CN.NGUYỄN MẠNH
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
PHONE NUMBER 0981534028
A. BỐN BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I.
Các bước giải bài toán thể tích
Bước 1. Xác định đường cao là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.( 4 bài toán thể tích )
Bước 2. Xác định yếu tố góc giữa đường thẳng với mặt phẳng ( nếu đề bài cho dữ liệu )
,

 Tìm hình chiếu vuông góc của 2 điểm A, B  d trên mp (P) là
 hình chiếu của d trên mặt phẳng (P) là ′ ′.

.

A

 Góc giữa d và mp(P) là góc giữa ′ ′ và d
( 
ABA '   trên hình vẽ )

B

A’

Hoặc xác định góc giữa mặt phẳng (P) và mp (Q). ( ít gặp hơn )





Tìm giao tuyến  của hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng cách nhìn 2 điểm chung.
Xác định mặt phẳng (R)   ( mp (R) chứa 2 đường thẳng cắt nhau vuông góc  )
Tìm giao tuyến (R)  (P)  a;( R )  (Q )  b
Góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.

Ví dụ minh hoạ. Cho hình chóp S.ABC, SA  ( ABC ) . Góc giữa (SBC) và (ABC) ?


(SBC)  (ABC)  BC

S

SA  (ABC)  SA  BC

Phương pháp dựng mặt phẳng vuông góc với BC ở đây là từ chân
Đường cao A hạ vuông góc đến giao tuyến BC.
 Kẻ AH  BC ( H  BC )  (SAH)  BC
 ( SAH )  ( SBC )  SH ; ( SAH )  ( ABC )  AH

C

A


 Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc giữa SH và AH = SHA
Bước 3. Tính chiều cao

H
B


Để tính được chiều cao thì các em chú ý đường cao của khối đa diện luôn

Là Cạnh góc vuông hoặc đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông. Do đó để tính được
chiều cao, các em phải sử dụng các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác vuông sau.
Tổng quát. Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH  BC .

A

 Nếu biết trước cạnh huyền và cạnh góc vuông, ta sử dụng pytago

AB 2  AC 2  BC 2  AB  BC 2  AC 2

B

H

 CÔNG THỨC tính CẠNH GÓC VUÔNG nếu biết trước CẠNH HUYỀN :

)
Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân sin góc đối ( AB  BC.sin C
)
Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân cos góc kề ( AB  BC.cos B

C


CN.NGUYỄN MẠNH
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO

PHONE NUMBER 0981534028
 CÔNG THỨC tính CẠNH GÓC VUÔNG nếu biết trước CẠNH GÓC VUÔNG CÒN LẠI:
Cạnh góc vuông = cạnh còn lại nhân tan góc đối hoặc cot góc kề
  AC.cot B
.
AB  AC.tan C
 CÔNG THỨC tính ĐƯỜNG CAO ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN :
1
1
1


 AH 
2
2
AH
AB
AC 2

AB. AC
AB 2  AC 2

AH 2  HB.HC

 Chú ý thêm định lý hàm số cos với tam giác ABC bất kỳ :
BC 2  AB 2  AC 2  2. AB. AC.Cos A
Bước 4. Tính diện tích đáy . Muốn tính diện tích đáy thì luôn phải tính các cạnh của đáy trước.
MỘT SỐ DẠNG ĐÁY CÁC EM THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI
a. Đáy là tam giác
S 


1
1
1
  1 ab.sin C
.
a.h  bc.sin 
A  ac.sin B
2
2
2
2

A

 Đặc biệt công thức tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh

c

b
h

luôn luôn được sử dụng trong bài toán khoảng cách.
S 

p ( p  a )( p  b)( p  c ); p 

abc
2


 Với tam giác đều cạnh a : S   a 2 .

C

B

a

3
3
; h  a.
2
2

A

b. Đáy là hình chữ nhật

D

 Tính chiều dài chiều rộng : AD  BC  AC 2  AB 2
B
C
 S HCN  dài . rộng
c. Đáy là hình vuông cạnh a
Ðuongcheo
 Đường chéo = cạnh  2  cạnh =
2
2
 S hv  a

d. Đáy là hình thoi cạnh a
 Tính diện tích hình thoi ta chia hình thoi thành 2 tam giác bằng nhau. Khi đó dễ dàng sử
dụng công thức diện tích tam giác đã biết.
A
 Nếu biết cạnh hình thoi và 1 góc ở đỉnh :
 (1)
S ht  a 2  sin 
A  a 2  sin B

B

AC 2  BD 2
1
 Nếu biết 2 đường chéo : S ht   AC  BD ; a 
2
2
C
 Hình bình hành tính theo công thức 1.
e. Đáy là hình thang
1
 S ht    AB  CD   AH
2
 Tìm AH các em sử dụng công thức tính cạnh góc vuông trong tam giác vuông.

D


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
Bước 5. Tính thể tích khối đa diện


CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028

1
 Vchop   S đay  h
3
 Vltru  Sđ  h
II.
BỐN BÀI TOÁN THỂ TÍCH TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016
1) Bài toán 1. Biết trước hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là H
 H là hình chiếu của S trên đáy  SH  (đáy)  SH là đường cao.

Bài tập minh hoạ 1. cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB  2a; AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) trùng với trung điểm H của AB.
Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng đáy góc 30 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD?
Đáp án


SH   ABCD   SH là đường cao



Tìm góc giữa SD với mặt đáy (ABCD)

S

Hình chiếu của S trên (ABCD) là H; của D là D
 hình chiếu của SD trên (ABCD) là HD.
  30

 góc giữa SD với (ABCD) là SDH


Tính chiều cao SH:

A

30

D

Trong tam giác SDH vuông tại H:
SH  HD. tan 30

H



HD  AH 2  AD 2  a 2  a 3
 SH  2a.





2

 2a

B


1
2 3

a
3
3

C
A

Tính diện tích đáy : S ABCD  AB. AD  2 3a 2
H
1
4
B
Vậy VS . ABCD  S ABCD .SH  a 3  đvtt 
3
3
 Các em tham khảo thêm : Tính thể tích khối chóp S.BHDC

Dễ thấy S BHDC 

D

C

3
3
S ABCD  VS . BHDC  VS . ABCD  a 3  đvtt 

4
4

 Tương tự các em có thể tính VS . ABC ;VS . BCD ;VS . ADC ;VS .BAD ;VS . AHC ;VSAHC
 Mở rộng : Cách tính thể tích khối chóp có đỉnh là 1 điểm M nằm trên cạnh bên.( Sử dụng
trong bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chứa điểm M thuộc
cạnh bên và một cạnh thuộc mặt đáy )
 Trong tam giác chứa đường cao của khối chóp ban đầu đỉnh S {giả sử là SH} và cạnh bên
SN{ giả sử SN là cạnh bên chứa M}, kẻ MK  SH  K  HN  . Khi đó MK là đường cao của
khối chóp mới đỉnh M.
Bài tập minh hoạ 1: Gọi M là trung điểm SD. Tính thể tích tứ diện MABC.
Đáp án : nhận thấy { tam giác chứa đường cao SH và cạnh bên SD (chứa điểm M) là SHD}
Kẻ MK  SH  K  HD   MK   ABC   MK là đường cao của MABC


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
MK DM 1
1
3

  MK  SH 
a
SH
SD 2
2
3

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028


1
S ABCD  3a 2
2
1
1
 VMABC  MK .S ABC  a 3  Ðvtt 
3
3
S ABC 

2) Bài toán 2. Khối chóp ( khối đa diện) có một mặt bên vuông góc với đáy.
 Đường cao là đường hạ vuông góc từ đỉnh đến giao tuyến của hai mặt phẳng
Định lý sử dụng : nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc thì bất kì đường thẳng a nào nằm trong
(P) và vuông góc với giao tuyến thì đều vuông góc với mp(Q).


 P   Q 

a   P
  a  Q 

a     P   Q 
Bài tập minh hoạ.cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 
ABC  30 . Tam giác
SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.


Tìm đường cao



 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC   SH   ABC   SH

SH  BC  H  BC  


Tính chiều cao SH ( chú ý SH là đường cao trong tam giác đều )

SH  SC.Sin60  a.



là đường cao

S

3
2

Tính diện tích đáy : ( phải tìm được 2 cạch góc vuông )

3
a
; AC  BC.sin 30 
2
2
1
3

 S ABC  .AB.AC  a 2 .
2
8
3
1
a
 VS . ABC  .S ABC .SH   đvtt 
3
16
AB  BC.cos 30  a.

B

60
H

30

C

A

3) Bài toán 3. Khối chóp ( khối đa diện có 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy.
 Đường cao là giao tuyến của hai mặt bên đó.
Định lý sử dụng : Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ ba thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt thứ ba đó.

 P    R  ;  Q    R  
     R
 P   Q   


Bài tập minh hoạ . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B; với
AB  BC  a; AD  2a . Hai mặt bên (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).
Góc giữa mặt (SAB) với đáy bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
 Tìm đường cao

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028

Gọi O  AC  BD

 SAC    ABCD  ;  SBD    ABCD 
  SO   ABCD   SO
 SAC    SBD   SO



là đường cao

Tìm góc giữa (SAB) và (ABCD).

Dễ thấy dựa vào tên các điểm giống nhau :  SAB    ABCD   AB
Tư duy : Theo đúng nguyên tắc tổng quát, từ chân đường cao O các em hạ vuông góc đến giao
tuyến AB
S
Hạ OH  AB  H  AB 

SO  AB
 AB   SOH 

 SOH    SAB   SH ;  SOH    ABCD   OH

A

 Góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc giữa SH và OH
  60
 SHO


H

D
O

B

C

Tính chiều cao SO : ( các em nên vẽ tách mặt phẳng đáy riêng để đưa về hình học phẳng
giúp dễ dàng trong việc tính các cạnh cần tìm )

BC OB OC 1
OB 1


 


AD OD OA 2
BD 3
OH OB 1
OH  AB  O1H  BC  AD 


AD BD 3
2a
2 3
 OH 
;SO  OH.tan 60 
a
3
3
BC  AD 

1
3
 AD  BC  . AB  a 2
2
2
 Tính
1
3 3
VS . ABCD  SO.S ABCD 
a  đvtt 
3
3
4) Bài toán 4. Khối chóp ( khối đa diện đều )
S ABCD 


A

H
B

D
O
C

4.1. Chóp đều





Đáy là đa giác đều : hình vuông, hình tam giác đều.
Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc
Mặt bên là tam giác cân và cùng tạo với mặt đáy một góc
Đường cao là đường nối đỉnh với tâm đáy ( giao 2 đường chéo với hình vuông; giao 3
đường trung tuyến với tam giác đều )

Bài tập minh hoạ Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD


Tìm đường cao :

Gọi O là giao điểm AC và BD.



CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
SO  AC 
  SO   ABCD   SO là đường cao
SO  BD 


CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028

Tính chiều cao SO :

S

Theo py – ta – go trong tam giác SOD vuông tại O:
SO  SD 2  OD 2 ; OD 

BD

2

AB 2  AD 2
2

a
2
2

A


2

D

 2 
7
2
 SO   2a   
a  
a
2
2


2



Tính S ABCD  a



1
7 3
Vậy VS . ABCD  S ABCD .SO 
a  đvtt 
3
6


O

B

C

4.2. Lăng trụ đều
 Là lăng trụ đứng :
Các cạnh bên song song bằng nhau và vuông góc với đáy  cạnh bên là đường cao.
Các mặt bên là hình chữ nhật
Hai mặt phẳng đáy song song và bằng nhau.
 Có đáy là đa giác đều.
 Chú ý. Lăng trụ xiên khác lăng trụ đứng là các mặt bên là hình bình hành. Như vậy ta dựng
đường cao của lăng trụ xiên giống như bài toán khối chóp.
Bài tập minh hoạ . Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C '; AB  a . Đường thẳng A ' B tạo với mặt đáy một
góc bằng 60 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .


ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đều  A ' A   ABC   A ' A là đường cao

A ' A  B 'B  C'C .


Tìm góc giữa A ' B và  ABC  :

Hình chiếu vuông góc của A ' B trên  ABC  là AB.
 góc giữa A ' B và  ABC  là góc giữa A ' B và AB

A


C

60

60
B


B
' AB  60


Tính chiều cao : A ' A  B ' B  AB.tan 60  a 3

1
3 2
A'
AB. AC.sin 60 
a
2
2
3
 Vậy VABC . A ' B 'C '  S ABC . A ' A  a 3  đvtt 
2
Tham khảo thêm :
B'
1
1
1 3
 Thể tích tứ diện B ' ABC : VB ' ABC  S ABC .B 'B  VABC . A ' B 'C '  a  đvtt 

3
3
2
1
1
1
 Thể tích chóp C '.AA'B' : VC '.AA'B'  VA. A ' B 'C '  S A ' B 'C ' .AA'  VABC . A ' B 'C '  a 3
3
3
2
 Thể tích tứ diện ABB ' C ' :



Tính S ABC 

C'


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
Vì S AA ' B '  S ABB '  VABB 'C '  VC ' ABB '  VC 'AA'B'  VAA ' B 'C '

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028
1
1
 VABC . A 'B'C'  a 3
3
2


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
B. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P). M
Khi đó : d  M , P   MH

(P)

H

 Đây là một bài toán mà nhiều em cảm thấy khó khăn. Vì vậy để giúp các em dễ dàng
hơn trong việc giải bài toán này, các em hãy phân biêệt rõ các dạng sau.
1. KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO M ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CẮT MẶT ĐÁY
( TRONG ĐỀ THI THƯỜNG LÀ CÁC MẶT BÊN ).
Giả sử tổng quát với đường cao là SM
Bước 1. Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (P) với mặt phẳng đáy
Bước 2. Từ chân đường cao M, kẻ MH  d  H  d 
Khi đó d   SMH 
Bước 3. Tìm giao tuyến  của mặt bên (P) với (SMH). Từ chân đường cao M , kẻ
MK    d  M , P    MK
Bài toán minh hoạ cơ bản.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc
với đáy ; SA  2a . a, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Tư duy : Dễ dàng nhận thấy A là chân đường cao , (SBC) là mặt bên. Ta làm như sau :
Bước 1. Tìm giao tuyến của (SBC) và mặt đáy (ABC)

 SBC    ABC   BC
Bước 2. Từ chân đường cao A, kẻ AH vuông góc BC
Kẻ

AH  BC  H  BC  

   SAH   BC
SA  BC


Bước 3. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAH) là SH. Từ chân đường cao A ,kẻ AK vuông góc SH.
Như vậy khoảng cách từ A đến (SBC) chính là AK.

 SBC    SAH   SH . Kẻ

AK  SH  d A, SBC    AK 

Trong tam giác ABC : AH  AB.sin 60 

2a.

Thay số : d  A, SBC  

3
a
2

 3 
 2a    a 
 2 
2

2




SA. AH

S

SA2  AH 2

3
a
2

2 57
a
19

A

K
C
H
B

2. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM N BẤT KỲ ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CẮT MẶT ĐÁY


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
( TRONG ĐỀ THI THƯỜNG LÀ MẶT BÊN )

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028


Bước 1. Tính khoảng cách từ chân đường cao M đến mặt bên (P) như dạng 1.
Bước 2. Sử dụng bổ đề sau để đưa về khoảng cách từ N đến (P)


Nếu MN cắt mặt phẳng (P) tại H thì :



Nếu MN   P   d M , P   d N , P 

d  N , P  
d  M , P  



NH
NH
 d  N , P   
.d
MH
MH  M , P 

Bài toán minh hoạ ( tiếp tục bài toán 1 ) . b, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách từ
G đến mặt phẳng (SBC).
Bước 1. Đã tính được khoảng chách từ chân đường cao A đến (SBC).
d  A, SBC  

2 57
a

19

Bước 2. Gọi M là trung điểm BC. AG cắt (SBC) tại M 

dG , SBC 
d  A, SBC 



GM 1
 (tính chất trọng tâm)
AM 3

1
2 57
 d G , SBC   d  A, SBC  
a
3
57

 Trong trường hợp mặt phẳng (P) chứa đường cao, các em không thể tính khoảng cách
từ chân đường cao được. Khi đó các em phải chuyển sang dạng số 3.
3. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM N BẤT KÌ ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CHỨA ĐƯỜNG CAO
Bước 1. Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (P) với mặt đáy
Bước 2. Chọn điểm M bất kỳ thuộc đáy. Kẻ MH  d  d  M, P   MH
Bước 3. Sử dụng bổ đề như dạng 2.


Nếu MN cắt mặt phẳng (P) tại H thì :




Nếu MN   P   d M , P   d N , P 

d  N , P  
d  M , P  



NH
NH
 d  N , P   
.d
MH
MH  M , P 

Bài toán minh hoạ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a, AD  a 3 .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy. M là điểm trên BC sao cho BM  2MC . Tính khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (SAC).
Tư duy : Dễ dàng nhận thấy (SAC) chứa đường cao SA. Như vậy ta làm như sau :
Bước 1. Tìm giao tuyến mặt (SAC) với mặt đáy (ABCD)

S

 SAC    ABCD   AC
Bước 2. Chọn B thuộc mặt đáy. Kẻ BH vuông góc AC
Kẻ BH  AC  d  B , SAC   BH 

AB.BC
AB 2  BC 2


a.a 3


2

D

A



a  a 3



2

3

a
2

H

B

C
M



CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
Bước 3. Sử dụng bổ đề : BM cắt (SAC) tại C


d  M , SAC 
d  B , SAC 



CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028

MC 1
1
3
  d  M , SAC   d B , SAC  
a
BC 3
3
6

4. TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG (P){ MẶT PHẲNG (P) ĐI
QUA 1 ĐIỂM TRÊN CẠNH BÊN VÀ 1 ĐƯỜNG THẲNG NẮM TRONG MẶT ĐÁY}
Các em đưa bài toán về bài toán tính khoảng cách trong khối chóp mới tạo bởi điểm M trên cạnh
bên đề bài cho với mặt phẳng đáy của khối chóp ban đầu bằng cách:





Trong tam giác chứa đường cao của khối chóp ban đầu đỉnh S {giả sử là SH} và cạnh bên
SN{ giả sử SN là cạnh bên chứa M}, kẻ MK  SH  K  HN  . Khi đó MK là đường cao của
khối chóp mới đỉnh M.
Bài toán đưa về 1 trong 3 dạng ở trên.

Bài tập minh hoạ. cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  2a và SA vuông
góc với đáy. M là trung điểm SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC).
Tư duy : Nhận thấy mặt phẳng (AMC) có M thuộc cạnh bên SB và AC thuộc mặt đáy (ABC).
Đường cao khối chóp ban đầu S.ABC là SA.
Vậy ta làm như sau :


Trong tam giác SAB{tam giác chứa đường cao SA và cạnh bên chứa điểm M là SB}, kẻ
MK  SA  K  AB   MK   ABC   MK là đường cao khối chóp M.ABC.

SA

MK 
a

BK BM MK 1

2
 MK  SA 


 
AB a
BA SB

SA 2 
BK  AK 


2
2
 Tính khoảng cách từ chân đường cao K đến (AMC)
  AMC    ABC   AC {tìm giao tuyến của mặt (AMC) với mặt đáy (ABC)}
 Kẻ KH  AC {từ chân đường cao K kẻ vuông góc với giao tuyến AC vừa tìm được}

Lại có MK  AC   MHK   AC


S

 MHK    AMC   MH

 Kẻ KE  MH  d  K , AMC   KE 

 KH 

2SAKC
AC

M

MK .KH
MK 2  KH 2

3 2

a
SABC
3

 4

a
AC
a
4

E

A

H
K
B

C


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
 d K , AMC    KE 



CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028

a.

MK .KH
2

MK  KH

2



3
a
4

 3 
a2  
a
4



2



57
a
19


Sử dụng bổ đề : BK cắt (AMC) tại A
d B , AMC  BA
2 57


 2  d B , AMC   2d K , AMC  
a
d K , AMC  KA
19

5. PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH ĐỔI ĐỈNH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM BẤT
KỲ ĐẾN MẶT PHẲNG (P)
Nghe tên có vẻ là mới lạ, nhưng nếu các em để ý thì thực ra phương pháp này các em đã được học
trong hình học phẳng khi tính diện tích tam giác ABC. Các em có thể coi A là đỉnh thì BC là đáy; B
là đỉnh thì AC là đáy; C là đỉnh thì AB là đáy.
Giờ thầy sẽ hướng dẫn các em tư duy sang hình học không gian : với khối chóp S . A1 A2 A3 thì ta có
thể coi lần lượt S , A1 , A2, A3 là đỉnh và mặt tương ứng tạo bởi 3 điểm còn lại là đáy. Khi đó từ công
thức tính thể tích khối chóp ta xây dựng được công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
sau : NẾU MUỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ A1 THÌ TA COI A1 LÀ ĐỈNH ,MẶT TẠO BỞI 3
ĐIỂM CÒN LẠI LÀ ĐÁY.
1
1
VS . A1 A2 A3  S A1 A2 A3 .d  S , A A A   S SA2 A3 .d A , SA A  
1 2 3
1
2 3
3
3
3VS . A1 A2 A3
 d  A , SA A  

1
2 3
S SA2 A3



 Phương pháp này giúp các em tư duy tưởng tượng kém sẽ làm được các bài toán khoảng
cách mà không cần dựng hình.
 Muốn tính diện tích tam giác đáy là mặt bên của chóp, ta cần tính 3 cạnh của nó
bằng cách áp dụng Py – ta – go vào các tam giác chứa đường cao.
Để tính diện tích tam giác nằm trong một mặt bên ta sẽ so sánh với diện tích mặt bên đã biết
cách tính theo công thức tỷ lệ diện tích :
A

Cho tam giác ABC. M  BC . Khi đó :





S ABM BM

S ABC
BC

B

C
M


 Muốn tính thể tích chóp ta so sánh thể tích chóp cần tìm với khối chóp ban đầu đề
bài cho bằng 1 trong 2 cách sau :
Tỷ số thể tích bằng tỷ số diện tích đáy nếu 2 mặt phẳng đáy trùng nhau.( các đỉnh của đáy
này thuộc các đường nằm trong đáy kia hay đáy này chính là một phần nhỏ của đáy kia).
Trường hợp này thường gặp hơn.
Sử dụng công thức tỷ lệ thể tích : Cho chóp S.ABC. Các điểm M , N , P  SA, SB , SC . Khi đó
V
SM SN SP VM . ABC MA
: S .MNP 
.
.
;

VS . ABC
SA SB SC VS . ABC
SA

Bài tập minh hoạ. cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  2a và SA vuông
góc với đáy. M la trung điểm SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC).
Tư duy : Dễ dàng nhận thấy (AMC) chứa chân đường cao A. Ta làm như sau:
Bước 1. Tính thể tích khối chóp đề bài cho ban đầu ( đã làm ở ý 1 trong đề thi )


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
3 2
SABC 
a
4
1

3 3
VS . ABC  SABC .SA 
a  Ðvtt 
3
6

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028

Bước 2. Thiết lập công thức tính khoảng cách từ B đến (AMC) bằng 3 lần thể tích khối chóp tạo bởi
4 điểm B,AMC chia diện tích đáy là mặt phẳng đề bài cho AMC.
d  B , AMC   

3VB. AMC
(1)
S AMC

Bước 3. Tính VBAMC




Cách tư duy 1. Do MC nằm trong một mặt bên (SBC) nên ta coi A là đỉnh , (BMC) là đáy.
1
1
1
3 3
Khi đó : S BMC  S SBC  VA.BMC  VA.SBC  VS . ABC 
a  Ðvtt 
2

2
2
12
Cách tư duy 2. Nhận thấy M nằm trên SB nên coi B là đỉnh , (SAC) là đáy. Khi đó sử dụng
V
BM 1
1
3 3
công thức thể tích : B.MAC 
  VB.MAC  VS . ABC 
a  Ðvtt 
VB.SAC
BS 2
2
12

Bước 4. Tính SAMC


Theo phương pháp truyền thống ( các em phải chấp nhận dài ), các em phải tính được độ
dài 3 cạnh AM,AC,MC

Để tính được các cạnh không phải là cạnh bên của khối chóp, các em phải sử dụng công thức tổng
quát sau : cho tam giác ABC, M  BC , BC  k .BM . Ta có :
S

AM 

k


2



 k AB 2  1  k  BC 2  k .AC2
M

k

Áp dụng :


A

AM nằm trong tam giác SAB. Khi đó ta cần xác định SA,SB,AB

SA  2a; AB  a; SB  SA2  AB 2  a 5

K

B

M là trung điểm SB nên SB  2 BM  k  2   AM 


E

2 AB 2  BS 2  2 SA2
5


a
2
2

CM nằm trong tam giác SBC. Khi đó ta cần xác định SB,SC,BC

SB  a 5; BC  a; SC  SA2  AC 2  a 5
M là trung điểm SB nên SB  2 BM  k  2   CM 

p


Nửa chu vi tam giác AMC :

2CB 2  SB 2  2SC 2
7

a
2
2

AC  AM  CM
7  52

a
2
4

 S AMC 



7 
5
19 2
p  p  a
p

a
a

  p  a  

2 
2 
8


C


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO

3V
Thay vào công thức (1) ta được : d B , AMC   B. AMC
SAMC

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028
3 3

3.
a
2 57
12


a
19
19 2
a
8

 Như vậy để tính được diện tích tam giác tạo bởi 1 điểm trên cạnh bên và 1 cạnh thuộc
mặt đáy của khối chóp theo phương pháp truyền thống rất dài và phải tính nhiều cạnh phụ.
Do đó ,các em có thể sử dụng phương pháp tính diện tích tam giác MAB tổng quát { M
thuộc cạnh bên SN, AB thuộc mặt phẳng đáy }
 Trong tam giác chứa đường cao của khối chóp ban đầu đỉnh S {giả sử là SH} và cạnh bên
MK DM
SN{ giả sử SN là cạnh bên chứa M}, kẻ MK  SH  K  HN  . Khi đó

SH
SD
 Kẻ KE  AB  ME  AB hay ME là đường cao tam giác MAB
2S
1
 KE  AKB ; ME  MK 2  KE 2 ; S MAB  ME. AB
AB
2
 Áp dụng vào bài toán minh hoạ trên : tính diện tích tam giác MAC
 Trong tam giác SAB{tam giác chứa đường cao SA và cạnh bên chứa điểm M là SB}, kẻ

MK  SA  K  AB   MK   ABC   MK là đường cao khối chóp M.ABC.
SA

 MK  2  a
BK BM MK 1
 MK  SA 


 
AB a
BA SB
SA 2 
BK  AK 


2
2
 Kẻ KH  AC  H  AC   MH  AC



KH 

2 S KAC
AC

3 2
a
S ABC
3

19
4



a; MH  MK 2  KH 2 
a
AC
a
4
4

1
19 2
MH . AC 
a
2
8
C. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d1 , d 2
S MAC 

 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau d1 , d 2 là khoảng cách đoạn vuông góc chung của
d1 , d2 ( thầy bỏ qua bài giảng này giúp các em không phải phân vân lựa chọn phương pháp
nào )
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 là khoảng cách từ đường d 2 đến mặt
phẳng (P) chứa d1 và song song với d 2 . Các em chú ý phương pháp này, đây là phương
pháp tổng quát cho tất cả các bài khoảng cách giữa hai đường chéo nhau d1 , d 2 . Các bước
dựng hình :
 Bước 1. Từ A  d1 , kẻ Ax  d1 . Kí hiệu mặt phẳng (P) chứa Ax, d1 . Khi đó d 2   P 
Bước 2. d d1 , d2   d d2 , P    d B , P   B  d 2 

 Như vậy các em đưa được về bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
1. Khoảng cách giữa đường d1 thuộc mặt bên { trường hợp thường gặp là cạnh bên } với
đường d 2 thuộc mặt phẳng đáy


Bước 1. Tìm giao điểm M của đường d1 thuộc mặt bên với mặt đáy. Qua M kẻ Mx  d 2 . Khi đó Mx
cắt các cạnh của mặt đáy. Giả sử cắt 1 cạnh của mặt đáy tại K. mặt (P) chứa d1 và MK.
Bước 2. d d1 , d2   d d2 , P    d B , P   B  d 2  ,B thường là 1 đỉnh của mặt phẳng đáy.
2. Khoảng cách giữa đường d1 thuộc mặt bên (Q) và d 2 là cạnh bên


CN.NGUYỄN MẠNH
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
PHONE NUMBER 0981534028
Bước 1. Tìm giao điểm M của đường thẳng d1 với 1 cạnh bên d 3 của mặt bên (Q) ( lưu ý M không
thuộc mặt đáy ). Qua M kẻ Mx  d 2 . Khi đó Mx cắt cạnh của mặt phẳng chứa 2 cạnh bên d 2 , d 3 tại
K. mặt (P) chứa d1 và MK.
Bước 2. d d1 , d2   d d2 , P    d B , P   B  d 2  ,B thường là 1 đỉnh của mặt phẳng đáy.
Bài tập minh hoạ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông
góc với đáy, SA  2a. M là điểm trên SD sao cho SM  MD . 1. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SC và BD.
S
2, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng giữa CM và SB
3, Tính khoảng cách giữa AD và CM.

M
A

D


H
E

O
B

E

C

K

Đáp án.
1. Tư duy : Dễ dàng nhận thấy SC là cạnh bên , BD nằm trong mặt đáy ABCD.
SC   ABCD   C . Các em giải quyết bài toán như sau :


Qua C , kẻ Cx  BD, Cx  AB   K  . {Khi đó BD song song mặt phẳng chứa SC và CK là
mặt phẳng (SCK)}

 BD   SCK 
 d BD , SC   d BD , SCK    d B , SCK 


TÍNH d  B , SCK  : các em so sánh 2 cách nhé !
 Phương pháp thể tích đổi điểm :
 Trước hết ta tính thể tích khối chóp đề bài cho S.ABCD : SA  2a; S ABCD  a 2
1
2

 VS . ABCD  S ABCD .SA  a 3  Ðvtt 
3
3

d  B , SCK  

3VS .BKC
S SKC
1
1
1
S ABCD  VS . BKC  VS . ABCD  a 3  Ðvtt 
2
2
3
{ PHẢI TÍNH 3 CẠNH SC,SK,CK}



Tính VS .BKC : S BKC 



Tính SSCK

D
A

Các em dễ dàng nhận ra tứ giác BDCK là hình bình hành
 CK  BD  AC  a 2;CD  BK  a; AK  2CD  2a

2

2

Trong tam giác SAC : SC  SA  AC 

 2a 

2



 a 2

I



B

2

C

a 6
H


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO


CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
PHONE NUMBER 0981534028
2

Trong tam giác SAK : SK  SA2  AK 2 
Nửa chu vi tam giác SCK : p 
S SCK 

Vậy



p pa 6

d B , SCK   

 p  2

3VS . BKC
SSKC

 2a    2a 

2

 2 2a

K


SC  SK  CK
62 2 2
6 3 2

a
a
2
2
2

2a

 p  a 2  

3a 2

1
3. a 3
3
 3 2 
a
3
3a

 Phương pháp dựng hình:
 Tính khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt (SCK)

 SCK    ABCD   CK  BD

{ tìm giao tuyến của (SCK) với mặt phẳng đáy }


Kẻ AH  CK  H  CK  ; AH  BD   I  { từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến vừa tìm
được }
Lại có SA  CK SA   ABCD   CK   SAH  {(SAH) chứa SA và AH vuông góc CK}

 SAH    SCK   SH

{tìm giao tuyến của (SCK) với mặt (SAH) vừa tìm được}

Kẻ AE  SH  d A, SCK   AE 

SA. AH
SA2  AH 2
AB. AD

Trong tam giác ABD vuông tại A : AI 

Do BD  CK 

d  A, SCK   AE 



AB 2  AD 2



a.a
a2  a2




2
a
2

AI
AB 1

 {Theo Ta – let }  AH  2 AI  a 2
AH AK 2

SA. AH
2

SA  AH

2



2a.a 2

 2a 

2



 a 2




Sử dụng bổ đề : AB cắt (SCK) tại K ; 

2



2 3
a
3

d  B , SCK 
d  A, SCK 



BK 1
1
3
  d  B , SCK   d A, SCK  
a
AK 2
2
3

 Như vậy hai kết quả hoàn toàn giống nhau. Phương pháp 1 có vẻ nhìn cũng ngắn gọn mà
không phải tư duy. Đây là ưu điểm khá lớn với các em học sinh tưởng tượng hình kém.
3

Vậy d  BD , SC   d BD , SCK   d B , SCK  
a
3

2. Tư duy : các em dễ dàng nhận thấy CM nằm trong mặt bên (SCD) ;SB là cạnh bên. Các em
giải quyết bài toán như sau: nhận thấy CM cắt cạnh bên SD tại M . Qua M kẻ Mx  SB { khi
đó Mx  MO vì MO là đường trung bình tam giác DSB;O là giao AC và BD}
 MO  SB  SB   MOC  {(MOC) là mặt phẳng chứa đường CM và MO vừa kẻ}


3V
d  SB ,CM   d  SB , MOC   d B , MOC   M . BOC
S MOC


CN.NGUYỄN MẠNH
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO
PHONE NUMBER 0981534028
 Tính VM . BOC { Thể tích có đỉnh M thuộc cạnh bên }

SA  ( ABCD)  SA   BOC 
MN 


MN  SA  N  AD   MN   BOC 

. Kẻ

1

1
1
a3
SA; SBOC  S ABCD  VM .OBC  VS . ABCD 
2
4
8
12
Tính SMOC { Phải tính 3 cạnh OM,OC,MC}

OM 

SB
; SB  SA2  AB 2 
2

OC 

AC
2

a
2
2

 2a 

2

 a 2  a 5  OM 


5
a
2

 Tính MC {MC nằm trong mặt bên SCD nên phải tính 3 cạnh SC,SD,CD}
2

SC  SA2  AC 2 

 2a 

SD  SA2  AD 2 

 2a 

{ SC  2CM  k  2  } : CM 

2

k

2



 a 2




2

 6a

 a 2  5a; CD  a



 k CD 2  1  k  SD 2  kSC 2
k



2CD 2  SD 2  2 SC 2 3
 a
2
2

5
2 3


2 2a
Nửa chu vi tam giác MOC : p  2
2
S MOC 


5 
2 

3  3 2
p  p  a
pa

  p  a   a

2 
2 
2  8


3V
Vậy d  SB ,CM   d  SB , MOC   d  B , MOC   M . BOC
S MOC

a3
2
 12  a
3 2 3
a
8
3

 Các em có thể thử tính diện tích tam giác MOC theo cách 2.
3. Tính khoảng cách giữa AD và CM
Tư duy : nhận thấy CM nằm trên mặt bên (SCD); AD nằm trên mặt đáy. Theo dạng tổng quát ta làm
như sau : kẻ Cx  AD  Cx  CB  . Khi đó mặt phẳng chứa CM và CB là (MBC)  AD .
3V
Đáp án. CB  AD   MBC   AD  d  AD ,CM   d  AD , MBC   d A, MBC   M . ABC (1)
S MBC

Tính VM . ABC { thể tích chóp có đỉnh M năng trên cạnh bên SD}
MH DM 1
SA
 Kẻ MH  SA  K  AD  

  MH 
a
SA
SD 2
2
1
a2
1
1
 SABC  S ABCD 
 VM . ABC  MH .SABC  a 3
2
2
3
6
 Tính S MBC


 Kẻ HE  BC  E  BC   ME  BC


CN.NGUYỄN MẠNH
KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN

PHONE NUMBER 0981534028

 Dễ thấy HE  AB  CD  a; ME  MH 2  HE 2  a 2  a 2  a 2
 S MBC 

1
1
2 2
ME.BC  a 2.a 
a
2
2
2

Thay vào (1) : d AD ,CM 

1
3. a 3
2
 6 
a
2
2 2
a
2