ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

PHẠM NGỌC MINH CHÂU

GẦN ĐÚNG EIKONAL
TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VI BA

Hà Nội – 2016


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Cao Thị
Vi Ba, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể
hoàn thành khóa luận này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học
tập tại Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý Lí
Thuyết.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy, cô và toàn thể
cán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung,
những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi. Tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và trao
đổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi
những thiếu sót,tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và
các bạn.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2016
Học viên

Phạm Ngọc Minh Châu


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU…………………………………….................................................................... 1
CHƢƠNG 1. BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH

PHÂN PHIẾM HÀM………………………………………………................4
1.1.Hàm Green hai hạt…………………………………………………..............4
1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman…………...........9
CHƢƠNG 2. BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN
PHIẾM HÀM………………………………………………………….........12
2.1.Biên độ tán xạ hai hạt………………………………………………..........12
2.2.Tính các tích phân phiếm hàm……………………………………….......20
CHƢƠNG 3. BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI
HẠT Ở VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO........................................................................... 23
3.1.Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt……………………….......23
3.2.Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt………………………………........28
KẾT LUẬN………………………………………………………….............30
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………….....31
PHỤ LỤC…………………………………………………………….............34



MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được
đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và đã được sử
dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm cho tán xạ các hạt với năng
lượng lớn. Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm
truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của các hạt trao đổi là nhỏ. Phép gần
đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ hạt năng lượng cao và
được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng .Vậy biểu diễn eikonal liệu có thể ứng
dụng trong lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề này cũng được các nhà
vật lý nghiên cứu trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] và phương trình chuẩn
thế [13].

Mục đích của Luận văn: Nghiên cứu tính đúng đắn của phép gần đúng
eikonal bằng phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét quá trình tán xạ hai
hạt trong mô hình tương tác Lint (x ) = gψ 2 (x ) ϕ (x) [7]. Phương pháp tích phân
phiếm hàm trong toán học còn được gọi phương pháp tích phân liên tục, trong vật
lý nó được gọi là phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân đường.

Phƣơng pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức của hàm Green một hạt ở
trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi tìm hàm Green hai hạt [719]. Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu được biên độ tán xạ của
hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Vấn đề đặt ra là việc tính toán
tích phân phiếm hàm bằng cách sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng ở vùng năng


lượng cao và góc tán xạ nhỏ liệu trong lý thuyết trường lượng tử có thu được biểu
diễn eikonal cho biên độ tán xạ giữa hai hạt?

Nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong ba chương, kèm theo tài
liệu tham khảo và năm phụ lục.

Chương 1. Biểu diễn hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân
phiếm hàm. Trong mục §1.1, bằng cách sử dụng biểu thức chính xác cho hàm
Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi thu được
biểu thức cho hàm Green hai hạt. Việc phân tích ý nghĩa của biểu thức cho hàm
Green liên quan đến các thừa số được bàn luận tại mục §1.2.
Chương 2. Tính biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm. Bằng cách
chuyển tới mặt khối lượng các hàm Green nêu trên, chúng tôi thu được biên độ tán
xạ hai hạt với nhau dưới dạng tích phân phiếm hàm tương ứng. Mục §2.1 dành cho
việc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm. Việc tính các
tích phân phiếm hàm trong gần đúng quỹ đạo thẳng được trình bày tại mục §2.2.

Chương 3. Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ tại vùng năng lượng
cao. Việc đánh giá các tích phân phiếm hàm sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng dựa
trên ý tưởng các quỹ đạo của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và xung aâlượng
truyền nhỏ là thẳng. Kết quả chúng tôi tìm được các biểu diễn Glauber cho tán xạ
năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục §3.1. Việc tái chuẩn hóa khối
lượng các hạt tán xạ được tiến hành ở mục §3.2.


Kết luận. Chúng tôi tóm tắt lại các kết quả thu được trong Luận văn và thảo
luận cách tổng quát hóa phương pháp này cho những trường hợp tương tác các hạt
phức tạp hơn.
Trong Luận văn chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử = c =1 và metric
Feynman .
Các véctơ phản biến: x µ = ( x 0 = t , x1 = x, x 2 = y , x 3 = z ).
Các véctơ hiệp biến: xµ = g µν xν
Tenxơ metric:
g

µν


Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.


CHƢƠNG 1

BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT
DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
§1.1 Hàm Green hai hạt
Muốn tìm biên độ tán xạ chúng ta sử dụng công thức rút gọn mà nó liên hệ yếu
tố S-ma trận với trung bình chân không của tích các toán tử trường [11]. Đối với
biên độ tán xạ của hai hạt, công thức này có dạng


2π ) 4 δ 4 ( p1 + p2 − q1 − q2 )T ( p1 , p2 ; q1 , q2 ) =

=i

trong đó

p1 , p2

trước và sau tán xạ,
số chứa T-tích
G (x1 , x2 ; y1 , y2 ) của trường ϕ (x)

G (x1 , x2 ; y1 , y2 ) =< 0 | T (ϕ ( x1 )ϕ ( x
Hàm Green cho hai hạt theo công thức [6]

×G



Lưu ý S0 (ϕ

( 11

) là giá trị trung bình của S-ma trận trên các thăng giáng chân không

của trường “nucleon” ψ (x) dưới ảnh hưởng của trường ngoài meson ϕ (x) và đặt
bằng S0 (ϕ) =1

x,y|ϕ


i 2G (x1 , x2 ; y1 , y2 | ϕ ) = G (x1 , y1 | ϕ ) G (x2 , y2 | ϕ ) + G (x1 , y2 | ϕ ) G (x2 , y1 | ϕ)

(1.4)
trong đó (xem Phụ lục A.5):

(

)
x, y | ϕ = i

G



s




0

× δ  x − y − 2 ∫ν (η ) dη .
4

Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức là loại bỏ thành phần G (x1 , y2 | ϕ)và G (x2 , y1 | ϕ),
ta thu được biểu thức sau:
i G (x1 , x2 ; y1 , y 2 | 
2

2

) = G (x1 , y1 | ϕ ) G (x2 , y2 | ϕ )

∞

 i 2 ∏∫ dsn e
n=1 0

− im

0

2

s

n


∫





4

v

δ



×δ4

n


 xn



s

n

0


−yn −2

Kết quả ta có hàm Green hai hạt trong biểu diễn tọa độ:


i
G (x1 , y1 ; x2 , y2 ) = Cϕ ∫ exp  2 ∫∫ϕ ( z1 )D −1 (z1 − z 2 )ϕ (z 2 )dz1dz2 ×

× δ 4  xn





×

(1.7)


ở đây m0 là khối lượng trần của “nucleon”. Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu thức
sau dưới dạng:
2





exp ig

∏








n=1



2

=

∏



exp ig



n=1

{



}


 ∏2 exp ig ∫dzϕ ( z ) jn (z ) ≡ ∏2 exp{igjnϕ } = exp{ig ( j1 +
n =1

j2 )ϕ},

n=1

với
jn (z ) =

(1.9)

Trong mô hình của hạt vô hướng jn (z ) mô tả mật độ không gian của “nucleon” khi
nó chuyển động theo quỹ đạo cổ điển. Song trong trường hợp ở đây jn (z ) được gọi
là mật độ dòng. Sử dụng công thức tích phân Gauss dưới dạng phiếm hàm [12] ta
có:
Dϕ

∫


exp  −



CA

trong đó
Dϕ = ∏d ϕ (x)


(ϕ A

−1

x

ϕ ) ≡ ∫∫dz1dz 2ϕ ( z1 ) A −1 (z1 − z 2 )ϕ (z2 )


( jϕ ) ≡ ∫dzj (z )ϕ (z ).
Ta nhận được:
C

i

exp



ϕ∫

2
 i

ϕ

∫∫



 Cϕ ∫ exp  ∫∫ϕ ( z1 )D −1 (z1 − z 2 )ϕ ( z 2 )dz1dz 2 + ig (( j1 + j2 )ϕ ) 
2


= exp  −

2

n=1

Từ (1.8) và (1.11) ta thu được:
G

(

x,y;x,y

jn Djm ≡ ∫∫dz1d

chú ý rằng:
Xét biến đổi Fourier cho hàm Green hai hạt:
2

G ( p1 , p2 ; q1 , q2 ) = ∫∏d 4 xn d 4 y n exp {i ( p n xn − qn y n )}G (x1 , x2 ; y1 , y2 ).
n=1

Thay công thức (1.12) vào (1.13) ta có:
G ( p1 , p2 ;q1 , q2 ) =

=



(1.13)


×



2

=

n=1

Tính tích phân theo d 4 yn , lưu ý hàm Delta Dirac δ

∫
= exp  −i  pn x x



= exp  −i ( pn − qn )xn −

Ta thu được hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng:

G ( p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
2

=




∫∏



d




n=1

∞
4



∫

xn
0


ở đây chúng tôi sử dụng ký hiệu

Biểu thức (1.16) là biểu thức tổng quát cho hàm Green hai hạt dưới dạng tích
phân phiếm hàm. Nếu chúng ta khai triển biểu thức (1.16) theo hằng số tương tác g
2


và lấy tích phân phiếm hàm đối với ν , nó sẽ đưa đến tích phân dạng Gauss,


chúng ta sẽ nhận được chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm Green hai hạt

G ( p1 , p2 ; q1 , q2 ).

§1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thƣờng cho hàm Green hai hạt tƣơng
ứng với giản đồ Feynman
Dựa vào hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm,
thực hiện phép lấy trung bình theo trường ngoài ϕ , ta thu được biểu thức (1.16)
chính xác cho hàm Green hai hạt G ( p1 , p2 ;q1 , q2 ) dưới dạng tích phân phiếm hàm
ở mục trên. Viết lại biểu thức (1.16) ở đây

G ( p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
2

=



∞
4



∫∏




d

∫

xn



0



n=1

Phân tích biểu thức (1.16) cho hàm Green hai hạt thành chuỗi nhiễu loạn thông
thường theo hằng số tương tác g 2 và lấy các tích phân phiếm hàm, ta thu được kết
quả tương ứng với chuỗi các giản đồ Feynman quen thuộc cho hàm Green hai hạt
(1.16) biểu diễn ở hình 1 . Các thừa số trong (1.16) có thể giải thich như sau:

i/ Thừa số
việc trao đổi các meson ảo.


exp  −




p

1

q

p2

q
2

p2

q2

1

=


Hình 1. Mô tả tương tác giữa hai hạt bằng việc trao đổi các meson ảo với
nhau

exp  −

ii/ Thừa số



cho các hạt tán xạ, và nó là các biểu thức phân kỳ dạng δn m 2 × ( A → ∞ ) , n =1, 2 .
Để khử phần phân kỳ này ta tiến hành tái chuẩn hóa khối lượng của các hạt tán xạ.


Điều này có nghĩa ta phải tách từ thừa số



n

m 2 × ( A → ∞ ) , n =1.2 và tiến hành tái chuẩn hóa lại khối lượng của hạt tán
m

xạ.

n,R

Việc này được thực hiện ở chương sau, kết quả khối lượng của hạt tán xạ sẽ được
tái chuẩn hóa bằng khối lượng đo trên thực nghiệm mR , cụ thể

= mn, 0 +δn m2 ,

trong đó m0 là khối lượng “trần” của hạt tán xạ, tức là khối lượng khi chúng chưa
tham gia tương tác và khối lượng cần được tái chuẩn hóa

p
1

q
1

p2

q2


=


Hình 2. Mô tả các hạt tán xạ tương tác với chân không vật lý
của trường boson qua các bổ chính cho các hạt tham gia quá
trình tán xạ nhưng không tương tác giữa các hạt với nhau.

iii/ Các thành phần

chính vòng cho quá trình tán xạ hai hạt, còn biểu thức liên quan tới trao đổi một
meson ảo giữa hai hạt tán xạ là exp{−ig 2 j1 Dj2} có kể thêm các bổ chính cho các
hạt tham gia quá trình tán xạ. Các giản đồ Feynman mô tả quá trình tán xạ tương
ứng được mô tả bằng hình 3.

p
1

q1

p2

+

q2

+

Hình 3. Tán xạ hai hạt và các giản đồ Feynman theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến



CHƢƠNG 2

BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM
HÀM

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu việc tách các điểm cực từ hàm Green hai
hạt để thu được biên độ tán xạ hai hạt tương ứng dưới dạng tích phân phiếm hàm
trong mục §2.1 và thảo luận các cách tính gần đúng – gần đúng quỹ đạo thẳng hay
còn gọi là gần đúng eikonal ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở
mục §2.2.

§2.1. Biên độ tán xạ hai hạt
Từ công thức (1.1) ở chương 1, ta có công thức tính biên độ tán xạ cho hai hạt
trong biểu diễn xung lượng như sau:



2π ) 4 δ 4 ( p1 + p2 − q1 − q2 )iT ( p1 , p2 ;q1 ,q2 ) =
p

=



(

2

n


∏

=



n=1



p

2

−m2

2


s

n





ig 2


. δ 4 vn exp  −
0

jn Djn exp {−ig 2 j1 Dj2





2

hàng loạt những phép biến đổi để rút ra từ hàm
Green hai hạt các thừa số có dạng ( pn2 − m
−1

2

)

,( qn2 − m 2 ) −1, n =1, 2 . Trong lý thuyết nhiễu

loạn sự triệt tiêu các cực điểm này là rõ, vì biên
độ được xây dựng bằng các biểu thức của hàm
truyền tự do, song việc sử dụng hàm Green bằng
các phương pháp khác với lý thuyết nhiễu loạn thì
việc tách cực khỏi hàm Green chứa một số khó
khăn nhất định. Ở đây chúng ta quan tâm tới cấu
trúc của biên độ tán xạ một cách tổng thể, khi đó
việc tiến hành cách tiếp cận đúng trên mặt khối
lượng có một vai trò quan trọng. Nhiều phương

pháp gần đúng khi chuyển sang mặt khối lượng
trước đây, chúng có thể là hợp lý nếu xuất phát từ
góc độ vật lý, song làm dịch chuyển các vị trí của
các cực của hàm Green và như vậy cách tìm biên
độ tán xạ về mặt toán học là không chuẩn, không
đúng. Trong luận này chúng ta sẽ sử dụng việc
tách các cực của hàm Green bằng việc tổng quát
hóa phương pháp được đề xuất trong [7,8] để tìm
biên độ tán xạ trong mô hình Lint = gψ

2

(x ) ϕ


(x ),

trong đó đóng góp của các

vòng kín của trường “nucleon”

ψ (x)được bỏ qua.
Ta loại bỏ trong biểu thức (2.1)
đóng góp của giản đồ Feynman
mô tả sự lan truyền của các hạt
không tương tác giữa các
“nucleon”, vì chúng không cho
đóng góp vào biên độ tán xạ. Để
làm được việc này trong công
thức (2.1) ta thay thừa số

exp{−ig 2 j1 Dj2} bằng hiệu


Ta có:


2π ) 4 δ 4 ( p1 + p2 − q1 − q2 )iT ( p1 , p2 ;q1 , q2 ) =
2

,q

p2

=

→m2

(

lim

n

n

với:
G ' ( p1 , p2 ;q1 , q2 ) =

∏∫ d


×

δ

4

∫

v
n

s

n

0

(2.4)
Tiếp tục tính công thức (2.2)

exp

≡ −ig



2




s

1

∫



s

dξ

2

0

0



s1

= −ig

2

1

x−2


dξ

∫

1

∫

ξ1


Thay biểu thức (2.5) vào (2.4), thu được biểu thức cho hàm Green hai hạt trong
biểu diễn xung lượng G ' ( p1 , p2 ;q1 ,q2 ):
G ' ( p1 , p2 ;q1 , q2 ) =


2





= −ig 2

∏ ∫

d4x




n=1








và thay thế các biến phiếm hàm và các biến số thông thường sau
s
i



(2.8)

xi' = xi





 vi (η + ξ i ) = vi (η ) − θ ( −η ) qi −θ (η ) pi
(2.9)



x '


x2'

và lưu ý

(2.10)

y
d 4 x ' d 4 x ' = d 4 xd 4 

.



Áp dụng (2.8), (2.9), (2.10) ta có các công thức (xem (B.1) và (B.6) ở phụ lục B):


∏
n

s

δ 4v





n

n


≡

0

n
'

4

= δ



v



n

sn

−ξn

và

(
=i

n


n

q

)

n

−p

x'

và:
i (qn − pn )xn' = i (q1 − p1 )x1' + i (q 2 − p 2 )x2' =
= i (q1 + q2

Thay (2.12), (2.13) và (2.14) vào (2.6) ta được:

G ' ( p1 , p2 ;q1 , q2

− p1