BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG THỊ NHUNG

DI THNG SUY RNG
Luận văn thạc sỹ toán học

Ngi hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN


Nghệ An, 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

HONG TH NHUNG

DI THNG SUY RNG
Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S
Mó s: 60.46.05

Luận văn thạc sỹ toán häc

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN


Nghệ An, 2011
MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU………………………………………………………………........ 2
CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………………. 4
1.1. Iđêan nguyên tố. Iđêan cực đại. Iđêan nguyên sơ……………………… 4
1.2. Phổ của vành…………………………………………………………… 4
1.3. Giá của môđun…………………………………………………………. 4
1.4. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun…………………………... 5
1.5. Độ dài môđun………………………………………………………….. 5
1.6. Chiều Krull của môđun………………………………………………… 6
1.7. Hệ tham số của mơđun……………………………………………........ 7
1.8. Số bội…………………………………………………………………... 7
1.9. Dãy chính qui………………………………………………………….. 8
1.10. Vành và môđun các thƣơng………………………………………….. 9
1.11. Vành Iđêan hóa……………………………………………………….. 11
1.12. Mơđun đối đồng điều địa phƣơng……………………………………..12
1.13. Mơđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen – Macaulay suy rộng........ 13
CHƢƠNG II: ĐỘ DÀI THƢƠNG SUY RỘNG……………………........ 14
2.1. Mô đun các thƣơng suy rộng…………………………………………... 14
2.2. Độ dài thƣơng suy rộng………………………………………………... 16
KẾT LUẬN…………………………………………………………………30
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 31


MỞ ĐẦU
Trong suốt luận văn, chúng tôi luôn giả thiết (R, m) là vành Noether,
địa phƣơng với iđêan tối đại duy nhất là m và M là một R-môđun hữu hạn
sinh với chiều Krull là d.
Trong [11], R.Y.Sharp và Zakeri đã xây dựng một R-môđun gọi là
môđun các thƣơng suy rộng. Với mỗi số nguyên dƣơng k , các tập tam giác
trong R k đƣợc định nghĩa bởi Sharp và Zakeri đóng vai trị nhƣ các tập đóng
nhân trong lý thuyết quen biết về vành và mơđun các thƣơng. Vì thế lý thuyết

mơđun các thƣơng suy rộng có thể xem nhƣ là mở rộng của lý thuyết địa
phƣơng hóa thơng thƣờng. Lý thuyết mơđun các thƣơng suy rộng có ứng
dụng rộng rãi trong Đại số giao hoán. Chẳng hạn, Giả thuyết Đơn thức của M.
Hochster có thể đƣợc phát biểu lại dƣới dạng: với mỗi hệ tham số ( x1,..., xd )
của M độ dài của thƣơng suy rộng 1/( x1 ,..., xd ,1) khác không.
Với mỗi hệ tham số ( x1,..., xd ) của M và mỗi bộ (n1,..., nd ) gồm d số
nguyên dƣơng, chúng ta xem độ dài của thƣơng suy rộng 1/( x1n1 ,..., xdnd ,1) nhƣ
là một hàm theo các biến nguyên dƣơng n1 ,..., nd . R. Y. Sharp và M. A.
Hamieh [9] đã hỏi rằng: liệu hàm độ dài
qx; M (n) = (1/( x1n1 ,..., xdnd ,1) )

có phải là một đa thức theo biến n1 ,..., nd với hệ số hữu tỷ khi n1 ,..., nd đủ lớn?
Trong [9], R. Y. Sharp và M. A. Hamieh mới chỉ chứng minh đƣợc rằng
qx; M (n) là đa thức khi d  2 hoặc M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.


Đến năm 2003, N. T. Cƣờng, M. Morales and L. T. Nhàn [6] đã chỉ ra
phản ví dụ cho câu hỏi trên của R. Y. Sharp và M. A. Hamieh. Mục đích của
Luận văn là trình bày lại một cách tƣờng minh phản ví dụ này.
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo nội dung của luận
văn đƣợc chia làm hai chƣơng. Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị. Trong chƣơng
này chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại số giao hốn có sử
dụng trong luận văn. Chƣơng II: Độ dài thƣơng suy rộng. Chƣơng này là nội
dung chính của luận văn. Trong chƣơng này chúng tơi trình bày các vấn đề
sau:
- Khái niệm độ dài thƣơng suy rộng.
- Câu hỏi mở của R. Y. Sharp và M. A. Hamieh về độ dài thƣơng suy
rộng.
- Phản ví dụ cho câu hỏi mở trên.
Luận văn đƣợc hoàn thành vào tháng 10/ 2011 tại Trƣờng Đại học Vinh

dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác
giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, ngƣời hƣớng dẫn nhiệt tình, chu
đáo, và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cũng nhân
dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán và
Khoa Sau đại học đã giúp đỡ trong suốt q trình học tập và hồn thành luận
văn. Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Cao học 17- Đại số và
Lý thuyết số đã giúp đỡ động viên trong suốt quá trình học tập.
Luận văn đƣợc hoàn thành bằng tất cả sự nỗ lực và cố gắng của bản
thân song vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận
đƣợc ý kiến đóng góp của các thầy cơ giáo và bạn đọc để luận văn đƣợc hoàn
thiện hơn.
Nghệ An, tháng 11 năm 2011
Tác giả


CHƢƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày một số khái niệm của Đại số
giao hoán nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn.
Chúng tơi sẽ trình bày những vấn đề sau: iđêan nguyên tố, iđêan cực đại,
iđêan nguyên sơ, phổ của vành, giá của môđun, tập các iđêan nguyên tố liên
kết của môđun, độ dài của môđun, chiều Krull của mơđun, hệ tham số của
mơđun, số bội, dãy chính qui, vành và mơđun các thƣơng, vành iđêan hóa,
mơđun đối đồng điều địa phƣơng,…
1.1. Iđêan nguyên tố. Iđêan cực đại. Iđêan nguyên sơ
(i) Iđêan I của R đƣợc gọi là iđêan nguyên tố nếu I  R và x, y  R mà xy  I
thì x  I hoặc y  I.
(ii) Iđêan I của R đƣợc gọi là iđêan cực đại nếu I  R và không tồn tại iđêan J


 R sao cho J  I và J  I .
(iii) Iđêan I của R đƣợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu I  R và x, y  R mà xy

 I và x  I thì tồn tại n sao cho y n  I .
1.2. Phổ của vành. Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành
R . SpecR đƣợc gọi là phổ của vành R .

Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V ( I )  {P  SpecR P  I }.





1.3. Giá của môđun. Tập con Supp M= P  SpecR M p  0 của SpecR đƣợc
gọi là giá của môđun M.
Với mỗi x  M ta kí hiệu
AnnR ( x)  a  R ax  0;
AnnR M  a  R aM  0  a  R ax  0, x  M .


Ta có AnnR ( x) và AnnR M (hoặc Ann( x) và AnnM nếu không để ý đến vành
R) là những iđêan của vành R , AnnR M đƣợc gọi là linh hóa tử của mơđun
M . Hơn nữa, nếu M là R -mơđun hữu hạn sinh thì

SuppM  V ( AnnR M )  P  Spec R AnnR M  P.

1.4. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.4.1. Định nghĩa. Cho M là một R -môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố p của R
là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tƣơng
đƣơng sau đƣợc thỏa mãn:

(i) Tồn tại phần tử x  M sao cho Ann(x) = p.
(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M đƣợc kí hiệu là AssRM (hoặc AssM
nếu không để ý đến vành R).
1.4.2. Mệnh đề. AssRM  SuppRM và mọi phần tử tối tiểu của SuppRM đều
thuộc AssRM.
1.4.3. Mệnh đề. Nếu M là R-môđun Noether thì AssRM là tập hợp hữu hạn.
1.5. Độ dài của môđun
1.5.1. Định nghĩa. Một dãy hợp thành của một R-môđun M là một dãy giảm
gồm một số hữu hạn các môđun con
M  M 0  M1  .....  M n  0 ,

sao cho Mi-1/Mi là môđun đơn với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó n đƣợc gọi là độ
dài của dãy hợp thành này. Mơđun M có một dãy hợp thành đƣợc gọi là một
mơđun có dãy hợp thành.
1.5.2. Định nghĩa. Nếu R-mơđun M có một dãy hợp thành có độ dài n, thì tất
cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Khi đó độ dài chung của các
dãy hợp thành của M đƣợc gọi là độ dài của mơđun M và kí hiệu là

R

(M ) .


Nếu R-mơđun M khơng có dãy hợp thành thì ta quy ƣớc độ dài

R

( M )   và


đƣợc gọi là mơđun có độ dài vơ hạn.
1.5.3. Mệnh đề Cho M, N, P là các R-mơđun, khi đó ta có các tính chất sau:
(i) Một R-mơđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là môđun Noether
vừa là môđun Artin.
(ii) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0 
 N 
 M 
 P 
0 .

Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P có độ dài hữu hạn, và ta
ln có
R

(M ) =

R

(N ) +

R

( P) .

(iii) Nếu N là R-môđun con của R-mơđun M và M có độ dài hữu hạn thì
R

(M ) =


R

(N ) +

R

(M / N ) .

(iv) Nếu R là vành Noether và M là một R-môđun có độ dài hữu hạn
thì AssR(M) = SuppR(M).
1.6. Chiều Krull của môđun
Một dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố của R: p0  p1  ...  pn
đƣợc gọi là một xích ngun tố có độ dài bằng n. Cho p  SpecR. Chặn trên
của độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p đƣợc gọi là độ cao của p. Kí
hiệu là ht(p). Nghĩa là:
ht(p) = Sup {độ dài các xích nguyên tố với p0 = p}.
Cho I là một iđêan của R. Khi đó ta định nghĩa:
ht ( I )  inf ht ( p) / p  SpecR, p  I  .

Chặn trên của các xích nguyên tố trong R đƣợc gọi là chiều Krull của vành R.
Kí hiệu là: dimR.
Giả sử M là một R-mơđun. Khi đó dim(R/Ann(M)) đƣợc gọi là chiều Krull của
mơđun M, kí hiệu dimM hoặc dimR M.


1.7. Hệ tham số của môđun
Cho M là môđun hữu hạn sinh với dimM = d trên vành giao hoán, địa
phƣơng, Noether (R, m). Một hệ các phần tử x   x1,..., xd  của m sao cho
R


(M/(x1,...,xd )M ) <+ đƣợc gọi là một hệ tham số của M. Nếu

x   x1,..., xd  là một hệ tham số của M thì các phần tử  x1, x2 ,..., xi  gọi là một

phần hệ tham số với mọi i = 1, 2,..., d. Iđêan q = (x1, ..., xd)R đƣợc gọi là
iđêan tham số của M.
Sau đây là một số tính chất của hệ tham số:
(i) dim (M/(x1,,...,xi)M) = d – i với mọi i = 1,...,d.
(ii) xi + 1  p với mọi p  AssR(M/(x1,...,xd)M) thỏa mãn dim (R/p) = d – i trong
đó i = 1,...,d – 1.
(iii) Nếu x   x1,..., xd  là một hệ tham số của M và n   n1,..., nd  là bộ gồm d
số nguyên dƣơng thì x(n)   x1n1 , x2n2 ,..., xdnd  cũng là hệ tham số của M.
(iv) Mọi hốn vị của hệ tham số của mơđun M cũng là một hệ tham số của M.
1.8. Số bội
Cho R là một vành giao hoán, địa phƣơng, Noether với iđêan cực đại
duy nhất m; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d  0 .
Khi đó một hệ các phần tử x : ( x1,..., xt ) của m có ( M / ( x1..., xt )M )  
đƣợc gọi là một hệ bội của M ; ở đây nếu t = 0 thì ta hiểu điều kiện này có
nghĩa là (M )   . Chú ý rằng mỗi hệ tham số cũng là một hệ bội nhƣng điều
ngƣợc lại nói chung là khơng đúng. Ta ln có t  d . Khi đó ký hiệu số bội
e( x; M ) của môđun M đối với hệ bội x đƣợc định nghĩa qui nạp theo t nhƣ

sau:
Giả sử t = 0 tức là (M )   . Khi đó đặt e(, M )  (M ). Với t > 0 ,
đặt 0 :M x1  {m mx1  0}. Khi đó 0 :M x1 là một mơđun con M . Vì ( M /( x1,


..., xt ) M )   ta suy ra ((0 :M x1 ) / ( x2 ,..., xt )(0 :M x1))   , tức là ( x2 ,..., xt ) là

hệ bội của môđun con 0 :M x1 . Vậy theo giả thiết qui nạp thì

e( x2 ,..., xt ; M / x1M ) và e( x2 ,..., xt ;0M x1 ) đã đƣợc xác định. Khi đó ta định

nghĩa:
e( x2 ,..., xt ; M ) = e( x2 ,..., xt ; M / x1M ) - e( x2 ,..., xt ;0 :M x1).

Sau đây là một tính chất cơ bản của số bội e( x; M ) :
(i) 0  e( x2 ,..., xt ; M )  (M /( x2 ,..., xt )M ). Đặc biệt, nếu tồn tại i sao cho
xin M  0 với n là một số tự nhiên nào đó thì e( x1,..., xt ; M ) = 0.

(ii) e( x1,..., xt ; M ) = 0 khi và chỉ khi t > d .
(iii) e( x1n1 ,..., xtnt ; M ) = n1,..., nt e( x1,..., xt ; M ) với n1 ,..., nt là các số nguyên
dƣơng.
(iv) Cho dãy khớp ngắn các R- môđun
0  M '  M  M"  0.

Ta có, x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của M ' và M " . Hơn nữa
e( x; M ) = e( x; M ' ) + e( x; M " ).

1.9. Dãy chính qui
Một phần tử a  R đƣợc gọi là phần tử chính qui của M hay M-chính
qui nếu ax  0 với mọi x  M , x  0. Dãy các phần tử x1,..., xn m đƣợc gọi là
dãy chính qui của M hay cịn gọi là M -dãy nếu các điều kiện sau đƣợc thỏa
mãn:
(i) M / ( x1,...., xn )M  0 .
(ii) xi là M /( x1,..., xi1 )M - chính quy với mọi i=1,2,…,n.
Chú ý rằng a  R là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi
a  p, p  AssM . Do đó ( x1,..., xn ) là dãy chính quy của M khi và chỉ khi
M /( x1,..., xn )M  0 và xi  p, p  Ass(M /( x1, x2 ,..., xi1 )M ) với i  1,..., n .



Cho I là một iđêan tùy ý của R và ( x1,..., xn ) là một dãy M-dãy trong
I . Khi đó ( x1,..., xn ) đƣợc gọi là một dãy chính qui cực đại trong I nếu

khơng tồn tại y  I sao cho ( x1,..., xn , y) là dãy chính qui của M . Ta biết rằng
mọi dãy chính qui cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài và
đƣợc gọi là độ sâu của M đối với iđêan I , ký hiệu là depthI M . Đặc biệt,
nếu I = m thì depthm M đƣợc gọi là độ sâu của M và ký hiệu là depth M .
Nếu ( x1,..., xr ) là một dãy chính qui của M thì nó cũng là một phần hệ
tham số của M . Do đó depth M  dimM .
1.10. Vành và môđun các thƣơng
1.10.1. Vành các thƣơng
Cho R là một vành giao hốn, có đơn vị. Một tập con S của R đƣợc gọi
là tập nhân đóng của R nếu 1 S và với mọi a, b  S thì ab  S .
Giả sử R là vành giao hốn, có đơn vị. S là tập nhân đóng của vành R.
Trên tích Đề-các R  S trang bị quan hệ hai ngơi
(r, s)
Khi đó quan hệ

: Với (r, s), (r, s)  R  S:

(r, s)   t  S sao cho: t( s r – s r  ) = 0.

là một quan hệ tƣơng đƣơng. Kí hiệu

r
là lớp tƣơng đƣơng
s

chứa phần tử (r, s) và S-1R là tập thƣơng của R  S theo quan hệ tƣơng đƣơng
:

r

S-1R =  r  R, s  S  .
s


Trên S-1R, trang bị phép cộng và phép nhân nhƣ sau: với
(i) Phép cộng:

r r ' s ' r  sr '
 
;
s s'
ss '

r r'
,  S 1R :
s s'


(ii) Phép nhân:

r r ' rr '
.
. 
s s ' ss '

Với hai phép tốn cộng và nhân nói trên thì S-1R lập thành một vành giao
hốn có đơn vị. Vành S-1R đƣợc gọi là vành các thương của R theo tập nhân
đóng S.

Đặc biệt cho p  SpecR. Tập S = R\ p là tập nhân đóng của vành R. Khi
đó ta ký hiệu Rp thay cho S-1R.
r

Rp =  r  R, s  p  .
s


Vành Rp là vành địa phƣơng nên Rp đƣợc gọi là vành địa phương hóa của R
tại iđêan ngun tố p.
1.10.2. Mơđun các thƣơng
Cho S là tập nhân đóng của vành R, khi đó ta có vành thƣơng S-1R. Cho
M là R – mơđun. Trên tích Đề - các M  S ta xác định một quan hệ hai ngôi
: Với (m, s) và (m, s)  M  S:
(m, s)

(m, s)   t  S sao cho: t (sm  sm)  0 .

Quan hệ hai ngôi

là một quan hệ tƣơng đƣơng (chứng minh tƣơng tự

nhƣ ở phần vành các thƣơng). Khi đó ta kí hiệu
phần tử (m,s). Tập thƣơng M  S /

m
là lớp tƣơng đƣơng chứa
s

đƣợc kí hiệu là S-1M


m

S-1M =  m  M , s  S  .
s


Trên S-1M ta trang bị hai phép toán:
 Phép cộng:

m m ' s ' m  sm '


.
s s'
ss '

 Phép nhân với vô hƣớng :

r m rm
.
. 
t s
ts


Với

m m'
,  S 1M

s s'

r
;  S 1R .
t

Khi đó với hai phép tốn cộng và nhân với vơ hƣớng nói trên thì S-1M
là S-1R - mơđun và gọi là mơđun các thƣơng của M theo tập nhân đóng S.
1.11. Vành iđêan hóa
1.11.1. Định nghĩa. Cho (R,m) là một vành Noether địa phƣơng và M là một
R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Trang bị cho tích trực tiếp R  M phép cộng
và phép nhân nhƣ sau: với mọi (r, m), (s, n)  R  M , đặt
(r, m)  (s, n)  (r  s, m  n) ,
(r , m).(s, n)  (rs, rn  sm).

Khi đó R  M trở thành một vành, đƣợc gọi là vành iđêan hóa của M (trên R)
và đƣợc kí hiệu R M. Vành iđêan hóa R M là một vành Noether địa phƣơng
với đơn vị là (1,0) và iđêan cực đại duy nhất của nó là m  M . Chiều Krull
của vành iđêan hóa chính là dim R.
Có một tồn cấu chính tắc  : R M  R đƣợc xác định bởi  ((r , m))  r
và một phép nhúng tự nhiên  : R  R M xác định bởi  (r )  (r ,0) . Những
ánh xạ này là các đồng cấu và chúng ta có thể coi mỗi R-mơđun nhƣ là một
R M -môđun thông qua đồng cấu tự nhiên và ngƣợc lại, chúng ta có thể coi
mỗi R M -mơđun nhƣ là một R-môđun thông qua đồng cấu  . Chú ý rằng
với mỗi R- môđun, cấu trúc của các R-môđun cảm sinh qua đồng cấu hợp
thành  là trùng với cấu trúc R-môđun ban đầu.
1.11.2. Mệnh đề. Cho c là một iđêan của R

M. Khi đó c là (m  M ) -


nguyên sơ nếu và chỉ nếu  (c) là m-nguyên sơ. Đặc biệt, nếu x  ( x1,..., xd )
là một hệ tham số của R thì ( x,0)  (( x1,0),...,( xd ,0)) là một hệ tham số của
R M.


1.12. Môđun đối đồng điều địa phƣơng
Cho I là một iđêan của R. Khi đó hàm tử I – xoắn  I    từ phạm trù
các

vào phạm trù

R-môđun

1 ( M ) 


n 1

0 :

M

các

R-môđun đƣợc xác định bởi

I n  là hàm tử cộng tính, khớp trái, hiệp biến trong phạm trù

các R-môđun với hàm tử dẫn xuất phải thứ i là Ri  I    (i = 1,2,3.....).
Môđun đối đồng điều thứ i của M kí hiệu H Ii  M  đƣợc xác định bởi

H Ii  M   Ri  I  M  .

Từ định nghĩa trên ta có thể xác định H Ii  M  nhƣ sau: Trƣớc hết ta lấy
lời giải nội xạ:
1

i 1

d
d
d
d
d
I : 0 
 I 0 
 I 1 
......... 
 I i 
 I i1 
...
0

1

i

 I 0 sao cho dãy:
của M. Khi đó có một R – đồng cấu  : M 
i 1



d
d
d
d
M 
 I 0 
 I 1 
......... 
 I i 
 I i1 
...
0

1

i

là khớp. Từ đó ta nhận đƣợc phức:
1

( d )
1 ( d )
( d )
0 
1 ( I 0 ) 
......... 
 I ( I i ) 
1( I i1 ) 
... .

0

i

Ta có: H Ii (M )  Ker I (d i1 ) / Im 1 (d i ) .
Cần chú ý rằng H Ii ( M ) không phụ thuộc vào việc lựa chọn lời giải nội
xạ của M. Dễ thấy H I0 (M )  1 (M ) do đó H I0 ( M ) là một mơđun con của M.
Ta có một số tính chất sau đây của mơđun đối đồng điều địa phƣơng.
(i) Nếu InM = 0 với một số tự nhiên n nào đó thì H I0 (M )  M và
H Ii (M )  0 (i  0) .

(ii) Cho r là một số tự nhiên. Khi đó H Ii ( M ) là môđun hữu hạn sinh với i < r
nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho I n H Ii (M )  0 với mọi i < r.


(iii) Khi I = m là iđêan cực đại của R thì H mi ( M ) là R– mơđun Artin, hơn nữa
H mi ( M ) = 0 với mọi i > d.

1.13. Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen – Macaulay suy rộng
Cho x = ( x1,..., xd ) là hệ tham số của M . Ký hiệu
I ( x) = (M / xM ) - e( x; M ).

Khi đó I M ( x)  0 . Đặt I (M ) = SupI M ( x) với sup lấy trên tập tất cả các hệ
tham số của M .
1.13.1. Định nghĩa
(i) M đƣợc gọi là môđun Cohen–Macaulay nếu I M ( x) = 0 với mọi hệ tham số
x của M .

(ii) M đƣợc gọi là môđun Cohen–Macaulay suy rộng nếu I ( M )   .
(iii) Vành R đƣợc gọi là vành Cohen–Macaulay (tƣơng ứng Cohen–Macaulay

suy rộng) nếu R là môđun Cohen–Macaulay (tƣơng ứng Cohen–Macaulay suy
rộng) trên chính nó.
1.13.2. Mệnh đề. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay.
(ii) dimM  depth M .
(iii) Tồn tại một hệ tham số x của M để I M ( x) = 0 .
(iv) H mi (M ) = 0 với mọi i  dimM .
1.13.3. Mệnh đề. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii) ( H mi ( M ))   với mọi i  dimM .


CHƢƠNG II

ĐỘ DÀI THƢƠNG SUY RỘNG
2.1. Môđun các thƣơng suy rộng
Trong [11], R. Y. Sharp và H. Zakeri đã xây dựng một R-môđun gọi là
môđun các thƣơng suy rộng. Với mỗi số nguyên dƣơng k, các tập con tam
giác trong R k đóng vai trị nhƣ tập nhân đóng trong Lý thuyết vành và mơđun
các thƣơng. Vì thế Lý thuyết mơđun các thƣơng suy rộng có ứng dụng rộng
rãi trong Đại số giao hốn. Chẳng hạn, mơđun đối đồng điều địa phƣơng cấp
cao nhất H md ( M ) có thể xem nhƣ là một môđun các thƣơng suy rộng của M
ứng với một tập con tam giác trong R d 1 và ngƣời ta đã dùng kết quả này để
nghiên cứu Giả thuyết đơn thức của M. Hochster.
Trong tiết này chúng tơi trình bày việc xây dựng mơđun các thƣơng suy
rộng.
2.1.1. Tập con tam giác. Cho n là một số nguyên dƣơng. Kí hiệu Dn(R) là tập
tất cả các ma trận tam giác dƣới cấp n  n với hệ tử trong R. Một tập con tam
giác của Rn là một tập con khác rỗng U của Rn sao cho hai điều kiện sau đƣợc
thỏa mãn:

(i) Nếu (u1, u2,..., un)  U thì  u11 , u22 ,..., unn  U với mọi bộ số nguyên
dƣơng 1 ,..., n .
(ii) Nếu (u1, u2,..., un)  U và (v1, v2,..., vn)  U thì tồn tại (w1, w2,..., wn)  U
và H, K  Dn(R) sao cho:
H[u1, u2, ..., un]T = [w1, w2, ..., wn]T = K[v1, v2, ..., vn]T
(Ở đây kí hiệu [ ]T để chỉ ma trận chuyển vị).
Sau đây chúng tơi đƣa ra một số ví dụ về tập con tam giác.
(i) Khi k= 1 thì tập con tam giác U chính là tập nhân đóng của vành R.


(ii) Cho R là vành giao hoán, địa phƣơng, Noether và M là một R – môđun
hữu hạn sinh, dimM = d (d  1). Khi đó tập hợp
U = {(x1 ..., xd ) (x1,..., xd) là hệ tham số của M}
là một tập con tam giác của Rd.
Tập hợp U(M)d + 1 = {(y1,..., yd, 1)  Rd + 1  j, 0  j  d, sao cho (y1,...,
yj) là một phần hệ tham số của M và yj + 1 = ... = yd = 1} là một tập con tam
giác trong Rd + 1.
2.1.2. Xây dựng môđun các thƣơng suy rộng
Khi cho trƣớc một tập con tam giác U, Sharp và Zakeri [11] đã xây
dựng một R–mơđun U -n M và họ gọi đó là mơđun các thƣơng suy rộng của M
ứng với tập con tam giác U nhƣ sau.
Trên tích Đề-các M  U ta xét quan hệ hai ngôi
(u1,..., un); v = (v1,..., vn)  U, (b, (u1,..., un))

: Với b, c  M và u =

(c, (v1,..., vn)) khi và chỉ khi tồn

tại (w1,...,wn)  U và H, K  Dn(R) sao cho: H[u1,..., un]T = [w1,...,wn]T =
 n1


K[v1,...,vn]T và H b  K c    Rwi  M . Khi đó quan hệ
 i 1


là một quan hệ

tƣơng đƣơng trên M  U. Cho b  M, u = (u1,..., un)  U. Kí hiệu
lớp tƣơng đƣơng chứa
quan hệ tƣơng đƣơng

b
là
(u1 ,..., un )

(b, (u1,..., un)) và U-nM tập thƣơng của M  U theo
. Nghĩa là:



b
U nM  
b  M ;((u1 ,..., un ) U  .
 (u1 ,..., un )


Trên U -n M ta xác định đƣợc hai phép tốn: phép cộng và nhân với vơ hƣớng:
với

a

b
;
U  n M và r  R ta có
 s1,..., sn   t1,..., tn 


H b K a
a
b


 s1,..., sn   t1,..., tn  (u1,..., un )

với (u1,..., un)  U và H, K  Dn(R) thỏa mãn: Hs = u = Kt
r.

a
ra

.
( s1 ,..., sn ) ( s1,..., sn )

Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện và với hai phép
tốn trên, U-nM trở thành một R–mơđun gọi là môđun các thương suy rộng
của M theo tập con tam giác U.
2.1.3. Ví dụ. (i) Khi n = 1 thì U  S với S là tập con nhân đóng. Khi đó các
phép tốn trên U-1M trùng với các phép toán trên S-1M. Thật vậy:


r r'

Phép cộng:  ,  S 1M ta có:
s s'

r r ' s ' r  sr ' H r  K r '
,
 

s s'
ss '
u

với H  s ' ; K  s ; u  ss ' và H s  ss '  K s ' .


Phép nhân với vô hƣớng:
Với

a
a ra
 S 1M và r  R ta có: r 
s
s s

Vậy với n = 1 thì U-1M  S-1M
(ii) Cho R là một vành giao hoán, địa phƣơng, Noether. M là một R-môđun,
dimM = d. U = {( x1,..., xd ) ( x1,..., xd ) là hệ tham số của M} là tập con tam
giác của Rd. Khi đó mơđun U-dM là mơđun các thƣơng suy rộng theo tập con
tam giác U.
2.2. Độ dài thƣơng suy rộng
2.2.1. Định nghĩa. Cho x = ( x1,..., xd ) là một hệ tham số của M và

n = (n1,..., nd ) là một bộ các số nguyên dƣơng. Kí hiệu M (1/ ( x1n1 ,..., xdnd ,1)) là

môđun con {m / ( x1n1 ,..., xdnd ,1) : m  M } của môđun U ( M )-d d+1- 1 M . Môđun này


bị linh hóa tử bởi Ann M + ( x1n1 ,..., xdnd ) R . Vì thế (M (1/ ( x1n1 ,..., xdnd ,1))   .
Để thuận tiện ta đặt
qx;M (n)  (M (1/( x1n1 ,..., xdnd ,1))) .

Theo Sharp và Hamieh, độ dài qx;M (n) đƣợc gọi là độ dài thương suy rộng
1/ ( x1n1 ,..., xdnd ,1).

Sau khi định nghĩa độ dài thƣơng suy rộng, Sharp và Hamieh [9] đã đặt
ra câu hỏi sau đây.
Câu hỏi mở: Có tồn tại hay khơng một đa thức F ( X ) của d biến X1,..., X d
với hệ số hữu tỷ sao cho qx;M (n)  F (n1,..., nd ) khi n1 ,..., nd đủ lớn?
Mặc dù chƣa đƣa ra đƣợc câu trả lời cho câu hỏi trên nhƣng Sharp và
Hamieh đã chỉ ra câu trả lời đúng cho câu hỏi trên trong một số trƣờng hợp
đặc biệt. Cụ thể là các kết quả dƣới đây đã đƣợc chứng minh trong [9] chỉ ra
câu trả lời đúng khi dimR  2 hoặc R là vành Cohen – Macaulay suy rộng.
2.2.2. Định lý. Giả sử dimR =1 và x1 là một hệ tham số của R. Khi đó với
mọi n1 là số tự nhiên ta có:
( R(1/ ( x1n1 ,1)))  e( x1 )n1 .

Chứng minh. Ta có tồn tại t 

sao cho  0 : mt    0 : mt i  i  .

Do R /  0 : mt  có độ sâu dƣơng, theo [9, 2.1] ta có thể giả sử rằng độ sâu của
R dƣơng. Vì vậy trong trƣờng hợp dimR = 1, R là vành Cohen– Macaulay.

Theo [7; 3.15] ta có

 



 



l R 1/  x1n1 ,1  l  R / Rx1n1 

Và theo [3, p.311] ta có:
l R 1/  x1n1 ,1  e( x1 )n1 .


2.2.3. Định nghĩa. Cho L là một R-môđun Artin. Giả sử L  C1  ...  Ch ,
(h  0) là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của L , với Ci là pi- thứ cấp với mọi

i  1,..., h . Đặt L0 

h

 C . Môđun con L0 không phụ thuộc biểu diễn thứ cấp
i

i= 1
pi  m

tối thiểu của L và đƣợc gọi là thặng dƣ của môđun L. Chú ý rằng L0 là môđun

con bé nhất của L sao cho ( L / L0 ) < . Khi đó ( L / L0 ) gọi là độ dài thặng
dư của L . Số nguyên không âm nhỏ nhất s  s( L) sao cho ms L  L0 đƣợc gọi
là chỉ số ổn định của L .
2.2.4. Định lý. Giả sử dimR =2 và t  là độ dài thặng dư của môđun Artin
H m1 ( R) , s là chỉ số ổn định của H m1 ( R) và x1 , x2 là một hệ tham số của R. Khi

đó với mọi số tự nhiên n1, n2  s ta có:
( R(1/ ( x1n1 , x2n2 ,1)))  e( x1, x2 )n1n2  t  .

Chứng minh. Luôn tồn tại số nguyên dƣơng t sao cho
(0 : mt )  (0 : mt 1 ) ,

với mọi i  . Nếu thay vành R bằng R / (0 : mt ) không làm thay đổi giá trị
của t  và s. Do R / (0 : mt ) có độ sâu dƣơng nên ta có thể giả sử depth R  0 .
Chọn các số tự nhiên n1 , n2 sao cho n1, n2  s . Đặt
S  AssR  ( Att ( H m1 ( R)) \ {m})

là một tập hữu hạn các iđêan nguyên tố không cực đại của R. Do đó
Rx1n1 + Rx2n2 Ë U p .
pỴ S

Khi đó tồn tại a1 Ỵ R sao cho y2 = a1 x1n1 + x2 Ï U p . Do đó y2 và tất cả các
pỴ S

lũy thừa dƣơng của nó khơng là ƣớc của khơng trên R.
Chú ý rằng khi đó tồn tại b1 Ỵ R sao cho y n2 = b1x1n1 + x2n2 . Ta đặt


ổ1 0 0ử
ữ

ỗỗ
ữ
ỗ
ữ
H = ỗb1 1 0ữ
ẻ D3 ( R).
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
ữ
ỗố 0 0 1ø

Do H ( x1n1 , x2n2 ,1)T = ( x1n1 , y2n2 ,1)T và theo [9, 2.5] ta có
1/( x1n1 , x2n2 ,1) = 1/( x1n1 , y2n2 ,1) = - 1/( y2n2 , x1n1 ,1).

Mặt khác Rx1 + Rx2 = Ry2 + Rx1 nên e( x1, x2 ) = e( y2 , x1 ) , do đó
( R(1/( y2n2 , x1n1 ,1)))  e( y2 , x1 )n1n2  t .

Vì y2n khơng là ƣớc của khơng trên R, do đó ta đặt R  R / Ry2n . Từ [9, 2.2] ta
2

2

có một R  đồng cấu:

 3 : U  R  R  U  R 3 R
2

3


2

 

sao cho  3 (a /( z2 ,1))  a /( y2n z2 ,1) với mọi a  R và hệ tham số z2 của R .
2

Ta cũng chú ý rằng ker 3  H m1 ( R) / y2n H m1 ( R) và bởi cách chọn y2 , y2n2 H m1 ( A)
2

nên ker 3 có độ dài hữu hạn bằng t  . Do đó từ [9, 2.8], [11, 3.2] và [10, 3.5]
ta có:
s

n1

ker 3  R(1/( x1 ,1))  R(1/( x1 ,1)).

Từ đó chúng ta có dãy khớp ngắn sau
n1

0  ker 3  R(1/( x1 ,1))  R(1/( y2n2 , x1n1 ,1))  0.

Vì các R- mơđun trên đều có độ dài hữu hạn nên theo Mệnh đề 1.5.3 ta có
n1

( R(1/( x1 ,1)))  (ker 3 )  ( R(1/( y2n2 , x1n1 ,1))).

Mặt khác theo Định lý 2.2.2. ,

n1

R ( R(1/( x1 ,1))) 

n1

( R(1/( x1 ,1)))  eR ( x1 )n1 ,
R

mà eR ( x1 )n1  eR ( y2n2 , x1 ) (theo [3, 7.4.2 và 7.4.3]) và (ker 3 )  t , nên từ [3,
p.311] suy ra


R

( R(1/( y2n2 , x1n1 ,1)))  eR ( y2 , x1 )n1n2  t ,

vậy
( R(1/ ( x1n1 , x2n2 ,1)))  e( x1, x2 )n1n2  t  .

2.2.5. Hệ quả. Cho R là vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương có số
chiều là 2 và {x1 , x2} là một hệ tham số của R. Khi đó với mọi số nguyên
dương n1, n2  s( H m1 ( R)) ta có
( R(1/ ( x1n1 , x2n2 ,1)))  e( x1, x2 )n1n2  ( H m1 ( R)) .

2.2.6. Chú ý. Cho dãy khớp các R- môđun N  P  Q và b, c là iđêan của
R sao cho bN  0  cQ . Khi đó bcP  0 . Đặc biệt, nếu N , P, Q đều có độ dài

hữu hạn thì s( P)  s( N )  s(Q) .
2.2.7. Hệ quả. Cho R là vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương và

x1  m khơng là ước của khơng trên R. Khi đó với mọi i = 1,..., d - 2 ta có:
s( H mi / Rx1 ( R / x1R)) £ s( H mi ( R)) + s( H mi+ 1 ( R)) .

2.2.8. Mệnh đề. Cho R là vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương và
x1 ,..., xd là một hệ tham số ca R. t
ổd - 1ữ
ử i
ỗỗ
ữ
ồi= 1 ỗối - 1 ữữứs( H m ( R)) .
d- 1

t=

Ly r ẻ Ơ . Khi đó
(0:U ( R )- d - 1 R mr ) Í R(1/( x1r+ 1,..., xdr+ 1,1)).
d- 1

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phƣơng pháp qui nạp. Trong trƣờng hợp
d  1 kết quả đƣợc suy ra từ [9, 2.8], [10, 3.5] và [11, 3.2]. Do đó chúng ta giả

sử rằng d  1. Khơng mất tính tổng qt giả sử depth R  0 . Khi đó với mọi
x không là ƣớc của không là một phần của hệ tham số của R, từ [8, 3.3] với

n ,


(0 :R x)  (0 :R mn )  0,

từ Chú ý 2.2.6 và Hệ quả 2.2.7 ta có R / xR là một vành Cohen – Macaulay

suy rộng, địa phƣơng có chiều d  1.
Lấy  U ( R)d d11 R sao cho mr  0 . Theo [11, 3.6], tồn tại a  R và
các số nguyên dƣơng n1 ,..., nd để   a /( x1n1,..., xdnd ,1). Ký hiệu R  R / x1n1 R là
một vành Cohen – Macaulay suy rộng, địa phƣơng có chiều d  1 và
: R  R là một đồng cấu tự nhiên. Theo [8, 2.2] ta có dãy khớp
d 1


0  H md 1 ( R) / x1n1 H md 1 ( R)  U ( R)d d R 
U ( R)d d11 R ,

trong đó  d 1 (b /( y2 ,..., yd , 1))  b /( x1n1 , y2 ,..., yd ,1) với mọi b  R và mọi hệ
tham số {y2 ,..., yd } của R . Đặt s  s( H md 1 ( R)) . Khi đó ms ker d+1  0 và
mr s (a /( x2n2 ,..., xdnd , 1))  0.

Do vậy, tồn tại a1  R sao cho
a
a
,
 r  s t  1 r  s t 
nd
( x ,..., xd , 1) ( x2 ,..., xd , 1)
n2
2

trong ú
t Â=

ổd - 2ử
ữ

ỗỗ
s( H mi ( R ))
ữ
ữ
ỗ
ữ
i= 1 èi - 1 ø

d- 2

å

và m là iđêan cực đại của R . Từ Hệ quả 2.2.7 ta có t  s  t , áp dụng  d 1
thì tồn tại a2  R sao cho

  a2 /( x1n , x2r t ,..., xdr t ,1).
1

Áp dụng hoán vị Riley ta có

  a2 /( x2r t , x1n , x3r t ,..., xdr t ,1).
1

Lặp lại quá trình trên ta sẽ hồn tất các bƣớc qui nạp.


Định lý sau đây cho thấy rằng khi R là vành Cohen-Macaulay suy rộng
thì ta có câu trả lời đúng cho câu hỏi của Sharp và Hamieh.
2.2.9. Định lý. Cho R là vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương và
x1 ,..., xd là một hệ tham số của R. Đặt

æd - 1ữ
ử i
ỗỗ
s( H m ( R)) .
ữ
ữ
ỗ
ữ
i
1
ố
ứ
i= 1

d- 1

t=

ồ

Khi ú với mọi số nguyên dương n1,..., nd ³ t
 d  1
( R(1 / ( x ,..., x ,1)))  e( x1,..., xd )n1...nd   
( H mi ( R)) .

i 1  i  1 
d 1

nd
d


n1
1

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phƣơng pháp qui nạp. Khi d  1 hoặc
d  2 kết quả đã đƣợc chứng minh trong Định lý 2.2.2 và Hệ quả 2.2.5. Do

đó ta giả sử rằng d  2 . Từ [6, 2.1] ta có thể giả sử rằng depth R  0 , với mọi
x khác không là một phần của hệ tham số của R sao cho R / xR là một vành

Cohen – Macaulay suy rộng, địa phƣơng có chiều d  1.
Chọn n1,..., nd 
và

sao cho ni  t , với i  1,..., d . Ký hiệu R  R / x1n1 R

: R  R là một xạ ánh tự nhiên, và chú ý rằng x1n1 H md 1 ( R)  0 . Khi đó

tồn tại một đồng cấu

 d 1 : U ( R)d d R  U ( R)d d11 R,
sao cho, với mọi a  R và ( y2 ,..., yd , 1) U ( R)d , thì

 d 1 (a /( y2 ,..., yd ,1))  a /( x, y2 ,..., yd ,1).
Hơn nữa, ker d+1  H md 1 ( R) / xH md 1 ( R) . Ta có dãy khớp
d 1


0  H md 1 ( R)  U ( R)d d R 
U ( R)d d11 R ,


và ms ker d+1  0, trong đó s  s( H md 1 ( R)) . Do đó từ Mệnh đề 2.2.8 ta có
ker d+1  R(1/( x2st ,..., xdst ,1)) ,


d 2 d  2



với t   
s( H mi ( R )) , (và m là iđêan cực đại của R ). Từ Hệ quả 2.2.7

i 1  i  1 

ta có t  s  t , do đó
ker d+1  R (1/( x2n2 ,..., xdnd ,1)),

từ đó chúng ta có dãy khớp ngắn các R- mơđun có độ dài hữu hạn sau
0  R (1/( x2n2 ,..., xdnd ,1))  R(1/( x1n1 , x2n2 ,..., xdnd ,1))  0 .

Từ giả thiết quy nạp, với n2 ,..., nd  t ta có
d 2 d  2


( R (1/( x2n2 ,..., xdnd ,1)))  eR ( x2 ,..., xd )n2 ...nd   

i 1  i  1 

R


( H mi ( R )) .

Theo [3, 7.4.2, 7.4.3] và [3, p.11] , suy ra
eR ( x2 ,..., xd )  eR ( x1n1 , x2, ,..., xd )  n1eR ( x1, x2 ,..., xd ).

Do đó ta có
( R(1/( x ,..., x ,1)))  e( x1,..., xd )n1...nd  ( H
nd
d

n1
1

d 1
m

 d  2
( R))   

i 1  i  1 
d 2

R

( H mi ( R )).

Từ dãy khớp ngắn
n1

x1

0  R 
 R  R  0,

ta có dãy khớp các môđun đối đồng điều địa phƣơng sau
n1

n2

x1
x2
0  H m0 ( R)  H m1 ( R) 
 H m1 ( R)  H m1 ( R)  H m2 ( R) 
H m2 ( R) 

H m2 ( R)  ....

trong đó các tự đồng cấu của H mi ( R) (1  i  d  1) sinh ra bởi phép nhân với
x1n1 là không : điều này bởi vì ni  s( H mi ( R)) với mọi i  1,..., d  1. Do đó
( H mi ( R))  ( H mi ( R))  ( H mi1 ( R)) i  1,..., d  2 .

Vậy
(H

d 1
m

d 1 d  1
 d  2



i
( R))   
( H m ( R))   
( H mi ( R)) .


i 1  i  1 
i 1  i  1 
d 2