lý thuyết tập semi-đại số định lượng
Nội dung:
1. Diagram của tập semi-đại số.
2. Số thành phần liên thông của tập semi-đại số.
3. Volume của tập semi-đại số.
4. Định lý Sard định lượng.
Tài liệu.
[1] J.Milnor, On the Betti numbers of real varieties, Proc.AMS 152, 1964, 275-
280, Springer-Verlag (1998).
[2] Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Francoise Roy, Real Algebraic Geom-
etry, Springer-Verlag (1998).
[3] Lou van den Dries, , Tame Topology and O-minimal Structures, Springer-
Verlag (1998)
[4] Michel Coste, An Introduction to Semialgebraic Geometry, Università Di
Pisa Dipartimento Di Mathematica - Italy (2000).
[5] Robert M.Hardt, Some Analytic Bounds For Subanalytic Sets, Progress in
Math., No.27, Birkh¨auser, 1983, 259-27.
[6] Yosef Yomdin, Metric properties of semialgebraic sets and mappings and
their applications in smooth analysis, ...
[7] Yosef Yomdin and Georges Comte, Tame Geometry With Application In
Smooth Analysis, Universite De Nice - Sophia Antipolis (2005)
[8] Yosef Yomdin, Some quantitative results in singularity theory, ANNALES
POLONICI MATHEMATICI 87, 177-299 (2005)
1 Diagram của tập semi-đại số.
Cho A ⊂ R
n
là tập semi-đại số, có dạng A = ∪
p
i=1
A
i

, với A
i
= ∩
j
i
j=1
A
ij
, và A
ij
có dạng:
{(x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n
: p
ij
(x
1
, . . . , x
n
) > 0},
{(x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n

: p
ij
(x
1
, . . . , x
n
) ≥ 0},
p
ij
là các đa thức bậc d
ij
.
Định nghĩa 1.1. Tập hợp các dữ liệu: (n, p, j
1
, . . . , j
p
, (d
ij
)
i=1,...,p; j=1,...,j
i
) được
gọi là diagram của tập A, ký hiệu D(A).
79
Định nghĩa 1.2. Cho diagram bất kỳ D = (n, p, j
1
, . . . , j
p
, (d
ij

)
i=1,...,p; j=1,...,j
i
),
ta định nghĩa
B
0
(D) =
1
2
p

i=1
d
i
(d
i
− 1)
n−1
, với d
i
=
j
i

j=1
d
ij
.
Cho A là một tập semi-đại số, ta định nghĩa


B
0
(A) = inf{B
0
(D) : D là diagram biểu diễn A}
Định lý 1.1. (Tarski-Seidenberg) Cho A ⊂ R
n
là tập semi-đại số. Khi đó, tập
π(A), với π : R
n
→ R
m
là phép chiếu chính tắc, là semi-đại số, và diagram
của π(A) chỉ phụ thuộc vào diagram của A.
Chứng minh.
1. Ta chỉ cần chứng minh định lý trong trường hợp π : R
n+1
→ R
n
.
2. Bởi mệnh đề [2] Ch.2 Pro.2.1.8 đủ để chứng minh định lý trong trường hợp
A là tập semi-đại số dạng:
{(y, x) ∈ R
n
× R|f
i
(y, x) = 0, i = 1, . . . , l, g
j
(y, x) > 0, j = l + 1, . . . , m}

3. Bởi hệ quả của nguyên lý Tarski-seidenberg [2] Ch.1 Coro.1.4.7, tồn tại một
tổ hợp boolean các phương trình và bất phương trình đa thức B(Y ) biến Y
với hệ số trong R sao cho với mỗi y ∈ R
n
, hệ









f
1
(y, X) = · · · = f
l
(y, X) = 0
g
1
(y, X)) > 0
· · ·
g
m
(y, X)) > 0
có một nghiệm x trong R khi và chỉ khi B(y) thỏa mãn. Hơn nữa, tập các
y ∈ R
n
thỏa B(y) là semi-đại số.

Do đó, π(A) = {y ∈ R
n
, B(y) thỏa mãn và f
i
(y, x) = 0, i = 1, · · · , l, g
j
(y, x) >
0, j = 1, · · · , m}, f
i
, g
j
∈ R[y]} là tập semi-đại số, và có lược đồ phụ thuộc vào
lược đồ của A.
Định lý 1.2. Cho A ⊂ R
n
là tập semi-đại số. Khi đó, các tập A,
◦
A
, ∂A, mỗi
thành phần liên thông của A là các tập semi-đại số, và diagram của mỗi tập
phụ thuộc vào diagram của A.
Chứng minh.
Ta có
A = {x ∈ R
n
: ∀t ∈ R ∃y ∈ A( y − x 
2
< t
2
hoặc t = 0)}.

80
có thể viết lại là
A = R
n
\π
2
[R
n+1
\π
1
({(x, y, t) ∈ R
2n+1
: y ∈ A( y − x 
2
< t
2
hoặc t = 0)})]
Trong đó π
1
: R
2n+1
→ R
n+1
là phép chiếu được định nghĩa bởi π
1
(x, y, t) =
(x, t) và π
2
: R
n+1

→ R
n
là phép chiếu được định nghĩa bởi π
2
(x, t) = x.
áp dụng định lý 1.1 và tập semi-đại số đóng đối với phép lấy phần bù thì A
là semi-đại số và D(A) chỉ phụ thuộc vào D(A).
Từ đó dễ dàng ta thấy
◦
A
= R
n
\ R
n
\ A.
∂A = A ∩ R
n
\ A.
cũng semi-đại số và lược đồ của mỗi tập chỉ phụ thuộc vào D(A).
Định lý 1.3. Cho A là một tập semi-đại số. Khi đó, bất kỳ 2 điểm x, y thuộc
một thành phần liên thông của A đều có thể nối trong A bởi một đường cong
semi-đại số S, với diagram D(S) chỉ phụ thuộc vào D(A).
Chứng minh. Theo bổ đề chọn đường cong, ∀x, y thuộc cùng một thành phần
liên thông, tồn tại một hàm semi-đại số liên tục ϕ : [0; 1] → A, ϕ(0) =
x, ϕ(1) = y và S = ϕ([0; 1]) ⊂ A. Khi đó D(S) chỉ phụ thuộc vào D(A).
Định lý 1.4. Cho f : R
n
→ R
m
là một ánh xạ đa thức bậc d, và A là tập semi-

đại số trong R
n
. Giả sử B là một tập con semi-đại số trong f (A) ⊂ R
m
. Khi
đó, tồn tại một tập semi-đại số C ⊂ A, với dimC = dimB, để cho f(C) = B,
và lược đồ D(C) chỉ phụ thuộc vào D(A), D(B), n, m và d.
Chứng minh. Với mọi y ∈ B, f
−1
(y) ∩ A là semi-đại số trong R
n
. Lấy x(y) là
điểm lớn nhất trong f
−1
(y) ∩ A theo thứ tự tự điển thuận trong R
n
. Khi đó
rõ ràng C ⊂ A là tập các điểm {x(y), y ∈ B} là semi-đại số, lược đồ của nó
chỉ phụ thuộc vào D(A), D(B), n, m và d và f|
C
: C → B là song ánh.
Mệnh đề 1.1. (Xem [6], [7]) Cho A ⊂ R
n
là một tập semi-đại số. Khi đó,
tất cả các số Betti b
i
(A), i = 1, . . . , n, đều bị chặn bởi hằng số B
i
(D) chỉ phụ
thuộc vào diagram D(A). Đặc biệt, Số thành phần liên thông của A bị chặn

bởi B
0
(D).
2 Số thành phần liên thông của tập semi-đại
số.
Định lý 2.1. Cho A ⊂ R
n
là tập semi-đại số, khi đó, chặn trên của số thành
phần liên thông của A,

B
0
(A), bị chặn bởi

B
0
(A).
81
Chứng minh.
1. Ta cần chứng minh số thành phần liên thông của A =

q
j=1
{p
j
> (≥
)0}, degp
j
= d
j

nhiều nhất là
1
2
d(d − 1)
n−1
, d =

q
j=1
d
j
.
2. Ta có thể giả sử A chỉ được định nghĩa bởi các bất phương trình ≥, và
do vậy A là đóng. Trong mỗi thành phần liên thông A
i
của A, ta chọn một
điểm x
i
, do số thành phần liên thông của A là hữu hạn nên số các x
i
là hữu
hạn. (Định lý Lojasiewicz)
Nếu một bất phương trình định nghĩa A có dạng p
j
> 0, ta đặt min
i
(p
j
(x
i

)) =
δ > 0. Do vậy, nếu ta thay thế p
j
> 0 trong định nghĩa A bởi p
j
−
δ
2
≥ 0, ta
nhận được một tập mới A

⊂ A. Và khi đó, mỗi thành phần liên thông của A

đều nằm trong một thành phần liên thông của A, và tất cả các điểm x
i
vẫn
nằm trong A

, cho nên

B
0
(A

) ≥

B
0
(A).
3. Ta có thể giả sử rằng mỗi thành phần liên thông của A có một phần trong

khác trống. Thực vậy, A =

q
j=1
{p
j
≥ 0} là đóng, do đó, khoảng cách ngắn
nhất giữa các thành phần liên thông A
i
của A (xét bên trong quả cầu B chứa
tất cả các thành phần liên thông bị chặn của A) là ρ > 0. Giả sử U là
ρ
3
-lân
cận mở của A, đặt ξ = max
x∈B\U
min
1≤j≤q
p
j
(x). Vì hàm liên tục min
1≤j≤q
p
j
đạt giá trị max của nó trên tập compact B\U, nên ta nhận được ξ < 0. Định
nghĩa A

=

q

j=1
{p
j
−
1
2
ξ ≥ 0}, ta có A ⊂ A

⊂ U, vì ξ <
ξ
2
< 0. Với ρ đã
chọn ta cũng có

B
0
(A) =

B
0
(U) ≤

B
0
(A

).
Như vậy, mọi thành phần liên thông của A

đều chứa một thành phần liên

thông có phần trong khác trống của A, thật vậy, nếu ngược lại, có thể tìm
một dãy điểm x
n
trong A

mà có giới hạn x ∈ A sao cho p
j
(x
n
) <
1
2
ξ, ∀j ∈
{1, . . . , q}, mâu thuẩn, vì A

=

q
j=1
{p
j
−
1
2
ξ ≥ 0}. Như vậy, ta kết luận rằng
số chặn trên của số thành phần liên thông của A

mà có một phần trong khác
trống là lớn hơn B
0

(A). Mà diagram của A và A

là như nhau, do đó để chứng
minh định lý ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp A chỉ có các thành phần
liên thông với phần trong khác trống.
4. Thật vậy, ta có thể giả sử rằng A =

q
j=1
{p
j
≥ 0}, với mỗi thành phần
bị chặn của A có một phần trong khác trống. Đặt p =

q
j=1
p
j
, deg(p) =

q
j=1
deg(d
j
) = d.
Mọi thành phần liên thông bị chặn của A đều chứa ít nhất một thành phần
của

q
j=1

{p
j
> 0}, bởi vì một thành phần của

q
j=1
{p
j
= 0} không có một
phần trong khác trống. Do vậy, mọi thành phần liên thông bị chặn của A đều
chứa ít nhất một thành phần của {p > 0} và cuối cùng:

B
0
(A) ≤

B
0
({p > 0}).
Thành phần của {p > 0} là mở, do vậy, ảnh qua p của một thành phần
82
là một khoảng không tầm thường có dạng (0, C) hoặc (0, C], C ∈ R
+
∪ {∞}.
Theo định lý Sard, giả sử η > 0 là một giá trị chính quy đủ nhỏ của p sao cho
trong mỗi thành phần bị chặn của {p > 0} có ít nhất một thành phần Z
i
của
siêu mặt chính quy Z = {p = η}.
Xét một dạng tuyến tính  trên R

n
(giả sử  = x
1
: tuyến tính theo biến
x
1
). Ta có thể giả sử tất cả các điểm tới hạn của  trên Z là không suy biến,
và trên mỗi Z
i
có ít nhất hai điểm tới hạn của  - là minimum và maximum.
Nhưng các điểm tới hạn của  trên Z được định nghĩa bởi hệ phương trình:
p − η = 0 bậc d
∂p
∂x
2
= 0 bậc d − 1
∂p
∂x
3
= 0 bậc d − 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
∂p
∂x
n
= 0 bậc d − 1
Theo định lý Bezout, số các điểm tới hạn của  trên Z nhiều nhất là d(d−1)
n−1
,
và do vậy,

B
0
(A) ≤

B
0
(Z) ≤
1
2
d(d − 1)
n−1
. 
Hệ quả 2.1. Cho A ⊂ R
n
là một tập semi-đại số với diagram
D(A) = (n, p, j
1
, . . . , j
p

, (d
ij
)
i=1,...,p; j=1,...,j
i
).
Khi đó:
(i) Số thành phần liên thông của giao A với bất kỳ quả cầu B
r
trong R
n
bị
chặn bởi
1
2

p
i=1
(d
i
+ 2)(d
i
+ 1)
n−1
, với d
i
=

j
i

j=1
d
ij
,
(ii) Số chặn trên của số thành phần liên thông của A∩P, với P là một -phẳng
của R
n
, bị chặn bởi
1
2

p
i=1
(d
i
+ 2)(d
i
+ 1)
−1
,
(iii) Đặc biệt, số thành phần liên thông của A∩P cũng bị chặn bởi
1
2

p
i=1
(d
i
+
2)(d

i
+ 1)
−1
.
Chứng minh.
(i) Ta thêm vào tập các bất đẳng thức định nghĩa A bất đẳng thức
r
2
−
n

i=1
x
2
i
≥ 0 (bậc 2).
(ii) Ta thay thế n −  biến trong các phương trình bởi  biến còn lại.
(iii) Chặn
1
2

p
i=1
(d
i
+ 2)(d
i
+ 1)
−1
không phụ thuộc vào bán kính của quả

cầu, mà chỉ phụ thuộc vào bậc đa thức, do vậy nó cũng chính là chặn trên cho
số thành phần liên thông của chính A ∩ P. 
83