1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ NGA

ĐỘ DÀI CÁC THƢƠNG SUY RỘNG
CỦA MƠĐUN CĨ KIỂU ĐA THỨC NHỎ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2011


2

MỤC LỤC
MỤC LỤC

01

MỞ ĐẦU

02

CHƢƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phổ và giá của môđun

05
05

1.2. Vành Noether

06

1.3. Iđêan nguyên tố liên kết

06

1.4. Sự phân tích ngun sơ của mơđun

07

1.5. Chiều Krull của môđun

08

1.6. Hệ tham số của môđun

09

1.7. Số bội

10

1.8. Dãy chính qui và độ sâu

12

1.9. Mơđun đối đồng điều địa phƣơng


12

1.10. Phức đối ngẫu
1.11. Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy
rộng

14

1.12. Biểu diễn thứ cấp

16

CHƢƠNG 2.

ĐỘ DÀI THƢƠNG SUY RỘNG
CỦA MÔĐUN CĨ KIỂU ĐA THỨC NHỎ
2.1. Kiểu đa thức của mơđun

15

18
18

2.2. Hàm độ dài thƣơng suy rộng và bất biến pf (M )

22

2.3. Độ dài thƣơng suy rộng của mơđun có kiểu đa thức nhỏ


25

KẾT LUẬN

34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

35


3

MỞ ĐẦU
Cho ( R, m) là một vành giao hoán, địa phƣơng, Noether với iđêan
cực đại duy nhất m; M là một R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull là d ;
x  ( x1 ,..., xd ) là một hệ tham số của M ; n  (n1,..., nd ) là bộ gồm d số

nguyên dƣơng.
Xét
I M (n; x)  (M /( x1n1 ,..., xdnd )M )  n1...nd e( x1,..., xd ; M )

nhƣ là một hàm theo các biến n  (n1,..., nd ), trong đó e( x; M ) là số bội của
M đối với hệ tham số x . Năm 1992, Nguyễn Tự Cƣờng [3] đã chứng

minh đƣợc rằng bậc nhỏ nhất của các đa thức theo các biến n1 ,..., nd chặn
trên hàm I M (n; x) là độc lập với việc chọn hệ tham số x. Bậc bé nhất này
là một bất biến của môđun M , ký hiệu là p( M ) và gọi là kiểu đa thức của
M . Bất biến này cho ta một cách phân loại các lớp môđun trên vành địa


phƣơng. Chẳng hạn, M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi
p(M )   ; M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi
p( M )  0 .

Đặt
J M  x  n    n1...nd e  x; M   qx; M  n  ,

trong đó qx; M (n) là độ dài của thương suy rộng 1/( x1n1 ,..., xdnd ,1). Xét
J M  x  n   nhƣ là một hàm của các biến nguyên dƣơng n  (n1,..., nd ) .

Năm 1985, R. Y. Sharp và M. A. Hamieh [8] đã đặt ra câu hỏi: độ
dài của thƣơng suy rộng 1/( x1n1 ,..., xdnd ,1) (một cách tƣơng tƣơng đƣơng là
hàm J M  x  n   có là đa thức theo n khi n đủ lớn?


4

Năm 2000, mặc dù chƣa trả lời đƣợc hàm J M  x  n   có phải là đa
thức theo n hay không nhƣng N. T. Cƣờng và N. Đ. Minh [4] đã chỉ ra
rằng hàm J M  x  n   luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên bởi những
đa thức và bậc nhỏ nhất của các đa thức theo các biến n1,..., nd chặn trên
hàm J M  x  n   là độc lập với việc chọn hệ tham số x . Bậc bé nhất này là
một bất biến của môđun M , ký hiệu là pf (M ). Bất biến này cho ta một
cách phân loại khác các lớp môđun trên vành địa phƣơng. Chẳng hạn, M là
môđun giả Cohen-Macaulay khi và chỉ khi pf(M) = - ; M là môđun giả
Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi pf(M)  0.
Năm 2003, ngồi việc chỉ ra ví dụ cụ thể chứng tỏ rằng J M  x  n  
không phải là đa thức theo n khi n đủ lớn, N. T. Cƣờng, M. Morales và L.
T. Nhàn [5] còn chỉ ra kết quả: nếu p(M )  3 và pf(M) > 0 thì ln tồn tại
hệ tham số x để J M  x  n   khơng là đa thức theo n.

Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả nói trên của N. T.
Cƣờng, M. Morales và L. T. Nhàn trong [5].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc chia
làm 2 chƣơng.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Chƣơng này chúng tơi trình bày một số
khái niệm cở sở có sử dụng trong luận văn nhằm làm cơ sở cho việc trình
bày Chƣơng 2 nhƣ: phổ và giá của môđun, vành Noether, iđêan nguyên tố
liên kết, sự phân tích ngun sơ của mơđun, chiều Krull của mơđun, hệ
tham số của mơđun, số bội, dãy chính quy và độ sâu, phức đối ngẫu, đối
đồng điều địa phƣơng, môđun Cohen-Macaulay…
Chƣơng 2: Độ dài thƣơng suy rộng của môđun có kiểu đa thức nhỏ.
Chƣơng này trình bày về khái niệm và một số tính chất của kiểu đa thức


5

p( M ), khái niệm môđun thƣơng suy rộng và câu hỏi của Sharp và Hamieh

[8] về độ dài thƣơng suy rộng. Từ đó chúng tơi trình bày kết quả của N. T.
Cƣờng, M. Morales và L. T. Nhàn trong [5] nói rằng: nếu p(M)  3 và

pf ( M )  0 thì ln tồn tại hệ tham số x để J M  x  n   khơng là đa thức
theo n .
Luận văn đƣợc hồn thành tại trƣờng Đại học Vinh dƣới sự hƣớng
dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của cơ giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tơi
xin bày tỏ lịng cảm ơn trân trọng đến cơ cùng các thầy giáo, cơ giáo khoa
Tốn, khoa đào tạo Sau đại học trƣờng Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp
và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và
nghiên cứu.



6

CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chƣơng này sẽ trình bày một số khái niệm cơ sở có sử dụng trong luận
văn nhƣ: phổ và giá của môđun, vành Noether, iđêan nguyên tố liên kết, sự
phân tích ngun sơ của mơđun, chiều Krull của môđun, hệ tham số của
môđun, số bội, dãy chính quy và độ sâu, phức đối ngẫu, đối đồng điều địa
phƣơng, môđun Cohen-Macaulay…

1.1. Phổ và giá của môđun
1.1.1. Phổ và vành. Kí hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của
vành R. Khi đó Spec R đƣợc gọi là phổ của vành R .
Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V ( I )  P  Spec R P  I.
1.1.2. Giá của môđun. Tập con
Supp M =P  Spec R M P  0.

của Spec R đƣợc gọi là giá của môđun M .
Với mỗi x M ta kí hiệu
AnnR ( x)  a R ax  0;
AnnR M  a R aM  0  a  R ax  0, x  M .

Ta có AnnR ( x) và AnnR M (hoặc Ann ( x) và Ann M nếu không để ý đến
vành R ) là những iđêan của vành R, AnnR M đƣợc gọi là linh hóa tử của
mơđun M . Hơn nữa, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì
Supp M =V (AnnR M )  P Spec R AnnR M  P.


7


1.2. Vành Noether
1.2.1. Định nghĩa. Vành R đƣợc gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các
iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I 0  I1  ...  I n  I n1... là một dãy
tăng các iđêan trong R thì tồn tại một số tự nhiên n sao cho I n  I n1  ...
Chú ý: Vành R là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan trong vành
R đều hữu hạn sinh.

1.2.2. Ví dụ
(i) Vành các số nguyên

là vành Noether vì mọi iđêan của

m (m ) có nghĩa là mọi iđêan của

có dạng

đều hữu hạn sinh (sinh bởi một

phần tử).
(ii) Mọi trƣờng X đều là vành Noether. Do trƣờng X bất kỳ chỉ có hai
iđêan là 0 và X . Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là 0  X suy ra dãy dừng
hoặc mọi iđêan đều hữu hạn sinh vì 0  0 , X  1 .

1.3. Iđêan nguyên tố liên kết
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố P của
R là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x  M , x  0 sao

cho
P  (0 : R x)  AnnR ( x).


Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M đƣợc kí hiệu là AssR M
(hoặc Ass M nếu không để ý đến vành R ).
Ass M =P  Spec R P = Ann (x) với x  M .

1.3.2. Tính chất. (i) Cho M là một R-mơđun và P là iđêan nguyên tố liên
kết của M khi và chỉ khi tồn tại một môđun con Q của M sao cho
Q  R / P.


8

(ii) Gọi

  Ann ( x)

x  M  khi đó nếu P là phần tử tối đại của



thì P là iđêan nguyên tố liên kết của M .
(iii) R là vành Noether và M là R-mơđun. Khi đó, Ass M   khi và
chỉ khi M  0 . Hơn nữa, nếu M là R-mơđun Noether thì tập Ass M là tập
hữu hạn.
(iv) Cho M là R-môđun. N là mơđun con của M thì Ass N  Ass M .
(v) Cho M là R-mơđun. Khi đó Ass M  Supp M . Nếu P  Supp M
và P tối tiểu trong Supp M theo quan hệ bao hàm thì P  Ass M .
1.3.3. Bổ đề. Giả sử 0  M   M  M   0 là một dãy khớp ngắn các
R-mơđun. Khi đó:
(i) Ass M   Ass M

(ii)

 Ass M   Ass M ;
Supp M  Supp M   Supp M .

1.4. Sự phân tích ngun sơ của mơđun
1.4.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hốn và M là R-mơđun.
(i) Mơđun con N  M của M đƣợc gọi nguyên sơ nếu tồn tại một
iđêan nguyên tố p của R sao cho Ass (M /N )   p . Khi đó ta cũng nói N
là p  nguyên sơ.
(ii) Cho N là môđun con của mô đun M . Một phân tích nguyên sơ của
N là một biểu diễn N  M1  M 2  ...  M n trong đó M i là các mơđun

con pi  ngun sơ của M . Phân tích trên đƣợc gọi là thu gọn nếu pi là các
đôi một phân biệt và khơng có M i nào thừa.
1.4.2. Chú ý. Nếu M 1 và M 2 là các môđun con p  nguyên sơ của M thì
M1  M 2 cũng là mơđun con p  ngun sơ của M. Vì thế mọi phân tích

ngun sơ của mơđun đều có thể thu gọn đƣợc.


9

Định lý sau khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên sơ của mọi môđun
con của môđun Noether và tập các iđêan nguyên tố liên kết có thể đƣợc xác
định thơng qua một phân tích ngun sơ thu gọn.
1.4.3. Định lý. Cho M là R-môđun Noether và N là môđun con của M. Khi
đó:
(i) N có sự phân tích ngun sơ thu gọn;
(ii) Nếu N  N1  N2  ...  Nn và N  N1  N2  ...  Nn là hai

phân tích nguyên sơ thu gọn của N trong đó N i là pi  nguyên sơ,
i  1,2,..., n và

N i là

 p1,..., pn   p1,..., pn .

pi  nguyên sơ, i  1,2,..., m thì n  m và

Vì thế  p1 ,..., pn  khơng phụ thuộc vào phân tích

ngun sơ thu gọn của N . Hơn nữa ta có  p1,..., pn   Ass ( M / N );
(iii) Cho N  N1  N2  ...  Nd trong đó, N i là pi  nguyên sơ,

i  1,2,..., n là phân tích nguyên sơ thu gọn của N. Nếu pi là phần tử tối
tiểu trong tập Ass ( M / N ) thì mơđun con N i tương ứng khơng phụ thuộc
vào sự phân tích ngun sơ thu gọn của N.

1.5. Chiều Krull của môđun
1.5.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan
nguyên tố của R : P0  P1  P2  ...  Pn đƣợc gọi là một xích nguyên tố có
độ dài bằng n .
(i) Cho P  Spec R . Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên
tố với P0  P đƣợc gọi là độ cao của P, ký hiệu là ht ( P). Nghĩa là
ht ( P)  Sup {độ dài các xích nguyên tố với P0  P }.

Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa.
ht ( I )  inf {ht ( P) P  Spec R, P  I }.



10

(ii) Cận trên của tất cả độ dài của các xích nguyên tố trong R đƣợc gọi
là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R. Ta có
dim R  sup {ht ( P) P  Spec R}.

(iii) Cho M là một R-mơđun. Khi đó dim ( R / AnnR M ) đƣợc gọi là
chiều Krull của môđun M , ký hiệu là dimR M (hoặc dim M nếu khơng để
ý đến vành R ).
Nhƣ vậy, dim R có thể vơ hạn do ht ( P) có thể vơ hạn và
dim M  dim R.

1.6. Hệ tham số của mơđun
Cho R là một vành giao hốn, địa phƣơng, Noether với iđêan tối đại
duy nhất là m; M là một R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull
dim M  d > 0 .

(i) Một hệ gồm d phần tử x :  ( x1,..., xd ) của m đƣợc gọi là một hệ
tham số của M nếu

R

(M /( x1,...xd )M )   . ( () là kí hiệu độ dài của R-

môđun).
(ii) Nếu x :  ( x1,..., xd ) là một hệ tham số của mơđun M thì hệ các
phần tử ( x1,..., xi ) đƣợc gọi là một phần hệ tham số với mọi i  1,2,..., d .
(iii) Iđêan q đƣợc sinh bởi một hệ tham số x :  ( x1,..., xd ) đƣợc gọi là
iđêan tham số của M với q  ( x1,..., xd ) R.
Ta có một số tính chất cơ bản của hệ tham số.

(i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của M cũng là một hệ tham số của
M.

(ii) Nếu

x :  ( x1,..., xd ) là một hệ tham số của M thì với mọi

i  1,2,..., d ta có dim (M /( x1,..., xi ) M )  d  i .


11

(iii) xi 1  với  Ass (M /( x1,..., xi )M ) thỏa mãn dim R / d  i
với  i  1,..., d .
(iv) Nếu

x :  ( x1,..., xd ) là một hệ tham số của môđun M

và

n:  (n1,..., nd ) là một bộ gồm d số nguyên dƣơng thì x(n):  ( x1n1 ,..., xdnd )

cũng là một hệ tham số của môđun M .

1.7. Số bội
Cho R là một vành giao hoán, địa phƣơng, Noether với iđêan cực đại
duy nhất m ; M

là một R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull


dimM  d  0 . Một hệ các phần tử x :  ( x1, x2 ,..., xt ) của m sao cho

(M /( x1,..., xt )M )   đƣợc gọi là một hệ bội của M ; ở đây nếu t  0 thì

ta hiểu điều kiện này có nghĩa là

(M )  . Chú ý rằng mỗi hệ tham số

cũng là một hệ bội nhƣng điều ngƣợc lại nói chung là khơng đúng. Ta ln
có t  d . Khi đó ký hiệu bội e( x; M ) của môđun M đối với hệ bội x đƣợc
định nghĩa qui nạp theo t nhƣ sau:
Giả sử t  0 , đặt e(; M )  (M ).
Với t  0 , đặt 0 :M x1  {m mx1  0}. Khi đó 0 :M x1 là một mơđun con
M.

Vì

(M /( x1,..., xt )M )  

ta

dễ

dàng

suy

ra

((0 :M x1 ) /( x2 ,..., xt )(0 :M x1))  , tức ( x2 ,..., xt ) là hệ bội của môđun con


0 :M x1 . Vậy theo giả thiết qui nạp thì

e( x2 ,..., xt ; M / x1M )

e( x2 ,..., xt ; 0M x1 ) đã đƣợc xác định. Khi đó ta định nghĩa:
e( x2 ,..., xt ; M )  e( x2 ,..., xt ; M / x1M )  e( x2 ,..., xt ; 0 :M x1).

Sau đây là một tính chất cơ bản của số bội e( x; M ) .
(i) 0  e ( x1,..., xt ; M )  (M /( x1,..., xt )M ).

và


12

Đặt biệt, nếu tồn tại i sao cho xin M  0 với n là một số tự nhiên nào đó thì
e( x1,..., xt ; M )  0.

(ii) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0  M'  M  M" 0

Ta có, x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của M ' và M ". Hơn
nữa
e ( x; M )  e ( x; M ' )  e ( x; M " ).

(iii) e ( x1,..., xt ; M )  0 khi và chỉ khi t  d .
(iv) e ( x1n1 ,..., xtnt ; M )  n1,..., nt e ( x1,..., xt ; M )

với n1 ,..., nt


là các số

nguyên dƣơng.
(v) Giả sử q  ( x1,..., xt ) R là iđêan sinh bởi bội ( x1,..., xt ) . Khi đó
Fq (n)  (M / q n1M ) là một hàm theo biến n, hàm này đƣợc gọi là hàm

Hilbert-Samuel.
(vi) Định lý đa thức Hilbert:
Tồn tại một đa thức pq (n) bậc d sao cho với n đủ lớn ta có Fq (n)  pq (n) .
Hơn nữa tồn tại những số nguyên e0 (q; M )  0, e1 (q; M ), ..., ed (q; M ) sao
cho
n  d 
 n  d  1
pq (n)  e0 (q; M ) 
 e1 (q; M ) 

  ...  ed (q; M ).
d
d

1





Nếu ( x1,..., xt ) là một tham số của M , tức t  d thì
e0 (q; M )  e1 ( x1,..., xd ; M ).


(vii) Công thức Auslander – Buchsbaum
t

R ( M /( x1 ,..., xt ) M )  e( x; M )   e( xi 1 ,..., xt ; ( x1,..., xi 1 ) M : x1 / ( x1,..., xi 1) M ).
i 1


13

1.8. Dãy chính qui và độ sâu
Một phần tử a  R đƣợc gọi là phần tử chính qui của M hay
M chính qui nếu ax  0 với mọi x  M , x  0. Dãy các phần tử
x1,..., xr  m đƣợc gọi là dãy chính qui của M hay còn gọi là M dãy nếu

các điều kiện sau đƣợc thỏa mãn:
(i) M /( x1,...., xr )M  0 ;
(ii) ( x1,...., xi1 )M :M xi  ( x1,...., xi1 )M ,  i  1,..., r.
1.8.1. Mệnh đề. Cho ( x1,..., xr ) là một dãy các phần tử thuộc m . Khi đó
các phát biểu sau là tương đương.
(i) ( x1,..., xr ) là một dãy chính qui của M ;
(ii) Phần tử xi khơng là ước 0 trong M /( x1,..., xi1 )M , i  1,..., r ;
(iii) xi  p,  p  AssM /( x1,..., xi1 )M ,  i  1,..., r.
Cho I là một iđêan tùy ý của R và ( x1,..., xr ) là một dãy M dãy trong
I . Khi đó ( x1,..., xr ) đƣợc gọi là một dãy chính qui cực đại trong I nếu

khơng tồn tại y  I sao cho ( x1,..., xr , y) là dãy chính qui của M . Ta biết
rằng mọi dãy chính qui cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài
và đƣợc gọi là độ sâu của M đối với iđêan I , ký hiệu là depthI M . Đặc
biệt, nếu I  m thì depthm M đƣợc gọi là độ sâu của M và ký hiệu là
depth M .


Nếu ( x1,..., xr ) là một dãy chính qui của M thì nó cũng là một phần hệ
tham số của M . Do đó depth M  dimM .

1.9. Môđun đối đồng điều địa phƣơng
Cho a một iđêan của R. Khi đó, hàm tử a –xoắn a () từ phạm trù
các R-môđun vào phạm trù các R-môđun đƣợc xác định bởi


14

a (M ) 

(0 :M a n ) là hàm tử cộng tính, khớp trái, hiệp biến trong phạm
n0

trù các R-môđun với hàm tử dẫn xuất phải thứ i là Ri a (), i  1,2,...
Môđun đối đồng điều địa phương H ai ( M ) thứ i của M đƣợc định nghĩa
bởi
H ai (M ):  Ri a (M )

Một số tính chất cơ bản của mơđun đối đồng điều địa phƣơng.
(i) Cho B là một A đại số phẳng. Khi đó ta có đẳng cấu:
i
H aB
( B  A M )  B  H ai (M ).

(ii) Nếu I n M  0 với một số tự nhiên n nào đó thì H ao (M )  M và
H ai (M )  0, i >0.


(iii) Cho k là số tự nhiên. Khi đó H ai ( M ) là môđun hữu hạn sinh với
mọi i  k nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho a n H ai (M )  0
với mọi i  k.
(iv) Khi a  m iđêan cực đại của R thì H mi ( M ) là R-môđun Artin. Hơn
nữa

H mi (M )  0 với mọi i  d . Đặc biệt H md ( M ) là hữu hạn sinh khi và

chỉ khi d  0 .
Ký

hiệu

ai (M )  Ann H mi (M ), i  0,1,..., d

và

a(M )  a0 (M )...ad 1 (M ). Khi đó ta có kết quả sau đây.

(v) Với các ký hiệu
b x (M ) 

d 1
i 0



t
t
t

t
t
Ann
((
x
,...,
x
)
M
:
x
/(
x
,...,
x
)
M
)
R
1
i
i 1
1
i

 , b( M ) 
 i 0


x chạy trên toàn bộ hệ tham số của M , ta có

a(M )  b(M )  a0 (M )  a1 (M )  ...  ad 1(M ).

x

b x ( M ),


15

(vi) Cho x1 ,..., xi là một phần hệ tham số của M . Giả sử tồn tại một phần
tử y  a(M ) sao cho ( x1,..., xi , y) cũng là một phần hệ tham số của M . Khi
đó
( x1,..., xi ) : a( M ) 

(( x1,..., xi ) M : at ( M )) 
t 0

(( x1,..., xi ) M : y t ).
t 0

1.10. Phức đối ngẫu
Cho D :...  D n  ...  D ...  D1  ...Dn  ...
là một phức các R-mơđun. Khi đó, D đƣợc gọi phức đối ngẫu của R nếu
thỏa mãn những điều kiện sau:
(i) D bị chặn, tức D n  0 với n

0;

(ii) Các môđun đối đồng điều H i ( D ) là hữu hạn sinh với mọi I;
(iii) D n là các R-môđun nội xạ với mọi n ;

(iv) Với mọi phức C  thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) ở trên ta đều có
HomR ( HomR (C , D ), D )  C 

ở đây  là tựa đẳng cấu trong phạm trù các phức.
Một số tính chất cơ bản của phức đối ngẫu.
(i) Cho B là một A đại số hữu hạn sinh. Nếu A có phức đối ngẫu thì
B cũng có phức đối ngẫu. Vì một trƣờng ln có phức đối ngẫu, từ đây ta

suy ra mọi vành đa thức có hệ số trên một trƣờng đều có phức đối ngẫu.
(ii) Địa phƣơng hóa và vành thƣơng của một vành có phức đối ngẫu
ln có phức đối ngẫu. Mặt khác theo Định lý cấu trúc của Cohen, mỗi
vành địa phƣơng đầy đủ là vành thƣơng của một vành chính qui. Do đó
vành địa phƣơng đầy đủ là vành thƣơng của một vành chính qui. Do đó
vành địa phƣơng đầy đủ ln có phức đối ngẫu.


16

1.11. Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay
suy rộng
Cho

x  ( x1,..., xd )

là

hệ

tham


số

của

M.

Ký

hiệu

I ( x )  (M / xM )  e ( x ; M ). Khi đó I M ( x )  0. Đặt I ( M )  Sup I M ( x)
x

với sup lấy trên tập tất cả các hệ tham số của M . Khi đó ta có định nghĩa
sau:
1.11.1. Định nghĩa
(i) M đƣợc gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu I M ( x)  0 với mọi hệ
tham số x của M .
(ii) M đƣợc gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu I ( M )   .
1.11.2. Mệnh đề. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay;
(ii) dim M  depth M ;
(iii) Tồn tại một hệ tham số x của M để I M ( x)  0 ;
(iv) H mi (M )  0 với mọi i  dim M .
1.11.3. Mệnh đề. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng;
(ii)

( H mi ( M ))   với mọi i  dim M .


1.11.4. Mệnh đề
(i) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M p cũng là mơđun CohenMacaulay  p  Supp M \ {m}.
(ii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M p là mơđun
Cohen-Macaulay  p  Supp M \ {m}.


17

1.12. Biểu diễn thứ cấp
Trong mục này ta nhắc lại khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ
của I. G. Macdonal. Khái niệm này có thể xem là đối ngẫu với khái niệm
phân tích ngun sơ.
1.12.1. Định Nghĩa
(i) R-mơđun M  0 đƣợc gọi là thứ cấp nếu với mọi r  R , phép nhân
bởi r trên M là toàn cấu hoặc lũy linh. Trƣờng hợp này Rad ( AnnR M ) là
iđêan nguyên tố, chẳng hạn p và ta gọi M là p  thứ cấp.
(ii) Cho M là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một sự phân
tích M  M1  M 2  ....  M n thành tổng hữu hạn các mô đun con pi  thứ
cấp M i . Nếu M  0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là
biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này đƣợc gọi là tối tiểu nếu các iđêan
nguyên tố pi là đôi một phân biệt và không có hạng tử M i nào thừa.
1.12.2. Nhận xét
(i) Khái niệm mơđun con ngun sơ theo một nghĩa nào đó đối ngẫu
với khái niệm môđun con thứ cấp.
(ii) Nếu M 1 và M 2 là các môđun con p  thứ cấp của M thì M1  M 2
cũng là mơđun con p  thứ cấp của M . Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của
M đều có thể quy về một biểu diễn tối tiểu.

1.12.3. Mệnh đề. Cho M  M1  M 2  ....  M n , trong đó M i là pi –thứ
cấp, i=1,2,…,n là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của R-môđun M . Khi đó

tập { p1, p2 ...., pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của
M.

Tập { p1, p2 ...., pn} xác định nhƣ trên đƣợc gọi là tập các iđêan nguyên
tố gắn kết của M và kí hiệu bởi AttR M . Các hạng tử M i , i  1,2,..., n


18

đƣợc gọi là thành phần thứ cấp cô lập. Chú ý rằng các thành phần thứ cấp
tối tiểu của M không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M .
1.12.4. Định lý. Cho M là R-môđun Artin. Khi đó M có biểu diễn thứ cấp
tối tiểu.
1.12.5. Bổ đề. Tập các phần tử tối tiểu của AttR M chính là tập các iđêan
nguyên tố tối thiểu chứa AttR M . Đặc biệt, Rad ( AnnR M ) 

p.
pAttR M


19

CHƢƠNG 2
ĐỘ DÀI THƢƠNG SUY RỘNG
CỦA MƠĐUN CĨ KIỂU ĐA THỨC NHỎ
Mục đích của chƣơng này là trình bày một trong hai kết quả chính
trong bài báo [5] của N. T. Cƣờng, M. Morales và L. T. Nhàn. Trong toàn
bộ chƣơng ta luôn giả thiết ( R, m) là một vành giao hoán, địa phƣơng
Noether với iđêan cực đại duy nhất m ; M là R-mơđun hữu hạn sinh có
chiều krull dim M  d .


2.1. Kiểu đa thức của mơđun
Trong phần này chúng tơi trình bày khái niệm kiểu đa thức p( M ) và
trình bày một số tính chất của kiểu đa thức
Cho x  ( x1,..., xd ) là một hệ tham số của M và n  (n1,..., nd ) là một
bộ gồm d số nguyên dƣơng. Khi đó x(n)  ( x1n1 ,..., xdnd ) cũng là hệ tham số
của M . Do đó (M / x(n)M ) có thể xem nhƣ là hàm số theo biến n1,..., nd .
Hàm độ dài này nhận giá trị trong tập các số nguyên không âm.
Năm 1985, R. Y. Sharp [8] đặt ra câu hỏi: (M / x(n)M ) có phải là đa
thức theo n1 ,..., nd khi n1 ,..., nd đủ lớn (kí hiệu là n1,..., nd

0 hoặc n

0 )?

Chú ý rằng e( x1n1 ,..., xdnd ; M )  n1...nd e( x; M ) . Vì vậy vấn đề của R. Y. Sharp
có thể phát biểu nhƣ sau: Hàm số
I M (n; x)  (M /( x1n1 ,..., xdnd )M )  n1...nd e( x; M ).

Có phải là đa thức theo n khi n

0?

Năm 1986, J. L. Garcia và D. Kirby [7] đã chỉ ra rằng nói chung hàm
I M (n; x) khơng phải là đa thức theo n khi n

0.


20


Năm 1990, Nguyễn Tự Cƣờng [2] đã chỉ ra rằng nói chung hàm
I M (n; x) khơng phải là đa thức theo n khi n

0 là hệ tham số x phải là

p  dãy khơng điều kiện.

Vì vậy vấn đề đặt ra tiếp theo là điều gì sẽ xảy ra khi I M (n; x) khơng
cịn là một đa thức theo n nữa?
2.1.1. Bổ đề. Cho x  ( x1,..., xd ) là một hệ tham số của M và n  (n1,..., nd )
là một bộ d số nguyên dương. Khi đó
(M /( x1n1 ,..., xdnd ) M )  n1...nd ( x1,..., xd ; M ).

Chứng minh. Khi d  1, xét dãy khớp
x1
R / x1R 
 R / x12 R  R / x1R  0.

Áp dụng hàm tử tenxơ * R M và chú ý rằng R / aR R M  M / aM , ta
nhận đƣợc dãy khớp
x1
M / x1M 
 M / x12 M  M / x1M  0.

Suy ra

(M / x12 M )  2(M / x1M ) . Tƣơng tự ta sẽ đi đến
(M / x1n1 M )  n1 (M / x1M ).


Bây giờ giả sử d  1. Đặt E  M / x1n1 M và F  M /( x2 ,..., xd )M .
Khi đó theo giả thiết quy nạp theo d ta đƣợc
(M /( x1n1 ,..., xdnd )M )  ( E /( x2n2 ,..., xdnd ) E)  n2...nd ( E /( x2 ,..., xd ) E)
 ( F / x1n1 F )  n1...nd ( M /( x1,..., xd ) M ).

Bổ đề đƣợc chứng minh
2.1.2. Hệ quả. I M (n; x)  n1...nd I M ( x).
Chứng minh. I M (n; x)  ( M /( x1n1 ,..., xdnd ) M )  e( x( n); M ).
Theo Bổ đề 2.1.1 và do e( x(n); M )  n1...nd e( x; M ) , ta có
I M (n; x)  n1...nd (M /( x1 ,..., xd )M )  n1...nd e( x; M )

□


21

 n1...nd ( ( M /( x1 ,..., xd ) M )  e( x; M ))
 n1...nd I M ( x).

Do đó
I M (n; x)  n1...nd I M ( x) .

□

Hệ quả 2.1.2 nói lên rằng nếu hàm I M (n; x) khơng phải là một đa thức
thì ít nhất hàm đó cũng bị chặn trên bởi đa thức n1...nd I M ( x) . Định lý sau
đây khái quát tính chất trên.
2.1.3. Định lý. Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo các biến n1 ,..., nd chặn
trên hàm số I M (n; x) là độc lập với việc chọn hệ tham số x .
Chứng minh. Cho t là số tự nhiên và đặt t  (t ,..., t ) là bộ d số nguyên

bằng nhau. Khi đó bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo t chặn trên hàm
I M (t; x) không phụ thuộc vào x. Ký hiệu bất biến này là p( M ) và p( x) là

bậc bé nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm I M (n; x) . Rõ ràng
là p( M )  p( x). Bây giờ cho m  (m1,..., md ) là một bộ d số với
mi  ni , i  1,..., d . Ta sẽ chứng minh rằng I M (m; x)  I M (n; x) . Bằng quy

nạp theo d ta nhận thấy có thể giả sử rằng mi  ni với mọi i  d . Khi đó
theo Mục 1.7, 4 và Mục 1.7, 7 ta có
( x1n1 ,..., xdnd11 )M : xdmd /( x1n1 ,..., xdd11) M  ( x1n1 ,..., xdnd11 ) M : xdd /( x1n1 ,..., xdnd11 ) M .

Vậy ta suy ra I M (m; x)  I M (n; x) . Do đó I M (t; x)  I M (n; x) khi
t  ni , i  1,..., d . Điều này chứng tỏ rằng p(M )  p( x). Vậy p(M )  p( x)

với mọi hệ tham số x .

□

Từ định lý trên ta có định nghĩa sau đây.
2.1.4. Định nghĩa. Bậc bé nhất của tất cả các đa thức chặn trên I M (n; x) là
một bất biến của M . Bất biến này đƣợc gọi là kiểu đa thức của M và ký
hiệu là p( M ).


22

2.1.5. Chú ý
(i) Để thuận tiện ta xem bậc của đa thức 0 là . Khi đó ta thấy rằng:
M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M )   và M là môđun
Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M )  0 . Vậy kiểu đa thức của

mơđun có thể xem nhƣ là một độ đo tốt và xem mơđun đó gần với tính
Cohen-Macaulay.
(ii) Dựa vào cơng thức giới hạn của Lech về số bội
lim (n1...nd )1 ( xnn1 ,..., xdnd ; M )  e( x1,..., xd ; M ),

min( ni ) 

ta dễ dàng suy ra bất đẳng thức p(M )  dim M 1.
Kết quả sau đây có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các môđun
với kiểu đa thức dƣơng. Bổ đề này đƣợc dùng trong việc chứng minh các
bổ đề trong mục 2.3 rất nhiều lần để giảm dần kiểu đa thức.
2.1.6. Bổ đề. Cho p(M) > 0. Đặt
T (M )  (Ass M

d 1
i 1

Att (H mi (M ))) \ m.

Cho x  m là một phần tử sao cho x  p với mọi p T (M ). Khi đó ta có
p(M / xM )  p(M )  1.

2.1.7. Bổ đề. Cho x là một hệ tham số của M sao cho
ai (M )  Ann H mi (M ), a(M )  a0 (M )...ad 1(M ) và xi  a (M /( xi1,..., xd ) M ), i=1,...,d.

khi đó
( x1n1 ,..., xini11 ) M : xini  ( x1n1 ,..., xini11 ) M : x j j
n

với mọi j  i  1.

2.1.8. Bổ đề. Giả sử R có phức đối ngẫu. Khi đó ta có đẳng thức
p(M )  r (M )  dim( R / a(M )).


23

2.2. Hàm độ dài thƣơng suy rộng và bất biến pf ( M )
2.2.1. Hàm độ dài thƣơng suy rộng
Trong [8], R. Y. Sharp và H. Zakeri đã xây dựng một R-môđun
gọi là môđun các thƣơng suy rộng. Với mỗi số nguyên dƣơng k , các
tập con tam giác trong R k đóng vai trị nhƣ tập nhân đóng trong lý
thuyết vành và mơđun các thƣơng. Vì thế lý thuyết mơđun các
thƣơng suy rộng có thể xem là mở rộng của lý thuyết địa phƣơng hóa
thơng thƣờng. Lý thuyết mơđun các thƣơng suy rộng có ứng dụng
rộng rãi trong Đại số giao hốn. Chẳng hạn, mơđun đối đồng điều địa
phƣơng cấp cao nhất H md ( M ) có thể xem nhƣ là một môđun các
thƣơng suy rộng của M ứng với một tập con tam giác trong R d 1 và
ngƣời ta đã dùng kết quả này để nghiên cứu Giả thuyết đơn thức của
M. Hochster.
Bây giờ ta nhắc lại một số chi tiết chính để xây dựng mơđun các
thƣơng suy rộng. Cho k là một số nguyên dƣơng, kí hiệu Dk ( R) là
tập tất cả các ma trận tam giác dƣới cấp k  k với hệ tử trong R. Một
tập con tam giác của R k là một tập con khác rỗng U của R k sao cho
hai điều kiện sau đƣợc thỏa mãn:
(i) Nếu (u1,..., uk ) U thì  u1n1 ,....., uknk  U với mọi bộ số nguyên
dƣơng n1,....., nk .
(ii) Nếu

(u1,..., uk ) U


và

(v1,..., vk ) U

thì

(w1,..., w k ) U và H , H   Dk ( R) sao cho

H u1,..., uk    w1,..., w k   H v1,..., vk 
T

ở đây kí hiệu



T

T

để chỉ ma trận chuyển vị.

T

tồn

tại


24


Khi cho trƣớc một tập con tam giác U , Sharp và Zakeri [8] đã
xây dựng một R-môđun U -k M và họ gọi đó là mơđun các thƣơng suy
rộng của M ứng với tập con tam giác U nhƣ sau.
Trên tích Đề-các M  U ta xét quan hệ hai ngôi

: với b, c  M

và (u1,..., uk ) U , (v1,..., vk ) U , (b,(u1,..., uk )) (c,(v1,..., vk )) khi và chỉ
khi tồn tại (w1,..., w k ) U và H , K  Dk ( R) sao cho Hu  w  Kv và
 n1

H b  K c    wi R  M . Khi đó quan hệ
 i 1


là một quan hệ tƣơng

đƣơng trên M  U . Cho b  M và (u1,..., uk ) U , kí hiệu b /(u1,...., uk ) là
lớp tƣơng đƣơng chứa (b,(u1,..., uk )) và U -k M tập thƣơng của M  U
theo quan hệ tƣơng đƣơng

. Nghĩa là:

U  k M  b /(u1,...., uk ) b  M , (u1,...., uk ) U .

Trên U -k M ta xác định đƣợc 2 phép tốn: phép cộng và nhân với
vơ hƣớng: với a /(s1,...., sk ), b /  t1,...., tk  U  k M và r  R ta có
a /(s1,...., sk )  b /  t1,...., tk    H b  K a  /(u1,...., uk )

với (u1,..., uk ) U và H , K  Dk ( R) thỏa mãn: Hs = u = Kt

r  a /  s1,...., sk    ra /  s1,...., sk .

Hai phép tốn trên khơng phụ thuộc vào việc chọn đại diện và
với hai phép toán đó U  k M trở thành một R-mơđun gọi là môđun các
thương suy rộng của M theo tập con tam giác U .
Có một tập con tam giác trong R d 1 đóng vai trị đặc biệt quan
trọng, đó là tập
U  M d 1 M   y1,..., yd ,1  R d 1 j, 0  j  d sao cho  y1 ,..., y j  là một
 d 1

phần hệ tham số của M và y j 1  ...  yd  1 .


25

Cho x  ( x1 ,..., xd ) là một hệ tham số của M và n  (n1,..., nd ) là một bộ

 



các số nguyên dƣơng. Kí hiệu M 1/ x1n1 ,..., xdnd ,1

m /  x ,..., x ,1 m  M 
 M 1/  x ,..., x ,1   .
nd
d

n1
1


n1
1

của

là môđun con

U ( M )d d11 M .

mơđun

Ta

có

nd
d

Đặt
qx ; M  n  

 M 1/  x ,..., x ,1.
nd
d

n1
1

Theo R. Y. Sharp và M. A. Hamieh [8], độ dài qx; M  n  đƣợc gọi là độ dài

thương suy rộng 1/( x1n1 ,..., xdnd ,1).
Câu hỏi mở của Sharp và Hamieh: Có tồn tại hay khơng một đa thức
FX 

của

d

biến

X1,..., X d

với

hệ

số

hữu

tỷ

sao

cho

qx;M  n   F  n1,..., nd  khi n1 ,..., nd đủ lớn?

2.2.2. Bất biến pf (M )
Cho ( R, m) là một vành, địa phƣơng Noether và M là R-môđun hữu

hạn sinh với dim M  d . Cho x  ( x1 ,..., xd ) là một hệ tham số của M và
n  (n1,..., nd ) là một bộ các số nguyên dƣơng. Đặt

J M  x  n    n1...nd e  x; M   qx; M  n  ,

trong đó x  n    x1n1 ,..., xdnd  ; e  x; M  là số bội của M đối với hệ tham x ;





qx; M  n  độ dài của thƣơng suy rộng 1/ x1n1 ,..., xdnd ,1 .

Chúng ta xét J M  x  n   nhƣ là một hàm của các biến nguyên dƣơng
n  (n1 ,..., nd ). Khi đó câu hỏi mở của Sharp và Hamieh [8] có thể phát

biểu lại dƣới dạng: Hàm J M  x  n   có phải là đa thức theo n khi n đủ
lớn?