BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
*********************
NGUYỄN THÀNH LONG

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM

GIỚI HẠN
TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
Mã số :
60.14.10

Người hướng dẫn : TS.

Năm 2004

LÊ VĂN TIẾN


Chân thành cảm ơn
Quý thầy cô :
♦
GS CLAUDE COMITI
♦
GS ANNIE BESSOT
♦
TS ALAIN BIREBENT

♦
TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU
♦
TS LÊ VĂN TIẾN
♦
TS ĐOÀN HỮU HẢI
đã tận tình giảng dạy và dẫn dắt chúng tôi đi vào Didactic Toán.
U

U
TS LÊ VĂN TIẾN
đã tận tình hướng dẫn chúng tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp
phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này.

BGH Trường THPT Nguyễn Chí Thanh , Quận Tân Bình, thành
phố Hồ Chí Minh cùng GVCN và học sinh lớp 11.1
đã tạo điều kiện và nhiệt tình tham gia các buổi thực nghiệm của
luận văn.

U

Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học
Khoa Toán – Tin học
thuộc Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh
đã giúp đỡ chúng tôi rất nhiều trong suốt khóa học.

U

BGH Trường THPT Trịnh Hoài Đức , tỉnh Bình Dương
Các đồng nghiệp trong Tổ chuyên môn Toán – Lý – Tin học

đã hỗ trợ về nhiều mặt giúp chúng tôi yên tâm tập trung cho việc học
tập và nghiên cứu.
U


MỤC LỤC

ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2. Mục đích nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp và giả thuyết nghiên cứu. . . . . . . 4
4. Tổ chức của luận văn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
CHƯƠNG I : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN
I.- MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
II.- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN . . . . . . . . . 9
1. Giai đoạn 1 : Từ thời Hi lạp cổ đại đến đầu thế kỷ XVII. . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Giai đoạn 2 : Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Giai đoạn 3 : Từ nửa sau thế kỷ XVIII đến thế kyû XIX . . . . . . . . . . . . . . . 21
III.- MỘT VÀI YẾU TỐ KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1. Caùc giai đoạn nảy sinh và phát triển. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn và các bài toán chủ yếu . . . . . .24
3. Các đối tượng có liên quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
4. Các quan điểm về giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
CHƯƠNG II : MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN
TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG
I.- MỤC ĐÍCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.- PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1. Chương trình năm 1990. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2. Chương trình năm 2000 (chương trình chỉnh lý hợp nhất) . . . . . . . . . . . . . . .31

III.- PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1. Phần lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 1. Giới hạn của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
§ 2. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
2. Các tổ chức toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
IV.- KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
1. Nhìn từ quan điểm khoa học luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2. Về phạm vi tác động của khái niệm giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Về các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. Từ khía cạnh hợp đồng didactic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

1


CHƯƠNG III :

THỰC NGHIỆM

I.- MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.- XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. . . . . . . . . . . 52
1. Một vài điểm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2. Phân tích tiên nghiệm tình huống tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1. Các biến didactic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. Các biến tình huống. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3. Các chiến lược có thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3. Caùc tình huống được chọn và kịch bản thực nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
3.1. Các bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
3.2. Kịch bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

3.3. Các bảng giá trị của biến đặc tröng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.4. Giải thích sự lựa chọn giá trị của các biến đặc trưng. . . . . . . . . . . . .64
3.5. Phân tích chi tiết các chiến lược và những quan sát có thể. . . . . . . . 68
4. Phân tích kịch bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
4.1. Buổi thứ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
4.2. Buổi thứ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
5. Phaân tích hậu nghiệm (a postériori) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1. Phân tích các hoạt động thực nghiệm đã diễn ra. . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Sự xuất hiện và tiến triển của các yếu tố xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3. nh hưởng của việc lựa chọn giá trị của các biến trên chiến lược. . 82
5.4. Về sự xuất hiện của ký hiệu Δx trong bài làm của nhóm 1 . . . . . . . 84
6. Keát luận phần thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
TÀI LIỆU THAM KHẢO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..89
PHẦN PHỤ LUÏC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
− Các đề bài và hình vẽ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
− Bài làm của các nhóm trong hoạt động 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
− Bài làm của các nhóm trong hoạt động 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
− Baøi làm của các nhóm trong hoạt động 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
− Protocole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

2


Đặt vấn đề

ĐẶT VẤN ĐỀ
1. NHỮNG GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT

Giới hạn là một khái niệm cơ sở của Giải tích – nội dung chiếm vai trò quan
trọng trong dạy học toán ở trường phổ thông cũng như ở bậc đại học.
Theo nghiên cứu của Lê Văn Tiến (2000), dù đã trải qua nhiều cuộc cải cách,
nhưng giải tích cần giảng dạy ở trường THPT Việt Nam vẫn là một giải tích “Đại số
hóa tăng cường”, nghóa là một Giải tích đặt cơ sở chủ yếu trên những kó thuật bản
chất đại số. Người ta tránh đến mức tối đa những quy trình, những kó thuật đặc trưng
của giải tích như : chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ. Dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ
dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghóa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ
ε, N hay ε, δ.
Thế nhưng, đến lượt mình, dấu ấn này cũng bị loại bỏ khỏi chương trình chỉnh lý
hợp nhất năm 2000 hiện hành. Bản đề cương chỉnh lí hợp nhất ba bộ sách giáo khoa
Toán THPT (trang 7) yêu cầu một cách rõ ràng rằng : không dùng ngôn ngữ (ε, ∂)
để định nghóa khái niệm giới hạn của dãy số cũng như giới hạn của hàm số, định
nghóa giới hạn hàm số thông qua giới hạn của dãy số.
Quan điểm này một lần nữa được nhấn mạnh trong chương trình đang thí điểm
hiện nay (2004).
Như vậy, vấn đề xấp xỉ gần như hoàn toàn bị loại bỏ trong dạy học Giải tích.
Tuy nhiên, như M.Legrand (1991) và M.Artigue (1993) đã làm rõ : Đi vào Giải
tích, đó là hiểu rằng xấp xỉ là trung tâm của những vấn đề lớn của giải tích, đồng
thời là trung tâm của phương pháp và kỹ thuật của phạm trù này.
Những nhận xét trên dẫn chúng tôi tới những câu hỏi khởi đầu sau đây :
− Làm thế nào hình thành ở học sinh tư tưởng xấp xỉ qua việc dạy học khái niệm
giới hạn của một Giải tích đại số hóa, mà không cần đưa vào một cách tường minh

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

3


Đặt vấn đề


các định nghóa theo ngôn ngữ ε, δ ?
− Vấn đề toán học nào có thể làm căn cứ cho việc xây dựng những tình huống
cho phép nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ
quan điểm xấp xỉ ?
− Những tình huống cụ thể nào cần thiết lập ?
− Các yếu tố xấp xỉ trên nảy sinh như thế nào ở học sinh khi đối diện với các
tình huống này ?

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra ở trên là mục đích nhắm tới của luận
văn này. Cụ thể hơn, nhiệm vụ của chúng tôi là :
− Tìm kiếm một số kiểu bài toán làm điểm tựa cho việc xây dựng các tình huống
đã nêu ở trên.
− Tiến hành xây dựng một số tình huống cụ thể cho phép làm nảy sinh một số
yếu tố cấu thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ.
− Thiết lập và triển khai các công đoạn học tập đặt cơ sở trên các tình huống đã
xây dựng.
− Quan sát, thu thập và phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ xem các yếu tố
xấp xỉ nảy sinh như thế nào ở học sinh trong các tình huống đó.

3. PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU, PHƯƠNG PHÁP VÀ GIẢ
THUYẾT NGHIÊN CỨU
Nhiều nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học chứng tỏ rằng đối với một khái
niệm toán học nào đó, những nghiên cứu này cho phép làm rõ không chỉ một số
kiểu bài toán, kiểu tình huống trong đó khái niệm xuất hiện và tác động một cách
ngầm ẩn hay tường minh, mà còn cả những đối tượng, những khái niệm khác có mối
quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm này và góp phần vào sự nảy sinh và phát
triển của nó. Tổng quát hơn, nó cho phép làm rõ những đặc trưng khoa học luận của
Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...


4


Đặt vấn đề

khái niệm.
Việc xây dựng các tình huống và công đọan học tập thông qua các tình huống
này không những bị ràng buộc bởi các đặc trưng khoa học luận của đối tượng toán
học liên quan, mà còn bị chi phối bởi những ràng buộc của hệ thống dạy học toán ở
trường phổ thông.
Do vậy, làm rõ các yếu tố khoa học luận và ràng buộc sư phạm trên khái niệm
giới hạn là cần thiết trong nghiên cứu này.
Để làm được điều đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt nghiên cứu của mình trong
phạm vi của Didactic Toán. Cụ thể, điểm tựa lý thuyết sẽ là những khái niệm cơ
bản của lý thuyết trường quan niệm, lý thuyết nhân chủng học và lý thuyết tình
huống như là các khái niệm : Trường quan niệm của một khái niệm toán học, quan
hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học, hợp đồng didactic, biến
didactic,tình huống, …
Từ đó, có thể trình bày lại những câu hỏi đã đặt ra ở trên như sau :
− Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm giới hạn có thể được phân
tích, tổng hợp và làm rõ qua các công trình nghiên cứu đã có ? Những kiểu bài toán,
kiểu tình huống nào cho phép khái niệm giới hạn xuất hiện và tác động ? Những đối
tượng toán học nào khác góp phần vào việc nảy sinh và tiến triển của khái niệm
này ? Vấn đề toán học nào là điểm tựa cho việc xây dựng những tình huống cho
phép nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan
điểm xấp xỉ ?
− Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn đã được hình thành và tiến
triển ra sao ? nó ràng buộc như thế nào trên đối tượng giới hạn ?
− Dưới những ràng buộc khoa học luận và ràng buộc sư phạm đã được làm rõ ở

trên, làm thế nào xây dựng và triển khai các tình huống ? Với sự lựa chọn các biến
tình huống nào ?
− Các yếu tố xấp xỉ nảy sinh như thế nào ở học sinh khi đối diện với các tình

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

5


Đặt vấn đề

huống đã thiết lập ?
Từ phân tích trên, phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi đã chọn là :
• Tổng hợp một số nghiên cứu về khoa học luận lịch sử của khái niệm giới hạn
để làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm này, đặc biệt là các bài toán,
các tình huống trong đó khái niệm giới hạn đã nảy sinh và tác động một cách ngầm
ẩn hay tường minh, các đối tượng đặt điều kiện cho sự nảy sinh của khái niệm giới
hạn.
• Phân tích chương trình và sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 hiện hành,
để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn, và qua đó những ràng buộc
sư phạm trên đối tượng này.
Các kết quả đạt được từ hai nghiên cứu trên cho phép chúng tôi đề ra giả thuyết
công việc sau đây :
Về mặt toán học, vấn đề tính diện tích hình phẳng là cơ sở của việc thiết lập
những tình huống cho phép làm nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghóa của khái
niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ.
Giả thiết này là tiền đề cho công việc tiếp theo sau đây của luận văn.
• Thiết lập các tình huống và công đọan didactic cho phép nảy sinh một số yếu
tố cấu thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ .
Các tình huống và công đoạn trên dựa trên tình huống cơ sở sau :

“Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] với a ≥ 0. Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số đã cho, trục hoành Ox và hai đường
thẳng x =a và x = b.”
•

Thực nghiệm : Triển khai trong một lớp 11 các công đoạn học tập dựa trên

các tình huống đã xây dựng. Quan sát, thu thập và phân tích các số liệu.
Thực nghiệm này có mục đích đưa vào kiểm chứng tính thích đáng của giả
thuyết nghiên cứu sau :

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

6


Đặt vấn đề

“Các tình huống tính diện tích hình phẳng đã chọn cho phép làm nảy sinh ở học
sinh một vài yếu tố cấu thành nên nghóa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ,
trong sự vắng mặt của định nghóa hình thức theo ngôn ngữ ε, δ ”

4. TỔ CHỨC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn này bao gồm 5 phần :
• Đặt vấn đề
• Chương 1 :

Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

• Chương 2 :


Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học
Toán ở trường trung học phổ thông.

• Chương 3 :

Thực nghiệm

• Kết luận chung

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

7


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

CHƯƠNG I

ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN
CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN

I.- MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH
Chương này không có mục đích thực hiện một nghiên cứu gốc về khoa học
luận lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn. Chúng tôi chỉ tổng hợp
và phân tích các kết quả có được từ một số công trình nghiên cứu về khoa học luận,
nhằm làm rõ các đặc trưng cơ bản của khái niệm này, cụ thể để tìm câu trả lời cho
các câu hỏi sau :
− Khái niệm giới hạn đã xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán,
những kiểu tình huống nào ? Nó có những đặc trưng cơ bản nào ?

− Những đối tượng, những khái niệm toán học nào có liên quan và góp phần
làm nảy sinh và phát triển khái niệm giới hạn ?
− Phạm vi toán học nào mà từ đó có thể xuất hiện các tình huống tạo nên
nghóa của khái niệm giới hạn ? đặc biệt nghóa gắn liền với quan điểm xấp xỉ ?
− Có những quan niệm khác nhau nào về khái niệm giới hạn ?

Các công trình nghiên cứu về khoa học luận mà chúng tôi tiến hành
phân tích là : CORNU B. (1982) , CORNU B. (1983) , ROBINET J. (1983) ,
TROUCHE L. (1996) , FICHTENGÔN G.M. (1977)

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

8


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

II.- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN
Có thể nói, lịch sử hình thành khái niệm giới hạn bắt đầu từ sự xuất hiện của
khái niệm vô hạn (thế kỷ VI trước công nguyên) cho đến chương trình số học hóa
giải tích của Weierstrass (thế kỷ XIX)ø. Lịch sử này có thể chia thành ba giai đoạn
chủ yếu mà chúng tôi sẽ đề cập dưới đây.

1 . Giai đoạn 1 : Từ thời Hi Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ XVII
Tiến trình của khái niệm vô hạn

Ngay từ thế kỷ VI TCN, thời trường phái Pythagore, sự kiện khám phá ra số
vô tỉ đã phá vỡ sự tương ứng giữa số hữu tỉ và độ dài, đồng thời dẫn đến phát hiện
ra các đoạn thẳng vô ước . Đó là lần đầu tiên toán học gặp phải khái niệm vô hạn :
khi dùng thuật toán Euclide để tìm ước chung d của a và b là độ dài các đoạn thẳng

vô ước với nhau thì thuật toán trên sẽ trở nên vô hạn. Để giải quyết vấn đề này, các
nhà Pythagoriste đã giả thiết rằng các đoạn thẳng vô ước có một ước chung rất bé,
đó là những phần tử đơn giản nhất, xem là những điểm (đoạn thẳng là tập hợp vô
hạn những yếu tố “không chia nhỏ được”).

Đây là một thể hiện của quan niệm

nguyên tử (atomiste) cho rằng một số, không gian, thời gian và vật chất có những
yếu tố ban đầu không thể chia nhỏ được.
Tuy nhiên, cũng có quan niệm ngược lại − quan niệm liên tục (continuiste),
cho rằng các đối tượng này có thể chia được vô hạn.
Zénon (495 – 430 TCN) đã đưa ra các nghịch lý vạch ra những mâu thuẫn
trong cả hai quan niệm trên. Ở đây chỉ đơn cử 2 nghịch lý :
+ Nghịch lý “Mũi tên đang bay nhưng đứng yên tại mỗi thời điểm” :

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

9


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

Nếu thời gian được tạo bởi các khoảng nguyên tử không thể chia được thì
một mũi tên chuyển động luôn luôn bị đứng yên vì ở bất kỳ khoảng thời gian nào
mũi tên cũng ở một vị trí cố định. Vì điều này đúng đối với mỗi khoảng thời gian
nên suy ra mũi tên đứng yên (dù đang bay).
+ Nghịch lý “Chia đôi” : Nếu một đoạn thẳng chia nhỏ vô hạn được thì không
thể có chuyển động được. Vì để đi hết được đoạn thẳng đó, trước hết cần phải đi
đến được trung điểm, và để làm được việc này thì trước hết phải đi đếán điểm một
phần tư, và để làm được việc này thì lại phải đi đếán điểm một phần tám trước, và cứ

tiếp tục đến vô hạn. Suy ra chuyển động đó không bao giờ có thể có được kể cả
ngay từ lúc bắt đầu.
Những nghịch lý này hoàn toàn không có ý định giải quyết những mâu thuẫn
đó, nhưng dẫn đến hậu quả là các nhà toán học thời đó đã loại bỏ tính vô hạn và
các nguyên tử (vô cùng bé) khỏi các chứng minh trong hình học.
Vấn đề tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn đã rất được chú ý. Vào
khoảng năm 430 TCN, Antiphon cho rằng bằng cách cứ liên tiếp nhân đôi số cạnh
của một đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn thì hiệu số giữa diện tích hình
tròn với diện tích đa giác cuối cùng sẽ không còn nữa. Cùng thời gian đó, với ý
tưởng tương tự, Hippocrate de Chios đã ngầm ẩn “cho qua giới hạn” để chứng minh
rằng tỉ số diện tích S1/S2 của hai đường tròn bằng bình phương tỉ số hai đường kính
d1/d2 của chúng :

S1/S2 = d12/d22. (*)

Eudoxe (408 – 355 TCN) đề xuất một phương pháp (sau này được gọi là
phương pháp vét cạn) để tính diện tích và thể tích (như chứng minh hệ thức (*) nêu
trên, chẳng hạn). Phương pháp này thừa nhận tính chia hết vô hạn của các đại lượng
theo nguyên tắc (sau này được đặt tên là tiên đề Archimède) : “Nếu từ bất kỳ một
đại lượng nào đó mà bỏ đi một phần không nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

10


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

lại bỏ đi một phần nữa không nhỏ hơn một nửa của nó, v.v.... thì cuối cùng sẽ còn
lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào cho trước cùng loại”.

Archimède (287 – 212 TCN) đã áp dụng rất xuất sắc phương pháp vét cạn để
giải các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích mà một thí dụ điển hình là tính diện
tích S của hình viên phân parabol (segment parabolique) như sau :

GG

Ông chứng minh rằng diện tích s của tam giác ABC bằng ½ diện tích hình
bình hành bBCc nên lớn hơn ½ diện tích S. Ông tiếp tục dựng tam giác HAC có
HK//AM. Khi đó diện tích tam giác AHC bằng 1/8 diện tích s nên tổng diện tích hai
tam giác AHC và BGA bằng ¼ diện tích s. Sau đó cứ tiếp tục như thế ... .
Như vậy diện tích của đa giác nội tiếp trong hình viên phân parabol là tổng
các diện tích tam giác đã dựng, nghóa là : s + ¼ s + 1/42 s + ... + 1/4n-1 s + ...
Nhưng ông chỉ tính tổng của n số hạng đầu : U = s + ¼ s+ 1/42 s + ... +1/4n-1 s
rồi thêm vào phần dư 1/3. 1/4n-1 s và sử dụng tính chất :
s + ¼ s + 1/42 s + ... + 1/4n-1 s + 1/3. 1/4n-1 s = 4/3 s
Nếu số cạnh của đa giác nội tiếp tăng lên thì phần dư 1/3. 1/4n-1 s sẽ bé như
mong muốn và diện tích S = 4/3 s. Ông chứng minh công thức này bằng phản chứng:
− Nếu S > 4/3 s :

Có n tam giác để cho

Điều này mâu thuẫn với
− Nếu S < 4/3 s :

U > 4/3 s .

U = 4/3 s − 1/3. 1/4n-1 s < 4/3 s.

nghóa là 4/3 s − S > 0.


Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

11


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

Có tam giác thứ m có diện tích
Mà

sm = 1/4m-1 s < 4/3 s − S.

sm > 1/3 sm = 4/3 s − U.

Dẫn đến S < U.
Điều này mâu thuẫn, vì U là diện tích đa giác nội tiếp trong hình viên phân
parabol có diện tích S.
Thế nhưng phương pháp vét cạn chỉ có thể dùng để chứng minh một kết quả
đã được biết trước. Vậy làm thế nào mà Archimède đã biết được các kết quả đó
(công thức tính diện tích hình viên phân parabol chẳng hạn) để rồi chứng minh bằng
phương pháp vét cạn ? Đó là một bí ẩn mà mãi đến đầu thế kỷ XX mới được khám
phá. Ông đã dùng một phương pháp tính mà ý tưởng chính là : Để tìm một diện tích
(hoặc một thể tích) thì cắt nó ra thành một số rất lớn các dải phẳng mỏng song song
(hoặc các lớp mỏng song song). Như vậy một độ lớn được xem như là hợp bởi một
số rất lớn các bộ phận nguyên tử mà trước đây tư tưởng đó đã được hình thành bởi
Démocrite (460-380 TCN) dù chưa chặt chẽ. (So với phương pháp hiện đại về giới
hạn thì phương pháp này có thể được chặt chẽ hóa và về cơ bản cũng giống như
phép tính tích phân hiện nay).
Nhưng các cách biểu diễn và phương pháp như vậy cũng bị người đương thời
phê phán gay gắt. Ngay cả Archimède cũng cho rằng các kết quả thu được bằng

phương pháp này của mình vẫn chưa đủ sức thuyết phục, nhất thiết phải được chứng
minh lại bằng phương pháp vét cạn.
Cách chứng minh, theo phương pháp vét cạn, bao hàm ý tưởng của lý thuyết
giới hạn về sau này. Nó còn chứa đựng yếu tố rất quan trọng của khái niệm giới hạn
là : có thể tìm được giá trị gần đúng của một đại lượng với độ chính xác bao nhiêu
cũng được.

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

12


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

Nhưng trong phương pháp vét cạn chỉ đề cập đến đại lượng hình học chứ
không nêu bật được ý tưởng về đại lượng biến thiên bất kỳ, cũng không có ý tưởng
cho qua giới hạn (do lẫn tránh sự vô hạn).
Quả thực, phương pháp vét cạn cho phép họ tránh sử dụng vô hạn trong
chứng minh (bằng lập luận phản chứng). Ngay cả đến cuối thế kỷ XVIII, mà
Lagrange vẫn còn cho rằng giới hạn không làm tác động sự vô hạn (“La limite ne
met pas en jeu l’infini”, theo CORNU B. (1983), trang 52). Đó là điều khác với lý
thuyết giới hạn được xây dựng vào thế kỷ XIX.
Sau Archimède, lịch sử xảy ra dồn dập những biến cố tưởng chừng như đã vùi
lấp các tư tưởng của các nhà toán học cổ Hi Lạp. Mãi đến thế kỷ XVI các tư tưởng
đó mới được nhà toán học châu u biết đến, kế thừa và phát triển. Từ đây bắt đầu
thời kỳ mà đề cập đến khái niệm vô hạn không còn bị coi là cấm kỵ như trước đây.
Képler (1571 – 1630) đồng nhất đường tròn với một đa giác đều có số cạnh
vô hạn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng vô hạn các diện tích tam giác
vô cùng bé (có cạnh đáy là cạnh của đa giác đều và đỉnh là tâm hình tròn) .
S(hình tròn) = Σ S(tam giác) = ½ (Σ cạnh đa giác đều). R = ½ . 2πR . R = πR2

Cavaliéri (1598-1647) đề xuất phương pháp những cái không thể chia được
(indivisibles) vào năm 1635, có nguồn gốc từ ý tưởng của Démocrite, để tính diện
tích và thể tích. Do ông không xác định rõ nên ta chỉ có thể tạm hiểu rằng : Cái
không thể chia được của một mẫu phẳng cho trước là một dây của mẫu đó và cái
không thể chia được của một hình khối cho trước là một thiết diện phẳng của khối
đó. Một mẫu phẳng được coi là được tạo bởi một tập hợp vô hạn các dây song song
và một hình khối được tạo bởi một tập hợp vô hạn các thiết diện phẳng song song.
So sánh những cái không thể chia được tạo nên các hình, mà việc xác định tỉ số
kích thước của chúng là cơ sở của phương pháp những cái không thể chia được.

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới haïn ...

13


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

Roberval (1602 – 1675) để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một cung
cycloit đã đề ra phương pháp những cái không thể chia được (độc lập với Cavaliéri)
bằng cách xem xét các cấp số cộng vô hạn. Khác với các tiền bối là tăng số cạnh
của đa giác nội tiếp hay ngoại tiếp cho đến khi sự chênh lệch giữa nó và hình cần
xét (về mặt diện tích) là nhỏ hơn một lượng cho trước, Roberval cho rằng một số vô
hạn các đa giác sẽ phủ kín toàn thể hình phẳng đang xét.
Có nguồn gốc từ phương pháp vét cạn, việc tính tổng vô hạn (tổng của chuỗi
số), đã có từ thời Archimède (tính tổng của chuỗi Σ1/4n), được kế tục bởi Oresme
(1323 – 1382) khi ông tính tổng ½ + 2/4 + 3/8 + ... và chuỗi Σ3n/4n . Đặc biệt Stevin
(1586) dùng phương pháp của Archimède để xác định trọng tâm của hình phẳng và
lập chuỗi 1 + ¼ + 1/16 + ... . Nhưng trong khi Archimède dừng lại ở số hạng thứ n
rồi thêm vào một lượng dư thì Stevin bổ sung các số hạng tiếp theo của chuỗi cho
đến khi sự khác biệt giữa hình phẳng và đa giác xấp xỉ với nó đủ bé.

Việc tính tổng vô hạn là một mầm mống cho sự nảy sinh khái niệm giới hạn,
được phát triển rất mạnh vào thế kỷ 17.
Grégoire de Saint Vincent (1584-1667) là người đầu tiên phát biểu rằng một
chuỗi vô hạn xác định một đại lượng, mà ông đặt tên là “terminus” (mút cuối cùng,
không vượt qua được) và áp dụng chuỗi để giải quyết nghịch lý “Achille không đuổi
kịp rùa” của Zénon.
Gregory (1638-1675) bắt đầu khai triển hàm số thành chuỗi : ông đưa vào từ
“hội tụ” (vay mượn từ quang học).
***
Tóm lại, trong giai đoạn này, giới hạn chủ yếu vẫn liên quan đến các đại
lượng hình học khi tính diện tích, thể tích, .... Nhận thức về vô hạn đi từ thái độ phủ
định sang khẳng định : việc tính tổng của chuỗi được phát triển và bắt đầu khai triển
hàm số thành chuỗi. Khái niệm giới hạn bắt đầu xuất hiện ngầm ẩn qua các thuật

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

14


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

ngữ “terminus” , “hội tụ”. Mầm mống của tư tưởng vô cùng bé (“cái không thể chia
được”) cũng đã xuất hiện. Nhưng các nhà toán học quan tâm nhiều đến việc tính
tổng của các chuỗi hơn là suy nghó về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Những đối
tượng dù không được định nghóa nhưng vẫn có sức thuyết phục do dựa vào hiệu quả
của chúng. Nói cách khác, khái niệm giới hạn chỉ mới là công cụ (ngầm ẩn) để giải
toán, chưa phải là đối tượng để nghiên cứu.

2 . Giai đoạn 2 : Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII


Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé
Vào năm 1637, René Descartes (1596 − 1650) cho ra đời tác phẫm Discours
de la méthode trong đó ông trình bày một phương pháp mới để nghiên cứu hình học:
phương pháp kết hợp giữa hình học và đại số. Phương pháp này là một khâu quan
trọng trong việc chuyển đối tượng toán học từ các đaiï lượng không đổi trước đây
sang đại lượng biến thiên . Tác phẫm này đã đặt nền móng cho Hình học giải tích
và tạo ra một bước ngoặt trong Toán học. Những bài toán mới đã tạo nên những
phương pháp nghiên cứu mới (phương pháp chia nhỏ vô hạn), liên quan đến việc
khảo sát các lượng vô cùng bé.
Ban đầu khái niệm vô cùng bé thường được hiểu là một đại lượng tónh, tức là
không thay đổi, không bằng 0 và đồng thời có giá trị tuyệt đối bé hơn mọi lượng
hữu hạn. Khái niệm vô cùng bé như vậy là vô cùng bé “thực tại”. Về sau này ,
Newton mới có quan niệm về vô cùng bé “tiềm năng”, đó là đại lượng biến thiên
mà chỉ trong quá trình biến thiên mới trở nên (về giá trị tuyệt đối) bé hơn lượng hữu
hạn bất kỳ. (Theo FICHTENGÔN G. M. (1977), Cơ sở giải tích toán học, tập I)
Fermat (1601 – 1665) xây dựng một phương thức tổng quát để tính diện tích
các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân. Ông cũng giải bài toán tìm cực đại hoặc

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

15


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

cực tiểu , xác định tiếp ảnh của một điểm thuộc đường cong. Được xây dựng trên
quan điểm Hình học giải tích mà ông là người sáng lập cùng với Descartes, phương
thức của ông cho phép phát huy khía cạnh thuật toán của Giải tích các vô cùng bé.
Thí dụ như, để tính diện tích dưới parabol y2 = x giữa 0 và x (xem hình vẽ)


y

O

.....

3

ex

2

ex

ex

x

x

Ông chọn trên trục Ox các điểm x, ex, e2x, e3x, ... với e < 1, rồi dựng các hình chữ
nhật tương ứng. Diện tích các hình chữ nhật lần lượt là :
x x − ex x = x x (1 − e)
ex ex − e2x ex = ex ex (1 − e)
......
lập nên một cấp số nhân vô hạn có số hạng đầu tiên là x x (1−e), công bội là
e e < 1 . Do đó tổng diện tích các hình chữ nhật này cũng là tổng
S=

x x (1 − e)

1- e e

=

x x (1 − e )(1 + e )
(1 - e )(1 + e + e )

=

x x (1 + e )
1+ e + e

Để tính diện tích hình phẳng dưới parabol, phải nội tiếp trong hình phẳng đó
một số vô hạn các hình chữ nhật có diện tích vô cùng bé. Ông cho e = 1, khi đó tổng
các diện tích các hình chữ nhật S = 2/3 x x , bằng với diện tích hình phẳng cần tìm.

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

16


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

Pascal (1623 – 1662) đánh giá cao tầm quan trọng của phương thức giải tích
và thay thế những cảm nhận trực giác của Cavaliéri bằng các lý luận số học về
chuỗi. Khi tính diện tích của parabol y = x2, (xem hình vẽ)

0.1
0.1


Ông chọn các điểm trên trục Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng (có coâng sai d) :
d, 2d, 3d , ... , nd rồi dựng các hình chữ nhật có diện tích là d.(d), d.(2d)2 , d.(3d)2 , ...
, d.(nd)2 . Tổng diện tích các hình chữ nhật này là
S = d3 + 4d3 + 9d3 + ... + n2d3 = d3(12 + 22 + 32 + ... + n2)
= d3[n/6 (n + 1)(2n + 1)] = d3(n3/3 + n2/2 + n/6)
Nếu số hình chữ nhật (là n) tăng vô hạn, Pascal cho phép bỏ qua các số hạng
n2/2 và n/6 khi so sánh tương quan với số hạng đầu tiên n3/3 (có thể hiểu là khi n rất
lớn thì n2/2 và n/6 trở nên không đáng kể khi so sánh với n3/3). Khi đó tổng diện tích
các hình chữ nhật sẽ tương đương với S = d3n3/3 = (nd)3/3 = x3/3 .
Sự bỏ qua các số hạng này do ông đối chiếu các quan điểm hình học với
quan điểm số học, so sánh “cái không thể chia được” trong hình học với số 0 trong

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

17


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

số học. Sự đối chiếu này sẽ mang tính hệ thống trong các phương pháp vô cùng bé ở
nửa sau tk 17.
Newton (1642-1727) coi một đường không phải do những điểm kề nhau mà
do một điểm chuyển động liên tục mà thành. Nếu tại mỗi thời điểm của chuyển
động, ta có khái niệm vận tốc tức thời thì tương ứng tại mỗi điểm của đường ta có
khái niệm mà sau này gọi là đạo hàm. Quan điểm này của động học (cinématique)
đã nêu bật bản chất của chuyển động (so với nghịch lý “mũi tên” của Zénon ta thấy
quan niệm về chuyển động ở đó còn sơ sài nên đã dẫn đến có mâu thuẫn).
Theo Newton thì hoành độ và tung độ của điểm chuyển động là những đại
lượng biến thiên theo thời gian (Ở đây thời gian được hiểu không phải theo nghóa
đen của nó, mà có thể được hiểu là lượng bất kỳ t chẳng hạn, tăng dần đều theo thời

gian thực sự). Mỗi đại lượng biến thiên x,y như thế gọi là một đại lượng chảy
(fluenta) và vận tốc của nó , ký hiệu là x , y , gọi là sự chảy của đại lượng chảy
(fluxi). Newton đưa ra khái niệm moment của lượng fluenta. Đó là một đại lượng vô
cùng bé mà một đại lượng chảy như x chẳng hạn sẽ tăng được trong một khoảng
thời gian vô cùng bé là o (không phải 0, mà là số gia vô cùng bé “thực tại” của thời
gian). Những moment này tỉ lệ với vận tốc (fluxi) : moment của đại lượng chảy x
được cho bởi tích xo .
Trong công trình lớn nhất của mình là Principia (xuất bản năm 1686-1687),
Newton công bố quan điểm về vô cùng bé mà về nguyên tắc gần với quan điểm
hiện đại : các vô cùng bé “tiềm năng” (và các giới hạn của các tổng và các tỉ số của
chúng) được đưa vào khảo sát thay cho các vô cùng bé “thực tại”. Ông dành cho lý
thuyết giới hạn độc đáo dưới đề mục “Phương pháp các tỉ số đầu và tỉ số cuối”.
Những tỉ số này của hai đại lượng là tỉ số giới hạn (tỉ số biến thiên) của chúng. “Tỉ
số đầu” biểu thị giới hạn tỉ số của hai đại lượng “phát sinh” (các vô cùng bé) nghóa
là dạng vô định

0
. “Tỉ số cuối” biểu thị tỉ số của cả các đại lượng “biến mất” (có
0

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

18


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

thể là vô cùng bé, đại lượng hữu hạn hay vô cùng lớn) nghóa là kết quả của việc
khử dạng vô định


0
. Newton cũng nói tới “tổng đầu của các đại lượng phát sinh”
0

hay “tổng cuối của các đại lượng biến mất”. Các khái niệm này đều không được
định nghóa và nội dung của chúng chỉ được làm sáng tỏ do phương pháp áp dụng
chúng.
Giả sử S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x)
không âm, các trục tọa độ và đường thẳng x = xo (xo > 0). Newton xét moment diện
tích oS khi xo tăng thêm một lượng vô cùng bé o rồi tính tỉ số biến thiên của diện
tích oS/o tại điểm có hoành độ xo và nhận thấy rằng tỉ số này bằng f(xo).
y

f(xo)
S
oS

O

xo xo+o

x

Kết quả này được phát biểu theo thuật ngữ hiện đại là S’(xo) = f(xo). Ông tính
diện tích S bằng cách đảo ngược các thao tác tính đạo hàm, tức là tính tích phân bất
định.
Leibniz (1646-1716) đã hoàn thiện những thành quả của các nhà toán học
tiền bối thành phép tính lấy tổng (tích phân : tổng vô hạn các vi phân) và phép tính
vi phân (vi phân : hiệu vô cùng bé).
Leibniz xuất phát từ tiếp tuyến và tam giác đặc trưng (do Pascal đặt ra) để

định nghóa vi phân. Đối với “các hiệu” (hiệu của hai giá trị gần nhau của đại lượng,
Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

19


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

ký hiệu bằng chữ d (differentia)) ; “các vi phân” (quantitas differentialis) của các
lượng biến thiên x, y được ông ký hiệu là dx, dy . Vi phân dy tỉ lệ với dx theo định
nghóa dy/dx = y/tiếp ảnh trong đó dx là lượng biến thiên bất kỳ của x.
Đối với Leibniz, phép tính tích phân là phép tính tổng các diện tích hình chữ
nhật vô cùng bé “thực tại” ydx . (Quan niệm này của ông sẽ được kế tục bởi
Cauchy, người đầu tiên đưa ra một định nghóa chính xác của tích phân vào năm
1823).

y

y=f(x)

O

x x+dx

x

Khác với Newton đã sử dụng tích phân bất định và tính diện tích, thể tích từ tỉ
số biến thiên, Leibniz đưa vào sử dụng tích phân xác định và tính diện tích, thể tích
như tổng các vô cùng bé (các vi phân). So với các công trình trước đây của Fermat
hay Pascal về tính diện tích, có thể nói phương pháp của ông tỏ ra rõ ràng và tổng

quát hơn nhiều.
Trong giai đoạn này, giới hạn đã được chính thức đặt tên (limit) bởi Newton.
Các nhà giải tích đã có ý tưởng trực giác về khái niệm giới hạn và họ đã sử dụng
điều đó một cách ngầm ẩn rất chính xác. Tuy nhiên vẫn chưa có một định nghóa giới
hạn nào chấp nhận được từ quan điểm của các nhà toán học đương thời. Giới hạn là
giới hạn của đại lượng biến thiên. Đặc biệt lý thuyết về giới hạn của Newton đã mở

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

20


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

rộng phạm vi của giới hạn. Nó liên quan đến cả vô cùng lớn và tỉ số hai vô cùng bé
mà đột phá là khái niệm “fluxi” (đạo hàm). Giới hạn bắt đầu chuyển từ hình học, cơ
học sang lónh vực số qua các công trình của Leibniz về vi phân và tích phân . Ông
đã thiết lập được một hệ ký hiệu tổng quát và một hệ thống các qui tắc giải tích
hình thức giúp ích rất nhiều cho sự phát triển giải tích từ nay về sau.
Bài toán tính đạo hàm là khởi đầu cho sự phát triển của khái niệm giới hạn.
Chính trong phép tính vi phân, sự xuất hiện của khái niệm giới hạn như là không thể
thiếu được. Không thể nghiên cứu khái niệm giới hạn của một “tỉ số giới hạn” mà
lại không tìm cách định nghóa một cách chính xác giới hạn của một đại lượng biến
thiên. (Theo CORNU B. (1982), trang 640).

3. Giai đoạn 3 : Từ nửa sau thế kỷ XVIII đến thế kỷ XIX
Xây dựng lý thuyết giới hạn

Trong nửa sau tk 18, dù thái độ của các nhà toán học có khác nhau đối với
giới hạn, vô cùng bé nhưng đều có cùng mục đích làm phát triển Giải tích.

Đối tượng nghiên cứu của Euler (1707-1783) không phải là các đại lượng,
cũng không phải những đặc tính hình học mà là những hàm số (biểu thức giải tích
của hàm số). Ông là người đầu tiên xây dựng phép tính các vô cùng bé thành một lý
thuyết nhất quán một lớp rộng rãi các hàm số và bắt đầu trình bày nó như là một bộ
môn giải tích thực thụ mà không phụ thuộc gì ở cơ học và hình học (về mặt logic).
Lagrange (1736-1813), từ năm 1797, đã nổ lực làm cho Giải tích được chặt
chẽ hơn trong quyển sách nhan đề “Lý thuyết các hàm giải tích”. Đối với ông, khái
niệm giới hạn không có tính thuyết phục và những phép toán trên số không bắt buộc
phải sử dụng giới hạn. ng cố gắng xây dựng toàn bộ phép tính vi phân mà không
dùng đến các vô cùng bé, có tính chất thuần đại số, bằng cách biểu diễn hàm dưới
dạng khai triển ra chuỗi lũy thừa và xác định đạo hàm như là hệ số ở số hạng thứ
Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

21


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

hai của khai triển ấy : Với mọi hàm số f(x) với biến số x bất kỳ, ông thay x bởi x + i
, với i là lượng không xác định bất kỳ, khai triển thành chuỗi
f(x + i) = f(x) + pi + qi2 + ri3 + ...
các hệ số p,q,r, ... sẽ là những hàm số mới theo x, được phát sinh từ nguyên hàm f(x)
và độc lập với i . Ông lập luận được : p = f’(x) , q = f”(x)/2! , r = f”’(x)/3! , ...
Đạo hàm của hàm số trở thành “một phép toán đại số mới”.
Trong giai đoạn này, cùng với quá trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới
hạn đã được chuyển hẳn sang lónh vực số. Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với
khái niệm giới hạn và vô cùng bé. Trong khi Euler hết sức phát triển phép tính vô
cùng bé thì Lagrange lại “tẩy chay” khái niệm giới hạn trong các công trình của
mình. Đặc biệt D’Alembert đã nhìn thấy được bản chất vấn đề cơ sở của giải tích
khi kêu gọi phải xây dựng lý thuyết hoàn chỉnh về giới hạn.

D’Alembert (1717-1783) là một thành viên soạn bộ Bách khoa toàn thư. Ông
tỏ ra rất quan tâm tới cơ sở của Giải tích và năm 1754 ông đã có một gợi ý quan
trọng rằng lý thuyết vững vàng về giới hạn là cái cần để xây dựng một cơ sở vững
chắc cho Giải tích. ng tin tưởng rằng “Lý thuyết giới hạn là siêu hình học chân
chính của phép tính vi phân” (“la notion de limite est la vraie meùtaphysique du
calcul diffeùrentiel”, dans l’article Limite, Encyclopédie). Nhưng những người cùng
thời với ông lại ít chú ý tới gợi ý đó của ông.
Cauchy (1789-1857) đã thực hiện thành công gợi ý của D’Alembert bằng
cách phát triển một lý thuyết giới hạn, diễn đạt qua “ngôn ngữ ε,δ” mà ngày nay
vẫn thường được dùng. Trước tiên, ông định nghóa khái niệm hàm số. Sau đó ông
định nghóa sự hội tụ, vô cùng bé, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo
quan điểm về giới hạn.
Nhưng lý thuyết giới hạn này được xây dựng trên khái niệm trực giác đơn
giản về hệ thống số thực. Muốn trình bày thật chặt chẽ lý thuyết giới hạn thì phải

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

22


Chương I – Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

có một sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số thực.
Từ đó, Weierstrass (1815-1897) đã vận động thực hiện một chương trình “số
học hóa giải tích”, trong đó trước hết bản thân hệ thống số thực phải được làm cho
chặt chẽ rồi từ đó mới rút ra tất cả các khái niệm cơ bản của giải tích. Ông đã định
nghóa giới hạn hàm số bằng khái niệm lân cận (năm 1880).
Như vậy, giai đoạn này đã hoàn thành nghiên cứu cơ sở của giải tích. Các
khái niệm cơ bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số thực, ... đã được định nghóa
tường minh. Lý thuyết giới hạn chính thức trở thành nền tảng cho giải tích.


III. MỘT VÀI YẾU TỐ KẾT LUẬN

Việc tổng hợp, phân tích các kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành
và phát triển của khái niệm giới hạn cho phép chúng tôi rút ra một số đặc
trưng khoa học luận chủ yếu sau đây của đối tượng này.
1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển
Như nhiều khái niệm toán học khác, khái niệm giới hạn đã trải qua ba giai đoạn
phát triển chủ yếu, tương ứng với ba cơ chế khác nhau của nó.
– Trong giai đoạn đầu tiên (Từ cổ Hy Lạp đến đầu thế kỷ XVII) nó lấy cơ chế của
một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghóa) và xuất hiện
như một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết một số bài toán (chủ yếu thuộc
phạm vi hình học).
– Giai đoạn thứ 2 (Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII) : Thuật ngữ giới hạn
(limit) xuất hiện lần đầu ở Newton, nhưng vẫn chưa có một định nghóa chính thức
nào. Giới hạn vẫn lấy cơ chế công cụ mà chưa phải là đối tượng nghiên cứu. Nói
cách khác, nó xuất hiện dưới hình thức paramathématique.

Luận văn Thạc só : Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn ...

23