  1, 2 , và K ym   i 2 2 , y  m2  , i  1, 2 , còn thừa
i

i

i

i

số chứa T-tích ở vế phải của công thức (1.1) chính là hàm Green hai hạt
G  x1 , x 2 ; y1 , y2  của trường

  x


G  x1, x2 ; y1, y2   0 | T   x1   x2   y1   y2  | 0  .

(1.2)

Hàm Green cho hai hạt theo công thức [6]
 i
2 
G  x1 , x2 ; y1 , y2     exp    D 2  
 
 2
 G  x1 , y1 |   G  x2 , y2 |    G  x1 , y2 |   G  x2 , y1 |    S0  .

(1.3)

Lưu ý S0   là giá trị trung bình của S-ma trận trên các thăng giáng chân không
của trường “nucleon”   x  dưới ảnh hưởng của trường ngoài meson   x  và đặt
bằng S0    1


i 2G  x1, x2 ; y1, y2 |    G  x1, y1 |   G  x2 , y2 |    G  x1, y2 |   G  x2 , y1 |  
(1.4)
trong đó (xem Phụ lục A.5):


G  x, y |    i dse



 im02 s


0

s
 s 
 



v
exp
ig

x

2


d


  0  0     d  

 

4

s

s



   x  y  2 ( )d  .
0


4

(1.5)

Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức là loại bỏ thành phần G  x1 , y2 |   và G  x2 , y1 |   , ta
thu được biểu thức sau:
i G  x1 , x2 ; y1 , y2 |    G  x1 , y1 |   G  x2 , y2 |  
2

i

2 

2

  ds e
n 1 0

n

sn
 sn 
 
  vn  0 exp ig 0   xn  2 n   d dn  


n

  (1.6)
sn


4
   xn  yn  2  vn   d  .


0



 im02 sn

4

sn

Kết quả ta có hàm Green hai hạt trong biểu diễn tọa độ:
i

G  x1 , y1; x2 , y2   C  exp     z1  D 1  z1  z2   z2  dz1dz2  
2

s
sn


 
 n 

  dsn exp ig    xn  2  n   d d n  


n 1 0
n

 
 0 

2 

sn


   xn  yn  2  vn   d  ,


0


4

(1.7)


ở đây m0 là khối lượng trần của “nucleon”. Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu thức
sau dưới dạng:

s
sn

 
 n 

exp
ig

x

2


d


d n 


   n

n


n 1
n
 0 

 


2

s
sn



 n

4
  exp ig  d n  dz  z    z  xn  2  n   d  


n 1
n



 0

2

2





(1.8)


2

  exp ig  dz  z  jn  z    expigjn  expig  j1  j2  ,
n 1

n 1

với
sn


jn  z    d n  z  xn  2  n   d  .


0
n


sn

4

(1.9)

Trong mô hình của hạt vô hướng jn  z  mô tả mật độ không gian của “nucleon” khi
nó chuyển động theo quỹ đạo cổ điển. Song trong trường hợp ở đây jn  z  được gọi
là mật độ dòng. Sử dụng công thức tích phân Gauss dưới dạng phiếm hàm [12] ta
có:
D

 i

i

1
exp


A


j


exp






  jAj  ,
 CA  2

2


trong đó
D   d  x 
x


 A     dz dz   z  A  z
 j    dzj  z   z .
1

1

1

Ta nhận được:

2

1

1

 z2   z2 

(1.10)


sn
 sn 
 
i
 2
1
C  exp     z1  D  z1  z2   z2  dz1dz2    exp ig    xn  2  n   d d n .



2
 n1
n
 
 0 

i

 C  exp     z1  D 1  z1  z2   z2  dz1dz2  ig   j1  j2  
2

 i

 exp    ig  j1  j2   D ig  j1  j2    
 2

2
 ig 2

  exp 
jn Djn  expig 2 j1Dj2 .
n 1
 2


(1.11)

Từ (1.8) và (1.11) ta thu được:
sn


2
 ig 2

G  x1 , y1; x2 , y2      dsne im0 sn   4vn  exp 
jn Djn  
0
n 1  0
 2

sn


4
  xn  yn  2  vn   d   exp ig 2 j1Dj2  ,


0

 
2

chú ý rằng: jn Djm   dz1dz2 jn  z1  D  z1  z2  j

m

(1.12)

 z2 


Xét biến đổi Fourier cho hàm Green hai hạt:
2

G  p1 , p2 ; q1 , q2     d 4 xn d 4 yn expi  p n xn  qn yn G  x1, x2 ; y1, y2 .

(1.13)

n 1

Thay công thức (1.12) vào (1.13) ta có:
G  p1, p2 ; q1, q2  
sn
 4 4 i p n xn qn yn  
 ig 2

 im02 sn
4
 vn  exp 
    d xn d yne
dsne
jn Djn  


0
n 1 
 2

0
2


sn


   xn  yn  2  vn   d   expig 2 j1Dj2 


0


4


sn
 4 
 ig 2

 im02 sn
4
 vn  exp 
    d xn  dsne
jn Djn   d 4 yne i p n xn qn yn  

0
n 1 
 2

0
(1.14)
sn




  4  xn  yn  2  vn   d   exp ig 2 j1Dj2 .


0


2

sn


Tính tích phân theo d yn , lưu ý hàm Delta Dirac   xn  yn  2  vn   d  , ta có:


0


4

4

sn


d
y
exp


i
p
x

q
y

x

y

2
v

d








 
n
n
n
n
n
n

n
n

0



4

4

sn


 
 

 exp i  pn xx  qn  xn  2  vn   d   



0
 


 


sn





 exp i  pn  qn  xn  2iqn  vn   d .


0



(1.15)

Ta thu được hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng:

G  p1 , p2 ; q1 , q2  
sn




 4

2
   d xn  dsn exp  im0 sn  i  pn  qn  xn  2iqn  vn   d   


n1 
0
0





2

sn
 ig 2

  4 vn  exp 
jn Djn  exp ig 2 j1 Dj2  ,
0
 2


(1.16)

ở đây chúng tôi sử dụng ký hiệu

 j Dj   dz dz j  z  D  z
n

k

1

2 n

1

1


 z2  jk  z2  .

(1.17)

Biểu thức (1.16) là biểu thức tổng quát cho hàm Green hai hạt dưới dạng tích
phân phiếm hàm. Nếu chúng ta khai triển biểu thức (1.16) theo hằng số tương tác
g 2 và lấy tích phân phiếm hàm đối với  , nó sẽ đưa đến tích phân dạng Gauss,


chúng ta sẽ nhận được chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm Green hai hạt

G  p1 , p2 ; q1 , q2  .

§1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thƣờng cho hàm Green hai hạt
tƣơng ứng với giản đồ Feynman
Dựa vào hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm,
thực hiện phép lấy trung bình theo trường ngoài  , ta thu được biểu thức (1.16)
chính xác cho hàm Green hai hạt G  p1 , p2 ;q1 , q2  dưới dạng tích phân phiếm hàm ở
mục trên. Viết lại biểu thức (1.16) ở đây

G  p1 , p2 ; q1 , q2  
sn




 4

2

   d xn  dsn exp  im0 sn  i  pn  qn  xn  2iqn  vn   d   


n1 


0
0


2

 ig 2

  vn  exp 
jn Djn  exp ig 2 j1 Dj2 .
0
 2

4

sn

(1.16)

Phân tích biểu thức (1.16) cho hàm Green hai hạt thành chuỗi nhiễu loạn thông
thường theo hằng số tương tác g 2 và lấy các tích phân phiếm hàm, ta thu được
kết quả tương ứng với chuỗi các giản đồ Feynman quen thuộc cho hàm Green hai
hạt (1.16) biểu diễn ở hình 1 . Các thừa số trong (1.16) có thể giải thich như sau:
 ig 2


i/ Thừa số exp 
j1Dj2  trong công thức (1.16) mô tả tương tác hai hạt qua
 2


việc trao đổi các meson ảo.

t

p1
p2

q1
q2

p1





q1

s



p2


q2








Hình 1. Mô tả tương tác giữa hai hạt bằng việc trao đổi các meson ảo với
nhau
 ig 2

ii/ Thừa số exp 
jn Djn  trong công thức (1.16) tương ứng với các bổ chính
 2


cho các hạt tán xạ, và nó là các biểu thức phân kỳ dạng  n m2   A    , n  1, 2 . Để
khử phần phân kỳ này ta tiến hành tái chuẩn hóa khối lượng của các hạt tán xạ.
 ig 2

Điều này có nghĩa ta phải tách từ thừa số exp 
jn Djn  này các số hạng
 2

 n m2   A    , n  1.2

và tiến hành tái chuẩn hóa lại khối lượng của hạt tán xạ.


Việc này được thực hiện ở chương sau, kết quả khối lượng của hạt tán xạ sẽ được
tái chuẩn hóa bằng khối lượng đo trên thực nghiệm mR , cụ thể mn, R  mn, 0   n m2 ,
trong đó m0 là khối lượng “trần” của hạt tán xạ, tức là khối lượng khi chúng chưa
tham gia tương tác và khối lượng cần được tái chuẩn hóa

p1
p2

q1









q2

Hình 2. Mô tả các hạt tán xạ tương tác với chân không vật lý
của trường boson qua các bổ chính cho các hạt tham gia quá
trình tán xạ nhưng không tương tác giữa các hạt với nhau.




 ig 2

iii/ Các thành phần exp 

ji Dji  trong công thức (1.16) tương ứng với các bổ
 2


chính vòng cho quá trình tán xạ hai hạt, còn biểu thức liên quan tới trao đổi một
meson ảo giữa hai hạt tán xạ là expig 2 j1Dj2  có kể thêm các bổ chính cho các
hạt tham gia quá trình tán xạ. Các giản đồ Feynman mô tả quá trình tán xạ tương
ứng được mô tả bằng hình 3.

p1

q1

p2


















q2













Hình 3. Tán xạ hai hạt và các giản đồ Feynman theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến


CHƢƠNG 2

BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM
HÀM

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu việc tách các điểm cực từ hàm Green hai
hạt để thu được biên độ tán xạ hai hạt tương ứng dưới dạng tích phân phiếm hàm
trong mục §2.1 và thảo luận các cách tính gần đúng – gần đúng quỹ đạo thẳng hay
còn gọi là gần đúng eikonal ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở
mục §2.2.

§2.1. Biên độ tán xạ hai hạt

Từ công thức (1.1) ở chương 1, ta có công thức tính biên độ tán xạ cho hai hạt
trong biểu diễn xung lượng như sau:
4
 2   4  p1  p2  q1  q2  iT  p1, p2 ; q1, q2  

 2 lim
2

pn ,qn m

2

 p

n 1,2

2
n

 m2  qn2  m2  G  p1 , p2 | q1 , q2 

sn

 2


2
2
2
2

    pn  m  qn  m   dxn  dsn exp  im0 sn  2iqn  vn   d  i  pn  qn  xn .



n 1 
0
0


2


 ig 2

.  vn  exp  
jn Djn   expig 2 j1Dj2 .
0
 2

sn

4

(2.1)

Để lấy giới hạn p12 , p22 , q12 , q22  m2 , ta tách các cực từ hàm Green hai hạt bằng
hàng loạt những phép biến đổi để rút ra từ hàm Green hai hạt các thừa số có dạng

( pn2  m2 )1 ,(qn2  m2 )1 , n  1,2 . Trong lý thuyết nhiễu loạn sự triệt tiêu các
cực điểm này là rõ, vì biên độ được xây dựng bằng các biểu thức của hàm truyền tự

do, song việc sử dụng hàm Green bằng các phương pháp khác với lý thuyết nhiễu
loạn thì việc tách cực khỏi hàm Green chứa một số khó khăn nhất định. Ở đây
chúng ta quan tâm tới cấu trúc của biên độ tán xạ một cách tổng thể, khi đó việc
tiến hành cách tiếp cận đúng trên mặt khối lượng có một vai trò quan trọng. Nhiều
phương pháp gần đúng khi chuyển sang mặt khối lượng trước đây, chúng có thể là
hợp lý nếu xuất phát từ góc độ vật lý, song làm dịch chuyển các vị trí của các cực
của hàm Green và như vậy cách tìm biên độ tán xạ về mặt toán học là không
chuẩn, không đúng. Trong luận này chúng ta sẽ sử dụng việc tách các cực của hàm
Green bằng việc tổng quát hóa phương pháp được đề xuất trong [7,8] để tìm biên
độ tán xạ trong mô hình Lint  g 2  x   x  , trong đó đóng góp của các vòng kín
của trường “nucleon”   x  được bỏ qua.
Ta loại bỏ trong biểu thức (2.1) đóng góp của giản đồ Feynman mô tả sự lan
truyền của các hạt không tương tác giữa các “nucleon”, vì chúng không cho đóng
góp vào biên độ tán xạ. Để làm được việc này trong công thức (2.1) ta thay thừa số
expig 2 j1Dj2  bằng hiệu



exp ig

2

 j Dj   1  ig
1

2

1

2


j1Dj2  d  exp  i g 2 j1Dj2 .
0

(2.2)


Ta có:
4
 2   4  p1  p2  q1  q2  iT  p1 , p2 ; q1 , q2  
 lim  pn2  m02  qn2  m02  G '  p1, p2 ; q1, q2  ,
p , q m
2
n

2
n

(2.3)

2

với:
sn



2

  d x  ds e


G '  p1, p2 ; q1, q2  

 im02 sn  2iqn

4

n

n 1

 vn  d i  pn qn xn
0

n



0

1
sn
 ig 2

4


  vn  exp 
jn Djn  j1Dj2  d  exp ig 2  j1Dj2 .
0

 2

0





(2.4)
Tiếp tục tính công thức (2.2)



exp ig

2

 j Dj   1  ig
1

2

1

2

j1Dj2  d  exp  i g 2 j1Dj2 
0

s2





 
4
4
 ig   d1  d 2  dz1dz2  z1  x1  2 v1   d  D  z1  z2   z2  x2  2  v2   d   




0
1
2



 
 0
s1

s2

s1

2

1


 d  exp  i g 2 j1Dj2 
0

s
s2
s1
s2
1



1

 ig   d1  d 2 D  x1  2  v1   d x2  2  v2   d    d  exp  i g 2 j1Dj2 .

 0
0
1
2
0




2

(2.5)
Thay biểu thức (2.5) vào (2.4), thu được biểu thức cho hàm Green hai hạt trong
biểu diễn xung lượng G '  p1, p2 ;q1,q 2  :
G '  p1, p2 ; q1, q2  



n


sn

 im02 sn  2 iqn  vn  d i  pn  qn  xn
2
sn


ig
0
 ig 2    d 4 xn  dsn  d n   4vn  e
exp  
jn Djn   

0
n 1 
 2
 
0
0


s

2


s1
s2

1
D  x1  2  v1   d x2  2  v2   d   d  exp  i g 2 j1Dj2 .

0
1
2



(2.6)
Sử dụng đồng nhất thức sau
2 

2 

sk



  ds  d    d  ds ,

n 1 0

n

n


0

n 1 0

n

k

(2.7)

n

và thay thế các biến phiếm hàm và các biến số thông thường sau
 si  si'  i

si
 '
 xi  xi  2  vi   d
i

v     v     q    p
  i   i
i
i 
 i
 x1'   y  x  2
,
 '
 x2   y  x  2


(2.8)

(2.9)

và lưu ý
 y
d 4 x1' d 4 x2'  d 4 xd 4   .
2

(2.10)

Áp dụng (2.8), (2.9), (2.10) ta có các công thức (xem (B.1) và (B.6) ở phụ lục B):


 sn

2
d
v

exp

i
v





q




p
d














n
n
n
0  n
s
n


n

 4 vn  

s
0
2
 n

4
d
v

exp

i
v





q



p
d















n
n
n
n


n

 0

4

sn
0




4
  vn  exp 2ipn  vn   d  2iqn  vn   d  ipn2 sn'  iqn2 n  ,
 n
0

 n




'

sn'

(2.12)

và
sn

i  qn  pn  xn  2iqn  vn   d 
0

sn'

 i  qn  pn  x  2ip s  2iq   2ipn  vn   d  2iqn
'
n

2 '
n n

2
n n

0


0

 v   d ,
n



(2.13)

n

và:
i  qn  pn  xn'  i  q1  p1  x1'  i  q2  p2  x2' 

(2.14)

y
 i  q1  q2  p1  p2   i  q1  p1  x.
2

Thay (2.12), (2.13) và (2.14) vào (2.6) ta được:
iy
 y


G '  p1, p2 ; q1, q2   ig 2  d 4 xd 4   exp i  q1  p1  x    p1  p2  q1  q2  
2
2




sn'

 ig 2

'
4


D  x     d n  dsn   vn  exp  
jn Djn  .exp im02  sn'  n   2ipn2 sn' 
 n
n 1  0
 2

0
2




sn'

2iqn2 n  2ipn  vn   d  2iqn
0

0

 v   d  ip s

n



2 '
n n

sn'

 iqn2n  2ipn  vn   d 

n

0

1



 2iqn  vn   d  . d  exp  i g 2 j1Dj2  ,

 n

 0
0

(2.15)

trong đó




'
jn  z    d  z  xn  2 vn   d  2  pn    qn     .

0




4

Bằng việc thay biến xi   y  x  2 và xi   y  x  2 trong công thức (2.15) và thực
hiện phép lấy tích phân đối với d 4 y chúng ta có thể tách hàm delta
  4  p1  p2  q1  q2  nhờ định luật bảo toàn năng xung lượng của quá trình tán xạ,

thu được:

d

4

4 4
 y
 iy

  exp    p1  p2  q1  q2      2    p1  p2  q1  q2 . (2.16)
2
2



Thay (2.16) vào (2.15) :
G '  p1 , p2 ; q1 , q2   g 2  2 

4

 p1  p2  q1  q2   d 4 x expi  q1  p1  xD  x .



.   d n  dsn' exp i  pn2  m02  sn'  i  qn2  m02   n
n 1  0
0



2



sn'
 ig 2

4



v
exp


j
Dj
  n  n  2 n n .

1

 d  exp  i g 2 j1Dj2 .
0

Thay (2.17) vào (2.3), ta có:
i  2   4  p1  p2  q1  q2 T  p1 , p2 ; q1 , q2  
4

(2.17)


 g 2  2   4  p1  p2  q1  q2  2 lim
2
4

pn ,qn m

2

p

2
n

 m02  qn2  m02   d 4 x expi  q1  p1  x 


  '
D( x)  dn  dsn exp i  pn2  m02  sn'  i  qn2  m02 n
n 1  0
0



2



sm'
 ig 2

4



v
exp

j
Dj

 
n
n
n
    n  2



1

 d  exp  i g 2 j1Dj2 .

(2.18)

0

Trong biểu thức (2.14) ta tạm thời bỏ qua các bổ chính vòng (xem Hình 2), chỉ
tính đến các giản đồ Feynman khi hai hạt tương tác với nhau ( xem Hình 1). Thực
hiện các phép lấy tích phân theo sn và  n , sẽ cho các cực

q

2
n

p

2
n

 m2 

1

và


 m2  , với n  1,2 ta chuyển sang mặt khối lượng đối với các đường ngoài
1

của các nucleon, đồng thời sử dụng đồng nhất thức [19,21]:


lim ia  dseias  f  s   f    ,

a , 0

(2.19)

0

trong đó f  s  là hàm hữu hạn bất kỳ.
Khi đó:
i  2   4  p1  p2  q1  q2 T  p1, p2 ; q1, q2  
4

 ig 2  2   4  p1  p2  q1  q2   d 4 x expi  q1  p1  xD( x) 
4



 ig 2
 1
4
     n  exp  
jn Djn   d  exp  i g 2 j1Dj2 .


n 1 
 2
 0
2

(2.20)

Như vậy ta có biên độ tán xạ:

T  p1 , p2 ; q1 , q2   g

2

d

4

xD  x  e

 ix q1  p1 

1

 d  S  p , p
1

0

2


| q1, q2 ,

(2.21)


trong đó
 ig 2
1
S  p1 , p2 | q1 , q2      vi  exp 
ji Dji   exp  ig 2  DJ1J 2  

i 1
 2
0
2

4









 x  21  q1 1   p1  1    






2




    i  N exp ig 2   d1  d 2 D  2 2  q2  2   p2   2     , (2.22)

i 1




0
 0


 2   1   d  2   1   d  

 1
 
1


trong đó N là phần đóng góp bổ chính cho các hạt tán xạ:
1

 ig 2 




d

d

D

2
q




2
q

p

 1 1      d  
1 
2
1 1
2

 2 

2
 ig 2



 
N  s, t   exp 
ji Dji   exp 
.
1

2 


 2

 ig

 2  d1  d 2 D  2q2  2  1   2  q1  p1      d  

 


2


(2.23)
Ta thu được:

 

jn  k    d exp 2ik  pn n    qn n      vn   d   .
 


0
 


(2.24)

Lưu ý, biểu thức (2.24) xác định mật độ vô hướng của hạt điểm cổ điển, mà nó sẽ
chuyển động dọc theo quỹ đạo cong xn  s  phụ thuộc vào thời gian riêng s  2m và
thỏa mãn phương trình

m

dxn  s 
 p n    qn     n   ,
ds

với điều kiện xn  0  xn , n  1, 2.

(2.25)


Thừa số expig 2 j1Dj2  trong công thức (2.20) mô tả việc trao đổi meson ảo
giữa hai hạt tán xạ. Tích phân d  xuất hiện do việc loại bỏ đóng góp của hat hạt
chuyển động tự do. Khi bổ chính cho các hạt tạm thời bỏ qua thì ta có N  1 trong
các công thức (2.20) đến (2.21). Việc tính các bổ chính cho các hạt tán xạ sẽ dẫn
đến việc tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạ mà ta sẽ xét ở chương sau.

§ 2.2.Tính các tích phân phiếm hàm
Biến số phiếm hàm     được chúng ta đưa vào để tìm nghiệm của hàm
Green ( 1.5) ở trường ngoài, và nó mô tả độ lệch của hạt so với quỹ đạo thẳng.

Việc tính chính xác các tích phân phiếm hàm là không thể, nên ta cần phải sử dụng
các phương pháp tính gần đúng, ví dụ gần đúng quỹ đạo thẳng mà nó dựa trên ý
tưởng các quỹ đạo thẳng của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ
cho tán xạ thế, và các hạt năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ cho tán xạ hai
hat [6,7]. Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman phép gần đúng này tương ứng với việc
tuyến tính hóa các hàm truyền đối với các xung lượng của các meson ảo, có nghĩa
ta thực hiện phép thay thế dưới đây

1
2

 p  k   m2

i i 




1
1

,
 p  m   2 p  ki 2 p  k i
2

2

i

(2.26)


i

ở đây p là xung lượng của một trong các hạt tán xạ, còn ki là xung lượng của
meson ảo trao đổi giữa hai hat. Trong phương pháp tích phân phiếm hàm các phép


gần đúng (2.26) đơn giản nhất là cho biến     diễn tả độ lệch khỏi quỹ đạo
thẳng      0 , điều này tương ứng với

    exp  F   ~ exp  F 0 ,
4

( 2.27)

Xuất phát từ sự hội tụ của giản đồ Feynman, phép gần đúng hợp lý hơn nếu ta giữ
lại hàm truyền gần đúng mà trong đó có ki2 .

1
2

 p  k   m2

i i 




1
1


.
2
 p  m   2 p ki   ki 2 p ki   ki2
2

2

i

i

i

i

(2.28)
Trong phương pháp tích phân phiếm hàm phép gần đúng (2.28) tương ứng với
cách thay thế sau đây

    exp  F   ~ exp  F  
4

(2.29)

F      4   F   .
Khi nghiên cứu các quá trình năng lượng cao, các phép gần đúng kể trên còn được
gọi là gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal. Trong gần đúng này, tích
các xung lượng pki được coi là hiệu quả hơn tích ki k j i  j  trong vùng năng lượng
cao


(1/ 2)b



2 v1   d
0

p1

q1


Hình 4. Sự đúng đắn phép gần đúng ki k j  0,  i  j  trong vùng

 

năng lượng cao s   và xung lượng truyền bé t s  0 được
nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết nhiễu loạn.
Thực hiện việc lấy tích phân theo các biến phiếm hàm chúng ta nhận được biểu
thức đối xứng tương đối tính cho biên độ tán xạ sau
T  p1 , p2 ; q1 , q2  

g2

d

2

 

4

4

xD  x  e

 ix q1  p1 

1

 d e

 i  p1 , p2 |q1 ,q2 

,

(2.30)

0

ở đây   p1, p2 | q1, q2  được gọi là hàm pha , và nó có dạng (xem Phụ lục C)

  p1 , p2 | q1 , q2    g 2  Dj1 j2 

g2
d 4kD(k )e ikx 
4 
(2 )

1

1


 (k 2  2kp )(k 2  2kp )  (k 2  2kq )(k 2  2kp ) 
1
2
1
2
.

1
1


 (k 2  2kq )(k 2  2kq )  (k 2  2kp )(k 2  2kq ) 

1
2
1
2 

CHƢƠNG 3

(2.31)