THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 1. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt

′BC= 30° . Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là:
phẳng ( BCC ′B′ ) vng góc với đáy và B
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
6
18
2
Câu 2. Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 6 , AD = 3 , A′C = 3 và
mặt phẳng ( AA′C ′C ) vng góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) tạo với

A.

3
. Thể tích khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ bằng?
4
A. V = 6 .
B. V = 8 .
C. V = 12 .

D. V = 10 .
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là điểm trên cạnh SD sao cho
5SH = 3SD , mặt phẳng (α ) qua B, H và song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần
V
lượt tại E, F. Tính tỉ số thể tích C .BEHF .
VS . ABCD
1
3
6
1
.
.
A. .
B.
C.
D. .
20
6
7
35
Câu 4. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt

′BC= 30° . Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là:
phẳng ( BCC ′B′ ) vng góc với đáy và B
nhau góc α thỏa mãn tan α =

a3 3
.
6
ABC= 60°

Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng tại A . cạnh BC = 2a và 

. Biết tứ giác BCC ′B′ là hình thoi có B′BC nhọn. Biết ( BCC ′B′ ) vng góc với ( ABC ) và

A.

a3 3
.
2

B.

a3 3
.
12

( ABB′A′) tạo với ( ABC ) góc
a3
A.
.
3 7

C.

a3 3
.
18

D.


45° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng

a3
B.
.
7

3a 3
C.
.
7

6a 3
D.
.
7

ABC= 30° . Điểm M là trung điểm
Câu 6. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 
cạnh AB , tam giác MA′C đều cạnh 2a 3 và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Thể tích
khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là
72 2a 3
24 2a 3
24 3a 3
72 3a 3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
7
7
7
7
Câu 7. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A′B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình vng cạnh a và thể tích bằng 3a 3
. Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho.
a
A. h = 9a .
B. h = .
C. h = a .
D. h = 3a .
3
Câu 8. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
A. V = B 2 h .

B. V = Bh .

1
3

C. V = Bh .

D. V = π Bh .

Câu 9.Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Các cạnh bên tạo với đáy
một góc 60o . Đỉnh A′ cách đều các đỉnh A, B, C , D . Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị thể
tích của hình lăng trụ nói trên?


/>

a3 6
a3 6
a3 3
a3 6
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
9
2
2
Câu 10.Tính thể tích V của khối lăng trụ có diện tích mặt đáy bằng 3 3 cm 2 và chiều cao bằng 6 cm .

A.

A. V = 9 2 ( cm3 ) .

B. V = 12 2 ( cm3 ) .

(

)


9 2
D. V = 3 2 cm3 .
cm3 ) .
(
2
Câu 11.Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AB′ = 3cm và đường thẳng AB′ vng góc với đường thẳng BC ′
. Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng
9
27 6
7 6
A.
B. 2 3cm3 .
C.
D. cm3 .
cm3 .
cm3 .
2
16
4
Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC. A B C  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của A lên
mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm cạnh BC . Góc giữa BB  và mặt phẳng  ABC  bằng 60

C. V =

. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A B C  .
2a 3 3
a3 3
3a 3 3
a3 3
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
8
8
8
4
′A A=
′B A=
′C a .
Câu 13. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , biết A=
Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ ?
a3 2
a3
3a 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
4
4

4
4
Câu 14. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có diện tích tứ giác ABCD bằng 12 , khoảng cách giữa hai mặt
phẳng ( ABCD ) và ( A′B′C ′D′ ) bằng 2 . Tính thể tích V của khối hộp.
B. V = 8 .
C. V = 24 .
D. V = 72 .
A. V = 12 .
Câu 15. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a 2 . Biết AC ′ = 8a và
tạo với mặt đáy một góc 45° . Thể tích khối đa diện ABCC ′B′ bằng
16a 3 6
8a 3 6
16a 3 3
8a 3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 16. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Gọi E là trọng tâm tam giác A′B′C ′ và F là trung điểm BC . Tính
tỉ số thể tích giữa khối B′.EAF và khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
1
1

1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
6
8
5
4
Câu 17. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của A′
trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABA′ ) và ( ABC )
bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp A.BCC ′B′ .
3
2 3a 3
A. a 3 .
B. V = a 3 .
C. a 3 3 .
D.
.
2
3
Câu 18. Cho khối lăng trụ có thể tích V , diện tích đáy là B và chiều cao h. Tìm khẳng định đúng?
1
A. V = 3Bh .
B. V = Bh .
C. V = Bh .
D. V = Bh .
3
Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng tại B, 

ACB = 60 , BC = a, AA′ = 2a
. Cạnh bên tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 30 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng

a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 3 .
3
6
2
Câu 20.Cho ( H ) là khối lăng trụ có chiều cao bằng 3a, đáy là hình vng cạnh a. Thể tích của ( H ) bằng.
A. 4a 3 .

/>
B. 2a 3 .

C. 3a 3 .

D. a 3 .


ABC
= 120° . Góc giữa cạnh
Câu 21.Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình thoi cạnh bằng a và 

bên AA′ và mặt đáy bằng 60° , điểm A ' cách đều các điểm A , B , D . Tính thể tích khối lăng trụ
đã cho theo a .
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
6
2
3
Câu 22. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A '
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

AA ' và BC bằng
A.

a3 3
.
3

a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

4
a3 3
a3 3
B.
.
C.
.
24
6

D.

a3 3
.
12

Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A′
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
a 3
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
4
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =

.
D. V =
.
12
3
24
6
Câu 24. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, c . Thể tích của khối hộp đó là
A. V = abc.
B. V = a + b + c.
AA′ và BC bằng

C. V =
D. V =

(b

2

+ c 2 − a 2 )( c 2 + a 2 − b 2 )( a 2 + b 2 − c 2 )

8
2
2
2
2
2
( b + c − a )( c + a − b2 )( a 2 + b2 − c 2 )

.


.
8
Câu 25. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A′ lên
mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
4
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
24
36
12
6
Câu 26. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , đáy ABC là tam giác đều cạnh x . Hình chiếu của đỉnh A′ lên
mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm ∆ABC , cạnh AA′ = 2 x . Khi đó thể tích khối lăng trụ là:
AA′ và BC bằng

x3 39
x3 3

x3 11
x3 11
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
12
8
4
Câu 27. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình chữ nhật với
=
AB =
3, AD
7 và cạnh bên bằng 1
. Hai mặt bên ( ABB′A′ ) và ( ADD′A′ ) lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp
bằng
A. 3 3
B. 7 7
C. 7
D. 3
Câu 28. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
1
6

A. V = Bh .


/>
1
3

B. V = Bh .

1
2

C. V = Bh .

D. V = Bh .


Câu 29. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh AC = 5a . Hình chiếu vng

góc của A1 lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AC , góc giữa mặt phẳng ( AA1 B1 B ) với

( AA1C1C ) bằng 30o , cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích V

của lăng trụ

ABC. A1 B1C1 ?

a3
a3
3.a 3
3.a 3
A. V =

.
B. V =
.
C. V = .
D. V =
.
8
24
8
24
Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt
đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ.
27 3
9
3
3 3
a .
B. V =
C. V = a 3 .
D. V =
A. V = a 3 .
a .
8
4
2
4
Câu 31. Khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

bằng 30° Hình chiếu của đỉnh A′ trên mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh BC.
Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
3
12
8
Câu 32. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , cạnh AC = 2 2 .
Biết AC ′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60° và AC ′ = 4 . Tính thể tích V của khối đa diện

ABCB′C ′ .
16
8
8 3
16 3
.
B. V = .
C. V =
.
D. V = .
3

3
3
3
Câu 33. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích bằng 30 . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AA′,
BB′, CC ′ . Tính thể tích V của tứ diện CIJK .
15
A. V = .
B. V = 12 .
C. V = 6 .
D. V = 5 .
2
Câu 34. Khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và
đáy là 30° . Hình chiếu vng góc của A′ trên mặt ( ABC ) trùng với trung điểm của BC . Thể
A. V =

tích của khối lăng trụ đã cho là
A.

a3 3
.
8

B.

a3 3
.
3

C.


a3 3
.
4

D.

a3 3
.
12

ABC
= 120° . Góc giữa
Câu 35. Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và 
cạnh bên AA′ và mặt đáy bằng 60° . Đỉnh A′ cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a thể tích
V của khối lăng trụ đã cho.
a3 3
a3 3
3a 3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V = a 3 3 .
2
6
2
Câu 36. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình chữ nhật với
=

AB =
3, AD
7 và cạnh bên bằng 1
. Hai mặt bên ( ABB′A′ ) và ( ADD′A′ ) lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp
bằng
B. 7 7
C. 7
D. 3
A. 3 3
′
′
′
Câu 37. Cho hình lăng trụ ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của A′ lên
mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

(

)

AA′ và BC bằng

/>
a 3
. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCA′B ′C ′.
4


a3 3
a3 3
a3 3

a3 3
B. V =
C. V =
D. V =
.
.
.
.
3
12
24
6
Câu 38. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA′ = a , góc
giữa AA′ và mặt phẳng đáy bằng 30° . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a .
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
8
4
24

Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A′
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường AA′

A. V =

a 3
. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
4
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
12
24
3
6
Câu 46. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh 3a , hình chiếu của A ' trên mặt phẳng
( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cạnh AA ' hợp với mặt phẳng đáy

và BC bằng

một góc 45° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' tính theo a bằng.

9a 3
27 a 3
3a 3
27 a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
6
Câu 47. Khối lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a , đường cao bằng a 3 có thể tích bằng
a3 3
a3 3
.
B.
.
C. a 3 3 .
D. 2a 3 3 .
6
3
Câu 48. Cho lăng trụ ABCA1 B1C1 có diện tích mặt bên ABB1 A1 bằng 4 ; khoảng cách giữa cạnh CC1 và mặt

A.


phẳng ( ABB1 A1 ) bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA1 B1C1 .

28
14
C.
D. 28
3
3
Câu 49. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA′ , BB′ , CC ′
AM 1 BN 2
sao cho
= ,
= và mặt phẳng ( MNP ) chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng
AA′ 2 BB′ 3
CP
nhau. Khi đó tỉ số
là
CC ′
1
5
1
1
A. .
B.
.
C. .
D. .
4
12
3

2
3a
Câu 50. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA′ = . Biết rằng hình chiếu
2
vng góc của A′ lên ( ABC ) là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.
A. 14

B.

3
3a 3
2a 3
A. V = a .
B. V =
.
C. V =
.
D. V = a 3
.
2
3
4 2
Câu 51. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a . Hình chiếu vng
góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa cạnh bên của
3

lăng trụ và mặt phẳng đáy bằng 30o . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a .
a3
a3
a3

3a 3
A.
B.
C.
D.
4
24
4
8
Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác vuông cân ở C . Cạnh BB′ = a và tạo với đáy
một góc bằng 60° . Hình chiếu vng góc hạ từ B′ lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC
. Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là:
/>

A.

9 3a 3
.
80

B.

9a 3
.
80

C.

3 3a 3
.

80

D.

3a 3
.
80

Câu 53. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A′ lên
mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA′ và BC bằng

A.

a3 3
.
6

a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
4
a3 3
a3 3
B.
.
C.
.
24
3


D.

a3 3
.
12

=
60°, AC =
a 7, BD =
a 3, AB > AD ,đường chéo BD′
Câu 54.Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có BCD
hợp với mặt phẳng ( ADD′A′ ) góc 30° . Tính thể tích V của khối hộp ABCD. A′B′C ′D′ .
39 3
B. 2 3a 3 .
C. 3 3a 3 .
D. 39a 3 .
a.
3
Câu 55. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A′
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

a 3
. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
4
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3

A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
12
6
3
24
Câu 56. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của mặt phẳng
3
( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là a 3 . Khoảng
4
cách giữa hai đường thẳng AB′ và BC là:
2a
4a
3a
3a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3

2
4
3
Câu 57. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13 , 14 , 15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc
30° và có chiều dài bằng 8 . Khi đó thể tích khối lăng trụ là.
B. 336 .
C. 274 3 .
D. 124 3 .
A. 340 .
AA′ và BC bằng

Câu 58. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là đều cạnh AB = 2a 2 . Biết AC ' = 8a và tạo với
mặt đáy một góc 450 . Thể tích khối đa diện ABCC ' B ' bằng
16a 3 6
8a 3 3
8a 3 6
16a 3 3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
3
3
3
3
Câu 59. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a , AA′ = b và AA′ tạo với mặt đáy một góc

60° . Tính thể tích khối lăng trụ.
3
3
1
3 2
A. a 2b .
B. a 2b .
C.
D. a 2b .
a b.
4
8
8
8
Câu 60. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Thể tích của khối tứ
diện AB′C ′C là:
A. 5 (đơn vị thể tích).
B. 10 (đơn vị thể tích).
C. 12,5 (đơn vị thể tích).
D. 7,5 (đơn vị thể tích).
 = 1200 . Hình chiếu vuông
Câu 61.Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ với đáy ABCD là hình thoi, AC = 2a , BAD
góc của điểm B trên mặt phẳng ( A′B′C ′D′ ) là trung điểm cạnh A′B′ , góc giữa mặt phẳng ( AC ′D′ )
và mặt đáy lăng trụ bằng 60o . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ .
A. V = 3a 3 .
B. V = 6 3a 3 .
C. V = 2 3a 3 .
D. V = 3 3a 3 .

/>


THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 1.Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt

′BC= 30° . Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là:
phẳng ( BCC ′B′ ) vng góc với đáy và B
a3 3
.
6

A.

B.

a3 3
.
18
Hướng dẫn giải

a3 3
.
12

C.

Chọn A

D.

a3 3

.
2

Gọi H là hình chiếu của B′ trên BC . Từ giả thiết suy ra: B′H ⊥ ( ABC ) .

1
1

′BC
BB′.BC
=
.sin B
4a.a.sin 30° = a 2 .
2
2
2 S BB′C 2a 2
1
Mặt khác: S BB′C = B′H .BC ⇒ B′H =
= = 2a .
2
BC
a
2
3
a 3 a 3
VLT = B′H .S ABC = 2a.
.
=
4
2

1
1 2
1
1 a3 3 a3 3
VA.CC ′B′ = V=
=
.
V
V
.
=
.
=
A.CC ′B′B
LT
LT
2
2 3
3
3 2
6
Câu 2. Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 6 , AD = 3 , A′C = 3 và
mặt phẳng ( AA′C ′C ) vng góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) tạo với
S BB′C =

3
. Thể tích khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ bằng?
4
B. V = 8 .
C. V = 12 .

D. V = 10 .
Hướng dẫn giải

nhau góc α thỏa mãn tan α =
A. V = 6 .

T
6
1

Chọn B
T
6
1

B'

A'

D'

M

C'

H

A

B

K
I
C

D

Từ B kẻ BI ⊥ AC ⇒ BI ⊥ ( AA′C ′C ) .
T
6
1

T
6
1

T
6
1

16T

/>
T
6
1


 
HI .
Từ I kẻ IH ⊥ AA′ ⇒ ( ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) ) = B

AB.BC
= 2.
Theo giải thiết ta có AC = 3 ⇒ BI =
AC
4 2
 = BI ⇔ IH =BI
Xét tam giác vng BIH có tan BHI
⇔ IH = .

IH
3
tan BHI
2
AB
Xét tam giác vng ABC có AI . AC = AB 2 ⇒ AI =
= 2.
AC
Gọi M là trung điểm cả AA′ , do tam giác AA′C cân tại C nên CM ⊥ AA′ ⇒ CM // IH .
AH 1
AI
AH 2
AH 2
Do = =
.
⇒
=
⇒
=
AM 3
AC AM 3

AA′ 3
4 2
Trong tam giác vuông AHI kẻ đường cao HK ta có HK =
⇒ chiều cao của lăng trụ
9
4 2
ABCD. A′B′C ′D′ là h = 3HK =
.
3
4 2
= 8.
Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ là VABCD. A′B′C ′D′   = AB. AD.h = 6 3
3
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là điểm trên cạnh SD sao cho
5SH = 3SD , mặt phẳng (α ) qua B, H và song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần
lượt tại E, F. Tính tỉ số thể tích
A.

1
.
7

B.

VC . BEHF
.
VS . ABCD

3
.

20

6
.
35
Hướng dẫn giải

Chọn B
- Đặt VS . ABCD = V
- Trong tam giác SOD ta có:
IS BO HD
IS
SI SE SF 3
.
.
=
1⇒
=⇒
3
= = =.
IO BD HS
IO
SO SA SC 4
V
3V
SH 3
- Ta có: S .HBC = =
⇒ VS . HBC =.
10
VS . DBC SD 5

V
3V
CF 1
- Mặt khác: C .FHB = =
⇒ VC . FHB =.
40
VC .SHB CS 4
/>
C.

D.

1
.
6


V
6V
3
- Mà: VC .BEHF =
2VC . FHB = ⇒ C . BEHF =.
VS . ABCD 20
40
Câu 4. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt

′BC= 30° . Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là:
phẳng ( BCC ′B′ ) vng góc với đáy và B

A.


a3 3
.
2

B.

a3 3
.
12

Chọn D

a3 3
.
18
Hướng dẫn giải

C.

B'

D.

a3 3
.
6

C'


A'

4a

B

C

H
a
A

Gọi H là hình chiếu của B′ trên BC . Từ giả thiết suy ra: B′H ⊥ ( ABC ) .

1
1

′BC
.sin B
BB′.BC
=
4a.a.sin 30° = a 2 .
2
2
2 S BB′C 2a 2
1
′
′
Mặt khác: S BB′C = B H .BC ⇒ B H =
= = 2a .

2
BC
a
2
3
a 3 a 3
VLT = B′H .S ABC = 2a.
.
=
4
2
1
1 2
1
1 a3 3 a3 3
.
=
V
V
VA.CC ′B′ = V=
.
=
=
.
LT
LT
A.CC ′B′B
2
2 3
3

6
3 2
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng tại A . cạnh BC = 2a và


′BC nhọn. Biết ( BCC ′B′ ) vng góc với
ABC= 60° . Biết tứ giác BCC ′B′ là hình thoi có B
S BB′C =

( ABC ) và ( ABB′A′) tạo với ( ABC ) góc
A.

a3
.
3 7

Chọn C

/>
B.

a3
.
7

45° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng

3a 3
.
7

Hướng dẫn giải
C.

D.

6a 3
.
7


A'

C'

B'

A

C

2a
2a
K

60°

H

B


ABC= 60° nên AB = a , AC = a 3 .
Do ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = 2a và 

′BC nhọn)
Gọi H là hình chiếu vng góc của B′ lên BC ⇒ H thuộc đoạn BC (do B
⇒ B′H ⊥ ( ABC ) (do ( BCC ′B′ ) vng góc với ( ABC ) ).

Kẻ HK song song AC

( K ∈ AB )

⇒ HK ⊥ AB (do ABC là tam giác vuông tại A ).


′KH= 45° ⇒ B′H= KH
⇒ (
ABB′A′ ) , ( ABC ) = B



(1)

Ta có ∆BB′H vng tại H ⇒ BH = 4a 2 − B′H 2
(2)
BH HK
HK .2a
Mặt khác HK song song AC ⇒
= ⇒ BH =
(3)
BC AC

a 3
12
B′H .2a
a
Từ (1), (2) và (3) suy ra 4a 2 − B′H 2 = ⇒ B′H =
.
7
a 3

′
Vậy V=
S=
ABC . A ' B ' C ′
ABC .B H

1
3a 3
.
AB.=
AC.B′H
2
7

ABC= 30° . Điểm M là trung
Câu 6. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 
điểm cạnh AB , tam giác MA′C đều cạnh 2a 3 và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.
Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là
72 2a 3
72 3a 3
24 2a 3

24 3a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
7
7
Hướng dẫn giải
Chọn A

/>

A'

C'

B'

A

C
H
M
B


Gọi H là trung điểm của MC .
 A′H ⊥ MC

⇒ A′H ⊥ ( ABC ) .
Ta có ( A′MC ) ⊥ ( ABC )
 ′
MC
( A MC ) ∩ ( ABC ) =

 MC = 2a 3
Tam giác MA′C đều cạnh 2a 3 ⇒ 

 A′H = 3a
 BC = 2 x

ABC= 30° ⇒ 
Đặt AC= x > 0 , tam giác ABC vng tại A có 

 AB = x 3
Áp dụng cơng thức tính độ dài trung tuyến ta có
CA2 + CB 2 AB 2
x 2 + 4 x 2 3x 2
4a 3
2
CM
=
−
⇔=
−

=
⇔x
12a 2
.
2
4
2
4
7

1
1 12a 4a 3 24a 2 3
.
. =
.
=
AB. AC
2
2 7
7
7
72a 3 3
′
Do đó V=
.
A
=
H
.
S

ABC . A′B′C ′
ABC
7
Suy=
ra S ABC

Câu 7. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A′B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình vng cạnh a và thể tích bằng
3a 3 . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho.
a
A. h = 9a .
B. h = .
C. h = a .
D. h = 3a .
3
Hướng dẫn giải
Chọn D
VABCD. A′B′C ′D′ 3a 3
Ta có: VABCD. A′B′C ′D′ = S ABCD .h ⇔ h =
= 2 = 3a .
S ABCD
a
Câu 8. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
A. V = B 2 h .

/>
B. V = Bh .

1
3


C. V = Bh .

D. V = π Bh .


Hướng dẫn giải
Chọn B
Thể tích khối lăng trụ: V = B.h .
Câu 9.Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Các cạnh bên tạo với đáy
một góc 60o . Đỉnh A′ cách đều các đỉnh A, B, C , D . Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị thể
tích của hình lăng trụ nói trên?
a3 6
a3 6
a3 6
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
2
3
2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi O là tâm hình vng ABCD .Từ giả thiết  A′ cách đều các đỉnh A , B , C ta suy ra hình chiếu

của  A′ trên mặt phẳng ABCD là O hay A′O là đường cao của khối lăng trụ.
Trong tam giác A′OA vuông tại A và 
A′OA = 60 , ta có:
a
a 6
.
=
A′O OA.tan
=
60 =
. 3
2
2
Diện tích đáy ABCD là S ACDD = a 2 .
′O
Thể tích của khối lăng trụ là =
V B=
.h S ABCD . A=

Vậy V =

a3 6
.
2

a3 6
.
2

.

Câu 10.Tính thể tích V của khối lăng trụ có diện tích mặt đáy bằng 3 3 cm và chiều cao bằng
2

A. V = 9 2 ( cm3 ) .

B. V = 12 2 ( cm3 ) .

C. V =

Hướng dẫn giải

9 2
cm3 ) .
(
2

6 cm .

D. V = 3 2 ( cm3 ) .

ChọnA
Thể tích khối lăng trụ: =
V S=
.h 3 3. =
6 9 2 ( cm3 ) .

Câu 11.Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AB′ = 3cm và đường thẳng AB′ vng góc với đường thẳng
BC ′ . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng
9
7 6

27 6
A.
B. 2 3cm3 .
C.
D. cm3 .
cm3 .
cm3 .
2
16
4
Hướng dẫn giải
Chọn D

/>

A'

C'

B'

N
C

A
M
B

Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra AM ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇒ AM ⊥ BC ′ .
Mà BC ′ ⊥ AB′ ⇒ B′M ⊥ BC ′ .

a 2b
a


′BC ′ = cot BB
′M ⇒ =
.
Đặt AB = a , AA′ = b . Ta có tan B
⇒ b=
b a
2

a2
=3 ⇒ a = 6 .
2
2
3 9 3
′.S ABC
Thể tích khối lăng =
trụ là V AA
=
3. =
6 .
cm .
4
2
Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC. A B C  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của A lên
mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm cạnh BC . Góc giữa BB  và mặt phẳng  ABC  bằng
Mà AB′ =
3 ⇒ AB 2 + AA′2 =

3 ⇒ a2 +

60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A B C  .
a3 3
2a 3 3
.
B.
.
A.
8
8

a3 3
.
4
Hướng dẫn giải

Chọn D

C.

D.

C'

A'

B'

C

H
A

60°

B

Gọi H là trung điểm cạnh BC . Theo đề ra: A H   ABC  .
AB 3 a 3
AB 2 3 a 2 3
. SABC 


đvdt  .
2
2
4
4
 


 AA ',  ABC   A ' AH

Ta có: 
A ' AH  60 .






AA
',
ABC

BB
',
ABC

60

 





AH 

/>
.

3a 3 3
.
8


3
2

Xét A AH vuông tại H : A H  AH .tan 60  a .

3a 3 3
đvtt  .
8
′A A=
′B A=
′C a .
Câu 13. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , biết A=
Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ ?
a3 3
a3 2
3a 3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn B

Vậy VABC . AB C   A H .SABC 

A'


B'

C

A
H

B

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Theo giả thiết ta có ABC là tam giác đều cạnh bằng a và
′A A=
′B A=
′C a nên A′. ABC là tứ diện đều cạnh a ⇒ A′H ⊥ ( ABC ) hay A′H là đường
A=
cao của khối chóp A′. ABC .
a 6
.
Xét tam giác vng A′HA ta có=
A′H
A′A2 − AH 2 =
3
1
a2 3
Diện tích tam giác ABC=
là S ABC
.
a.a.sin 60° =
2
4

a 2 3 a 6 a3 2
Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là VABC . A′B′C ′ =
.
=
4
4
3
Câu 14. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có diện tích tứ giác ABCD bằng 12 , khoảng cách giữa hai mặt
phẳng ( ABCD ) và ( A′B′C ′D′ ) bằng 2 . Tính thể tích V của khối hộp.
A. V = 12 .

B. V = 8 .

C. V = 24 .
Hướng dẫn giải

D. V = 72 .

Chọn B
= 24 .
Ta có V = S ABCD .d ( A′, ( ABCD ) ) = S ABCD .d ( ( A′B′C ′D′ ) , ( ABCD=
) ) 12.2
Câu 15. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a 2 . Biết AC ′ = 8a và
tạo với mặt đáy một góc 45° . Thể tích khối đa diện ABCC ′B′ bằng
8a 3 3
16a 3 6
16a 3 3
8a 3 6
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn A

/>

C'

A'
H
B'

C

A

B

VA. A′B′C ′ + VABCC ′B′ ⇔ VABCC ′B′ = VABC . A′B′C ′ − VA. A′B′C ′ .
Ta có VABC=
. A′B′C ′

1
Mặt khác VA. A′B′C ′ = VABC . A′B′C ′ nên ⇔ VABCC ′B′ = VABC . A′B′C ′ − VA. A′B′C ′ = 2VA. A′B′C ′ .
3
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( A′B′C ′ ) khi đó góc giữa AC ′ và mặt phẳng đáy

( A′B′C ′) là góc


AC ′H= 45° .

AC ′H= 45° nên AH = 4a 2 .
Xét tam giác vng AHC ′ có AC ′ = 8a và 
2
1
1 1
8a 3 6
Thể tích khối chóp A. A′B′C ′ là VA. A=
.
=
S
AH
.
2
a
2
.sin
60
.4
a
2

°
=
′B′C ′
A′B′C ′
3
3 2
3
3
16a 6
2VA. A′B′C ′ =
Vậy thể tích khối đa diện ABCC ′B′ là ⇔ VABCC ′B′ =
.
3
Câu 16. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Gọi E là trọng tâm tam giác A′B′C ′ và F là trung điểm BC .
Tính tỉ số thể tích giữa khối B′.EAF và khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
1
1
1
1
B. .
C. .
D. .
A. .
5
6
8
4
Hướng dẫn giải
Chọn C


(

B

A
C

B'

A'
E
C'
Ta có

/>
F

M

)


1
S AA′MF và d ( B′, ( AA′MF ) ) = d ( B′, ( AEF ) ) .
2
1
2
=
VABF . A′B′M −
VB′. ABF VABF . A′B′M − VABF . A′B′M = VABF . A′B′M

Vì V
=
B′. AA′MF
3
3
1
1 2
1
1 1
Suy ra VB′EAF = VB′. AA′MF = . .VABF . A′B′M = . .VABC . A′B′C ′ = .VABC . A′B′C ′ .
2
2 3
3 2
6
′
′
′
Câu 17. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của A′
trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABA′ ) và ( ABC )
bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp A.BCC ′B′ .
3
2 3a 3
B. V = a 3 .
C. a 3 3 .
D.
.
A. a 3 .
2
3
Hướng dẫn giải

Chọn B
2a
C'
B'
M là trung điểm của B′C ′ khi đó S EAF =

A'

C

B

45°
M
K
I

A
V
+
=
V
V
Ta có : VABC=
. A′B′C ′
A′. ABC + VA′. BCC ′B′ .
A. A′B′C ′
A. BCC ′B′

VA′. ABC .

Mà VA′.BCC ′B′ = VA. BCC ′B′ ⇒ VA. A′B′C ′ =
Gọi M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AB và K là trung điểm của IB . Khi đó :
A′M ⊥ ( ABC ) .
MK // CI 
 ⇒ MK ⊥ AB .
CI ⊥ AB 
MK ⊥ AB , A′M ⊥ AB ⇒ A′K ⊥ AB .
Góc giữa hai mặt phẳng ( ABA′ ) và ( ABC ) chính là góc giữa A′K và KM và bằng
Mặt khác :


A′KM= 45° nên tam giác A′KM vuông cân tại M .
1
1 2a 3 a 3
=
CI
. =
.
2
2 2
2
a 3
′M MK
Trong tam giác vuông cân A′KM : A=
.
=
2
1
VA′. ABC = .VABC . A′B′C ′ .
3

1
2
2
2
a 3
= a3 .
⇒ VA′. BCC ′B′ = VABC . A′B′C ′ − VABC . A′B′C ′ = VABC . A′B′C ′ = .S ∆ABC . A′M = .a 2 3.
3
3
3
3
2

Trong tam giác ABC : MK
=

/>

Câu 18. Cho khối lăng trụ có thể tích V , diện tích đáy là B và chiều cao h. Tìm khẳng định đúng?
1
A. V = 3Bh .
B. V = Bh .
C. V = Bh .
D. V = Bh .
3
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo cơng thức tính thể tích khối lăng trụ ta có V = Bh
Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 
ACB = 60 , BC = a,


AA′ = 2a . Cạnh bên tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 30 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′

bằng
a3 3
A.
.
6

B.

a3 3
.
3

a3 3
.
2
Hướng dẫn giải

D. a 3 3 .

C.

Chọn C

A'

C'


2a

B'

A

30°
60°

H

C

a

B

=
°
Trong tam giác ABC vuông tại B ta có: tan 60

AB
⇒ AB
= BC. =
3 a 3
BC

1
a2. 3
.

=
AB.BC
2
2
Gọi H là hình chiếu của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) . Góc giữa cạnh bên AA′ và đáy là

A′AH= 30° .

Diện tích đáy:
=
S ABC

1
′H AA′.sin =
30° 2a=
.
a
Trong tam giác vng A′HA ta có: A=
2
a 2 3 a3. 3
Thể tích lăng trụ=
là: V A′H
. S ABC a=
.
=
2
2
Câu 20.Cho ( H ) là khối lăng trụ có chiều cao bằng 3a, đáy là hình vng cạnh a. Thể tích của ( H ) bằng.
A. 4a 3 .
Chọn C

=
V B=
.h 3a.=
a 2 3a 3 .

B. 2a 3 .

C. 3a 3 .
Hướng dẫn giải

D. a 3 .

ABC
= 120° . Góc giữa
Câu 21.Cho hình lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình thoi cạnh bằng a và 
cạnh bên AA′ và mặt đáy bằng 60° , điểm A ' cách đều các điểm A , B , D . Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho theo a .
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6

2
3
12
Hướng dẫn giải
/>

Chọn C
B'

C'

A'

D'

D

C

I
G

A

B

Ta có điểm A′ cách đều các đỉnh A , B , D cho nên điểm A′ sẽ nằm trên trục đường tròn ngoại
tiếp của tam giác ABD .
ABC
= 120° nên 

ABD= 60° ⇒ tam giác ABD là tam giác đều
Ta có 
Vậy ta có A′G ⊥ ( ABD ) với G là trọng tâm tâm tam giác ABD .
Dễ thấy  ( A′A=
, ( ABCD ) ) =
A′AG= 60° .
( A′A, GA) 
a 3
2
3
( I AC ∩ BD ) ⇒ AI =
;=
.
Tam giác ABD đều, AI là trung tuyến =
AG =
AI
a
3
3
2
a 3
AG
3
Ta có =
A′G
= =
a. .
1
cot 60°
3

1
3
′G.S ABCD A=
′G.2S ABD a.2. .a.a.sin 60° = a 3
Thể tích khối lăng
trụ V A=
.
=
2
2
Câu 22. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A '
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường

thẳng AA ' và BC bằng

a3 3
A.
.
3
Chọn D

/>
a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
4
a3 3
a3 3
B.
.
C.

.
6
24
Hướng dẫn giải

a3 3
D.
.
12


Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra A ' H ⊥ ( ABC ) . Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với BC. Ta có Ax / / BC

⇒ d ( A ' A, BC ) =
d ( BC , ( A ' Ax ) )

= d=
( M , ( A ' Ax ) )

3
d ( H , ( A ' Ax ) )
2
 BC ⊥ AM
Kẻ HK ⊥ AA ' ta có 
 BC ⊥ A ' H
⇒ BC ⊥ ( A ' AM ) ⇒ BC ⊥ HK

a 3
6


Mà HK ⊥ AA ' ⇒ HK ⊥ ( A ' Ax ) ⇒ HK =

a2 3
a3 3
1
1
1
a
=
⇒=
V A ' H .S ABC
=
Ta có
mà S ABC
.
=
+
⇒ HA ' =
4
12
HK 2 HA2 HA '2
3
Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A′
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AA′ và BC bằng
A. V =

a3 3
.

12

a 3
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
4
a3 3
a3 3
a3 3
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
3
24
6
Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có A′G ⊥ ( ABC ) nên A′G ⊥ BC ; BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( MAA′ )

/>

a 3
4
AG GH 2
2 a 3 a 3
Kẻ GH ⊥ AA′ , ta có

= = ⇔ GH = .
=
AM IM 3
3 4
6
a 3 a 3
.
1
1
1
AG.HG
3
6 = a
′
A
G
=
+
⇔
=
=
2
2
2
3
HG
A′G
AG
AG 2 − HG 2
a2 a2

−
3 12

Kẻ MI ⊥ AA′ ; BC ⊥ IM nên d ( AA′; BC
=
=
) IM

a a2 3 a2 3
.
=
.
3 4
12
Câu 24. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, c . Thể tích của khối hộp đó là
B. V = a + b + c.
A. V = abc.
′G.S ABC
V=
A=
ABC . A′B′C ′

C. V =

V=

(b

2


+ c 2 − a 2 )( c 2 + a 2 − b 2 )( a 2 + b 2 − c 2 )

8
2
2
2
2
2
2
2
2
( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c 2 )

8

. D.

.

Hướng dẫn giải

Chọn C

B

C

x

a


A

y

D

b

c

z
B'

C'

A'

D'

Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z .
 x2 + y 2 = a2
 y 2 = a2 − x2
 y 2 = a2 − x2



Theo u cầu bài tốn ta có  y 2 + z 2 = c 2 ⇔  y 2 + z 2 = c 2 ⇔ a 2 − x 2 + b 2 − x 2 = c 2
 x2 + z 2 = b2
 z 2 = b2 − x2

 z 2 = b2 − x2



2
2
2
 2 a −b +c
y =
2

2
a 2 + c2 − b2 a 2 + b2 − c2 b2 + c2 − a 2
 2 a + b2 − c2
=
⇔ x
=
⇒V
2
8

2
2
2
 2 b +c −a
z =
2

Câu 25. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A′ lên
mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường


(

thẳng AA′ và BC bằng

/>
)(

)(

a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
4

)


A.

a3 3
.
24

B.

a3 3
.
12

Chọn B


a3 3
.
36
Hướng dẫn giải

C.

A'

D.

a3 3
.
6

B'

C'
N
H
A

B
G

M

C


Gọi G là trọng tâm của ∆ABC , M là trung điểm của BC .
⇒ A′G ⊥ ( ABC ) .

 BC ⊥ AM
⇒ BC ⊥ ( AA′G ) ⇒ BC ⊥ MN .
Trong ( AA′M ) dựng MN ⊥ AA′ , ta có: 
 BC ⊥ A′G
a 3
⇒ d ( AA′, BC ) =
MN =
.
4
Gọi H là hình chiếu của G lên AA′ .
2
GH
AG 2
a 3
Ta có: GH / / MN ⇒
.
MN =
= = ⇒ GH =
3
MN AM 3
6
Xét tam giác AA′G vng tại G , ta có:
a
1
1
1
27

1
1
1
1
1
.
⇒
=
−
= 2 . ⇒ GA′ =
=
+
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
GA′
GH
GA
3a
3
GH
GA GA′
a 3 a 3


 

 6   3 
a 2 3 a a3 3
Vậy thể tích của khối lăng trụ là: V = S ABC . A′G =
.
. =
12
4 3
Câu 26.-2017]Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , đáy ABC là tam giác đều cạnh x . Hình chiếu của đỉnh A′
lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm ∆ABC , cạnh AA′ = 2 x . Khi đó thể tích khối lăng trụ là:
A.

x3 11
.
12

B.

x3 39
.
8

x3 3
.
2
Hướng dẫn giải
C.


D.

x3 11
.
4

ChọnA
Gọi H là hình chiếu vng góc của A′ lên ( ABC ) . Do ∆ABC đều nên H là trọng tâm tam giác
∆ABC .

Ta có AM =

x 3
2
x 3
⇒ AH=
AM=
.
3
3
2

x 33
.
3
1 2 3 x2 3
x 2 3 x 33 x3 11
S ∆ABC =
x.
⋅

=
VABC . A′B′C′ =
=
.
4
3
4
2
2
4
Xét tam giác vng ∆AA′H , có A′H =

/>
AA′2 − AH 2 =


Câu 27. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình chữ nhật với
=
AB =
3, AD
7 và cạnh bên bằng
1 . Hai mặt bên ( ABB′A′ ) và ( ADD′A′ ) lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối
hộp bằng
A. 3 3

B. 7 7

D. 3

C. 7

Hướng dẫn giải

Chọn D

B'

C'

D'

A'

O

C

B

K

H
A

L

D

Gọi H là hình chiếu của A′ trên ( ABCD ) và K , L là hình chiếu của H trên AB, AD .

A′KH= 45° và 

A′LH= 60° .
Ta có các góc 
x 3
Đặt A′H = x suy ra =
.
HK x=
; HL
3
7 x2
3
x2
=1 ⇒ x =
Do đó AA′2 = AH 2 + A′H 2 = x 2 + + x 2 ⇒
.
3
7
3
3
3 7. = 3 .
7
Câu 28. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
V B=
.h AB. AD. A′=
H
Thể tích khối hộp bằng =
1
6

A. V = Bh .


1
3

B. V = Bh .

1
2

C. V = Bh .
Hướng dẫn giải

D. V = Bh .

Chọn D
Ta có thể tích khối lăng trụ V = Bh .
Câu 29. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh AC = 5a . Hình chiếu
vng góc của A1 lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AC , góc giữa mặt phẳng

( AA1B1B ) với ( AA1C1C )

bằng 30o , cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích

V của lăng trụ ABC. A1 B1C1 ?
A. V =

3.a 3
.
8

Chọn A


/>
B. V =

a3
.
24

C. V =
Hướng dẫn giải

a3
.
8

D. V =

3.a 3
.
24


.
5 3
0
O

Gọi G là trung điểm của AC ⇒ A1G ⊥ ( ABC ) ⇒ A
a. Ta
1 AG = 60 ⇒ A1G = AG.tan 60 =

2
có BC ⊥ ( AA1C1C ) .

Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt
đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ.
3
27 3
9
3 3
a .
A. V = a 3 .
B. V =
C. V = a 3 .
D. V =
a .
2
8
4
4
Hướng dẫn giải
ChọnA
A'

F'

B'

E'

C'


D'
A
F

B

E

H

C

D

Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120° .
ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .
a2 3
1
.
S=
S
=
a
a
=
°
.
.sin120
ABC

DEF
2
4

AC =

AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC.cos B =

 1
a 2 + a 2 − 2.a.a.  −  = a 3 .
 2

S=
AC=
. AF a=
3.a a 2 3 .
ACDF
S ABCDEF = S ABC + S ACDF + S DEF =

/>
.

a2 3
a 2 3 3a 2 3
.
+ a2 3 +
=
4
4
2



a 3

.
' BH= 60° ⇒ B ' H= BB '.sin 60°=
B
2
9a 3
Suy ra V =
.
4
Câu 31. Khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng

đáy bằng 30° Hình chiếu của đỉnh A′ trên mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh
BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
4

3
8
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi H là hình chiếu của A′ trên ( ABC ) ⇒ A′H ⊥ BC .
Dễ thấy AH ⊥ BC (Vì ∆ABC đều).


; ( ABC )
A′A=
=
A′A; AH
A′AH (1).
⇒ 

) (

(

Vì ∆ABC đều ⇒ AH =

)

a 3
.
2

′H AH .tan 30
Trong ∆A′AH vng, ta có A=
=

°

a 3 1
a
.
⋅=
2
3 2

a a 2 3 a3 3
Vậy VABC . A′B′C ′ =
⋅
= .
A′H .S ∆ABC =
2
4
8
Câu 32. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , cạnh AC = 2 2 .
Biết AC ′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 60° và AC ′ = 4 . Tính thể tích V của khối đa diện

ABCB′C ′ .
A. V =

16 3
.
3

B. V =

16

.
3

C. V =

8 3
.
3

8
D. V = .
3

Hướng dẫn giải
Chọn A
Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ABCB′C ′ bằng thể tích khối của lăng trụ ABC. A′B′C ′
trừ đi thể tích của khối chóp A. A′B′C ′ .
Giả sử đường cao của lăng trụ là C ′H .
C
B
A
4

B

C

2 2

600


H

A


′AH= 60° .
Khi đó góc giữa AC ′ mặt phẳng ( ABC ) là góc C
Ta có:

/>

C ′H
′H 2 3; S ∆=
4
⇒ C=
ABC
AC ′
2
1
′H .S ∆ABC 2 3. =
=
. 2 2
8 3.
VABC . A′B′C ′ C=
2
1
1
8 3
.

.VABC . A′B′C ′
=
VA. A′B′C ′
=
C ′H .S ∆ABC =
3
3
3
8 3 16 3
.
=
VABB′C ′C =VABC . A′B′C ′ − VA. A′B′C ′ =8 3 −
3
3
Câu 33. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích bằng 30 . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AA′,
BB′, CC ′ . Tính thể tích V của tứ diện CIJK .
15
B. V = 12 .
C. V = 6 .
D. V = 5 .
A. V = .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D
sin 60
=
°

(


)

.

Nhận thấy:

( IJK )  ( ABC )  ( A′B′C′ ) ⇒

d ( C, ( IJK ) )

d ( C, ( A′B′C′ ) )

CK 1
.
=
=
CC ′ 2

1
1 1
1
=
. .d ( C, ( A′B′C′ ) ) .S A=
.30 5 .
d ( C, ( IJK ) ) .=
S IJK
′B′C′
3
3 2
6

Câu 34. Khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và
đáy là 30° . Hình chiếu vng góc của A′ trên mặt ( ABC ) trùng với trung điểm của BC . Thể
tích của khối lăng trụ đã cho là
V=
CIJK

A.

a3 3
.
8

B.

a3 3
.
3

Chọn A

C.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của cạnh BC ⇒ A′H ⊥ ( ABC )

⇒
A′AH= 30° ⇒ tan 30°=

/>

A′H
=
AH

a3 3
.
4

1
.
3

D.

a3 3
.
12