ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN – TIN HỌC
o0o

Tiểu luận môn học đại số đại cương:


Modun trên miền các ideal chính




Người phụ trách: TS Nguyễn Viết Đông
Người thực hiện: Nguyễn Quang Huy
Khóa 2008 – lớp Cử Nhân Tài Năng



THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Tháng 12- 2009

2



MỤC LỤC

1. Giới thiệu……………………………………………………………………….3
2. Kiến thức chun bị……………………………………………………………3
A. Số học trên PID………………………………………………………………….3
B. Lý thuyết modun………………………………………………………………5
3. Cấp của một phần tử trong modun trên PID 7
4. Hạng của modun tự do……….…………………………………………… 16
5. Cấu trúc của modun hữu hạn sinh trên PID……………………………… 22
6. Sự phân tích p-nguyên sơ của modun trên PID………………………… 30
7. Tài liệu tham khảo……………………………………………………………35

3

1. Giới thiệu
Ta biết rằng mỗi nhóm Aben có thể xem như một modun trên ℤ, mà ℤ là một PID
đặc biệt, vì vậy việc khảo sát tính chất của modun trên một PID cho ta các tính chất
tổng quát của tính chất nhóm Aben. Mặt khác trong một nhóm, ta đã định nghĩa thế
nào là cấp của một phần tử, vì vậy để tổng quát hóa ta cũng đưa ra định nghĩa cấp
của một phần tử trong modun và xem xét các tính chất còn được bảo toàn trong
trường hợp modun. Đó là nội dung của bài tiểu luận này.
2. Kiến thức chun bị
Trong phần này ta sẽ trình bày các định nghĩa và định lý cần thiết cho các phần sau
mà không có phần chứng minh, các chứng minh cần thiết có thể tham khảo trong
[2], [3]. Trước hết ta trình bày một số kết quả về số học trên một PID.
A. Số học trên PID
Trong phần A này ta kí hiệu R là một PID với phần tử đơn vị là 1và R* là nhóm
các phần tử khả nghịch trong R.
Định nghĩa 2.1. với a ,b là các phần tử trong R
(i) ta nói a chia hết cho b hay b là ước a hay b chia hết a và viết b │a nếu tồn tại c
∈ R sao cho a = bc.
(ii) ta nói a và b liên hợp và viết a ∼ b nếu a = ub với u ∈ R*.

4

(iii) phần tử a ≠ 0 được gọi là nguyên tố nếu a ∉ R* và từ a│bc luôn suy ra a│b
hoặc a│c.
Nhận xét: quan hệ ∼ trong (ii) là một quan hệ tuong đương thật sự.
Ghi chú: nếu a = bc thì ta có thể viết một cách hình thức: a/b = c hay a/c = b.
Mệnh đề 2.2 với a, b ∈ R, ta có
(i) a ∼ b khi và chỉ khi a│b và b│a.
(ii) a│b khi và chỉ khi <a> ⊆ <b> .
(iii) a ∼ b khi và chỉ khi <a> = <b>.
Định nghĩa 2.3. Cho A là một tập con khác rỗng của R\{0}, ta nói phần tử d ∈ R là
ước chung lớn nhất của A và kí hiệu d = ƯCLN (A) nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn:
(i) d│a, ∀ a ∈ A.
(ii) nếu e ∈ R và e│a, ∀ a ∈ A thì e│d.
Nếu ƯCLN(A) = 1 ta nói các phần tử trong A nguyên tố cùng nhau.
Định nghĩa 2.4. Cho A là một tập con khác rỗng của R\{0}, ta nói phần tử m ≠ 0
của R là bội chung nhỏ nhất của A và kí hiệu m = BCNN(A), nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn:
(i) a│m, ∀ a ∈ A.
(ii) nếu e ∈ R và a│e, ∀ a ∈ A thì m│e.
5

Định lý 2.5. Hai phần tử a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại x và y
trong R sao cho 1 =ax + by
Hệ quả 2.6. Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau, khi đó:
(i)nếu a│bc thì a│c.
(ii)nếu a│e và b│e thì ab│e.
Định lý 2.7. (định lý căn bản của số học trong PID). Cho R là một PID, khi đó mọi
phần tử 0 ≠ a ∈ R đều được phân tích thành dạng:

ܽ = ݑ݌
ଵ
௡
భ
݌
ଶ
௡
మ
…݌
௞
௡
ೖ

trong đó u ∈ R*, p
i
là các phần tử nguyên tố khác nhau. Hơn nữa sự phân tích trên
là chủ yếu duy nhất theo nghĩa nếu ܽ = ݒݍ
ଵ
௠
భ
ݍ
ଶ
௠
మ
…ݍ
௞
௠
೗
thì k = l và tồn tại phép
thế ߪ trên {1, 2,…n} sao cho n

i
= ݉
ఙ(௜)
, p
i
~ ݍ
ఙ(௜)
, với mọi i = 1,2,…,n.
Tiếp theo ta trình bày về lý thuyết modun
B. Lý thuyết modun
Định nghĩa 2.8. cho vành R có đơn vị (kí hiệu bởi 1). Nhóm cộng aben (X, +) sẽ
được gọi là modun trên R ( hay R-modun) nếu trên X ta xác định một tác động trái
từ R, tức có ánh xạ f: R×X → X mà f(r, x) được kí hiệu bởi rx (gọi là tích của hệ
tử r với phần tử x). Ngoài ra các tiên đề sau phải được thỏa mãn:
ܯ1: 1ݔ = ݔ
ܯ2: (ݎݏ)ݔ = ݎ(ݏݔ)
6

ܯ3: ݎ(ݔ + ݕ) = ݎݔ + ݎݕ
ܯ4: (ݎ +ݏ)ݔ = ݎݔ + ݏݔ
Với mọi r, s ∈ R, với mọi x, y ∈ X.
Định nghĩa 2.9. cho X là một R-modun, một tập con khác rỗng A của X được gọi
là modun con của X nếu A với các phép toán cảm sinh trên X cũng là một modun,
một cách tương đương, một tập con khác rỗng A của X là modun con của X nếu và
chỉ nếu: ܣ + ܣ ⊆ ܣ và ܴܣ ⊆ ܣ.
Định nghĩa 2.10. cho X là một modun và ܵ ⊆ ܺ, giao của tất cả các modun con
của X có chứa S là một modun con của X và gọi là modun con sinh bởi S, kí hiệu
bởi <S>, S được gọi là hệ sinh của <S> và nếu S hữu hạn ta nói <S> hữu hạn sinh
(finitely generate).
Định lý 2.11. modun con sinh bởi tập S ⊆ X là modun con (submodun) gồm tất cả

các tổ hợp tuyến tính của S.
Định nghĩa 2.12. cho ܵ ⊆ ܺ với X là một modun, ta nói S là độc lập tuyến tính
(linearly independent) nếu với mọi x
1,
x
2
,…., x
n
∈ S mà r
1
x
1
+ r
2
x
2
+…+ r
n
x
n
= 0
thì r
1
= r
2
=…=r
n
. Một hệ không độc lập tuyến tính thì gọi là phụ thuộc tuyến tính (
linearly dependent).
Định nghĩa 2.13. một hệ sinh độc lập tuyến tính của một modun được gọi là cơ sở

(base) của modun đó.
7

Định lý 2.14. một tập con S của X là cơ sở của X khi và chỉ khi mọi phần tử trong
X đều được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua S.
Định nghĩa 2.15. modun có cơ sở được gọi là modun tự do ( free modun).
Định lý 2.16. modun con của modun tự do trên vành chính là modun tự do.
3. Cấp của một phần tử trong modun trên
PID
Trong phần này ta sẽ định nghĩa cấp của một phần tử trong modun để làm cơ sở
cho các phần phía sau.
Trong phần này ta hiểu ( X, +) là một R-modun với R là một PID.
Để định nghĩa cấp của một phần tử trong modun trên PID , trước hết ta đưa ra các
định nghĩa và bổ đề sau:
Định nghĩa 3.1. với mọi phần tử x ∈ X, ta xét tập
ann(x) = { r ∈ R│rx = 0}
Khi đó dễ thấy ann(x) là một idean của R và ta gọi ann(x) là linh hóa tử
(annihilator) của x.
Định nghĩa 3.2
(i) một phần tử x trong modun X được gọi là xoắn ( torision) nếu :
ann(x) ≠ {0}.
8

(ii) một phần tử x trong modun X được gọi là không xoắn (torision-free) nếu:
ann(x) = {0}.
(iii) modun X được gọi là xoắn nếu mọi phần tử khác không của nó đều xoắn.
(iii) modun X được gọi là không xoắn nếu mọi phần tử khác không của nó đều
không xoắn.
Ghi chú: ta có 0 luôn luôn là phần tử xoắn.
Định nghĩa 3.3. Modun con Y của X gọi là cyclic nếu Y có dạng Y = Rx với x

trong X. Lúc đó x được gọi là phần tử sinh của Y hay Y là modun cyclic sinh bởi x,
kí hiệu bởi Y = <x>
R
, nếu không sợ nhầm lẫn với nhóm con cyclic sinh bởi x trong
(X, +) ta viết Y = <x>.
Nhận xét: do định nghĩa ta có:
(i) modun cyclic sinh bởi x là modun xoắn khi và chỉ khi x là phần tử xoắn.
(ii) modun cyclic sinh bởi x là modun không xoắn khi và chỉ khi x là phần tử
không xoắn.
Mệnh đề 3. 4 với X là một R-modun, ta đặt :
X
t
= { x ∈ X│ann(x) ≠ 0}
Tức X
t
là tập hợp tất cả các phần tử xoắn của X, khi đó :
(i) X
t
là modun con của X mà ta gọi là thành phần xoắn của X.
(ii) X/X
t
là modun không xoắn.
Chứng minh.
9

(i) Ta kiểm tra các tiêu chuNn của nhóm con:
1) rõ ràng 0 ∈ X
t
nên X
t

≠ Ø.
2) với mọi x, y trong X
t
, tồn tại r, s ∈ R\{0} sao cho rx = sy = 0. Khi đó rs(x + y) =
srx + rsy = 0 + 0 = 0, rs ≠ 0 vì thế x + y ∈ X
t
.
3) với mọi x trong X
t
và r trong R, ta có: tồn tại s ∈ R sao cho sx = 0 khi đó s(rx) =
r(sx) = 0 nên rx ∈ X
t
.
Vậy X
t
là modun con của X.
(ii) Nếu X/X
t
= {0}thì có điều cần chứng minh. Trường hợp X/X
t
≠ {0} giả sử
phần tử x + X
t
≠ 0 là xoắn thì tồn tại r trong R\{0} sao cho r(x + X
t
) = rx + X
t
= 0
hay rx ∈ X
t

, do đó tồn tại s trong R\{0} sao cho srx = 0, mà sr ≠ 0 nên x ∈ X
t
hay
x + X
t
= 0, mâu thuẫn này cho ta điều phải chứng minh. 

Vì ann(x) là một ideal của miền các ideal chính R nên ann(x) có dạng:
ann(x) = Rr = <r>, với r ∈ R.
từ đó ta định nghĩa
Định nghĩa 3.5. Với mọi x trong modun X nếu ann(x) = Rr = <r>, ta nói cấp ideal
của x bằng r (nếu không sợ nhầm lẫn ta gọi tắt là cấp của x), kí hiệu o(x) = r (
order ideal of x). Nếu Y là modun cyclic sinh bởi x, ta cũng nói Y có cấp ideal
bằng o(x).
Từ định nghĩa ta có:
10

(i) x là phần tử xoắn nếu và chỉ nếu o(x) ≠ 0.
(ii) x là phần tử không xoắn nếu và chỉ nếu o(x) = 0.
Nhận xét: phần tử r trong định nghĩa trên xác định sai khác một thừa số khả
nghịch vì vậy cấp ideal của một phần tử cũng xác định sai khác một thừa số khả
nghịch. Do đó khi nói cấp của một phần tử bằng d ta hiểu đó là một lớp tương
đương các phần tử liên hợp với d.
Mệnh đề 3.6 Với mọi x trong X, ta có o(x) = r khi và chỉ khi r thỏa mãn 2 điều kiện
sau:
(i) rx = 0.
(ii) với mọi s ∈ R, nếu sx = 0 thì r│s.
Chứng minh.
(⟹) (i) ta có ann(x) = Rr = <r> nên r ∈ ann(x) kéo theo rx = 0.
(ii) nếu sx = 0 thì s ∈ ann(x) do đó r│s.

(⟸) giả sử ann(x) = <d>, do (i) ta có r ∈ ann(x) do đó <r> ⊆ <d>. Mặt khác nếu
s ∈ ann(x) thì sx = 0 từ (ii) suy ra r│s hay s ∈ <r>, do đó <d> ⊆ <r>. Vậy ann(x)
= <r> hay o(x) = r. 
Mệnh đề trên cho ta một tính chất đặc trưng của cấp ideal của x, ta thấy nó hoàn
toàn tương tự như đặc trưng của cấp một phần tử trong nhóm, và định nghĩa cấp
ideal của một phần tử trong modun là sự tổng quát định nghĩa cấp của một phần tử
11

trong nhóm, ta hoàn toàn có thể dùng 3.3 để định nghĩa cấp của một phần tử trong
nhóm.
Mệnh đề 3.7. Với mọi x, y trong X ta có
(i) o(-x) = o(x).
(ii) nếu o(x) = r, o(y) = s và (r, s) = 1 thì o(x + y) = rs.
(iii) nếu o(x) = r, o(y) = s và <x> ∩ <y> = {0} thì o(x + y) = [r, s].
Chứng minh.
(i) hiển nhiên vì rx = 0 khi và chỉ khi r(-x) = 0.
(ii) Ta có (rs)(x+y) = s(rx) + r(sy) = 0 + 0 = 0.
Giả sử e(x + y) = 0, ta có er(x + y) = 0 hay ery = 0 suy ra s│er, mà (r, s) = 1 nên
s│e, tương tự ta có r│e lại vì (r, s) = 1 ta được rs│e.
Từ đó mệnh đề 3.3 cho ta điều phải chứng minh.
(iii) giả sử [r, s] = rr’= ss’. Khi đó [r, s](x +y) = r’rx + s’sy = 0.
Mặt khác nếu t(x +y) = 0 thì tx = -ty ∈ <x> ∩ <y> = {0} nên tx = ty = 0 từ đó ta
có: r│t và s│t suy ra [r, s]│t. Vậy o(x +y) = [r, s]. 
Mệnh đề 3. 8 cho o(x) = d ≠ 0, với x trong X, khi đó với mọi r ≠ 0 trong R, ta có:
(i) o(rx) = d/e với e = (d, r).
(ii) <rx> = <x>

khi và chỉ khi (r, d) = 1.
(iii) với mọi ước e của d tồn tại duy nhất một modun con cyclic của <x>


có cấp e.
Chứng minh.
12

(i) Giả sử d = ed’, r = er’ ta có (d/e)(rx) = e’dx = 0.
Mặt khác nếu t(rx) = 0 thì d│tr, suy ra (d/e)│t(r/e) mà (d/e, r/e) = 1 nên (d/e)│t.
Áp dụng định lý 3.3 ta kết luận (x)
R
= d/e.
(ii)
(⟹) vì x ∈ <rx> nên x = urx, u ∈ R hay (1 – ur)x = 0 suy ra 1- ur =vd, v ∈ R tức
ur + vd = 1và do đó (r, d) = 1.
(⟸) nếu (r, d) = 1 thì tồn tại u, v trong R mà ur +vd = 1, dẫn đến x = 1.x = urx +
vdx = u(rx) ∈ <rx> do đó <x> ⊆ <rx> mà rõ ràng <rx> ⊆ <x>. Vậy <rx> = <x>

.
(iii) Theo (i) thì o((d/e)x) = e, tức modun cyclic sinh bởi (d/e)x có cấp e. Giả sử X
có modun cyclic con sinh bởi rx cũng có cấp e: o(rx) = e. Cũng theo (i) ta có e =
d/(d, r) hay (d, r) = d/e, dẫn đến tồn tại u, v trong R sao cho ud + rv = d/e. Bởi vậy
(d/e)x = udx + rvx = vrx ∈ <rx> do đó <(d/e)x> ⊆ <rx>. Mặt khác (d/e)│r nên
<rx> ⊆ <(d/e)x>. Vì vậy <(d/e)x> = <rx> , nghĩa là modun con cyclic cấp e là duy
nhất. 
Các mệnh đề sau đây về tính chất của modun cyclic hoàn toàn tương tự như tính
chất của nhóm cyclic trong lý thuyết nhóm.
Mệnh đề 3.9 .
(i) ảnh đồng cấu của một modun cyclic là một modun cyclic.
(ii) modun thương của một modun cyclic cũng là một modun cyclic.
(iii) modun con của một modun cyclic cũng là một modun cyclic.
13


Chứng minh.
(i) giả sử G = <x> là một modun cyclic và f là một đồng cấu từ G vào G’, với G’ là
modun trên R, ta chứng minh f(G) là một modun cyclic. Thật vậy mọi phần tử
trong f(G) có dạng f(rx) = rf(x) với r trong R vậy f(G) là một modun cyclic sinh
bởi f(x).
(ii) giả sử G = <x> là một modun cyclic, H là modun con của G.
Xét ánh xạ chiếu chính tắc:
f : G → G/H
rx ↦ rx+ H
rõ ràng f là một toàn cấu , vì vậy G/H = f(G) là một modun cyclic theo (i).
(iii) giả sử G = <x> là một modun cyclic , H là modun con của G. Xét
C(H) = { r ∈ R│rx ∈ H}
Ta chứng minh C(H) là ideal của R, thật vậy:
a. Ta có 0 ∈ C(H) nên C(H) ≠ Ø.
b. Nếu r, s ∈ C(H) thì (r - s)x = rs - sx ∈ C(H) vì rs, sx ∈ H và H là nhóm
con của nhóm (G, +). Vậy r + s ∈ C(H).
c. với mọi r trong R, s trong C(H), ta có: sx ∈ H suy ra rsx ∈ H vì H là
modun con của X. Vậy rs ∈ C(H).
từ C(H) là ideal của R suy ra C(H) = <d>, ta sẽ chứng minh H = <dx>:
14

a. lấy y ∈ H thì y = rx, với r trong R, suy ra r ∈ C(H) dẫn đến r = ed và y =
edx ∈ <dx>. Vậy H ⊆ <dx>
b. lấy y = edx ∈ <dx> thì vì ed ∈ C(H) = <d> nên y ∈ H. Vậy <dx> ⊆ H
từ a và b ta có H = <dx> là một modun cyclic, đpcm. 
Mệnh đề 3.10. cho Y là một modun cyclic sinh bởi x, o(x) = d, khi đó
Y ≅ R/<d> = R/Rd.
Chứng minh.
Xét ánh xạ f như sau:
f : R → Y

r ↦ rx
ta kiểm tra f là đồng cấu(xem R là modun trên chính nó), thật vậy
a. với mọi r, s trong R: f(r + s) = (r + s)x = rx + sx = f(r) + f(s).
b. với mọi r, s trong R: f(rs) = rsx = r(sx) = rf(s).
vậy f là đồng cấu, rõ ràng f toàn ánh nên f toàn cấu. Mặt khác:
kerf = { r ∈ R│rx = 0}= ann(x) = <d> = Rd
hệ thức R/Kerf ≅ Imf cho ta:
Y ≅ R/<d> ≅ R/Rd. 
Mệnh đề 3.10 tổng quát mệnh đề quen thuộc: mọi nhóm cyclic vô hạn đẳng cấu
với ℤ , mỗi nhóm cyclic cấp n đẳng cấu với ℤ/nℤ = ℤ
n
.
15

Để phục vụ cho “định lý phân tích” trong phần sau, ta sẽ khảo sát các phần tử đặc
biệt trong modun: các phần tử có cấp là lũy thừa của một phần tử nguyên tố.
Định nghĩa 3.11. Cho là một R-modun, với mỗi phần tử nguyên tố p trong R, ta
xét tập:
X
p
= { x ∈ X│∃ n ∈ ℕ: p
n
x = 0}
ta gọi X
p
là một thành phần p-nguyên sơ ( p-primary component ) của X. Mỗi phần
tử của X
p
cũng được gọi là phần tử p-nguyên sơ.
Một modun M trên R được gọi là p-nguyên sơ nếu M = M

p
.
Bổ đề 3.12. Thành phần p-nguyên sơ X
p
của modun X là một modun con của X.
Chứng minh. Hiển nhiên X
p
là một tập con của X và ta có:
(i) rõ ràng 0 ∈ X
p
nên X
p
≠ Ø.
(ii) nếu x, y ∈ X
p
thì tồn tại m, n ∈ ℕ sao cho p
m
x = 0 và p
n
y = 0. Khi đó
p
mn
(x + y) = 0 dẫn đến x + y ∈ X
p
.
(iii) nếu x ∈ X
p
và r bất kì trong R thì tồn tại m ∈ ℕ sao cho p
m
x = 0 suy ra p

m
(rx)
= rp
m
x = 0 nghĩa là rx ∈ X
p

VậyX
p
là một modun con của X. 
Nhận xét: modun con của một modun p- nguyên sơ cũng là modun p- nguyên sơ.
Từ mệnh đề 3.10 và bổ đề 3.13 ta suy ra ngay:
Mệnh đề 3.14. Cho Y là một modun cyclic trên R, nếu Y là p-nguyên sơ thì tồn tại
n ∈ ℕ sao cho:
16

Y ≅ R/<p
n
>
Bổ đề 3.13. Nếu x là một phần tử p-nguyên sơ thì o(x) = p
m
với một m nào đó
trong ℕ.
Chứng minh. Đặt o(x) = a thì ta có ann(x) = <a>, vì x p-nguyên sơ nên tồn tại m ∈
ℕ sao cho p
m
x = 0 suy ra p
m
∈ ann(x) ( do đó a ≠ 0) dẫn đến a│p
m

mà p nguyên tố
nên tồn tại n ∈ ℕ, n ≤ m và u ∈ R* sao cho o(x) = a = up
n
, vì u khả nghịch ta có
thể đồng nhất up
m
với p
m
ta có o(x) = p.


Dễ thấy bổ đề sau là đúng:
Bổ đề 3.15. Modun thương của một modun p-nguyên sơ là modun p-nguyên sơ.
4. Hạng của modun tự do
Ta biết rằng modun là khái niệm tổng quát của không gian vector, mà trong một
không gian vector ta biết là lực lượng của mọi cơ sở là như nhau, ta sẽ chứng minh
điều này còn đúng đối với modun tự do trên vành giao hoán có đơn vị và ta sẽ lấy
lực lượng đó làm một đại lượng đặc trưng (hạng) của modun tự do. Cuối mục này
ta chứng minh một định lý về mối liên quan hạng của một modun trên PID với
hạng modun con của nó.
Trước hết ta cần một số mệnh đề sau:
Định lý 4.1. Cho R là một vành có đơn vị, X là một R-modmodun trên PID, khi đó
17

(i) X có một cơ sở không rỗng khi và chỉ khi có một tập con không rỗng M của X
gồm các phần tử có cấp 0, sao cho:
X = ⊕
௫∈ெ
Rx
Và do đó

X ≅ ⨁
௫∈ெ
ܴ
(ii) nếu X có tập sinh hữu hạn thì tồn tại một tập M và một ánh xạ i: M → X thỏa
mãn tính chất sau: với mọi ánh xạ f: M → Y, Y là một R-modun thì có duy nhất một
đồng cấu g: X → Y mà g∘i= f.
Chứng minh.
(i)
( ⟹) giả sử X có một cơ sở không rỗng M thì mọi phần tử trong X đều được biểu
diễn một cách duy nhất qua M theo định lý 2.13, nói cách khác X = ⊕
୶∈୑
Rx.
Mặt khác M độc lập tuyến tính nên với mọi x trong M nếu rx = 0 thì r = 0 suy ra
ann(x) = {0} hay o(x) = 0 vì vậy Rx ≅ R dẫn đến: X ≅ ⨁
௫∈ெ
R
(⟸) từ X = ⊕
୶∈୑
Rx ta có mỗi phần tử trong X được biểu diễn tuyến tính một
cách duy nhất qua M nên M là cơ sở của X.
(ii) ta sẽ chứng minh cơ sở M của X và ánh xạ nhúng i từ M vào X thỏa mãn (iii),
thật vậy, giả sử f là ánh xạ từ M vào Y.
Với mọi x trong X ta có một biểu diễn duy nhất:
x = ∑ r
m
m, với m ∈ M, r
m
∈ R
18


khi đó với mọi ánh xạ f: M → Y, ta xét g như sau:
g: X → Y
x = ∑ r
m
m ⟼ ∑r
m
f(m)
dễ dàng thấy g là một đồng cấu từ X vào Y và g∘i= f. 
Để chuNn bị cho định lý tiếp theo, ta cần bổ đề sau mà việc chứng minh là dễ dàng:
Bổ đề 4.2. Cho R là một vành có đơn vị, X là một R-modun, I là một ideal của R,
khi đó IX := { ∑a
i
x
i
: a
i
∈ I, x
i
∈ X} là một modun con của X. Hơn nữa X/IX là một
R/I- modun bằng cách xem (r + I)(x + IX) = rx + IX.
Định lý 4.3. Cho R là một vành có đơn vị, R ≠ I ⊲ R, I là một ideal, X là một R-
modun tự do với cơ sở S. Khi đó X/IX là một R/I-modun tự do với cơ sở p(S), p là
phép chiếu chính tắc từ X vào X/IX. Ngoài ra p
│S
: S → p(S) là song ánh.
Chứng minh.
(i) với mọi x + IX ∈ X/IX, ta có x = ∑r
i
s
i

, r
i
∈ R, s
i
∈ S nên x + IX = ∑
i
(r
i
+ I)(s
i
+
IX). Vậy p(S) là một hệ sinh của X/IX.
(ii) ta chứng minh p(S) độc lập tuyến tính. Nếu ∑
i
(r
i
+ I)(s
i
+ IX) = IX thì ∑
i
r
i
s
i
+
IX = I X hay ∑
i
r
i
s

i
∈ IX. Vì vậy ta có thể biểu diễn ∑
i
r
i
s
i
= ∑
j
a
j
x
j
, a
j
∈ I, x
j
∈ X, mặt
khác S là cơ sở của X nên với mỗi j, x
j
= ∑
k
b
jk
s
k
(ta có thể giả sử tập chỉ số của k
giống nhau với các j khác nhau), vậy ta có biểu diễn:
∑
i

r
i
s
i
= ∑
j
a
j
∑
k
b
jk
s
k
= ∑
j
∑
k
a
j
b
jk
s
k
= ∑
k
∑
j
a
j

b
jk
s
k

19

Đồng nhất hệ tử của các s
i
ở 2 vế ta có r
i
= ∑
j
a
j
b
ji
∈ I hoặc r
i
= 0 nên r
i
+ I = I với
mọi i. Ta kết luận p(S) độc lập tuyến tính.
Ta chứng minh p
│S
: S→p(S) là song ánh. Hiển nhiên p
│S
là toàn ánh, mặt khác p
│S


đơn ánh là rõ ràng do tính độc lập tuyến tính của p(S). 
Định lý 4.5. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, X là R-modun tự do khi đó mọi cơ
sở của X đều có cùng lực luợng, ta gọi lực lượng đó là hạng của X, kí hiệu bởi
rank(X ).
Để chứng minh kết quả này ta cần thêm kết quả sau:
Bổ đề 4.6. Mọi ideal I ≠ R của vành có đơn vị R đều nằm trong một ideal tối đại
nào đó của R.
Chứng minh. Xét tập hợp các ideal J của R: ℜ ={J│I ⊆ J ≠ R}
Rõ ràng ℜ ≠ Ø vì I ∈ ℜ. Nếu J
1
⊆ J
2
⊆…J
n
⊆…là một dây chuyền tiến trong ℜ
thì
ڂ
ܬ
ஶ
௡ୀଵ
n
≠ R, do đó (ℜ, ⊆) thỏa điều kiện của bổ đề Zorn. Vậy tồn tại một phần
tử tối đại của ℜ mà ta kí hiệu là M, khi đó M ≠ R. Nếu I’ ≠ R là một ideal của R
chứa M thì do tính tối đại của M trong ℜ, ta có I’ = M. Vậy M là ideal tối đại của
R chứa I. 
Hệ quả 4.7. Trong vành R có đơn vị luôn tồn tại ideal tối đại.
Chứng minh định lý 4.5.
Giả sử X là một R-modun tự . Theo hệ quả 4.9 trên tồn tại ideal tối đại I của R, nếu
S
1

, S
2
là các cơ sở của X thì p(S
1
), p(S
2
) là các cơ sở của R/I-modun tự do X/IX.
20

Mặt khác R/I là trường vì I là ideal tối đại và R giao hoán có đơn vị, vì vậy X/XI là
một không gian vector dẫn đến │p(S
1
)│=│p(S
2
)│, phần cuối của định lý 4.3 cho
ta:
│S
1
│= │p(S
1
)│=│p(S
2
)│= │S
2
│ 
Định lý 4.8. Cho X là một R-modun với R là một vành có đơn vị. Nếu Y là modun
con của X sao cho X/Y là modun tự do thì tồn tại modun con Z của X sao cho:
ܺ/ܻ ≅ ܼ ݒà ܺ = ܻ ⊕ ܼ
Và do đó Z cũng là modun tự do.
Chứng minh. Giả sử S = {x

i
+ Y│i ∈ I} là cơ sở của modun tự do X/Y. Xét tương
ứng:
f: X/Y → X

∑
ݎ
௠
௜ୀଵ
i
(x
i
+ Y) ⟼
∑
ݎ
௠
௜ୀଵ
i
x
i

Ta chứng minh f là ánh xạ, thật vậy giả sử x + Y = y+Y , vì S là cơ sở của X/Y
nên ta có các biểu diễn của x +Y, y +Y theo S, không mất tổng quát ta có thể giả cả
hai đều biểu diễn tuyến tính qua cùng một họ { x
i
+ Y │i =1, n} của S:
x + Y =
∑
ݎ
௠

௜ୀଵ
i
(x
i
+ Y),
y +Y =
∑
ݏ
௠
௜ୀଵ
i
(x
i
+ Y),
do đó:

∑
ݎ
௠
௜ୀଵ
i
(x
i
+ Y) =
∑
ݏ
௠
௜ୀଵ
i
(x

i
+ Y)
Do tính độc lập tuyến tính của { x
i
+ Y│i =1, n} ta có r
i
= s
i
, ∀i = 1,…, n, vì vậy:
21


∑
ݎ
௠
௜ୀଵ
i
x
i
=
∑
ݏ
௠
௜ୀଵ
i
x
i

Từ định nghĩa của f dễ thấy f là một đồng cấu và ker(f) = {Y} = {0
X/Y

} vì vậy nếu
đặt Z = Imf(f) ≤ X thì ta được:
(X/Y)/{0
X/Y
} ≅ Z hay X/Y ≅ Z.
Bây giờ ta chứng minh X = Y ⊕ Z
Với mọi x ∈ X, ∃ r
i
∈ R sao cho x + Y =
∑
ݎ
௠
௜ୀଵ
i
(x
i
+ Y) =
∑
ݎ
௠
௜ୀଵ
i
x
i
+ Y suy ra có y
∈ Y để x =
∑
ݎ
௠
௜ୀଵ

i
x
i
+ y ∈ Z + Y. Mặt khác nếu t ∈ Y ⋂ Z thì vì t ∈ Z, ta có t =
∑
ݏ
௡
௜ୀଵ
i
x
i
∈ Y suy ra t + Y = Y = 0
X/Y
hay
∑
ݏ
௡
௜ୀଵ
i
(x
i
+ Y) = 0
X/Y
dẫn đến s
i
= 0, ∀i =
1,…, n, hay t = 0. Tóm lại ta đã chứng minh:
X = Y +Z và Y ⋂ Z = {0}.
Vậy
X = Y ⊕ Z. 

Định lý 4.9. Cho R là một PID, khi đó mọi modun con Y của modun tự do hữu hạn
sinh X cũng là modun tự do hữu hạn sinh với:
rank(Y) ≤ rank(X)
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n = rank(X).
(i) nếu n = 1, ta có X ≅ R, tức có đẳng cấu f : X→ R, vì Y ⊲ X nên Y ≅ f(Y) và
f(Y) là một ideal của R, R là PID nên f(Y) = Rr, với một r trong R. Khi đó dễ thấy
nếu r = 0 thì Y ≅ 0, còn nếu r ≠ 0 thì Y ≅ R. Vậy Y là modun tự do và rank(Y) = 0
hoặc 1, suy ra rank(Y) ≤ rank(X).
22

(ii) giả sử mệnh đề cần chứng minh đúng với trường hợp rank(X) < n. Ta xét
trường hợp X có cơ sở {x
1
, x
2
,…, x
n
}. Đặt
X’ = <x
1
, x
2
,…, x
n-1
> và Y’ = Y⋂X’ ≤ X’.
Theo giả thiết qui nạp thì Y’ là modun tự do với rank(Y’) ≤ n -1. Ta chứng minh
X/X’ ≅ Rx
n
≅ R bằng cách xét ánh xạ:
g : Rx

n
→ X/X’
rx
n
⟼ rx
n
+ X’
do định nghĩa của X
’
thì rõ ràng g là toàn cấu. Nếu rx
n
+ X’ = 0 thì rx
n
∈ X’ do đó
có thể biểu diễn rx
n
= r
1
x
1
+ r
2
x
2
+…+r
n-1
x
n-1
. Do tính độc lập tuyến tính của { x
1

,
x
2
,…, x
n
}so sánh hệ tử của x
n
ở 2 vế ta suy ra r = 0 kéo theo rx
n
= 0. Vậy g
đơn cấu, tóm lại g đẳng cấu.
Bậy giờ ta có:
Y/Y’= Y/(Y⋂X’) ≅ (X’ + Y)/X’ ⊲ X/X’ ≅ R.
Do đó theo (i) Y/Y’ = 0 hoặc Y/Y’≅ R. Ta xét các trường hợp này:
1. nếu Y/Y’ = 0 thì Y = Y’nên Y là modun tự do có rank(Y) = rank(Y’) ≤ n -1 ≤ n
2. nếu Y/Y’ ≅ R thì áp dụng định lý 4.8 tồn tại Z ⊲ X sao cho:
Y/Y’ ≅ Z ≅ R và Y = Y’ ⊕ Z
Từ đó Y = Y’ ⊕ Z là modun tự do và
rank(Y) = rank(Y’) + rank(Z) ≤ (n -1) + 1 = n. 
23

5. Cấu trúc của modun hữu hạn sinh trên
PID
Trong phần này ta sẽ chứng minh một định lý về sự phân tích một modun hữu hạn
sinh

trên R (là một PID) thành tổng trực tiếp của các thành phần có dạng R hoặc
R/<d>
.


Định lý 5.1. Cho R là một miền nguyên, M là R-modun với modun con N. Nếu N và
M/N là xoắn thì M cũng xoắn.
Chứng minh. Lấy x bất kì trong M, vì x + N xoắn nên tồn tại 0 ≠ r ∈ R sao cho rx +
N = 0 hay rx ∈ N, vì n xoắn nên có s ≠ 0 sao cho srx = 0 mà rs ≠ 0 kéo theo x xoắn.
Như vậy M xoắn. 
Định lý 5.2. Cho R là một miền nguyên, M là một R- modun hữu hạn sinh, không
xoắn. Nếu ta có thể viết M = Ra
1
+ Ra
2
+…Ra
n
, a
i
∈ M\{0} thì tồn tại k ∈ ℤ, 1 ≤ i
1
< i
2
<….< i
k
≤ n sao cho:
(i) modun con F = Rܽ
௜
భ
+ ܴܽ
௜
మ
+ ⋯+ ܴܽ
௜
ೖ

hữu hạn sinh và tự do.
(ii) modun thương M/F là xoắn.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo n.
Nếu n =1 thì M là modun hữu hạn sinh và tự do, chọn F = M ta điều cần chứng
minh.
24

Giả sử định lý đúng với mọi modun M hữu hạn sinh xoắn -tự do với số phần tử
sinh ít hơn n. Với trường hợp M sinh bởi n phần tử, ta xét các trường hợp:
(i) Nếu {a
1
,…, a
n
} độc lập tuyến tính thì M tự do hữu hạn sinh, chọn F = M ta có
điều cần chứng minh.
(ii)Trường hợp {a
1
,…, a
n
} phụ thuộc tuyến tính, không mất tổng quát ta giả sử có r
≠ 0 và các r
1
,…, r
n-1
trong R sao cho ra
n
=
∑
ݎ
௡ିଵ

௜ୀଵ
i
a
i
∈ N := Ra
1
+…+ Ra
n-1
. Theo
giả thiết qui nạp ta có modun con hữu hạn sinh tự do F của N sao cho N/F xoắn.
Bây giờ ta chứng minh M/N xoắn, lấy a + N ∈ M/N khi đó ta có biểu diễn:
a + N =
∑
ݏ
௡
௜ୀଵ
i
a
i
+ N = s
n
a
n
+ N
suy ra r(a + N) = s
n
ra
n
+ N = N vì ra
n

∈ N, đẳng thức này cho ta M/N xoắn.
Theo định lý đẳng cấu ta có:
M/N ≅ (M/F)/(N/F)
Vì M/N xoắn nên (M/F)/(N/F) cũng xoắn mà N/F xoắn nên định lý 4.16 cho ta
M/F xoắn là điều cần chứng minh. 

Định lý 5.3. Mỗi modun hữu hạn sinh không xoắn trên miền nguyên đều đẳng cấu
với modun con của một modun tự do hữu hạn sinh.
Chứng minh. Gọi M là modun sinh bởi {a
1
,…, a
n
}. Theo định lý 5.2, tồn tại modun
con tự do hữu hạn sinh F của M sao cho M/F xoắn, suy ra với mỗi i = 1, ,n: tồn tại
25

t
i
≠ 0 sao cho t
i
a
i
+ F = t
i
(a
i
+ F) = 0 hay a
i
t
i

∈ F. Đặt t = t
1
t
2
t
n
≠ 0. Nếu lấy a =
∑
ݎ
௡
௜ୀଵ
i
a
i
∈ M thì ta =
∑
ݎ
௡
௜ୀଵ
i

∏
ݐ
௝ஷ௜
j
(t
i
a
i
) ∈ F vậy tM ⊆ F. Xét ánh xạ sau:

f: M → F
a ↦ ta
dễ thấy f là một đồng cấu. Mặt khác kerf = {a│ta = 0} = {0} vì M không xoắn, ta
được f đơn cấu. Hệ thức M/kerf ≅ Imf cho ta:
M ≅ tM
Tức M đẳng cấu với modun con của modun hữu hạn sinh tự do F. 
Định lý 5.4. Mỗi modun hữu hạn sinh không xoắn trên một PID là modun tự do.
Chứng minh. Theo định lý 5.3 mỗi modun hữu hạn sinh không xoắn trên PID đẳng
cấu với modun con của một moun hữu hạn sinh tự do, mặt khác theo định lý 4.9
modun con của modun hữu han sinh tự do trên PID là modun tự do vậy ta có điều
phải chứng minh. 
Đoạn tiếp theo ta sẽ chứng minh định lý về sự phân tích của modun hữu hạn sinh
xoắn trên PID. Các bổ đề sau là cần thiết:
Bổ đề 5.5. nếu T là một R-modun xoắn, hữu hạn sinh với R là PID và giả sử T =
<x
1,
x
2
,…, x
m
>, o(x
i
) = d
i
, d = BCNN(a
1
,…,a
n
) thì ann(T) = <d>, trong đó
ܣ݊݊(ܶ) = { ݎ ∈ ܴ│ݎݔ = 0,∀ ݎ ∈ ܶ}

là một ideal của R.