Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

NỘI DUNG DẠY THÊM TOÁN 8 HỌC KÌ 1 - 2020-2021
BUỔI 1: LUYỆN TẬP VỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
0
Bài 1: Cho VABC vuông tại A, có Cˆ  30 . Tia phân giác của Bˆ cắt AC tại D. Kẻ DK

vng góc với BC tại K, đường thẳng DK cắt đường thẳng BA tại E. Chứng minh rằng:
a) AB  KB.
b) BD  CE.
c) VBEC là tam giác gì? Vì sao?
d) Kẻ AH  BC

 H �BC  . Chứng minh rằng:

HK 

1
KC
2

Bài 2: Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia AC lấy điểm M sao cho AC = CM.
Kéo dài AH cắt BM tại E.
a) Chứng minh rằng: HB = HC.
b) Chứng minh rằng: EBC cân.
c) Hai đường thẳng AB và CE cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: E là trọng tâm của
AKM .
d) Chứng minh rằng: AM  AB  EM  EB .
Bài 3: Cho tam giác ABC có AM và BN là hai đường trung tuyến, trên tia đối của tia MA
lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh ∆AMB = ∆DMC

b) Chứng minh AC = BD và AC // BD
BC
IC 
3
c) DN cắt BC tại I. Chứng minh rằng DI = 2.NI và
d) Gọi P là trung điểm của DC. Chứng minh rằng BC + 2AP > 3AC
Bài 4: Cho D ABC vuông tại A, phân giác CE ( E �AB). Kẻ EH vng góc với BC, kẻ
BD vng góc với tia CE ( H �CB; D �CE). Chứng minh rằng:
a) D ACE = D HCE
b) CE là đường trung trực của đoạn thẳng AH
c) BE > AE
d) Gọi M là giao điểm của CA và BD. Chứng minh rằng ba điểm M; E; H thẳng hàng.
Bài 5: Cho MNP cân tại M, kẻ MH  NP ( H �NP).
1


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

a) Chứng minh rằng HN = HP.
b) Trên tia MP lấy điểm E sao cho MP = PE. Kéo dài MH cắt NE tại D. Chứng minh rằng
DNP cân.
c) Chứng minh rằng ME  MP  DE  DN .
d) Hai đường thẳng MN và PD cắt nhau tại F. Chứng minh rằng

DP 

FP
3

BUỔI 2: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

Bài 1: Thực hiện phép tính
2
(x 3  3x 2  x  1)
a) ( 2x ) �

(10x 2  2x  1)  6x �
(5x 2  x  2)
b) 3x �

c) 5x (x – 4y) - 4y (y – 5x)

d) 6xy (xy – y2) – 8x2 (x – y2) + 5y2 (x2 – xy)

2
1 �
�
�1 �
10x 3  y  z �
 xy �
�
�
5
3
2 �
�
�
�
e)

f) 3x2 – 2x (5 + 1,5 x) + 10


Bài 2: Rút gọn biểu thức
a)
b)

7x(4y  x)  4y(y  7x)  2  2y 2  3,5x 
3x(5x 2  2)  5x 2  7  3x   2,5  2  14x 2 

c) 2x2 + 3(x – 1)(x + 1) – 5x (x + 1)
d) (2x – 5)(4 – 3x) – (3x + 11) (5 – 2x) – 15 (2x – 5)
e) 3(2x – 1)(x + 2) - 2(3x + 2)(x – 4)
Bài 3: Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
2
2
3
3
a) (3x  6y)(x  2xy  4y )  3(x  8y  10)

b) (3x  1)(2x  7)  (x  1)(6x  5)  (18x  12)
Bài 4: Tìm x, biết
a) 6x (3x + 5) – 2x (9x – 2) = 17

b) 2x(3x - 1) – 3x(2x + 11) - 70 = 0

c) (3x – 1)(2x + 7) – (x + 1)(6x – 5) = 16

d) (2x + 3)2 – (2x + 1)(2x – 1) = 22

e) (4x + 3) (4x – 3) – (4x – 5)2 = 46


f) 25x2 – 9 = 0
2


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Bài 5: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
a) A = 5x(4x2-2x+1) - 2x(10x2 -5x -2) víi x = 15.
b) B = 5x(x- 4y) - 4y(y - 5x) víi x= ; y=
c) C = 6xy(xy - y2) - 8x2 (x - y2) -5y2(x2 - xy) víi x=; y= 2.
2

d) D = (y

+2)(y - 4) - (2y2 + 1)(y - 2) víi y = -

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lý.
a) A = x5 – 100x4 + 100x3 – 100x2 + 100x – 9 tại x = 99.
b) B = x6 – 20x5 – 20x4 – 20x3 – 20x2 – 20x + 3 tại x = 21.

BUỔI 3: LUYỆN TẬP VỀ HÌNH THANG, HÌNH THANG CÂN

Bài 1: Cho  ABC vuông cân ở A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, vẽ
BD  BC và BD = BC.
a) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
b) Biết AB = 5cm. Tính CD.
Bài 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có các tia phân giác của các góc A và D gặp nhau
tại điểm E thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng:
�  900
a)AED

b) AD = AB + CD
Bài 3: Cho hình thang cân ABCD. Đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC và đường chéo AC
vng góc với cạnh bên AD.
a) Tính các góc của hình thang cân;
b) Chứng minh rằng trong hình thang cân đó đáy lớn gấp đơi đáy nhỏ.
1
0
� �
Bài 4: Cho hình thang ABCD, biết A  B  90 , AB = BC = 2 AD
a) Tính các góc của hình thang;
b) Chứng minh AC  CD
c) Tính chu vi của hình thang nếu AB = 3 cm.
0
� �
Bài 5: Tứ giác ABCD có AD = AB = BC và A  C  180 . Chứng minh rằng
a) Tia DB là tia phân giác của góc D;
b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
0
�
�
Bài 6: Cho hình thang vng ABCD có A  D  90 , đường chéo BD vng góc với
cạnh bên BC và BD = BC.
a) Tính các góc của hình thang;
b) Biết AB = 3 cm. Tính độ dài các cạnh BC, CD.
BUỔI 4: LUYỆN TẬP VỀ NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
HẰNG ĐẲNG THỨC SỐ 1, 2, 3
3


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9


Bài 1: Tính
2

2

1 �
� 1 � �1
�x  � � x  y �
b) � 2 �; �3 2 �

a) (1+ 3y)2; (5x + y)2; (x + 0,25)2
�2 2 �
�2 2 �
x  y�
x  y�
�
�
5
5 �
�
�
�
c) (5x + y) (5x - y);
;
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích :
1
a) x2 - 6x + 9;
b) x2 + x + 4 ;
d) (a + b)2 – 4

e) (a2 + 9)2 - 36a2

(a2 + 3)(3 – a2)

c)

4x2 

1
16

f) (2x + 3y)2 + 2. (2x + 3y). y + y2
g) x2 + 2x.(y + 1) + y2 + 2y + 1
Bài 3:Tìm x, biết
a) (x + 8)(x + 6) - x2 = 104

b) 6x2 - (2x - 3)(3x + 2) – 1 = 0

c) (x + 4)2 – (x + 1)(x - 1) = 16

d) (10x + 9)x – (5x - 1)(2x + 3) = 8

e) (2x - 1)2 + (x + 3)2 – 5(x + 7)(x – 7) = 0

f) x(x + 1) (x + 6) – x3 = 5x

Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức.
a) A = (3x + 5)(2x – 1) + (4x – 1) (3x + 2) với |x| = 2
b) B = 9x2 + 42x + 49 với x = 1
1 2

1
y
x  ; y  5
5
c) C = 25x2 – 2xy + 25 với
d) x7 - 26x6 + 27x5 - 47x4 - 77x3 + 50x2 +x - 24 tại x = 25
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau
a) 2(x – 1)2 – 4(3 + x)2 + 2(x – 5);

b) 2(2x + 5)2 – 3(4x + 1)(1 – 4x);

c) 4(x + 1)2 + ( 2x – 1)2 – 8(x – 1)(x + 1)

d) x(x – 4)(x + 4) – ( x2 + 1)(x2 – 1)

e) (y – 3)(y + 3)(y2 + 9) – (y2 + 2)(y2 – 2)

f) (a + b – c)2 – (a – c)2 – 2ab + 2bc

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x2 + 5x + 8

b) B = x (x – 6)

c) C = (x + 3y - 5)2 – 6xy + 26
Bài 7:
4


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9


a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (2x – 5)2 - 4(2x - 5) + 5
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = - (3x + 7)2 + 2(3x + 7) - 17
BUỔI 5: HÌNH THANG CÂN. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
Bài 1: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD. Biết cạnh bên BC = 25 cm, đáy AB =
10cm; CD = 24 cm
0
� �
Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD, A  D  90 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh BC, AD. Chứng minh :
�
�
a) Tam giác MAD là tam giác cân.
b) MAB  MDC

Bài 3: Cho  ABC, lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE.
Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi giao điểm của IK với AB, AC theo
thứ tự là G, H. Chứng minh rằng AG = AH.
Bài 4: Tam giác ABC có AC = 2 AB, đường phân giác AD. C/m rằng DC = 2 DB.
Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường phân giác của góc ngồi tại A và D cắt
nhau ở M. Đường phân giác của góc ngồi tại B và C cắt nhau ở N.
a) Chứng minh MN // CD
b) Tính chu vi của hình thang ABCD, biết MN = 4cm
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD), trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC
và AD. Chứng minh rằng hai tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại một điểm
thuộc cạnh đáy CD.

BUỔI 6: LUYỆN TẬP VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Bài 1: Thực hiện phép tính
a) 2(x – 1)2 – 4(3 + x)2 + 2x(x – 5);


b) 2(2x + 5)2 – 3(4x + 1)(1 – 4x);

c) (x – 1)3 – x(x -3)2 + 1 ;

d) (x + 2)3 – x2(x + 6 ).

e) (x - 2)(x + 2) - (x + 1)3 - 2x (x - 1)2

f) ( a + b – c)2 – (b – c)2 – 2a(b - c);

Bài 2: Giá trị của mỗi đa thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến khơng:
a) P = ( x + 2)3 + (x – 2)3 – 2x( x2 + 12) ?
b) Q = (x – 1)3 – (x + 1)3 + 6(x + 1)(x – 1) ?
Bài 3: Cho biÓu thøc : A = (x - 3)3 - (x+1)3 + 12x(x - 1).
a) Rót gän A.
5


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

b) Tính giá trị của A tại
c) Tìm x để A = -16.
Bi 4: Tỡm x bit
a) (x - 3)2 - 4 = 0

x

2
3


b) ( 2x + 3)2 – (2x + 1)(2x – 1) = 22

c) ( 4x + 3)( 4x – 3) – (4x -5)2 = 16

d) x3 – 9x2 + 27x – 27 = - 8

e) (x + 1)3 – x2 (x + 3) = 2 ;
Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức:

f) (x – 2)3 – x( x – 1)(x + 1) + 6x2 = 5 ;

a) A = x3 + 15x2 + 75x + 125

với x = -10

b) B = x3 – 9x2 + 27x – 27

với x = 13

c) P = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + 6xy – 100 với x + y = 5
d) Q = x3 + y3 – 2x2 – 2y2 + 3xy( x + y) – 4xy + 3( x + y) + 10 với x + y = 5
Bài 6: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 5x + 7
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 6x – x2 – 5
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = (x – 1) (x + 2) (x + 3)(x + 6)
Bài 7: Tìm cặp số (x, y) thoả mãn đẳng thức sau:
a) 3(2x – 1)2 + 7(3y + 5)2 = 0
b) x2 + y2 – 2x + 10y + 26 = 0
BUỔI 7: LUYỆN TẬP VỀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC. ĐƯỜNG
TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG

Bài 1: Cho tam giác ABC có BC= 4cm. Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của AC,AB; M
và N theo thứ tự là trung điểm của BE và CD, MN cắt BD ở P ,cắt CE ở Q.
a) Tính độ dài đoạn MN;
b) Chứng minh rằng MP = PQ = QN.
Bài 2: Cho ∆ABC cân tại A, 2 đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của BG và CG. I và K lần lượt là trung điểm của GM, GN
a) Tứ giác IEDK là hình gì?
b) Nếu BC=10cm. Tính DE + IK
Bài 3: Cho tam giác ABC ,AB>AC. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE =AC. Gọi I, D,
F, theo thứ tự là trung điểm của CE, AE, BC.Chứng minh:
6


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

a) Tam giác IDF là tam giác cân;

�
� .
b) BAC =2 IDF
Bài 4: Cho ∆ABC, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là
trung điểm GB, GC. Chứng minh
a) Tứ giác BEDC là hình thang

b) DE // IK và DE = IK.

Bài 5: Cho hình thang ABCD(AB//CD) và AB < CD. Gọi I, K, E lần lượt là trung điểm
của BD, AC, BC. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, K thẳng hàng


b)

IK 

CD  AB
2

1
Bài 6: Cho ∆ABC trên AB, lấy điểm D sao cho AD= 4 AB. Trên AC lấy điểm E sao cho
1
1
AE= 2 AC. Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: CF= 2 BC.

BUỔI 8: LUYỆN TẬP VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
a) (5x - y) (25x2 + 5xy + y2)
b) (x – 3)(x2 + 3x + 9) –(54+x3)
c) (2x + y)(4x2 -2xy + y2) - (2x - y)(4x2 +2xy + y2)
d) (x+y)2 + (x - y)2 + (x+y)(x-y) - 3x2
e) ( x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2
f) (x + y) (x2 - xy + y2) + (x - y) (x2 + xy + y2) - 2x3
g) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1.
Bài 2: Tìm x, biết
a) (x + 3)2 - (x - 4)(x + 8) = 1
b) (x+3)(x2- 3x + 9) - x(x - 2)(x +2) = 15
c) (x - 2)2- (x+3)2 - 4(x+1) = 5.
d) (2x - 3) (2x + 3) - (x - 1)2 - 3x(x - 5) = - 44
e) (x - 2)3 - (x - 3)(x2 + 3x + 9) + 6 (x + 1)2 = 49
f) 5x(x – 3)2 – 5(x – 1)3 + 15(x + 2)(x – 2) = 5
7



Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

g) (x + 3)3 – x(3x + 1)2 + (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) – 3x2 = 42
Bi 3: Tính giá trị các biểu thức:
a) - x3 + 3x2 - 3x + 1 tại x = 6.
b) 8 - 12x + 6x2 - x3 tại x = 12.
Bài 4: Trong hai số sau số nào lớn hơn:
a) A = 1632 + 74.163 + 372

và

B = 1472 – 94.147 + 472

b) C = ( 22 + 42 + …+ 1002) – (12 + 32 +…+ 992) và D = 38.78 – ( 214 - 1)(214 + 1)
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x2 – 3x + 5 ;

b) B = (2x – 1)2 + (x + 2)2

Bài 6: Tồn tại hay khơng các số x, y, z thỗ mãn đẳng thức:
x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0
Bài 7:
a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10.
Tính giá trị của biểu thức A = x3 + y3
b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1
Tính giá trị của biểu thức: B = a4 + b4 + c4

BUỔI 9: LUYỆN TẬP VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC

THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 2a2b - 4ab
5(3 - x)

b) x (y +1) - y (y+1)

d) 2x(x – 1) – (1 – x)

e) 7x(x – y) + 2(y – x)2

g) x5 - x4 + x3 - x2

h) xy + y2 - x - y

k) 3x2y2 - 6x2y3 + 12x2y2

l) 3x2 -3y2 + 12x - 12y

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức
a) x(x - y) + y(y - x) tại x = 53; y = 3
b) x2 (x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1) tại x = 3
c) x(2x - y) - z(y - 2x) tại x = 1,2; y = 1,4; z = 1,8
8

c) 2x(x -3) f) (x2 + 4)2 – 16x2

i)3x2 - 6xy + 3y2 -12z2



Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Bài 3: Tìm x biết
a) x2 - 10x = -25
c) 3x(x - 2) - x2 + 2x = 0

b) x(2x - 3) - 3(3 - 2x) = 0
d) 4x2 - 4x +1 =(5 –x)2

e) 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + 7) = 0

f) x2 + x -12 = 0

Bài 4: Rút gọn biểu thức:
a) (x2 – 1)3 – ( x4 + x2 +1)(x2 – 1);
b) (x4 – 3x2 + 9)(x2 + 3) – (3 + x2)3
c) 4(x + 1)4 + (2x – 1)2 – 8(x – 1)(x + 1).
d) ( a + b – c)2 – (a + b)2 + 2c(a + b);
Bài 5 : Tính giá trị của biểu thưc sau:
x 3 x 2 y xy 2 y3
C 


8
4
6
27
a)
với x = -8, y = 6
b) (x – 1)3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) với x = - 2

c) ( x – 1)( x – 2)(1 + x + x2)(4 + 2x + x2) với x = 1.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) A = 4 – x2 + 2x

b) B = 4x – x2

c) C = - x2 + 10x - 5

d) D = -2x2 - y2 - 2xy + 4x + 2y +5

BUỔI 10: LUYỆN TẬP VỀ HÌNH THANG. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH
Bài 1: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) E là trung điểm của AD, F là trung điểm của
BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
a, Chứng minh rằng AK = KC; BI = ID
b, Cho AB = 6 cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD( AB//CD, ABthẳng AD và BC.
a. C/m:  OAB cân
b. gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD.
C/m: O, I, K thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G. Gọi M là điểm đối xứng với G qua BC.
9


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

a) C/m: BGC = BMC.
b) Tính các góc của tam giác BMC.
0

� �
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD, A  D  90 . Gọi E là điểm đối xứng với C qua AD,
I là giao điểm của BE với AD.
a) C/m: ID là tia phân giác của góc CIE;
b) Tia CI cắt AB ở F. C/m: F đối xứng với B qua AD
Bài 5*: Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Ot. Gọi M là một điểm nằm trong góc đó và
A, B lần lượt là các điểm đối xứng của M qua Ox, Oy
a) C/m : Khi M di động trong góc xOy thì đường trung trực của AB ln đi qua một
điểm cố định.
b) Vẽ MH vng góc với Ot, cắt đương trung trực của AB tại N . C/m M và N đối
xứng với nhau qua Ot.

BUỔI 11: LUYỆN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
3
2
2 2
2
a) x z  x yz  x z  xyz

b) x3 + x2y – x2z – xyz

c) a2x + a2y + ax + ay + x + y

d) xa + xb + ya + yb – za – zb

e) a2 + 2ab + b2 – c2 + 2cd - d2

f) x2 – 4xy + 4y2 – x + 2y

g) z2 – (x – 1)2 + 2(x – 1) – 1

i) xz – yz – x2 + 2xy – y2

Bài 2: Tìm x biết
a) (x – 4)2 – 36 = 0

b) ( x + 8)2 = 121

c) x2 + 8x + 16 = 0

d) 4x2 – 12x = - 9

e) x (2x – 7) – 4x + 14 = 0

f) x(x – 1) + 2x – 2 = 0

g) x + x2 – x3 – x4 = 0

h) 2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0

Bài 3: Với giá trị nào của x thì
10


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

a) f(x) = x3 – x2 + 3x – 3 > 0

b) h(x) = 4x3 – 14x2 + 6x – 21 < 0

Bài 4: Chứng tỏ rằng đa thức sau vô nghiệm
a) f(x) = x2(x2 + 1) + x2(x + 3) + 3x + 3

b) g(x) = x2(x2 – x + 1) + 5x2 – 5x + 5

Bài 5: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì.
A = n3 + 3n2 – n – 3 chia hết cho 8
Bài 6: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
a3 + b3 + a2c + b2c – abc = 0
Bài 7 : Tìm x biết :
a) 64x3 + 48x2 + 12x + 1 = 27
b) (2x – 1)3 – 4x2(2x – 3) = 5
c) (x + 4)3 – x2(x + 12) = 16
d) (x + 2)(x2 – 2x + 4) – x(x – 3)(x + 3) = 26
e) 6(x + 1)2 + 2( x – 1)(x2 + x + 1) – 2(x + 1)3 = 32
BUỔI 12: LUYỆN TẬP VỀ ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ HÌNH BÌNH HÀNH
Bài 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng
với H qua M. Tính số đo các góc ABK, ACK
Bài 2: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là
một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D, vẽ điểm N
đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng MNCB là hình bình hành.
Bài 3: Qua đỉnh C của hình bình hành ABCD kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AB ở
E, cắt AD ở F.
a) Tứ giác BECD là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AC, BF, DE đồng quy.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên hai cạnh AD và CB ta lấy lần lượt hai điểm E và
F sao cho AE = CF. Trên hai cạnh BA và DC ta lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM
= DN. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác EMFN là hình bình hành.

b) Bốn đường thẳng AC, BD, EF, MN đồng quy.

11


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của OD, OB. Tia AM cắt CD tại E, tia CN cắt AB tại F. Chứng minh
rằng
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) AC, BD, EF đồng quy.

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, AC khơng vng góc với BD. Kẻ AH  BD, CK  BD.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Giả sử AC cắt BD tại O, AH cắt CD tại M, CK cắt AB tại N. Chứng minh rằng O là trung
điểm đoạn MN.
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N Theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC và
AD, O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành
b) Ba điểm M, O, N thẳng hàng
BUỔI 13: LUYỆN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – x – y2 – y

b) x2 -x y -3x + 3y

c) 5x2 + 5xy – x - y

d) x2 – 2xy + y2 – z2

e) x2 + 14x + 49 – y2

f) x2 + 6x +9 - y2

g) 9z2 - x2 + 2xy - y2
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – 4xy + 4y2 – z2

b) x2 - 12x + 36 – 9y2

x
c)

d) 9  x  5   x  7 

2

 1  6  x 2  1  9
2

2

2

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
8x3 

1 3

y
125

a) x3 - 8y3

b)

d) x2 + 10x +24

1 3
x 4
e) 2

c) 6x2 + 7x - 5
f) x4 + 10x3 +25x2

g) 49x3 - 14x2y + xy2
Bµi 4: Tính nhanh giá trị của biểu thức
12


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

A= x2 + x + với x = 199,5.

B  5 x 2 yz  10 xy 2 z  5 y 3 z với x = 124, y = 24, z = 2
Bài 5: Tìm x biÕt
a) 3x(x - 11) - x2 + 11x = 0

b) 9x2 - 6x +1 =(3 –x)2

c) x3 - 25x = 0

d) x3 - 16 x = 0

e) (x - 12)(x+7) - x - 7 = 0

f) x2(x - 1) - 4x2 + 8x - 4 = 0

g) x2 + x - 42 = 0

h) x2 – 6x + 8 = 0

Bài 6*: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 4x4 + y4

x
b)

2

 3x  1  12  x 2  3 x  1  27
2

c) x4 + 5x3 + 10x - 4

d) x3 + x + 2

e) x3 - 2x – 1

f) x3 + 3x2 – 4

BUỔI 14: LUYỆN TẬP VỀ ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ HÌNH BÌNH HÀNH
Bài 1: Cho tam giác ADC, AD tia đối của tia OD lấy điểm B sao OB = OA.
a) Chứng minh B đối xứng với A qua đường thẳng d;
b) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của OB và OD.
a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Tia AM cắt BC ở E’, tia CN cắt AD ở F. Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, EF
đồng quy.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC
và AD, O là giao điểm cảu AC và BD. Chứng minh:
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Ba điểm M, O, N thẳng hàng.

13


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có DC =2AD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD,
Chứng minh:
a) AM, BM theo thứ tự là tia phân giác của góc A, góc B.
0
�
b) AMB  90 .

Bài 5*: Cho hình bình hành ABCD. Kẻ AE vng góc với BD, CF vng góc với BD.

a) Tứ giác AECF là hình gì? Vì sao?
b) AE cắt CD ở I, CF cắt AB ở K. Chứng minhAI = CK.
c) Chứng BE = DF.
BUỔI 15: LUYỆN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 25x2(x – y) – x + y

b) 16x2(z2 - y2) – z2 + y2

c) x3 + x2 y – x2 z - xyz
e)

1
m (x2
3

2 2

d) 12x5 y + 24x4y2 + 12x3y3

2 2

+y) –mxy

g) 4 x y +

f)

1
2 yz3

1
2

(x2 + y2)2 – 2 x2y2

h) x9 + x8 – x - 1

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 + 7x + 12

b) x2 – 10 x + 16

d) x2 – 8x – 9

e) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15

c) x4 + 4

f) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
Bài 3: Tìm x, biết:
a) x3 – 16x = 0

b) x4 – 2x 3 + 10x2 – 20x = 0

c) (2x – 3)2 = (x + 5)2

d) x2 (x – 1) – 4x2 + 8x – 4 = 0

Bài 4: Tìm x, biết:
a) x2 + 3x – 18 = 0

b) 8x2 + 30x + 7 = 0
14


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

c) x3 – 11x2 + 30x = 0

d) x3 – 5x2 + 8x – 4 = 0

Bài 5: Cho a, x là các số nguyên. Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình
phương của một số nguyên.
M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1
B = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x + 9

15


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

BUỔI 16: LUYỆN TẬP VỀ ĐỐI XỨNG TÂM HÌNH BÌNH HÀNH
VÀ HÌNH CHỮ NHẬT
Bài 1: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE. Gọi H là điểm đối xứng với
B qua D, gọi K là điểm đối xứng với C qua E. Chứng minh rằng điểm H đối xứng với
điểm K qua điểm A.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm E,F,G,H

sao cho AE = CG, BF = DH.
a) Xác định tâm đối xứng của hình bình hành ABCD.
b) Chứng minh EFGH là hình bình hành và tìm tâm đối xứng của nó.
Bài 3: Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình bình hành cắt nhau tạo
thành một hình chữ nhật, và đường chéo của hình chữ nhật này song song với cạnh của
hình bình hành.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D và E là chân
các đường vng góc kẻ từ M đến AB và AC.
a) Xác định dạng của tứ giác ADME.
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm A, I, M thằng hàng.
c) Điểm M ở vị trí nào trên BC thì DE có độ dài nhỏ nhất ? Tính độ dài nhỏ nhất đó nếu
AB = 15 cm; AC = 20 cm.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vng góc với AB, HE
vng góc với AC, biết D và E lần lượt nằm trên AB và AC.
� �
a) Chứng minh rằng: C  ADE .

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

AM  DE .

BUỔI 17: LUYỆN TẬP VỀ ĐỐI XỨNG TÂM VÀ HÌNH CHỮ NHẬT
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có M là trung điểm của CD, lấy N trên AC sao cho góc
BNM bằng 900. Lấy điểm F đối xứng với A qua N. Gọi I là trung điểm của BF. C/m rằng
a) Tứ giác CINM là hình bình hành
b) BF  AC
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH, kẻ By // AC; Ax  AC; Gọi I là trung
điểm của AB, MI cắt AC tại N
a) C/m tứ giác ANBM là hình chữ nhật.
b) Gọi O là giao điểm của BN và AH. C/m CO  AB

16


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của OD, OB. Tia AM cắt CD tại E, tia CN cắt AB tại F. Chứng minh
rằng
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) AC, BD, EF đồng quy.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, AC khơng vng góc với BD. Kẻ AH  BD, CK  BD.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Giả sử AC cắt BD tại O, AH cắt CD tại M, CK cắt AB tại N. Chứng minh rằng O là trung
điểm đoạn MN.
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH  AC (H�AC). Gọi M, K, N lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng AH, CD, BH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MNCK là hình bình hành.
b) N là trực tâm của tam giác CMB
c) BM  MK
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy điểm P tuỳ ý trên đường chéo BD. Gọi M là điểm
đối xứng của C qua P.
a) Chứng minh AM // BD
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và BA. C/m EF// AC.
c) Chứng minh F, E, P thẳng hàng.
BUỔI 18: BÀI TẬP VỀ CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
Bài 1: Làm phép chia

( 18x y 3

a)

12x 2 y 2 + 6xy3 ) : 6xy

( 15x y
3

b)

5

- 2x 4 y 4 - 25x 5 y3 ) : ( - 5x 3 y 2 )

� 1 2 3 15 3 4
�5
�
- x yz + xy z - 5xyz 2 �
: xyz 2
�
�
�
�
�3
2
c) � 3
Bài 2: Tìm x, biết:
3
a) x + 27 +( x + 3) ( x - 9) = 0
Bài 3*: Tìm cặp số (x, y) thoả mãn
Bài 4: Làm phép chia:

3
2
b) 2x + 3x + 2x + 3 = 0
5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2x - 2y + 2 = 0

6x2 +13x - 5) :( 2x + 5)
(
a)
;

x3 (
b)

2x4 + x3 (
c)

3x4 (
d)

5x2 - 3x - 3) : ( x2 - 3)

;

3x2 + x - 3) : ( x - 3)

;

8x3 - 10x2 + 8x - 5) : ( x2 + x - 1)

( 2x3 - 9x2 +19x - 15) :( x2 - 3x + 5) ;
e)
Bài 5: Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm của các biến rồi thực hiện phép chia:
12x2 (
a)

14x + 3- 6x3 + x4) : ( 1- 4x + x3)

;

17

;


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

x5 (
b)
2x2 (
c)

x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : ( 5+ x2 - 3x)
5x3 + 2x + 2x4 - 1) : ( x2 - x - 1)

;

;

4

3
2
2
Bài 6: Cho hai đa thức A = x - 2x + x + 13x - 11 và B = x - 2x + 3.
Tìm thương Q và dư R sao cho A = B . Q + R
4
3
2
2
Bài 7: Tìm a sao cho đa thức x - x + 6x - x + a chia hết cho đa thức x - x + 5.
3
2
Bài 8: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 3n + 10n - 5 chia hết cho giá
trị của biểu thức 3n + 1
4
3
2
Bài 9: Tìm giá trị của a đểđa thức f(x) = x - 9x + 21x + x + a chia hết cho đa thức
2
g(x) = x - x - 2
19

199

1995

2
Bài 10*: Tìm phần dư trong phép chia đa thức 1+ x + x + x + x
cho 1- x
Bài 11*: Đa thức f(x) khi chia cho x – 2 thì dư 5, khi chia cho x – 3 thì dư 7, cịn khi chia

2
cho ( x – 2 ) ( x – 3 ) thìđược thương là x - 1 và cịn dư. Tìm đa thức f(x)
x 2 - 2x + 7
*
x2
: Tìm GTNN của biểu thức
Bài 12
BUỔI 19: ÔN TẬP CHƯƠNG I – PHẦN ĐẠI SỐ
2
xy( x2y - 5x + 10y)
3x( x2 - 7x + 9)
Bài 1: Làm phép nhân
a)
;
b) 5

x2 - 1)( x2 + 2x)
(
c)
;

( x + 3y) ( x2 - 2xy + y)

d)
;
e) ( 2x - 1) ( 3x + 2) ( 3- x)
Bài 2: Tính nhanh giá trị của biểu thức sau:
2
2
4

3
2
a) 1,6 + 4�0,8�3,4 + 3,4 ;
b) x - 12x + 12x - 12x +111 tại x = 11
34.54 - ( 152 +1)( 152 - 1)

c)
Bài 3: Rút gọn biểu thức

2

;

d)

( x2 + 3) - ( x + 2) ( x - 2) ( x2 +12)

2
2
6x
+
1
+
6x
1
- 2( 1+ 6x) ( 6x - 1) ;
(
)
(
)

a)
2
2
3( x - y) - 2( x + y) - ( x - y) ( x + y)
c)
;

tại x = 3

b)

3( 22 +1)( 24 +1)( 28 +1)( 216 +1)

d)

2( 2x + 5) - 3( 4x +1) ( 1- 4x)

2

Bài 4: Phân tích thành nhân tử
3

4
2
x + y + z) - x3 - y3 - z3
b) x - 5x + 4 ;
c) (
3
2
2

2
e) 5x y + 5x y - 5xy - 5y ;
f) x - 2xy + y - 4
14x2y2 + 20x2y3 - 8xy5) : 4xy
x4 - x - 14) : ( x - 2)
(
(
Bài 5: Làm phép chia a)
;
b)
3
2
a) x - 3x - 4x +12;
2
2
d) 36- 4x + 8xy - 4y ;

18


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

2x3 + 5x2 (
c)

2x + 3) :( 2x2 - x + 1)

2x3 (
d)

;

Bài 6*: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức sau:
2
2
b) B = 2x +10x - 1;
c) C = 5x - x ;
Bài 7: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
1
2
2
2x +1) - 3( x - 1) - ( x +1)( x - 1)
(
a)
tại x = 2
b)

( x - 2) ( x2 + 2x + 4) - x2 ( x + 2)

Bài 8: Phân tích thành nhân tử
36x2 - ( x2 + 9)

5x2 + 6x - 15) : ( 2x - 5)

2
a) A = x - 6x +11
d) D = ( 5- x) ( x - 7) + 10

với x = - 2

2
a) x + 8x - 20;

2
3
b) x y - x - 4y + 4x

2

3
2
2
;
d) 2a - 3a- 2;
e) x - x - x + 1
3
2
2
Bài 9: Cho A = 2x - 11x + ax - b và B = x - 3x + 1
a) Tìm số dư trong phép chia A : B
b) Với giá trị nào của a, b thì A chia hết cho B
Bài 10*: Chứng tỏ rằng biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của a, b
a2 + 2ab + b2 - 4a- 4b + 5
2
Bài 11: Cho A =10x  7x  a ;
B = 2x - 3
a) Tìm số dư trong phép chia A chia cho B
b) Với giá trị nào của a thì A MB
x 2  2xy  y 2  4x  4y  1
*

:
Cho
x
+
y
=
3.
Tính
giá
trị
của
biểu
thức
A
=
Bài 12

c)

BUỔI 20: ƠN TẬP HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác ABC có AC = 2 AB, đường trung tuyến BM. Gọi H là chân đường
vng góc kẻ từ C đến tia phân giác của Â. Chứng minh rằng ABHM là hình thoi.
Bài 2 : Cho  ABC, trung tuyến AM, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua M.
a) Tứ giác ABDC là hình gì? Chứng minh .
b) Gọi E là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh tam giác AED vng.
c) Chứng minh tứ giác BEDC là hình thang cân.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ABDC là hình vng.
Bài 3: Cho tam giác ABC vng cân ở A, đường cao AH. Kẻ phân giác của các góc
AHB, AHC cắt cạnh AB và AC lần lượt ở D và E.
19

Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh DE // BC.
Bài 4: Cho  ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A
qua H. Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N.
a) Tứ giác ABDM là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ACD.
0
�
c) Gọi I là trung điểm của MC, Chứng minh HNI  90

Bài 5:
Tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, K theo
thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc IMK.
Buổi 21: Luyện tập về đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
Ơn tập về hình thoi
Bài 1: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, M là trung điểm của cạnh BC qua M vẽ các đường
thẳng song song với các cạnh AB, AC và cắt các cạnh này theo thứ tự tại E và D. Chứng
minh tứ giác ADME là hình thoi.
Bài 2: Gọi M, N, P, Q là các trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC
và BD phải thoả mãn những điều kiện nào để M, N, P, Q là bốn đỉnh của hình thoi.
Bài 3: CMR các trung điểm của các cạnh hình thang cân là các đỉnh của một hình thoi.
� = 60o
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có D
, AB = 2AD. Gọi E và F thứ tự là trung
điểm của AB và BC. Đường EF cắt DC tại K cắt DA tại I. Chứng minh
a) Tứ giác AIBF là hình bình hành

b) Tứ giác AIFC là hình chữ nhật

c) Tứ giác EBKC là hình thoi
Bài 5: Cho hình thang ABCD, gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, DB
a) Chứng minh tứ giác MNEF là hình bình hành
b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNEF là hình gì? Chứng minh?
Bài 6: Chứng minh trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi
Bài 7: Chứng minh trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật
Bài 8: Tứ giác ABCD có toạ độ các đỉnh như sau : A( 0 ; 2 ), B( 3 ; 0 ),
D(– 3 ; 0). Tứ giác ABCD là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó.
Bài 9:
20

C( 0 ; – 2 ),


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

a) Cho hình thoi ABCD. Kẻ hai đường cao AH, AK. Chứng minh AH = AK.
b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau.
Chứng minh ABCD là hình thoi.

21


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Buổi 22: Luyện tập các bài tập hình học tổng hợp
Bài 1: Cho tam giác ABC các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi F và H là

trung điểm của BG và GC. Chứng minh tứ giác EFHD là hình bình hành.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, lấy D bất kì trên BC qua D kẻ đường thẳng vng
góc với BC cắt AB và AC lần lượt ở E và F. I và K lần lượt là trung điểm của BE và FC.
Chứng minh tứ giác IDKA là hình bình hành.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là
a) Hình chữ nhật;
b) Hình thoi;
c) Hình vng.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối
xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua
AC, F là giao điểm của DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh M đối xứng với N qua A.
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vng?
Bài 5: Cho hình thang ABCD, AB // CD. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB,
AC, CD, BD
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì? Vì sao?
c) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì thì MNPQ là hình vng? Vẽ hình minh
hoạ.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua
AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.
a) Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A.
b) Tam giác DHE là tam giác gì? vì sao?
c) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh rằng BC = BD + CE.
Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = AC, M �BC, MQ ^ AC, MP ^ AB.
Chứng minh MQ + MP khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC

22


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Buổi 23: Các bài tập về phân thức đại số - Tính chất cơ bản của phân thức
4
2x
2
2
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các phân thức a) x - 2x
b) 4x - 25
Bài 2: Qui đồng mẫu các phân thức
y- x
x+y
x- y
2
y2 và xy
a) x
;

x4 + 1
2
2
b) x +1 và x - 1
x
3x2 - x + 5
2
3
x - 1

d)
; x + x + 1 và - 2

x
x+ y
2
2
2
c) x - 2xy + y và y - xy
Bài 3: Rút gọn các phân thức

14xy5 ( 2x - 3y)
a)

21x 2 y( 2x - 3y)

3

2

;

5x - 10xy
3
2
2y
x
(
)
d)

;
2
32x - 8x + 2x 3
x 3 + 64
g)
;

b)

2

8xy ( 3x - 1)
12x 3 ( 1- 3x )

20x 2 - 45
2
2x
+
3
(
)
c)

;

80x - 125x
3( x - 3) - ( x - 3) ( 8 - 4x )
3

e)

2

;

9 - ( x + 5)
2
f) x + 4x + 4
x 2 + 5x + 6
2
i) x + 4x + 4

5x + 5x
4
h) x - 1 ;
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau
x 2 y + 2xy 2 + y3 xy + y 2
x 2 + 3xy + 2y 2
1
=
=
2
2
3
2
2
3
2x - y ;
x- y
a) 2x + xy - y

b) x + 2x y - xy - 2y
3

x 3 - x 2 - x +1 5x 3 +10x 2 + 5x
4
2
3
2
Bài 5: Cho hai phân thức x - 2x +1 ; x + 3x + 3x +1 Hãy tìm cặp phân thức bằng
cặp phân thức đã cho với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.
Bài 6: Tìm x biết
2
4
a) a x + x = 2a - 2 với a là hằng số;
2
2
b) a x + 3ax + 9 = a với a là hằng số, a �0 và a �- 3
x 4 - x 3 - x +1
4
3
2
Bài 7: Cho biểu thức P = x + x + 3x + 2x + 2 .

Rút gọn rồi chứng minh P không âm với mọi giá trị của biến x
xy 2 + y 2 ( y 2 - x) +1
2 4
4
2
Bài 8: Cho phân thức M = x y + 2y + x + 2
a) Rút gọn rồi tính giá trị của M, với x = - 3

b) Chứng minh M luôn luôn dương với mọi giá trị của biến x
23


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

BUỔI 24: ƠN TẬP CHƯƠNG I HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngồi của tam giác hai hình vng ABDE và ACFH.
Gọi I và K lần lượt là tâm của hai hình vng nói trên, M là trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh rằng: EC  BH và EC  BH .
b) Gọi N là trung điểm của EH. Tứ giác MINK là hình gì ? Vì sao ?

 , đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H.
Bài 2: Cho VABC vuông ở 
Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N.
a) Tứ giác ABDM là hình gì ? Vì sao?
A AB  AC

b) Chứng minh M là trực tâm của VACD .
0
�
c) Gọi I là trung điểm của MC, chứng minh rằng HNI  90 .

Bài 3: Cho hình vng ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy
điểm E sao cho BM  DE . Qua E kẻ đường thẳng song song với AM, qua M kẻ đường thẳng
song song với AE, chúng cắt nhau tại F và AF cắt EM tại O. Chứng minh rằng:
a) VAED VAMB .
b) Tứ giác AEFM là hình vng
�

c) CF là phân giác ECM .
d) DB / / CF .
0
�
Bài 4: Cho VABC có A  90 và AB  AC , đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AH có
chứa điểm C vẽ hình vng AHKE.
a) Chứng minh rằng K nằm giữa H và C.

b) Gọi P là giao điểm của KE và AC. Chứng minh VABP vuông cân.
c) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB. AQ cắt BP tại I. Chứng minh rằng ba điểm
H, I, E thẳng hàng.
d) Chứng minh tứ giác HEKQ là hình thang.
Bài 5: Cho VABC vng tại A có AH là đường cao, AM là trung tuyến. Gọi E và N lần lượt là
trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh EN  AM .
b) Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân.
c) Đường thẳng qua B song song với AM cắt ME tại K. Tứ giác KAMB là hình gì ? Tại sao?
d) Chứng tỏ năm điểm M, N, H, E, A cùng nằm trên một đường trịn. Tính bán kính của đường
trịn này biết AB  a, AC  b (a, b có cùng đơn vị độ dài).
e) KA cắt MN tại I. Chứng tỏ BI, KC, AM, EN đồng qui.

24


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9

Buổi 25: Luyện tập tổng hợp về phân thức đại số
Bài 1: Rút gọn phân thức sau :

x 2  y 2  z 2  2 xy

2
2
2
b, x  z  y  2 xz

x2  y2
2
2
a, x  y  xz  yz

Bài 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức
x
y
1
x
1
3
,
,
,
,
x  y  x  y 2  x  y 3
2
a)
b) 2x  4 2x  4 4  x

x
x2  y2
, 2
,x  y

2
x

y
x

2xy

y
c)

1
3
2
,
, 2
d) x  1 2x  2 x  x  1
3

Bài 3: Cộng các phân thức sau:

4x 2
3
19


a) x  2 x  2 2  x

6x
5x

x


b) x  9 x  3 x  3

2x  1 5y  2
y 1


c) x  2y 2y  x x  2y

3  2x
1

2
d) x  9 2x  6

2

x 2  3x
3
6x


2
2
e) x  6x  9 x  3 9  x

Bài 4: Cho biểu thức

A

7
x
36

 2
x x  6 x  6x ( với x ≠ 0; x ≠ -6)

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = - 2013
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
2x  1
A 2
x  2x  1
Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức
Bài 6: Tìm phân thức P biết:

a)

P

2x  3
3x  1
 2
2
x  5x x  25

b)

P

25

3x  6
1
4


4  9x 2 3x  2 3x+2