TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN HỌC

TIỂU LUẬN
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

MÔĐUN ARTIN

Thầy giáo hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

GS.TS LÊ VĂN THUYẾT

PHAN HỮU HIỆU
MSSV: 19S1011009

Huế, 6-2021


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN HỌC

MƠĐUN ARTIN

TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

Thầy giáo hướng dẫn
GS.TS LÊ VĂN THUYẾT

Huế, 6-2021

1

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

2

LỜI GIỚI THIỆU

3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Môđun, môđun con, môđun thương . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4


1.1.2

Môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Tích trực tiếp, tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1

Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2

Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chương 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN


12

KẾT LUẬN

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO

20


2

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện tiểu luận: “Môđun Artin” cùng
với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự hướng dẫn và
giúp đỡ tận tình của Giáo sư - Tiến sĩ Lê Văn Thuyết, người đã trực tiếp
giảng dạy và hướng dẫn tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong q
trình thực hiện đề tài, đồng thời tơi cũng nhận được sự giúp đỡ, động viên
của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên khoa Tốn.
Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiến
sĩ Lê Văn Thuyết đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tơi hồn thành tốt
tiểu luận của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn, các thầy cơ giáo
và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành
tiểu luận này.
Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế. Hơn nữa do lần đầu
tiên làm quen với việc làm tiểu luận nên không tránh khỏi những thiếu

sót. Rất mong được sự góp ý của quý thầy giáo, cô giáo và các bạn. Xin
chân thành cám ơn!
Thừa Thiên Huế, tháng 06 năm 2021
Người thực hiện.


3

LỜI GIỚI THIỆU

Trong sự phát triển của toán học hiện đại, Đại số là môn học quan
trọng, là cơ sở tiên đề cho sự phát triển của đại số hiện đại. Ngày nay nhu
cầu học hỏi tốn học nói chung và mơn Đại số nói riêng của sinh viên khoa
Tốn ngày càng tăng. Để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu
biết một cách sâu sắc về cấu trúc đại số.
Trong đó một trong các đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc mơđun.
Vì vậy trong tiểu luận này tơi tập trung trình bày về "Mơđun Artin"
với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số.
Nội dung tiểu luận gồm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong phần này tôi nhắc lại một số định nghĩa về môđun, môđun con,
môđun con sinh ra bởi một tập, môđun thương, đồng cấu, tự đồng cấu,
tích trực tiếp và tổng trực tiếp cũng như trình bày một số tính chất của
phần này có liên quan đến mơđun Artin.
Chương 2. Trình bày cách giải một số bài tập liên quan đến môđun
Artin.
Trong phần này tơi trình bày tổng cộng 7 bài tập liên quan đến môđun
Artin.



4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1
1.1.1

Môđun, môđun con, môđun thương
Môđun

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành có đơn vị 1R = 0R ; một R - mơđun
trái (hay cịn gọi là mơđun trái trên R) là một nhóm Abel cộng M cùng
với một ánh xạ

f :R×M →M
(a, x) → f (a, x) = ax
được gọi là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các điều kiện:
1. a(x + y) = ax + ay
2. (a + b)x = ax + bx
3. (ab)x = a(bx)
4. 1R x = x
với mọi a, b ∈ R và x, y ∈ M .
Định nghĩa 1.1.2. Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R - mơđun
phải (hay cịn gọi là mơđun phải trên R) là một nhóm Abel cộng M cùng
với một ánh xạ

f :M ×R→M
(x, a) → f (x, a) = xa

được gọi là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các điều kiện:


5

1. (x + y)a = xa + ya
2. x(a + b) = xa + xb
3. x(ab) = (xa)b
4. x1R = x
với mọi a, b ∈ R và x, y ∈ M .
Về kí hiệu nếu M là một R - mơđun trái (phải) ta kí hiệu R M (MR )
để chỉ rõ vành cơ sở R khi cần thiết. Nếu khơng ta sẽ nói mơđun thay cho
mơđun phải.
Ví dụ 1.1.3.
(i) Mỗi nhóm cộng Abel M đều được coi là Z - mơđun.
(ii) Nếu K là một trường thì các K - mơđun chính các khơng gian vectơ
trên trường K .
(iii) Mỗi iđêan phải của vành R - là một R - môđun. Đặc biệt, mỗi
iđêan của R là một R - môđun và bản thân R cũng là một R - môđun.

1.1.2

Môđun con

Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một R - môđun phải. Tập con N của M
được gọi là môđun con của M nếu N là môđun trên R với phép cộng và
phép nhân với vô hướng của M hạn chế trên N .
Ví dụ 1.1.5.
(i) Mỗi R - môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường là bản
thân M và môđun con {0}. Môđun con N của M được gọi là môđun con

thực sự nếu N = {0} và N = M .
(ii) Cho R - môđun M và x là một phần tử của M . Khi đó tập con:

xR = {xr | r ∈ R}


6

là một mơđun con của M . Nó cịn được gọi là môđun con xyclic sinh bởi
phần tử x.
(iii) Mọi nhóm con của một nhóm Abel M đều là một Z - môđun con
của M .
(iv) Mọi iđêan của một vành R có đơn vị 1R = 0R đều là một môđun
con của R.
Bổ đề dưới đây sẽ cho ta một để cách kiểm tra các môđun con hiệu quả.
Bổ đề 1.1.1. Cho M là một R - môđun phải. Nếu N là tập con khác rỗng
của M thì các điều kiện sau tương đương:
(i) N là môđun con trong M .
(ii) ∀x, y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, xr ∈ N .
(iii) ∀x, y ∈ N, ∀r, s ∈ R : xr + ys ∈ N .
Mệnh đề 1.1.2. Giao của một họ bất kì những mơđun con của của R mơđun M là một môđun con của M .
Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một tập con của R - môđun M . Môđun
con bé nhất N chứa X được gọi là môđun con sinh bởi X và X được gọi
là một tập sinh hay hệ sinh của N , kí hiệu N = |X) . Trong trường hợp

N = M ta nói X là một hệ sinh của M hay M được sinh bởi X .
Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R - mơđun hữu hạn
sinh. Mơđun con sinh bởi 1 phần tử chính là môđun con xyclic.
Định nghĩa 1.1.7. Cho A là một môđun con thực sự của R - môđun M .
Khi đó A là mơđun con cực đại của M nếu A = M và nó khơng chứa

trong một mơđun con thực sự nào của M .


7

Một cách tương tự, cho A là một môđun con thực sự của R - mơđun

M . Khi đó A là môđun con cực tiểu của M nếu A = {0} và nó khơng
chứa một mơđun con thực sự nào của M .
Mệnh đề 1.1.3. Nếu A, B là các môđun con của R - môđun M với A ⊂ B .
Khi đó với mọi mơđun con C của M ta đều có:

(C + A) ∩ B = (C ∩ B) + A
Chứng minh.
- Với mọi x ∈ (C + A) ∩ B , ta có:




x ∈ C + A
∃a ∈ A, c ∈ C : x = c + a
⇒
⇒c+a=b


x ∈ B
∃b ∈ B
:x=b

⇒c=b−a∈B



c ∈ C
⇒ c ∈ C ∩ B ⇒ x = c + a ∈ (C ∩ B) + A

c ∈ B
Do đó (C + A) ∩ B ⊂ (C ∩ B) + A.
- Với mọi x ∈ (C ∩B)+A, khi đó: ∃n ∈ C ∩B, a ∈ A sao cho: x = n+a




n ∈ B
n ∈ C
⇒ x = n + a ∈ B;
⇒ x = n + a ∈ C + A.


a ∈ B
a ∈ A
Suy ra: x ∈ (C + A) ∩ B
Do đó (C + A) ∩ B ⊃ (C ∩ B) + A
Vậy (C + A) ∩ B = (C ∩ B) + A


8

1.1.3

Môđun thương


Cho M là R - môđun, N là môđun con của M . Khi đó:

M/N = {x + N : x ∈ M }
là một nhóm thương, đó cũng là nhóm Abel với phép cộng:

(x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N
với mọi x + N , y + N ∈ M/N .
Trên M/N xác định phép nhân vô hướng như sau:

a(x + N ) = ax + N
với mọi a ∈ R, x + N ∈ M/N .
Thì phép nhân vơ hướng này thoả mãn các điều kiện của tích vơ hướng.
Định nghĩa 1.1.8. Cho M là R - môđun, N là mơđun con của M . Khi
đó R - mơđun M/N , với phép cộng và phép nhân vô hướng được xác định
ở trên được gọi là môđun thương của R - mơđun M trên mơđun con N
của nó.
Ví dụ 1.1.9.
(i) Xét môđun con nZ của Z - môđun Z. Khi đó ta có mơđun thương
của Z trên nZ là:
Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
(ii) Cho I là một iđêan hai phía của vành R có đơn vị 1R = 0R . Khi
đó R/I vừa có cấu trúc vành thương của vành R trên iđêan I , vừa có cấu
trúc mơđun thương của R - mơđun R trên môđun con I .


9

1.2


Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.2.1. Cho hai môđun M, N là các R - môđun. Khi đó, một
ánh xạ f : M → N thỏa mãn

f (x + y) = f (x) + f (y) và f (xa) = f (x)a
với mọi x, y ∈ M , a ∈ R, được goi là một đồng cấu R - môđun từ M vào

N . Nếu N = M thì f được gọi là một tự đồng cấu của M .
Nếu đồng cấu f là một đơn ánh, tồn ánh, song ánh thì nó tương ứng
được gọi là đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu.
Ví dụ 1.2.2.
(i) Cho N là một môđun con của R - môđun M , thì ta có mơđun thương

M/N . Khi đó quy tắc:
f : M → M/N
x → p(x) = x = x + N
là một đồng cấu R - môđun. Hơn thế nữa, p là một toàn cấu, được gọi là
phép chiếu chính tắc. Tồn cấu này có Kerp = N .
(ii) Với mỗi môđun con N của R - môđun M , ánh xạ cho bởi:

i:N →M
x → i(x) = x
là một đơn cấu R - môđun, được gọi là phép nhúng chính tắc từ N vào

M.
Mệnh đề 1.2.1. Cho đồng cấu môđun f : M → N và U, V tương ứng là
mơđun con của M, N . Khi đó:
(i) f (U ) là môđun con của N .
(ii) f −1 (V ) là môđun con của M .



10

Nhận xét 1.2.3. Im(f ) và Ker(f ) là những mơđun con tương ứng của

N, M.

1.3

Tích trực tiếp, tổng trực tiếp

1.3.1

Tích trực tiếp

Cho một họ các R - mơđun (Mi )i∈I ; và xét tích Descartes của họ này

Mi = {(xi )i∈I | xi ∈ Mi }
i∈I

Mi ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau:

Trên
i∈I

(xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I
(xi )i∈I a = (xi a)i∈I
với mọi (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈


Mi , a ∈ R.
i∈I

Mi là R - môđun được gọi là tích trực tiếp của họ

Định nghĩa 1.3.1.
i∈I

R - mơđun (Mi )i∈I . Nếu Mi = M với mọi i ∈ I thì ta kí hiệu

Mi bởi
i∈I

MI.
1.3.2

Tổng trực tiếp

Định nghĩa 1.3.2. (xi )i∈I ∈

Mi được gọi là có giá hữu hạn nếu xi = 0
i∈I

tất cả trừ một số hữu hạn i ∈ I .

Mi | (xi )i∈I có giá hữu hạn} là một tập con

Đặt ⊕ Mi = {(xi )i∈I ∈
i∈I


i∈I

Mi .

của
i∈I

Khi đó với mọi (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ ⊕ Mi , a, b ∈ R, vì (xi )i∈I và (yi )i∈I có
i∈I

giá hữu hạn, nên

(xi )i∈I a + (yi )i∈I b = (xi a + yi b)i∈I


11

cũng có giá hữu hạn. Do đó:

(xi )i∈I a + (yi )i∈I b ∈ ⊕ Mi .
i∈I

Vậy ⊕ Mi là một R - môđun con của
i∈I

Mi .
i∈I

Định nghĩa 1.3.3. ⊕ Mi là R - môđun được gọi là tổng trực tiếp của họ
i∈I


các R - môđun (Mi )i∈I . Nếu Mi = M với mọi i ∈ I thì ta kí hiệu ⊕ Mi
i∈I

bởi M

(I)

.

Nhận xét 1.3.4. Nếu I = {1, 2, ..., n} thì ⊕ Mi =
i∈I

Mi .
i∈I


12

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN

Định nghĩa 2.0.1. Một R - môđun M được gọi là môđun Artin nếu mỗi
tập khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử cực
tiểu theo quan hệ bao hàm.
Bài tập 2.1. Chứng minh rằng môđun M là Artin nếu và chỉ nếu mọi
dãy giảm các môđun con của nó:

M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ...

đều dừng, tức là có một số n sao cho Mn = Mn+1 = ...
Lời giải. (⇒) Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ... là một dãy giảm các môđun
con của M .
Vì M là mơđun Artin nên tập {Mi | i ≥ 0} các mơđun con của M có
một phần tử cực tiểu, chẳng hạn đó là Mn , khi đó Mk = Mn , ∀k ≥ n (theo
tính chất của môđun con cực tiểu).

(⇐) Giả sử S là một tập con khác rỗng các môđun con của M và S
khơng có phần tử cực tiểu.
Vì S = ∅ nên ta chọn được một môđun con M0 ∈ S .
Khi đó, vì M0 khơng cực tiểu nên sẽ tồn tại M1 là môđun con thực sự
của M0 .
Cứ tiếp tục như thế, ta sẽ chỉ ra tồn tại một dãy giảm M0 ⊃ M1 ⊃

M2 ⊃ ... không dừng các môđun con của M (mâu thuẫn).


13

Bài tập 2.2. Giả sử N là một môđun con của M . Chứng minh rằng M
là Artin nếu và chỉ nếu các môđun N và M/N đều Artin.
Lời giải. (⇒) Giả sử M là môđun Artin. Trước hết, ta sẽ chứng minh N
là mơđun Artin.
Thật vậy, vì mỗi tập hợp khác rỗng các môđun con trong N cũng là
tập hợp khác rỗng các môđun con trong M nên trong tập hợp này cũng
có phần tử cực tiểu. Do đó N là môđun Artin.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh M/N là môđun Artin.
Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ... là dãy giảm các môđun con của môđun

M/N . Xét phép chiếu chính tắc:

p : M → M/N
Khi đó sẽ tồn tại một dãy giảm các môđun con của M là N0 ⊃ N1 ⊃

N2 ⊃ ... sao cho p(Ni ) = Mi , với i ≥ 0.
Nhưng vì M là môđun Artin nên dãy N0 ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ ... là dãy dừng
tức là tồn tại một số n sao cho Nn = Nn+1 = ..., từ đó suy ra tồn tại một
số n sao cho p(Nn ) = p(Nn+1 ) = ... hay Mn = Mn+1 = ....
Do đó M/N là mơđun Artin.

(⇐) Giả sử N và M/N là mơđun Artin.
Xét dãy giảm bất kì các môđun con của M : M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ....
Khi đó ta có dãy giảm tương ứng các môđun con của N :

M0 ∩ N ⊃ M1 ∩ N ⊃ M2 ∩ N ⊃ ...
Và dãy giảm tương ứng các môđun con của M/N :

p(M0 ) ⊃ p(M1 ) ⊃ p(M2 ) ⊃ ...


14

với p là phép chiếu chính tắc.
Do N và M/N là môđun Artin nên tồn tại hai số n1 và n2 sao cho

Mn1 ∩ N = Mn1 +1 ∩ N và p(Mn2 ) = p(Mn2 +1 ).
Đặt n = max (n1 , n2 ).
Khi đó Mn ∩ N = Mn+1 ∩ N và p(Mn ) = p(Mn+1 ).
Từ p(Mn ) = p(Mn+1 ) ta suy ra Mn + N = Mn+1 + N . Theo mệnh đề
1.1.3, ta có: Mn = (Mn + N ) ∩ Mn = Mn = (Mn+1 + N ) ∩ Mn


= Mn+1 ∩ (N + Mn ) = Mn+1 ∩ (N + Mn+1 ) = Mn+1 = ....
Do đó M là mơđun Artin.

Bài tập 2.3. Chứng minh rằng Z-môđun Z không Artin.
Lời giải. Để chứng minh Z-môđun Z không Artin ta sẽ chỉ ra một dãy
giảm các môđun con của ZZ sao cho dãy này không dừng.
Thật vậy, với mọi a ∈ Z, a ∈
/ {0, ±1}, ta có dãy giảm khơng dừng các
mơđun con của ZZ là:

aZ ⊃ a2 Z ⊃ a3 Z ⊃ ...
Do đó Z-mơđun Z khơng Artin.

Bài tập 2.4. Các ví dụ về môđun Artin.
Lời giải. Trước tiên ta sẽ chấp nhận một mệnh đề như sau:
Mệnh đề 2.4.1. Dãy các môđun con của môđun M :

M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ... ⊃ Mn = 0


15

(bao hàm ngặt) là dãy thoả mãn khơng có mơđun con của M nào có thể
bổ sung vào dãy khi và chỉ khi Mi−1 /Mi là đơn.
(i) Mọi môđun đơn (nghĩa là khơng có mơđun con nào ngồi 0 và chính
nó) đều là mơđun Artin.
(ii) Mọi khơng gian vectơ hữu hạn chiều trên trường đều là môđun
Artin. Thật vậy, giả sử VK là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên
trường K và {x1 , x2 , ..., xn } là một cơ sở của nó. Khi đó:


V ⊃ x1 K + x2 K + ... + xn K ⊃ ... ⊃ x1 K + x2 K ⊃ x1 K ⊃ 0
là một dãy các mơđun con của V .
Vì x1 K+...+xi K là các môđun con cực đại của môđun x1 K+...+xi+1 K
nên (x1 K + ... + xi+1 K)/(x1 K + ... + xi K) là các môđun đơn.
Do đó VK là mơđun Artin.
Mặt khác, nếu VK là khơng gian vectơ vơ hạn chiều thì khơng là mơđun
Artin.

a
| a ∈ Z, i ∈ N}, tức là Q là tập
pi
hợp tất cả các số hữu tỉ mà mẫu số là lũy thừa của p (bao gồm cả p0 = 1).
(iii) Cho p là số nguyên tố và Qp = {

Như vậy Qp là nhóm con (xem như nhóm cộng) của Q và Z ⊂ Qp .
Khi đó: Z - mơđun Qp là mơđun Artin. Ta có thể tham khảo chứng
minh sau đây.
1
Giả sử i + Z là môđun con của Z - môđun Qp sinh bởi phần tử
p
1
+ Z ∈ Qp /Z ta xét dãy các môđun con trong Qp /Z:
pi

0⊂

1
1
1
+ Z ⊂ 2 + Z ⊂ 3 + Z ⊂ ...

p
p
p

Để chứng minh nó là Artin ta chỉ ra rằng dãy trên chứa tất cả các


16

mơđun con thực sự của Qp /Z. Từ đó suy ra rằng mỗi tập không rỗng
những môđun con của Qp /Z đều có mơđun con nhỏ nhất.
a
1
Trước hết ta có nhận xét rằng nếu (a, p) = 1 thì i + Z = i + Z (∗)
p
p
.
Thật vậy, do a và p là nguyên tố cùng nhau nên tồn tại m, n ∈ Z sao
cho: am + pi n = 1
1 am
am
1
1
a
Từ đó i − i = n ∈ Z ⇒ i + Z = i + Z ⇒ i + Z ⊂ i + Z .
p
p
p
p
p

p
a
1
a
1
Vì i Z ⊂ i Z nên i + Z ⊂ i + Z . Do đó nhận xét trên được
p
p
p
p
chứng minh.
Bây giờ nếu B là mơđun con của Qp /Z thì có thể xảy ra 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Đối với mỗi n ∈ N tồn tại i ∈ N sao cho i ≥ n và

a
+ Z ∈ B , ngoài ra (a, p) = 1. Khi đó từ (∗) suy ra B = Qp /Z với mỗi
pi
x
+ Z ∈ B.
pi
a
Trường hợp 2: Tồn tại i ∈ N cực đại để tìm được i + Z ∈ B với
p
(a, p) = 1.
a
1
Khi đó từ (∗) suy ra: i + Z = i + Z = B .
p
p


Bài tập 2.5. Chứng minh rằng tích trực tiếp của một họ hữu hạn các
mơđun là Artin nếu và chỉ nếu mỗi môđun của họ là Artin.
Lời giải. Khơng mất tính tổng qt ta xét tích trực tiếp của hai mơđun.
Giả sử M = N × P thì N ∼
= N × {0} và P ∼
= M/N × {0}, với N là mơđun
con của M .
Vì N là môđun con của M . Nên theo bài tập 2.2 ta được: M là Artin
khi và chỉ khi N và P là Artin.


17

Bài tập 2.6. Giả sử h là một tự đồng cấu của môđun Artin M . Chứng
minh rằng nếu h là một đơn cấu thì h là một đẳng cấu.
Lời giải. Giả sử h : M → M là một tự đồng cấu của R - môđun Artin

M và h là đơn cấu. Ta có dãy giảm các mơđun con của M là:
M ⊃ h(M ) ⊃ h2 (M ) ⊃ h3 (M ) ⊃ ...
Do M là môđun Artin nên dãy trên phải dừng, tức là tồn tại một số n
sao cho hn (M ) = hn+1 (M ) = ...

(1)

Bây giờ ta sẽ chứng minh h là một toàn cấu.
Thật vậy, với mọi a ∈ M , theo (1) ta được: hn (a) ∈ hn+1 (M ) do đó sẽ
tồn tại b ∈ M sao cho:

hn (a) = hn+1 (b) = hn (h(a)).
Vì h là một đơn cấu nên hn cũng là một đơn cấu. Do đó a = h(b).

Tức là với mỗi a ∈ M luôn tồn tại b ∈ M sao cho h(a) = b. Suy ra h
là một tồn cấu.
Do đó h là một đẳng cấu.

Bài tập 2.7. Vành R có đơn vị 1R được gọi là vành Artin phải nếu R môđun phải R là Artin. Cho các ví dụ về vành Artin phải.
Lời giải.
(i) Mọi trường đều là vành Artin.
(ii) Tất cả các vành có hữu hạn iđêan đều là vành Artin, ví dụ như vành
Z/nZ với n là số nguyên.


18

(iii) Với mỗi n ≥ 1, vành ma trận vuông Mn (R) trên một vành R Artin
phải là vành Artin phải.
(iv) Với K là một trường. Khi đó mơđun thương K[t]/tn là vành Artin
với mọi số nguyên dương n.
(v) Vành số ngun Z khơng phải là một vành Artin vì Z không phải
là một Z - môđun Artin.


19

KẾT LUẬN

Qua q trình tìm hiểu tài liệu, tơi vừa có thể ơn tập lại các kiến thức
về cấu trúc mơđun, tơi vừa tìm hiểu thêm được thế nào là một mơđun
Artin, đưa ra các ví dụ về mơđun Artin, vành Artin và chứng minh được
một số tính chất của môđun Artin thông qua việc giải các bài tập.
Qua quá trình tìm hiểu, tơi nhận thấy mình đã bước đầu thành công

trong việc thực hiện một tiểu luận. Tôi bước đầu có thể tìm hiểu thêm về
một vấn đề mới nằm ngồi chương trình học tập. Đây là nền tảng giúp tơi
có thể thực hiện các tiểu luận hay khóa luận sau này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiến
sĩ Lê Văn Thuyết, ban chủ nhiệm khoa Tốn, các thầy cơ giáo và các bạn
sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành tiểu luận
này.
Mặc dù đã cố gắng nhưng do thời gian chuẩn bị chưa nhiều và lần đầu
làm quen với việc làm tiểu luận nên khơng thể tránh khỏi sai sót. Rất
mong được sự góp ý của thầy và các bạn.


20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết
mơđun và vành, NXB Giáo dục.
[2] Dương Quốc Việt (2017), Cơ sở lí thuyết Module, NXB Đại học Sư
phạm.
[3] Văn Nam - Phan Văn Thiện (2012), Đại số đại cương nâng cao,
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.
[4] F. Kasch (1982), Modules und Rings, Academic Press.
[5] Wikipedia (2021), [Artinian ring, />Artinian_ring].