giới thiệu một số kết quả định lượng
trong giải tích vi phân
Tạ Lê Lợi
ý kiến tìm ra các kết quả có tính định lượng trong Giải tích vi phân được đề
xuất bởi Yomdin (2004). Để các kết quả có tính định tính (chẳng hạn trong lý
thuyết Kỳ dị) có thể áp dụng được trong tính toán, điều quan trọng là phải
làm mạnh hơn các kết quả đó để ‘định lượng’ được, i.e. cung cấp thông tin
tường minh và có thể đánh giá hiệu quả mọi tham số quan trọng có liên quan.
Điều này sẽ mở ra khả năng áp dụng của Giải tích vi phân trong các lĩnh vực
khác như Giải tích, Hình học, Phương trình vi phân, Hệ động lực, ... ,và khoa
học tính toán.
Mục đích của bài này là giới thiệu một số kết quả quan trọng theo hướng nêu
trên.
Bố cục:
1. Định lý hàm ẩn.
2. Định lý Morse.
3. Định lý Sard.
4. Định lý hoành.
5. Định lý chuẩn bị và Định lý chia.
6. Các vấn đề.
7. Tài liệu.
Ký hiệu: B
n
r
hay B
r
là hình cầu tâm 0, bán kính r, trong R
n
. B
n
= B

n
1
.
1. Định lý hàm ẩn.
Định lý (Dạng định tính) Cho f : R
n
→ R
p
∈ C
k
, với k ≥ 1, n ≥ p, f (a) = 0,
cho trong hệ tọa độ y
1
= f
1
(x
1
, · · · , x
n
), · · · , y
p
= f
p
(x
1
, · · · , x
n
). Giả sử Df(a)
có hạng cực đại p. Khi đó tồn tại các lân cận U(a), U(0) trong R
n

, và biến đổi
tọa độ lớp C
k
, ϕ : U(0) → U(a), x
1
= ϕ
1
(w
1
, · · · , w
n
), · · · ϕ
n
(w
1
, · · · , w
n
), sao
cho trong tọa độ đó f có dạng y
1
= w
1
, · · · , y
p
= w
p
.
Định lý (Dạng định lượng) Giả sử mọi đạo hàm riêng đến cấp k của f
bị chặn bởi K trên B
n

. Khi đó tồn tại r(K), m(K), M(K) > 0, có biểu thức
tường minh, sao cho U(0) = B
r(K)
và m(K) < ϕ
C
k
< M(K).
Note. Xem kỹ các chứng minh kinh điển sẽ có r, m, M tường minh. Có thể
xem kết quả của Clark (1976) mở rộng định lý cho f thoả điều kiện Lipschitz.
51
Note. Trường hợp f giải tích: Smale (1986) cho các đánh giá cho Định lý hàm
ngược, i.e. p = n; các ví dụ khi n, p = 1, 2 xem Yomdin (2005).
Note. Các đánh giá định lượng là cần thiết khi xử lý dữ liệu số với độ chính
xác hữu hạn. Chẳng hạn trong Giải tích số, xét định lý trên dưới dạng:
Cho f : R
m
× R
p
→ R
p
∈ C
1
. Giả sử f(a
0
, y
0
) = 0 và đạo hàm theo y,
(∂f/∂y)(a
0
, y

0
) là không suy biến. Khi đó tồn tại g : U(a
0
) → R
p
∈ C
1
, sao
cho f(a, g(a)) = 0, khi a ∈ U(a
0
), và g(a
0
) = y
0
.
Khi xem a
0
là input và y
0
là output, theo công thức Taylor, để chặn trên cho
sai số vô cùng bé của output y theo sai số vô cùng bé của input a, người ta
dùng số điều kiện µ = Dg(a
0
), trong đó
Dg(a
0
) = −

∂f
∂y

(a
0
, y
0
)

−1
∂f
∂a
(a
0
, y
0
)
Vậy µ càng lớn thì đánh giá sai số giữa y và y
0
càng tệ.
Shub và Smale (1993) có những kết quả đánh giá xác suất (theo phân phối
chuẩn) khi µ ≥ 1/ε cho các hệ đa thức n biến bậc ≤ d. Ngoài ra nhóm này
còn nêu các áp dụng trong lý thuyết Tính toán và độ phức tạp.
2. Định lý Morse.
Cho f
0
: B
n
→ R ∈ C
k
(k ≥ 3). Khi đó ta có tính chất đủ tổng quát
của hàm Morse:
Định lý (Morse 1931). Tồn tại nhiễu bé tùy ý (theo chuẩn .

C
k
) dạng f =
f
0
+ h, sao cho
(i) Mọi điểm kỳ dị x
i
của f là không suy biến. Vậy số điểm kỳ dị là hữu hạn.
(ii) Các giá trị kỳ dị là khác nhau.
(iii) Tồn tại biến đổi tọa độ tại lân cận x
i
là y
1
, · · · , y
n
, sao cho
f(y
1
, · · · , y
n
) = y
2
1
+ · · · + y
2
p
− y
2
p+1

− · · · − y
2
n
+ const
Note. Tính trù mật của các hàm Morse có nhiều áp dụng quan trọng, chẳng
hạn như trong lý thuyết Morse (Morse 1931, Milnor 1963, Goresky và McPher-
son 1988).
Dạng định lượng của định lý trên là:
Định lý (Yomdin 2004). Giả sử mọi đạo hàm riêng của f
0
bị chặn bởi K.
Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại hàm f = f
0
+ h có h
C
k
≤ ε, và các hàm
ψ
1
(K, ε), ψ
2
(K, ε), ψ
3
(K, ε), d(K, ε), N(K, ε), M(K, ε) > 0 có biểu thức tường
minh, sao cho
(i) Tại mọi điểm kỳ đị x
i
của f, các giá trị riêng của Hessian Hf(x
i
) có trị

tuyệt đối ≥ ψ
1
(K, ε).
52
(ii) Khoảng cách giữa hai giá trị kỳ dị khác nhau d(x
i
, x
j
) ≥ d(K, ε). Số điểm
kỳ dị không vượt quá N(ε).
(iii) Với δ = ψ
3
(K, ) và mỗi điểm kỳ dị x
i
của f, trong δ-lân cận của x
i
, tồn
tại biến đổi tọa độ y
1
, · · · , y
n
, sao cho
f(y
1
, · · · , y
n
) = y
2
1
+ · · · + y

2
p
− y
2
p+1
− · · · − y
2
n
+ const
Các biến đổi này có chuẩn .
C
k−1
không vượt quá M(K, ε).
Note. Yomdin (2005) còn cho chứng minh là khi f là hàm Morse như định lý
trên, tồn tại α
0
, sao cho với o < α < α
0
, nếu f
1
gần f theo C
k
-chuẩn không
quá α, thì f
1
= G ◦ f ◦ H với G, H là các vi phôi khác với ánh xạ đồng nhất,
theo C
k−1
-chuẩn, không quá một giá trị s(K, ψ
1

, ψ
2
, α).
Note. Niederman (2004) đã sử dụng kết quả của định lý trên vào bài toán ổn
định của hệ Hamilton.
3. Định lý Sard.
Độ đo và chiều Hausdorff. Cho A là tập con của một không gian metric.
Với mỗi α ≥ 0, ký hiệu C(, A) = {(D
i
)
i∈N
: A ⊂

i∈N
D
i
và diam (D
i
) ≤ },
H
α

(A) = inf{

i
diam (D
i
)
α
: (D

i
)
i∈N
∈ C(, A)}
Độ đo Hausdorff chiều α của A được định nghĩa là H
α
(A) = lim
→0
H
α

(A).
Nếu H
α
(A) = ∞, thì H
α

(A) = 0 khi α

> α; nếu H
α
(A) = 0, thì H
α

(A) = ∞
khi α

< α. Từ đó định nghĩa số chiều Hausdorff của A:
dim
H

A = inf{α : H
α
(A) = 0} = sup{α : H
α
(A) = ∞}
Note. Chiều Hausdorff là mở rộng chiều cổ điển, độ đo Hausdorff H
n
(A) trùng
với độ đo Lebesgue L
n
(A) trong R
n
đối với một lớp khá rộng các tập A.
Định lý (Morse 1939, Sard 1942, Holm 1987). Cho f : R
n
→ R
p
∈ C
k
.
Gọi Σ(f) = {x ∈ R
n
: rank Df(x) < p}, và ∆(f) = f(Σ(f)). Khi k ≥
max(n − p + 1, 1), ta có H
p
(∆(f)) = 0.
Định lý (Federer 1969). Cho f : R
n
→ R
p

∈ C
k
. Với ρ < p, ký hiệu Σ
ρ
(f) =
{x ∈ R
n
: rank Df(x) ≤ ρ}, và ∆
ρ
(f) = f(Σ
ρ
(f)). Khi đó H
ρ+(n−ρ)/k
(∆
ρ
(f)) =
0. Đặc biệt
dim
H
(∆
ρ
(f)) ≤ ρ +
n − ρ
k
Note. Một hệ quả của định lý Sard khẳng định với hầu hết giá trị y ∈ R
p
,
f
−1
(y) hoặc trống hoặc là đa tạp con có chiều n − p.

53
Note. Định lý sau suy ra định lý đầu khi cho ρ = p − 1. Hơn nữa, nó còn cho
thấy bậc trơn k đóng vai trò quan trọng. Tuy nhiên, thông tin về độ đo không
khó có thể áp dụng được.
Để các định lý có thể áp dụng được, Yomdin (1983) đưa ra khái niệm ‘gần kì
dị’ và dùng entropy để đánh giá.
Giá trị gần kỳ dị (Yomdin 1983):
Cho L : R
n
→ R
p
là ánh xạ tuyến tính. Khi đó L(B
n
) là một ellipsoid r chiều
có độ dài các nửa cạnh là l
1
(L) ≥ · · · ≥ l
r
(L), với r = rank L. Khi r < p, ký
hiệu l
r+1
(L) = · · · = l
p
(L) = 0.
Cho f : R
n
→ R
p
∈ C
k

. Với mỗi Λ = (
1
, · · · , 
p
), 
1
≥ · · · ≥ 
p
≥ 0,
ký hiệu Σ(f, B
r
, Λ) = {x ∈ B
r
: l
i
(Df(x)) ≤ 
i
, i = 1, · · · , p},
khi đó tập giá trị Λ-tới hạn của f trên B
r
, định nghĩa là
∆(f, B
r
, Λ) = f (Σ(f, B
r
, Λ))
Entropy và chiều entropy. Với A là tập con của một không gian metric
và α > 0, ký hiệu M(α, A) là min của số hình cầu đóng bán kính ≤ α, phủ A.
log
2

(M(α, A)) gọi là α-entropy của A, nó phản ánh lượng thông tin cần thiết
để ghi nhớ A bằng số với độ chính xác α (Kolmogorov và Tihomirov 1961). Số
chiều entropy của A, định nghĩa là bậc của M(α, A) theo 1/α khi α → 0:
dim
e
A = lim sup
α→0
log(M(α, A))
log(1/α)
= inf{δ : M(α, A) ≤ (1/α)
δ
, khi α đủ bé }
Note. Ta có dim
H
A ≤ dim
e
A
Ký hiệu R
k
(f) =
1
(k − 1)!
sup
x∈B
r
D
k
f(x)r
k
.

Định lý (Yomdin 1983). Cho 
0
= 1. Khi đó tồn tại hằng số C(n, p, k),
˜
C(n, p, k)
chỉ phụ thuộc n, p, k sao cho
M(α, ∆(f, B
r
, Λ)) ≤ C(n, p, k)
p

i=0

0
· · · 
i

r
α

i

R
k
(f)
α

n−i
k
khi α ≤ R

k
(f)
M(α, ∆(f, B
r
, Λ)) ≤
˜
C(n, p, k)
p

i=0

0
· · · 
i

r
α

i
khi α > R
k
(f)
Định lý (Yomdin 1983). Cho 
0
= 1, 
i
= sup{l
i
(Df(x)) : x ∈ B
r

}, i ∈
54
{1, · · · , ρ}. Khi đó
M(α, ∆
ρ
(f, B
r
, Λ)) ≤ C
1
(n, p, k)
ρ

i=0

0
· · · 
i

r
α

i

R
k
(f)
α

n−i
k

khi α ≤ R
k
(f)
M(α, ∆
ρ
(f, B
r
, Λ)) ≤ C
2
(n, p, k)
ρ

i=0

0
· · · 
i

r
α

i
khi α > R
k
(f)
Đặc biệt dim
H
(∆
ρ
(f, B

r
)) ≤ dim
e
(∆
ρ
(f, B
r
)) ≤ ρ +
n − ρ
k
Note. Kết quả định lượng cho tập giá trị gần tới hạn cho phép áp dụng
trong tính toán, mà kết quả loại như vậy không thể suy từ tính độ đo không
như định lý Sard cổ điển. Một ví dụ điển hình là:
Mệnh đề. Cho f : B
n
→ R là đa thức bậc d. Khi đó ∆(f, B
n
, λ) có thể
phủ bởi N(d, n) ≤ (2d)
n
khoảng có độ dài λ. Suy ra:
(i) ∆(f, B
n
, λ) có độ đo không vượt quá (2d)
n
λ.
(ii) Chọn ngẫu nhiên ξ thuộc [a, b], thì xác suất để ξ không là giá trị λ-tới hạn
là 1 − (2d)
n
λ/(b − a).

(iii) Với h > 0, gọi Z
h
= {x
i
= x
0
+ ih : i ∈ I} là một lưới của [a, b]. Khi đó
với λ ≥ 0, có ít nhất (b − a)/h − (2d)
n
(λ/h + 1) điểm thuộc lưới mà không là
giá trị λ-tới hạn của f. Chẳng hạn h ≤ h
0
= (b − a)/(2d)
n
và λ = h
0
− h.
4. Định lý hoành.
Khái niệm về tính hoành được Thom (1955) đề xuất, nó đóng một vai trò
căn bản trong lý thuyết Kỳ dị.
Tính hoành. Cho g : R
n
→ R
m
∈ C
k
và P là một đa tạp con trong R
m
. Khi
đó

g gọi là hoành với P tại x nếuu g(x) ∈ P hoặc ImDg(x) + T
g(x)
P = R
m
.
g gọi là hoành với P nếuu nó hoành với P tại mọi x ∈ R
n
.
Định lý (Hoành yếu, Thom 1955) Cho T là đa tạp con p chiều trong R
m
,
f : R
n
× T → R
m
∈ C
∞
. Xét họ (f
t
)
t∈T
, f
t
(x) = f(x, t), x ∈ R
n
, t ∈ T .
Giả sử f hoành với P. Khi đó tập T
1
= {t ∈ T : f
t

hoành với P} là residue
trong T (nên trù mật). Nếu P compact, thì T
1
là mở và trù mật. Đặc biệt
H
p
(T \ T
1
) = 0.
Để định lượng, cần đo độ hoành giữa các đối tượng. Ta có thể đưa bài toán về
dạng sau:
Cho f : B
n
r
× B
p
r
→ R
p
∈ C
k
. Xét họ (f
t
)
t∈B
p
r
, f
t
(x) = f (x, t), x ∈ B

n
r
.
55