ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ

VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ

VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
TRONG CƠ LƢỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. CAO THỊ VI BA

Hà Nội – 2016


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tớiTS.Cao ThịVi Ba,người đã tận tình

hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và phòng Sau đại học
của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện
tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà
Nội, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên tôi.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những người thân trong gia đình, bạn bè và
đồng nghiệp đã động viên cho tôi hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những
thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 9 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Hải Yến



MỤC LỤC

Mở đầu ………………………………………………………………………………...1
Chuơng 1. Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ………………………………….4
1.1. Gần đúng eikonal trong quang học………..……………………..................4
1.2. Phát biểu bài toán tán xạ……………………………….…………………...8
1.3. Lời giải phương trình Schrodinger……………………….……………….14
Chƣơng 2. Công thức eikonal và phƣơng pháp tích phân phiếm hàm……….…25
2.1. Hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài ……...25
2.2. Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thẳng………………..........................30
Chƣơng 3. Tán xạ trên thế ngoài cụ thể…………………………………................41
3.1.ThếYukawa ..…………………………………………………...................41
3.2. Thế Gauss………………………………………………………………...45
Kết luận…………………………………………………………………………...….50
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………...52
Phụ lục…………………………………………………………………………...…..54


MỞ ĐẦU
Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1959
trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số
liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao [10].Biểu diễn eikonal này có
thể thu được bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp sóng riêng phần (tìm hàm
sóng ở xa vô cùng), phương pháp hàm Green (giải phương trình vi tích phân) và
phương pháp chuẩn cổ điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổ
điển) [3].Các phương pháp này nói chung dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và khó sử dụng
trong lý thuyết trường lượng tử. Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi muốn giới
thiệu một phương pháp mới, đó là phương pháp tích phân phiếm hàm cho bài toán tán
xạ trong cơ học lượng tử phi tương đối tínhkhông dựa vào lý thuyết nhiễu loạn[9].

Trong vùng tương đối tính và năng lượng cao, việc tổng quát hoá gần đúng
eikonaltrên cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường
lượng tử.Cơ học lượng tử phi tương đối tính là lý thuyết đơn giản nhất mà trong khuôn
khổ của nó với giả thiết tính nhẵn của thế năng, đã thành công trong việc giải thích vật
lý những đặc trưng cơ bản tán xạ năng lượng cao của các hadron. Do mô hình quang
học và phép gần đúng eikonal liên quan đến phép gần đúng tổng quát hơn là phép gần
đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử nên lý thuyết tán xạ thế cho ta cơ sở để đưa
vào Vật lý hiện đại phép gần đúng eikonal hay gần đúng quang học.
Ở đây, chúng tôi trình bày vắn tắt các kết quả vận dụng phương pháp chuẩn cổ điển

hay còn gọi là phương pháp WKB cho bài toán tán xạ năng lượng cao. Phương pháp
WKB được hiểu là phép gần đúng mà theo nó pha tán xạ tỷ lệ với hàm tác dụng cổ
điển.
Phép khai triển theo sóng riêng phần là một phương pháp chủ yếu để nghiên cứu tán xạ
năng lượng cao, song năng lượng hạt càng cao thì ta phải tính một số lượng khổng lồ

1


sóng riêng phần thì phương pháp này trở nên kém hiệu quả. Vì vậy, người ta phải đề
xuất các cách tiếp cận khác để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao của các hạt
cơ bản. Một trong các cách tiếp cận khác đơn giản hơn và rõ ràng về mặt vật lý chính
là biểu diễn eikonal hay biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ[3]. Lưu ý, biểu diễn
eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu
thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao.
Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ năng
lượng cao ở trường ngoài bằng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng
tử.
Luận văn gồm các phần:Mở đầu, Nội dung nghiên cứu được viết thành ba chương, Kết
luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục.

Phần nội dung của luận văn gồm:
Chƣơng 1.Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế ngoài.
 Mục 1.1:Giới thiệu vắn tắt gần đúng eikonal được sử dụng trong quang học.
 Mục 1.2: Phát biểubài toán tán xạ trong cơ học lượng tử.
 Mục 1.3: Lời giải phương trình Schrodinger dừng với thế ngoài ở xa vô cùng, từ

đó rút ra công thức eikonal hay công thức Glauber cho biên độ tán xạ.
Chƣơng 2.Công thức eikonal và phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.
Trong chương này, chúng ta rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ bằngphương
pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử.
 Mục 2.1: Giới thiệu biểu diễn hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger

ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm.
 Mục 2.2: Tách các cực điểm từ hàm Green của hạt ở trường ngoài để thu được

biên độ tán xạ thế.Trong mục này, giới thiệu cách tính gần đúng tích phân
phiếm hàm bằng gần đúng quỹ đạo thẳng và khảo sát dáng điệu tiệm cận của

2


biên độ tán xạ thế ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Điều kiện sử dụng
gần đúng này được thảo luận từ những giới hạn lênthế năng, năng lượng của hạt
và góc tán xạ.
Chƣơng 3.Tán xạ trên thế ngoài cụ thể.
Sử dụng công thức eikonal thuđược hai chương trên cho một số thế ngoài cụ thể.
 Mục 3.1: Nghiên cứu tán xạ thế Yukawa.
 Mục 3.2: Nghiên cứu tán xạ thế Gauss.

Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận những hướng

nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới.
Trongluậnvăn, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị nguyên tử = c =1 và metric Feynman.
Vớivéctơ tọa độ phản biến là
µ

=(x

x

thì các véctơ tọa độ hiệp biến là
ν

xµ = g µν x

trong đótensor metric có dạng

Chƣơng 1
GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ[4]

3


1.1.

Gần đúng eikonal trong quang học

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu gần đúng eikonal trong quang học. Phương trình
mô tả việc truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suất n mà trong trường hợp
tổng quát là hàm số của tọa độ n (r ) và có dạng


ở đây ψ là thành phần bất kỳ của các vectơ E và
Nếu n là không đổi thì nghiệm riêng của phương trình (1.1) là sóng phẳng đơn sắc

Số sóng k =

Giả thiết rằng,phương truyền sóng và biên độ của sóng phẳng trong toàn không gian là
không đổi.
Nếu môi trường không đồng nhất thì
với vectơ sóng (1.3) sẽ không thỏa mãn phương trình (1.1).
Tuy nhiên, nếu bước sóng λ nhỏ hơn nhiều khoảng cách đặc trưng d , mà ở đó chiết
suất

()

thay đổi đáng kể, thì ở khoảng cách nhỏ đó sóng ánh sáng vẫn được coi là n r

sóng phẳng truyền theo hướng vuông góc với mặt sóng. Các hướng như vậy được gọi
là tia.

k


4


Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1) trong trường hợp này dưới dạng
ψ = aeiφ .
Ở những khoảng cách nhỏ của không-thời gian, hàm φ được gọi là eikonal. Ta có thể

khai triển nó thành chuỗi


φ = φ0 + r ∇φ + t

Vì ở những khoảng cách nhỏ của tương tác thế giới vi mô, ψ có thể coi là sóng phẳng
nên so sánh (1.5) và (1.4) với (1.2) chúng ta tìm được
k = ∇φ, ω = −

∂φ

.

∂t

Thay (1.4) vào (1.1) ta được
∆ ( ae iφ ) −

n2 ∂2

( aeiφ ) = 0, (1.7)

c 2 ∂t 2

trong đó
∆ ( ae iφ ) = ∇ (∇(aeiφ ))
= ∇ (∇ ae iφ + iaeiφ
2
=∇

=  ∇ 2 a + 2i∇ a∇ φ + ia∇ 2φ − a (∇φ)2




Tương tự ta có
∂2
∂t

Thế (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta được

2 (ae

iφ


5


a + i 2∇a∇φ + ia
φ − a (∇φ )

Phương trình (1.10) là phương trình chính xác, hoàn
toàn tương đương với phương trình (1.1).
Giả thiết rằng a và φ là các hàm biến đổi chậm của tọa
độ và thời gian, bỏ qua các số

hạng chứa

trình eikonal cho φ
()2

(∇φ)

Thay (1.6) vào (1.11) ta được

2



r



n 




c 

(∇ φ )

Các phương trình (1.11) và (1.12) được gọi là các
phương trình eikonal.
Như vậy, trong gần đúng eikonal các mặt sóng là các
mặt
ψ (r , t ) = const,

còn các tia được hướng theo k = ∇φ.
Lưu ý sự tương tự ở đây, giữa các phương trình eikonal
(1.11) và (1.12) với phương trình Hamilton-Jacobi, mà
trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong



6


1

trường thế ngoài
tường minh vào thời gian, thì phương trình Hamilton-Jacobi có dạng

ở đây E là năng lượng của hạt,
hạt bằng

Theo Vật lý cổ điển, chuyển động của hạt trong hình thức luận Hamilton-Jacobi có thể
so với các mặt sóng mà nó được xác định bằng phương trình
S (r , t ) = const.
2

Quỹ đạo của hạt, như ta có thể suy ra từ (1.1), hướng theo pháp tuyến của các mặt này .

Đối với hạt chuyển động trong trường thế
bởi

Từ (1.15) ta có

1

Sự tương đương giữa phương trình Hamilton -Jacobi và phương trình eikonal được Hamilton

thiết lập vào năm 1834.
2


Lưu ý, tốc độ dịch chuyển u của mặt

E

độ v của hạt và liên hệ với vbằng hệ thức u = mv .

7


Kết hợp (1.17) và (1.18) ta thấy phương trình (1.14) có dạng

(∇S )
So sánh (1.15), (1.16) và (1.19) với (1.6), (1.13) và (1.12), ta suy ra rằng trong cơ học
cổ điển, hàm tác dụng S (r , t )
lượng 2m (E −V (r ))

Như vậy, các tia sáng trong môi trường với chiết suất n (r )
trong trường thế V (r )

tỷ lệ liên hệ giữa n

thể xác định được nó nếu ta chỉ dừng trong Vật lý cổ điển. Nếu sử dụng sự tương tự
này giữa quang học sóng và cơ học cổ điển thì ta có thể viết
(
n

1.2.

2


Phát biểu bài toán tán xạ trong cơ học lƣợng tử

Trước tiên, chúng ta xem xét gần đúng eikonal trong cơ học lượng tử dựa vào việc phát
biểu bài toán tán xạ. Nếusự tán xạ xảy ra trong thế năng có đối xứng cầu thì hàm sóng
ở xa vô cùng gồm sóng phẳng tới và sóng cầu tán xạ có dạng

ψ(r

trong đó, hàm số f (θ ) được gọi là biên độ tán xạ.


8


Theo công thức tính tiết diện ta cần phải tính mật độ dòng của các hạt tới và mật độ
dòng các hạt tán xạ theo công thức tổng quát

=

j

và lưu ý

∇f ( r ) =

Mật độ dòng của các hạt tới
jt
=


2mi
=

2mi

=

trong đó,
Như vậy, mật độ dòng tới jt có độ lớn là

2mi



=

Mật độ dòng của các hạt tán xạ

2mi

là vận tốc của hạt tới.

jt = v (1.25)

j
tx

=



trong đó

9


ψ




tx

ψ



*


tx



∇ψ =




∇ ψtx* =





Thay (1.27) vào (1.26) ta được

tx

=

Trong trường hợp này, mật độ dòng tán xạ
=

Xác suất để cho hạt tán xạ rơi vào góc khối j

chỉ có thành phầ

tx

dΩ , bằng
jtx dS = jtx r 2 dΩ = f (θ ) 2 vdΩ. (1.30)

Tỷ lệ giữa xác suất hạt tán xạ rơi vào góc khối dΩ và mật độ dòng xác suất của các hạt
tớiđược gọi là tiết diện tán xạ vi phân


j dS
dσ =

(1.31)


tx

Thay (1.25) và (1.30) vào (1.31), ta được

10
dσ=

Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi
f (θ )

Như vậy, việc xác định tiết diện tán xạ hoặc mật độ tiết diện tán xạ quy về việctìm biên
độ tán xạ. Việc tính biên độ tán xạ thường được tiến hành như sau: Tìm nghiệm của
phương trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong trường của tâm tán xạ. Tại
các khoảng cách ở xa tâm, nghiệm có dạng (1.21).Khi đó

là biên độ cần tìm.

Để tìm biên độ tán xạ f (θ ) , ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger
2




ψ

Khi r → ∞ thì

()




2m

r có dạng tiệm cận (1.21).

Trong nhiều trường hợp ta có thể kết hợp phương trình Schrodinger (1.34) và các điều
kiện biên (1.21) vào một phương trình tích phân. Điều này có thể thực hiện được nếu ta
sử dụng hàm Green của phương trình Schrodinger tự do

(')

, mà nó thỏa mãn G0 r , r

phương trình
'

Ta cho ∆G0 (r , r




δ ( − ') (1.35) r r .

11


Khi đó hàm
G0 (r , r

(


G 0 (r , r


'

Nhờ có G0 (r , r

ở đây ϕk (r ) là nghiệm bất kỳ của phương trình Schrodinger tự do,ví dụ: ϕk (r
Bây giờ, ta chứng minh ψ k (r
dạng tiệm cận (1.21).
Thay (1.37) vào (1.38) ta được

12


Khi lấy tích phân theo dr ' ta chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng

V (r ' )

(xem hình 1). Khi r → ∞ ta có thể tính gần đúng như sau

(1.40)
'

r−r

Vậy khi r → ∞ biểu thức (1.39) có dạng

V (r ').



1 2m
4π

2

Đại lượng

k

hướng truyền các sóng cầu phân kỳ.
r−r'

V ( r ')

O

Hình 1.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.39)

So sánh (1.41) và (1.21), chúng ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ

Biểu thức (1.42) cho ta biên độ tán xạ
Schrodinger ψ k (r '). Lưu ý, trong biểu thức (1.42) ta cần hiểu ψ k (r ')
bộ không gian, mà chỉ ở vùng tác dụng của thế

13