Câu 47: [1H2-1.9-3](CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN
2-2018) Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh là 2 . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của BC và CD . Tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng
 AMN  .
A.

7 17
6

B.

5 17
6

C.

2 35
7

D.

3 35
7

Lời giải
Chọn A
A'

D'

C'

B'

P

A

F

D

Q
N
H
B

C

M

E

Gọi E  MN  AB , F  MN  AD , Q  AE  BB , P  AF  DD .
Từ đó suy ra thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng

 AMN 

là ngũ giác

APNMQ .


Vì M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD nên suy ra BE  CN  1, DF  CM  1 . Từ
đó suy ra AE  AF  3  EF  3 2 .
Ta có AE  AA2  AE 2  22  32  13 , tương tự AF  13 . Do đó tam giác AEF là
tam giác cân.
2

Gọi H là trung điểm EF , ta có AH  AE  EH 
2

Diện tích tam giác AEF là: S 

2

3 2 
34
.
13  
 
2
2


2

1
1
34 3 17

.

EF . AH  .3 2.
2
2
2
2

Ta thấy EQM  FPN .
Từ

1 1
1
EQ EM EB 1
1


 suy ra S EQM  . .S  S  S FPN  S .
3 3
9
EA EF EA 3
9

7
1
1
Vậy, diện tích thiết diện APNMQ là S APNMQ  S  SEQM  SFPN  S  S  S  S .
9
9
9

7 3 17 7 17


Hay S APNMQ  .
.
9 2
6
Câu 43: [1H2-1.9-3](THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho hình lập phương
ABCD. ABCD có cạnh bằng 2 . Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng chứa đường chéo
AC  . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.
A. 2 6 .

B.

6.

C. 4 .
Lời giải

Chọn A

D. 4 2 .


C

B

A

D


A

C'

B'
A'

A'

C'

D'
H

Gọi  H  là thiết diện của hình lập phương và mặt phẳng   chứa AC  .
+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh BB hoặc DD .
Giao tuyến của   và  ABCD  là đường thẳng d , hình chiếu vuông góc của A lên d là
điểm H . Khi đó góc giữa   và  ABCD  là AHA .
AA AA

 sin AC A , do đó cos   cos ACA
AH AC 
Hình chiếu vuông góc của hình  H  lên  ABCD  là hình vuông ABCD , do đó diện tich

Vì AH  d nên AH  AC , do đó sin  

hình  H  : S ABCD  S H  .cos   S H  

S ABCD
.

cos 

Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi cos  lớn nhất, tức là cos   cos AC A 
tích cần tìm là S H  

2
. Khi đó diện
3

4 3
2 6.
2

+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh CD hoặc AB , chọn mặt phẳng chiếu là
S BBC C
, min S H   2 6 .
cos 
+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh BC hoặc AD , chọn mặt phẳng chiếu là

 BCCB , chứng minh tương tự ta cũng có

S H  

 BAAB , chứng minh tương tự ta cũng có,

min S H   2 6 .

Câu 1176: [1H2-1.9-3] Cho hình chóp tứ giác S. ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P
là một điểm trên cạnh SD .
a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( PAB) là hình gì?

A. Tam giác.

B. Tứ giác.

C. Hình thang.

D. Hình bình hành.

b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Thiết diện của hình chóp cắt bởi
 MNP  là hình gì?
A. Ngũ giác.

B. Tứ giác.

C. Hình thang.
Lời giải

D. Hình bình hành.


a) Chọn B
S

P

Q

A

B


D
C
E

Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi E  AB  CD .
Trong mặt phẳng  SCD  gọi Q  SC  EP .
Ta có E  AB nên EP   ABP   Q   ABP  , do đó Q  SC   ABP  .
Thiết diện là tứ giác ABQP .
b) Chọn A
S
P
H
F

A
K

D

M
B

N

C
G

Trong mặt phẳng  ABCD  gọi F , G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD
Trong mặt phẳng  SAD  gọi H  SA  FP

Trong mặt phẳng  SCD  gọi K  SC  PG .
Ta có F  MN  F   MNP  ,  FP   MNP   H   MNP 

 H  SA
 H  SA   MNP  Tương tự K  SC   MNP  .
Vậy 
 H   MNP 
Thiết diện là ngũ giác MNKPH .
Câu 1179: [1H2-1.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O . Gọi
M , N , P là ba điểm trên các cạnh AD, CD, SO . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
( MNP) là hình gì?
A. Ngũ giác.

B. Tứ giác.

C. Hình thang.
Lời giải

Chọn A

D. Hình bình hành.


S
H
R

T

P

F

N
C

D
K

M
E

O

A

B

Trong mặt phẳng ( ABCD) gọi E, K , F lần lượt là giao điểm của MN với DA, DB, DC .
Trong mặt phẳng  SDB  gọi H  KP  SB
Trong mặt phẳng  SAB  gọi T  EH  SA
Trong mặt phẳng  SBC  gọi R  FH  SC .

 E  MN
 EH   MNP  ,
Ta có 
 H  KP

T  SA
 T  SA   MNP  .


T  EH   MNP 

Lí luận tương tự ta có R  SC   MNP  .
Thiết diện là ngũ giác MNRHT .
Câu 1520. [1H2-1.9-3] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .
Mặt phẳng GCD cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A.

a2 3
.
2

B.

a2 2
.
4

C.

a2 2
.
6

D.

Lời giải
Chọn B
A


M

B

G

D

H

N
C

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN MC G.
Dễ thấy mặt phẳng GCD cắt đường thắng AB tại điểm M .
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng GCD và tứ diện ABCD .
Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra MD
Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra MC
Gọi H là trung điểm của CD

MH

CD

S

MCD

a 3
.

2
a 3
.
2

1
.MH .CD
2

a2 3
.
4


Với MH

MC 2

Vậy S

1 a 2
.
.a
2 2

MCD

HC 2

CD 2

4

MC 2

a 2
.
2

a2 2
.
4

Câu 1521. [1H2-1.9-3] Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm các cạnh AC , BC ; P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng MNP cắt tứ diện theo
một thiết diện có diện tích là:
A.

a 2 11
.
2

B.

a2 2
.
4

C.

a 2 11

.
4

D.

a2 3
.
4

Lời giải
Chọn C
A

D

M
B

D
N

H

M

P

N

C


Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N , P , D thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND .
Xét tam giác MND , ta có MN

AB
2

Do đó tam giác MND cân tại D .
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH
Diện tích tam giác S

MND

1
MN .DH
2

a ; DM

DN

AD 3
2

a 3.

MN .
1
MN . DM 2

2

MH 2

a 2 11
.
4

Vấn đề 5. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Câu 1546. [1H2-1.9-3] Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng
4. Biết tam giác SAC cân tại S , SB 8 . Thiết diện của mặt phẳng ACI và hình chóp S.ABCD
có diện tích bằng:
A. 6 2 .
B. 8 2 .
C. 10 2 .
D. 9 2 .
Lời giải
Chọn B


S

I

O

C
D
N

B

Gọi O SD CI ; N

A

BD.

AC

O, N lần lượt là trung điểm của DS , DB

ON

1
SB
2

4.

Thiết diện của mp ACI và hình chóp S.ABCD là tam giác OCA.
Tam giác SAC cân tại S SC SA
SDC
SDA
CO AO (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng)
OCA cân tại O
S

Câu 2254.


OCA

1
ON .AC
2

1
.4.4 2
2

8 2.

[1H2-1.9-3] Cho tứ diện ABCD . M , N , P , Q lần lượt là trung điểm AC , BC , BD ,
AD . Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.

A. AB  BC .

B. BC  AD .

D. AB  CD .

C. AC  BD .
Lời giải.

Chọn D
D

P

Q


B

A

M

N

C

Ta có: MN song song với PQ vì cùng song song với AB , MQ song song với PN vì cùng
song song với CD nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ  PQ  AB  CD .
[1H2-1.9-3] Cho hình chóp S. ABCD . Điểm C  nằm trên cạnh SC .
Thiết diện của hình chóp với mp  ABC   là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Câu 2265.


A. 3 .

C. 5 .
Lời giải

B. 4 .

D. 6 .

Chọn B


S
M
A'
D

A

C
B
I
Xét  ABA  và  SCD  có


 A  SC , SC   SCD 
 A là điểm chung 1.



A

ABA




Gọi I  AB  CD

 I  AB, AB   ABA 
 I là điểm chung 2.

Có 
 I  CD, CD   SCD 

  ABA   SCD   IA
Gọi M  IA  SD .
Có
 ABA   SCD   AM

 ABA   SAD   AM
 ABA   ABCD   AB
 ABA   SBC   BA
Thiết diện là tứ giác ABAM .
Câu 2254. [1H2-1.9-3] Cho tứ diện ABCD . M , N , P , Q lần lượt là trung điểm AC , BC , BD , AD .
Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.
A. AB  BC .
Chọn D

B. BC  AD .

C. AC  BD .
Lời giải.

D. AB  CD .


D

P

Q


B

A

M

N

C

Ta có: MN song song với PQ vì cùng song song với AB , MQ song song với PN vì cùng
song song với CD nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ  PQ  AB  CD .
Câu 2256. [1H2-1.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. M là
trung điểm CD. Mặt phẳng   qua M song song với BC và SA.   cắt AB, SB lần lượt
tại N và P. Nói gì về thiết diện của mặt phẳng   với khối chóp S. ABCD ?
A. Là một hình bình hành.
C. Là tam giác MNP.

B. Là một hình thang có đáy lớn là MN .
D. Là một hình thang có đáy lớn là NP.
Lời giải

Chọn B

Trong mặt phẳng

 ABCD  ,


qua M

kẻ đường thẳng MN BC  N  BC  . Khi đó,

MN    .
Trong mặt phẳng  SAB  , qua N kẻ đường thẳng NP SA  P  SB  . Khi đó, NP    .
Vậy     MNP  .
Xét hai mặt phẳng  MNP  và  SBC  có


 MN   MNP 

 BC   SBC 
 hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm P và

 MN // BC
 P   MNP  , P   SBC 

song song với BC.
Trong mặt phẳng  SBC  kẻ PQ BC  Q  SC  . Khi đó, PQ là giao tuyến của mặt phẳng

 

với mặt phẳng  SBC  . Vậy mặt phẳng   cắt khối chóp S. ABCD theo thiết diện là tứ

giác MNPQ.

 MN // BC
Tứ giác MNBC có 
 MNBC là hình bình hành. Từ đó suy ra MN  BC.

 MC // NB
Trong tam giác SBC có P thuộc đoạn SB , Q thuộc đoạn SC và PQ BC nên PQ  BC.

 MN // PQ
Tứ giác MNPQ có 
 MNPQ là hình thang có đáy lớn là MN .
 PQ  MN
Câu 2265. [1H2-1.9-3] Cho hình chóp S. ABCD . Điểm C  nằm trên cạnh SC . Thiết diện của hình chóp
với mp  ABC   là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn B

S
M
A'
D

A

C
B
I

Xét  ABA  và  SCD  có


 A  SC , SC   SCD 
 A là điểm chung 1.



A

ABA




Gọi I  AB  CD

 I  AB, AB   ABA 
Có 
 I là điểm chung 2.
 I  CD, CD   SCD 

  ABA   SCD   IA
Gọi M  IA  SD .
Có


 ABA   SCD   AM
 ABA   SAD   AM
 ABA   ABCD   AB

 ABA   SBC   BA
Thiết diện là tứ giác ABAM .
Câu 579: [1H2-1.9-3] Cho hình hộp ABCD. ABCD . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng
 MAC cắt hình hộp ABCD.ABCD theo thiết diện là hình gì?
A.Hình tam giác.

B. Hình ngũ giác.

C. Hình lục giác.

D.Hình thang.

I

B

N

C

M
A

D

B'

C'

O

A'

D'

Lời giải
Chọn D
Trong mặt phẳng  ABBA  , AM cắt BB tại I
1
AB nên B là trung điểm BI và M là trung điểm của IA
2
Gọi N là giao điểm của BC và C I .
Do BN / / BC và B là trung điểm BI nên N là trung điểm của C I
Suy ra: tam giác IAC  có MN là đường trung bình.

Do MB //AB; MB 

Ta có mặt phẳng  MAC   cắt hình hộp ABCD. ABCD theo thiết diện là tứ giác AMNC
có MN / / AC
Vậy thiết diện là hình thang AMNC .
Câu 596: [1H2-1.9-3] Cho hình chóp S. ABCD . Điểm C  nằm trên cạnh SC .
Thiết diện của hình chóp với mp  ABC   là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3 .
Chọn B

B. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 6 .



S
M
A'
D

A

C
B
I
Xét  ABA  và  SCD  có


 A  SC , SC   SCD 
 A là điểm chung 1.



A

ABA




Gọi I  AB  CD
 I  AB, AB   ABA 
 I là điểm chung 2.

Có 
 I  CD, CD   SCD 
  ABA   SCD   IA
Gọi M  IA  SD .
Có
 ABA   SCD   AM

 ABA   SAD   AM
 ABA   ABCD   AB
 ABA   SBC   BA
Thiết diện là tứ giác ABAM .