độ đo, chiều hausdorff và metric entropy
Để mở rộng độ đo Lebesgue cho các tập ‘α - chiều’ của R
n
với α ≤ n, năm
1918 Hausdorff đã đưa ra khái niệm độ đo α - chiều, và số chiều Hausdorff (có
thể không nguyên) cho các tập trong không gian R
n
.
Một cách tiếp cận khác về độ đo (chẳng hạn theo hướng xấp xỉ) là khái niệm
entropy hay metric entropy được Kolmogorov đưa ra vào 1930.
Bài này tóm tắt một số kết quả cơ bản của độ đo và số chiều Hausdorff và liên
hệ nó với metric entropy.
Nội dung.
1. Độ đo Hausdorff.
2. Chiều Hausdorff.
3. Các ví dụ.
4. Entropy và chiều entropy.
Tham khảo.
Falconer K.J, Fractal Geometry, Wiley (2003)
Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)
Kolmogorov A.N, Tihomirov V.M, -entropy and -capacity of sets in fuctional
space, Amer. Math. Soc. Transl. 17 (1961), 277-364.
Simon L, Lectures on geometric measure theory, Proc. Centre Math. Anal.
Austral. Nat. Univ. 3 (1983)
1. Độ đo Hausdorff.
Cho A là tập con trong R
n
và α ≥ 0.
Với mỗi  > 0, họ các  - phủ A được ký hiệu là
C(, A) = {(U
i

)
i∈N
: A ⊂

i∈N
U
i
và diam (U
i
) ≤ }
Đặt
H
α

(A) = c(α) inf{

i
diam (U
i
)
α
: (U
i
)
i∈N
∈ C(, A)}
trong đó c(α) =
Γ(
1
2

)
α
2
α
Γ(
α
2
+ 1)
. Khi α nguyên c(α) là thể tích hình cầu α - chiều,
có đường kính là 1.
60
Khi  giảm về 0, thì họ phủ C(, A) tăng, nên inf của vế phải giảm. Từ đó có
thể định nghĩa độ đo Hausdorff chiều α của A là
H
α
(A) = lim
→0
H
α

(A)
Mệnh đề. H
α
là một độ đo trên R
n
mà mọi tập Borel là H
α
- đo được.
Chứng minh: Rõ ràng H
α

(∅) = 0, và nếu (A
i
) là họ đếm được các tập con
của R
n
thì H
α
(

i
A
i
) ≤

i
H
α
(A
i
). Theo tiêu chuẩn Caratheodory, để chứng
minh các tập Borel là H
α
- đo được, ta cần chứng minh
(C) H
α
(A ∪ B) = H
α
(A) + H
α
(B), khi d(A, B) > 0

Dễ thấy H
α

(A ∪ B) = H
α

(A) + H
α

(B), khi d(A, B) > 2. Cho  → 0, ta có
tiêu chuẩn (C). 
Mệnh đề. Độ đo Hausdorff chiều n trùng với độ đo Lebesgue L
n
trong R
n
.
Cụ thể
H
n
(A) = H
n

(A)= L
n
(A) với mọi A ⊂ R
n
và  > 0
Chứng minh: (A. Sard 1943).
L
n

(A) ≤ H
n
(A): Nếu A ⊂ ∪
i
U
i
, thì L
n
(A) ≤

i
L
n
(U
i
) ≤

i
c(n)(diam U
i
)
n
.
Vậy L
n
(A) ≤ H
n

(A), ∀ > 0. Suy ra L
n

(A) ≤ H
n
(A)
L
n
(A) ≥ H
n
(A): Với mọi  > 0, δ > 0, tồn tại họ hình cầu (B
i
) ∈ C(, A) sao
cho

i
L
n
(B
i
) =

i
c(n)(diam B
i
)
n
≤ L
n
(A) + δ
Vậy H
n


(A) ≤ L
n
(A) + δ. Suy ra H
n

(A) ≤ L
n
(A) và H
n
(A) ≤ L
n
(A). 
Định lý (Area Formular). Cho f : R
m
→ R
n
là ánh xạ Lipschitz với m ≤ m.
Gọi J
m
f(x) =

det(
t
Df(x)Df(x)). Khi đó
(i) Nếu A là tập L
m
- đo được, thì

A
J

m
f(x)dL
m
x =

R
n
H
0
(f
−1
(y) ∩ A)dH
m
y
(ii) Nếu u là hàm L
m
- khả tích, thì

R
m
u(x)J
m
f(x)dL
m
x =

R
n

x∈f

−1
(y)
u(x)H
m
y
61
Chứng minh: Xem trong Federer hay Simon. 
Nhận xét. Khi f|
A
là đơn ánh, thì công thức trên cho

A
J
m
f(x)dL
m
x = H
m
(f(A))
Vậy H
0
(A) là số điểm của A, H
1
(A) là độ dài đường cong trơn A, H
2
(A) là
diện tích mặt cong trơn A. Tổng quát, nếu A là đa tạp con m chiều trong R
n
,
thì H

m
(A) chính là thể tích m- chiều (sinh bởi metric Rieman cảm sinh từ R
n
lên A) của A.
Một số tính chất của độ đo Hausdorff.
(i) Cho f : A → R
n
là ánh xạ H¨older, i.e. tồn tại L, p > 0 sao cho
f(x) − f (y) ≤ Lx − y
p
(x, y ∈ A)
Khi đó H
α/p
(f(A)) ≤
c(α/p)
c(α)
L
α/p
H
α
(A).
Đặc biệt, khi f là ánh xạ Lipschitz, i.e. p = 1, thì H
α
(f(A)) ≤ L
α
H
α
(A).
(ii) Khi S là phép đồng dạng tỉ số λ > 0, thì H
α

(S(A)) = λ
α
H
α
(A)
(iii) Độ đo Hausdorff là bất biến qua phép đẳng cự, và vì vậy qua phép tịnh
tiến.
Chứng minh: Nếu (U
i
) là một họ  - phủ A, thì từ tính chất H¨older ta có
diam f(A ∩ U
i
) ≤ Ldiam (A ∩ U
i
)
p
. Vậy họ (f(A ∩ U
i
)) là một L
p
- phủ f(A).
Vậy

i
diam (f(A ∩ U
i
))
α/p
≤ L
α/p


i
diam (U
i
)
α
.
Suy ra H
α/p
L
p
(f(A)) ≤
c(α/p)
c(α)
L
α/p
H
α

(A). Cho  → 0, ta có (i).
Để chứng minh (ii), áp dụng (i) cho S và S
−1
, ta có
λ
α
H
α
(A) ≤ H
α
(S(A)) ≤ λ

α
H
α
(A)
Do phép đẳng cự là Lipschitz với L = 1 và song ánh nên (iii) suy từ (i) 
Độ đo Hausdorff cầu. Nếu trong định nghĩa trên, ta thay họ phủ bất kỳ
bởi họ phủ là hình cầu
C(, A) = {(B
i
)
i∈N
: A ⊂

i∈N
B
i
và B
i
là hình cầu có bán kính ≤ }
thì với các xây dựng tương tự ta có độ đo Hausdorff cầu chiều α, ký hiệu S
α
.
Do mỗi họ các cầu  - phủ A là  - phủ A, và mọi -phủ A đều chứa trong một
62
họ các cầu 2-phủ A, nên ta có
H
α
≤ S
α
≤ 2

α
H
α
Federer (1969) đã chứng minh khi m ∈ N và A ⊂ R
n
là (H
m
, m) rectifiable,
thì S
m
(A) = H
m
(A).
2. Chiều Hausdorff.
Cố định A ⊂ R
n
. Nếu 0 ≤ r < s, thì với mọi 0 <  < 1 và (U
i
)
i∈N
∈ C(, A),
ta có

i
diam (U
i
)
s
=


i
diam (U
i
)
r+(s−r)
≤ 
s−r

i
diam (U
i
)
r
Cho  → 0, ta thấy nếu H
r
(A) = ∞, thì H
s
(A) = 0; nếu H
s
(A) = 0, thì
H
r
(A) = ∞. Từ đó định nghĩa số chiều Hausdorff của A:
dim
H
A = inf{α : H
α
(A) = 0} = sup{α : H
α
(A) = ∞}

Ta có
H
α
(A) =

∞ nếu 0 ≤ α < dim
H
A
0 nếu α > dim
H
A
Khi α = dim
H
A, H
α
(A) có thể 0 hay ∞.
Nhận xét. Do bất đẳng thức H
α
≤ S
α
≤ 2
α
H
α
, nên số chiều Hausdorff và số
chiều Hausdorff cầu (với định nghĩa tương tự) là trùng nhau.
Mệnh đề. Chiều Hausdorff thoả các tính chất sau:
(i) Nếu A ⊂ B, thì dim
H
A ≤ dim

H
B.
(ii) dim
H

∞
i=0
A
i
= sup
0≤i≤∞
dim
H
A
i
(iii) Nếu A là đa tạp m chiều, thì dim
H
A. = m.
Chứng minh: (i) là rõ ràng.
Do (i) ta có dim
H
∪
i
A
i
≥ dim
H
A
i
. Mặt khác, nếu s > dim

H
(A
i
) với mọi i, thì
H
s
(A
i
) = 0, vậy H
s
(∪
i
A
i
) = 0, từ đó có bất đẳng thức ngược lại. Ta có (ii).
(iii) suy từ Area Formular. 
Mệnh đề.
(i) Nếu f : A → R
n
thoả điều kiện H¨older: f(x) − f(y) ≤ Lx − y
p
,
thì dim
H
f(A) ≤
1
p
dim
H
A.

Đặc biệt, nếu f là ánh xạ Lipschitz, thì dim
H
f(A) ≤ dim
H
A.
(ii) Nếu f : A → R
m
là bi-Lipschitz, i.e. tồn tại L
1
, L
2
> 0 sao cho
L
1
x − y ≤ f(x) − f(y) ≤ L
2
x − y (x, y ∈ A)
63
thì dim
H
f(A) = dim
H
A (Tính bất biến qua biến đổi bi-Lipschitz)
Chứng minh: Nếu s > dim
H
A, thì theo tính chất của độ đo Hausdorff, ta có
H
s/p
(f(A)) ≤ L
s/p

H
s
(A) = 0. Suy ra dim
H
f(A) ≤ s/p với mọi s > dim
H
A.
Vậy ta có (i). Từ (i) , với p = 1 và f song ánh, suy ra (ii). 
Nhận xét. Chiều Hausdorff phụ thuộc vào metric, không bất biến qua đồng
phôi (xem các ví dụ trong Falconer).
3. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Do H
0
({a}) = 0, nên số chiều Hausdorff của tập đếm được là 0
và độ đo Hausdorff chiều α > 0 là 0.
Ví dụ 2. Cho A là đĩa phẳng, bán kính đơn vị trong R
3
. Khi đó H
1
(A) =
độ dài(A) = 0, 0 < H
2
(A) = (4/π)× diện tích(A) < ∞, và H
3
(A) = thể
tích(A) = 0. Vậy dim
H
A = 1, và H
s
(A) = ∞ nếu s < 2, H

s
(A) = 0 nếu s > 2.
Ví dụ 3. Một tập A ⊂ R
n
có dim
H
A < 1 là hoàn toàn gián đoạn, i.e.
hai điểm khác nhau của A thuộc vào hai thành phần liên thông khác nhau.
Chứng minh: Cho x, y ∈ A khác nhau. Xét f : R
n
→ R, f(z) = |z − x|. Do
|f(z)−f(w)| ≤ |z−w|, nên theo tính chất Lipschitz dim
H
f(A) ≤ dim
H
A < 1.
Vậy f(A) là tập trong R có độ đo Hausdorff 1- chiều bằng không, vậy có phần
bù là trù mật. Chọn r ∈ f(A) và 0 < r < f(y). Khi đó x ∈ {z ∈ A : |z−x| < r}
còn y ∈ {z ∈ A : |z − x| > r}, vậy x, y thuộc hai thành phần liên thông khác
nhau của A. 
Ví dụ 4. Cho A ⊂ [0, 1] là tập Cantor (bỏ đi một phần ba giữa). Khi đó
s = dim
H
A =
ln 2
ln 3
và
1
2
≤ H

s
(A) ≤ 1.
Tính toán heuristic: Phân A thành một phần trái A
L
= A ∩ [0,
1
3
] và phần
phải A
R
= A ∩ [
1
3
, 1]. Cả hai phần là đồng dạng với A tỉ lệ
1
3
, và A = A
L
∪ A
R
là hợp rời. Vậy với mọi α ≥ 0
H
α
(A) = H
α
(A
L
) + H
α
(A

R
) = (
1
3
)
α
H
α
(A) + (
1
3
)
α
H
α
(A)
Giả sử tại s = dim
H
A, ta có 0 < H
s
(A) < ∞ (giả thiết này là khá lớn!). Với
α = s, chia cho H
s
(A) ở đẳng thức trên, ta có 1 = 2(
1
3
)
s
. Vậy s =
ln 2

ln 3
.
Tính chính xác: A

∞
k=0
E
k
, trong đó E
k
là các đoạn xây dựng tập Cantor A
ở bước k: E
0
= [0, 1], E
k
lập từ E
k−1
bằng cách bỏ đi một phần ba phần giửa
mỗi đoạn của E
k−1
. Vậy E
k
chứa đúng 2
k
đoạn có độ dài 3
−k
.
64