 Bài 03
KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I – NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song
song với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.

1. Hình lăng trụ đứng
Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy.
Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vng góc với mặt
đáy.

2. Hình lăng trụ đều
Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và vng
góc với mặt đáy.

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
1. Hình hộp đứng
Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt đáy.
Tính chất. Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ
nhật.

2. Hình hộp chữ nhật
Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Tính chất. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

3. Hình lập phương
Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vng
Tính chất. Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vng.

Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một

đỉnh.

I – THỂ TÍCH
1. Cơng thức tính thể tích khối chóp

V=
Trong đó:

1
S .h
3

S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.

2. Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ

V = B.h
Trong đó: B là diện tích đáy,

h là hiều cao khối lăng trụ
● Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c
Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
3

● Thể tích khối lập phương: V = a
Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.

III – TỈ SỐ THỂ TÍCH



Cho khi chúp S.ABC v A ' , B ' , C ' l cỏc im tựy ý ln
lt thuc SA , SB , SC ta cú

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
.
VS . ABC
SA SB SC
Phng phỏp ny c ỏp dng khi khi chúp khụng
xỏc inh c chiu cao mt cỏch d dng hoc khi
chúp cn tớnh l mt phn nh trong khi chúp ln v
cn chỳ ý n mt s iu kin sau
ã Hai khi chúp phi cựng chung nh.
ã ỏy hai khi chúp phi l tam giỏc.
ã Cỏc im tng ng nm trờn cỏc cnh tng ng.

S
B'

A'
A

C'

B

C


CAU HOI TRAẫC NGHIEM
Vn 1. TH TCH KHI CHểP
Cõu 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , cnh bờn SA vuụng gúc
vi mt phng ỏy v SA = a 2. Tớnh th tớch V ca khi chúp S.ABCD.

a3 2
a3 2
B. V =
C. V = a 3 2.
.
.
6
4
Li gii. Din tớch hỡnh vuụng ABCD l S ABCD = a 2 .
A. V =

D. V =

a3 2
.
3
S

Chiu cao khi chúp l SA = a 2.
Vy th tớch khi chúp VS . ABCD =

1
a3 2
S ABCD .SA =
.

3
3

A

D

Chn D.
C
B
Cõu 2. Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc SBC l tam giỏc vuụng cõn ti S , SB = 2a v
khong cỏch t A n mt phng (SBC ) bng 3a. Tớnh theo a th tớch V ca khi chúp

S.ABC .
A. V = 2a3 .
B. V = 4a3 .
C. V = 6a3
D. V = 12a3 .
đ chiu cao khi chúp l d ộởA, (SBC )ự
Li gii. Ta chn (SBC ) lm mt ỏy ắ ắ
ỷ= 3a.
1
Tam giỏc SBC vuụng cõn ti S nờn SD SBC = SB 2 = 2a 2 .
2
1
3
Vy th tớch khi chúp V = SD SBC .d ộởA, (SBC )ự
ỷ= 2a . Chn A.
3
Cõu 3. ( CHNH THC 2016 2017) Cho khi chúp S.ABC cú SA vuụng gúc vi ỏy,

SA = 4, AB = 6, BC = 10 v CA = 8 . Tớnh th tớch V ca khi chúp S.ABC .
A. V = 40.
B. V = 192.
C. V = 32.
D. V = 24.
2
2
2
2
2
2
Li gii. Tam giỏc ABC , cú AB + AC = 6 + 8 = 10 = BC
S
1
ắắ
đ tam giỏc ABC vuụng ti A ắ ắ
đ SD ABC = AB.AC = 24.
2
B
A
1
Vy th tớch khi chúp VS . ABC = SD ABC .SA = 32. Chn C.
3
C
Cõu 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht cú cnh AB = a , BC = 2a .
Hai mt bờn (SAB ) v (SAD ) cựng vuụng gúc vi mt phng ỏy (ABCD ), cnh SA = a 15 .
Tớnh theo a th tớch V ca khi chúp S.ABCD.


2a 3 15

2a 3 15
. B. V =
.
C. V = 2a 3 15 .
6
3
Lời giải. Vì hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc
A. V =

D. V =

a 3 15
.
3

S

với (ABCD ), suy ra SA ^ (ABCD ). Do đó chiều cao khối
chóp là SA = a 15 .
Diện tích hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AB.BC = 2a 2 .
Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD

A

1
2a 3 15
= S ABCD .SA =
.
3
3


D

C
B
Chọn B.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc
với đáy (ABCD ) và SC = a 5 . Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.
A. V =

a3 3
.
3

B. V =

a3 3
.
6

C. V = a 3 3 .

D. V =

Lời giải. Đường chéo hình vuông AC = a 2.

S

Xét tam giác SAC , ta có SA = SC 2 - AC 2 = a 3 .
Chiều cao khối chóp là SA = a 3 .

Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD = a 2 .
Vậy thể tích khối chop VS . ABCD

a 3 15
.
3

A

1
a3 3
= S ABCD .SA =
.
3
3

D

C
B
Chọn A.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a . Cạnh
bên SA = 2 a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp
S.ABC .
A. V = a3 .

B. V =

a3 3
.

2

Lời giải. Diện tích tam giác vuông SD ABC

a3
.
3
1
a2
= BA.BC =
.
2
2
C. V =

Chiều cao khối chóp là SA = 2 a .
1
a3
Vậy thể tích khối chóp VS . ABC = S ABC .SA =
.
3
3
Chọn C.

D. V =

2a 3
.
3


S

A

C

B
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB = BC = 1 ,
AD = 2 . Cạnh bên SA = 2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
1
3
.
C. V = .
D. V = 2 .
3
2
Lời giải. Diện tích hình thang ABCD là
S
æAD + BC ö
3
÷
S ABCD = çç
.AB = .
÷
÷
çè
ø
2
2
A

D
Chiều cao khối chóp là SA = 2 .
1
Vậy thể tích khối chóp VS . ABCD = S ABCD .SA = 1. Chọn A.
B
C
3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a ,
BC = a 3 . Mặt bên (SAB ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt

A. V = 1 .

B. V =

phẳng (ABC ). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC .


a3 6
a3 6
2a 3 6
.
B. V =
.
C. V =
.
12
4
12
Li gii. Gi H l trung im ca AB , suy ra SH ^ AB .
Do (SAB ) ^ (ABC ) theo giao tuyn AB nờn SH ^ (ABC ).

A. V =

Tam giỏc SAB l u cnh AB = a nờn SH =

a 3
.
2

Tam giỏc vuụng ABC , cú AC =

BC 2 - AB 2 = a 2 .

Din tớch tam giỏc vuụng SD ABC =

1
a2 2
.
AB.AC =
2
2

a3 6
.
6

S

B

1

a3 6
SD ABC .SH =
. Chn A.
3
12

Vy VS . ABC =

D. V =

C
H
A

Cõu 9. Cho khi chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , tam giỏc SAB cõn ti S
v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt ỏy, SA = 2 a . Tớnh theo a th tớch V ca khi
chúp S.ABCD .

a 3 15
a 3 15
2a 3
.
B. V =
.
C. V = 2a3 .
D. V =
.
6
12
3

Li gii. Gi I l trung im ca AB . Tam giỏc SAB cõn ti S v cú I l trung im AB
nờn SI ^ AB . Do (SAB ) ^ (ABCD) theo giao tuyn AB nờn SI ^ (ABCD ).
A. V =

Tam giỏc vuụng SIA , cú

S
2

SI =

SA 2 - IA 2 =

ổAB ữ
ử
a 15
SA 2 - ỗỗ
=
.
ữ
ữ
ỗố 2 ứ
2

Din tớch hỡnh vuụng ABCD l S ABCD = a 2 .
Vy VS . ABCD =

A

D


I

1
a 3 15
S ABCD .SI =
. Chn B.
3
6

C
B
Cõu 10. ( CHNH THC 2016 2017) Cho khi chúp tam giỏc u S.ABC cú cnh ỏy
bng a , cnh bờn gp hai ln cnh ỏy. Tớnh theo a th tớch V ca khi chúp S.ABC .

13 a 3
11 a 3
11 a 3
11 a 3
B. V =
C. V =
D. V =
.
.
.
.
6
12
12
4

Li gii. Gi I l tõm = 3.
Tam giỏc vuụng A ' AB , ta cú AA ' = AB.tan A
1
1
Din tớch tam giỏc ABC l SD ABC = BA.BC = .
C
2
2
A
3
Vy V = SD ABC .AA ' =
. Chn C.
B
2
Cõu 61. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.A ' B ' C ' D ' cú AB = AA ' = a , ng chộo A ' C hp
vi mt ỏy (ABCD ) mt gúc a tha món cot a = 5 . Tớnh theo a th tớch khi hp ó cho.

2a 3
.
3
Li gii. Ta cú AA ' ^ (ABCD) nờn
A. V = 2a3 .

B. V =

5a 3 .

C. V =

D. V =


a3
5

.

D'

ã
ã
ã' CA .
A
' C ,(ABCD ) = A
' C , AC = A

C'
B'

A'

Tam giỏc vuụng A ' AC , ta cú AC = AA '.cot a = a 5 .
Tam giỏc vuụng ABC , ta cú BC = AC 2 - AB 2 = 2a .
Din tớch hỡnh ch nht ABCD l S ABCD = AB.BC = 2a 2 .
Vy VABCD. A ' B ' C ' D ' = S ABCD .AA ' = 2a 3 . Chn A.

D

C
B


A

Cõu 62. ( CHNH THC 2016 2017) Cho khi lng tr ng ABC.AÂB ÂC Â cú ỏy ABC
ã = 1200 , mt phng (AB ÂC Â) to vi ỏy mt gúc 600.
l tam giỏc cõn vi AB = AC = a, BAC
Tớnh th tớch V ca khi lng tr ó cho.
3a 3
3a 3
9a 3
a3
.
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
.
.
.
4
8
8
8
đ tam
Li gii. Gi M l trung im ca on thng B ÂC Â. Tam giỏc ABC cõn ti A ắ ắ
giỏc AÂB ÂC Â cõn ti AÂắ ắ
đ AÂM ^ B ÂC Â.
ã
0
ã Â.
Do ú 60 = (AB ÂC Â),(AÂB ÂC Â) = (ã

AM ; AÂM ) = AMA
A
C
Tam giỏc vuụng A ÂB ÂM , cú
ã ÂB Â= a.cos 600 = a .
B
A ÂM = A ÂB Â.cos MA
2
Tam giỏc vuụng AA ÂM , cú
ã Â= a .tan 600 = a 3 .
AAÂ= AÂM .tan AMA
C'
A'
2
2
2
1
ã = a 3.
Din tớch tam giỏc SD ABC = AB.AC .sin BAC
M
2
4
B'
3a 3
Vy VABC . AÂB ÂC Â = SD ABC .AA Â=
. Chn A.
8

Cõu 63. Cho hỡnh lng tr ng ABC .A ' B ' C ' cú ỏy l tam giỏc cõn, AB = a v
ã

BAC
= 120 0 , gúc gia mt phng (A ' BC ) v mt ỏy (ABC ) bng 600 . Tớnh theo a th tớch
khi lng tr.
a3
A. V =
.
8

B. V =

3a 3
.
8

C. V =

3a 3
.
4

D. V =

3a 3
.
24


Lời giải. Tương tự như bài 62. Chọn B.
Câu 64. Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' . Biết rằng mặt
phẳng (A ' BC ) hợp với đáy (ABCD ) một góc 600 , A ' C hợp với đáy (ABCD ) một góc 30 0

và AA ' = a 3 .

2a 3 6
.
C. V = 2a 3 2 .
3
·
·
·' CA;
Lời giải. Ta có 300 = A
' C ,(ABCD ) = A
' C , AC = A
A. V = 2a 3 6 .

D. V = a3 .

B. V =

C'

B'

·
·' BA .
60 = (·
A ' BC ),(ABCD ) = A
' B, AB = A
0

Tam giác vuông A ' AB , có AB =


AA '
= a.
·' BA
tan A

Tam giác vuông A ' AC , có AC =

AA '
= 3a .
·' CA
tan A
2

D'

A'

B

C

2

Tam giác vuông ABC ,có BC = AC - AB = 2a 2 .
Diện tích hình chữ nhật SABCD = AB.BC = 2a 2 2 .

D
A
Vậy VABCD. A ' B ' C ' D ' = SABCD .AA ' = 2a3 6. Chọn A.

Câu 65. Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 ,
·
BAD
= 120 0 . Góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng (ADD ' A ') bằng 30 0 . Tính thể tích

V của khối lăng trụ.

6
6
.
C. V =
.
D. V = 3 .
6
2
·
·
= 120 0 , suy ra ADC
= 60 0 . Do đó tam giác ABC và
Lời giải. Hình thoi ABCD có BAD
ìï C ' N ^ A ' D '
ïï
ADC là các tam giác đều. Vì N là trung điểm A ' D ' nên í
.
ïï C ' N = 3
ïïî
2
·
· ', AN = C·' AN .
Suy ra 300 = AC

',(ADD ' A ') = AC
C'
D'
C 'N
3
A'
B'
Tam giác vuông C ' NA , có AN =
= .
·
2
tan C ' AN
N
A. V =

6.

B. V =

Tam giác vuông AA ' N , có AA ' =

AN 2 - A ' N 2 =

· =
Diện tích hình thoi S ABCD = AB 2 .sin BAD
Vậy VABCD. A ' B ' C ' D ' = S ABCD .AA ' =

2.

3

.
2

6
. Chọn C.
2

C
B

D
A

Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 66. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh đều bằng 2a , đáy ABCD là hình
vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính
theo a thể tích V của khối hộp đã cho.


4a 3 2
8a 3
.
B. V =
.
C. V = 8a3 .
3
3
Lời giải. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ,
suy ra A ' O ^ (ABCD ).


D. V = 4a 3 2 .

A. V =

Vậy VABCD. A ' B ' C ' D ' = SD ABCD .A ' O = 4a

3

D'

A'

Tam giác vuông A ' OA , có

A ' O = AA '2 - AO 2 = 4a 2 - 2a 2 = a 2 .
Diện tích hình vuông S ABCD = 4 a 2 .

C'

B'

B

2. Chọn D.

C

O

A

D
Câu 67. Cho lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên
AA ' = a , hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng (ABCD ) trùng với trung điểm H
của AB . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

a3 3
a3 3
.
B. V =
.
6
2
Lời giải. Theo giả thiết, ta có A ' H ^ AB .
A. V =

Tam giác vuông A ' HA , có A ' H =

C. V = a3 .

AA '2 - AH 2 =

D. V =

a 3
.
2

C'

D'


A'

Diện tích hình vuông S ABCD = a 2 .
Vậy VABCD. A ' B ' C ' D '

a3
.
3
B'

B

a3 3
= S ABCD .A ' H =
. Chọn B.
2

H

C

D
A
Câu 68. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC = 2a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm H của cạnh

AB và A ' A = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
a3 6
a3 6

A. V = a 3 3 .
B. V =
.
C. V =
.
6
2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra BA = BC = a 2.
a 6
Tam giác vuông A ' HA , có A ' H = AA '2 - AH 2 =
.
2
1
Diện tích tam giác ABC là SD ABC = BA.BC = a 2 .
2
a3 6
Vậy V = SD ABC .A ' H =
. Chọn C.
2

D. V = 2a 3 2 .
C'

A'
B'

A

C
H

B

Câu 69. Cho lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông
góc của điểm A ' lên mặt phẳng (ABC ) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC , biết A ' O = a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V =

a3 3
.
12

B. V =

a3 3
.
4

C. V =

a3
.
4

D. V =

a3
.
6


a2 3
. Chiều cao khối lăng trụ A ' O = a .
4
a3 3
Vậy thể tích khối lăng trụ V = SD ABC .A ' O =
. Chọn A.
4
Lời giải. Diện tích tam giác đều SD ABC =


Câu 70. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh 2a 2 và A ' A = a 3 .
Hình chiếu vuông góc của điểm A ' trên mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm G của tam
giác ABC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
a3
2a 3
a3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
2
3
6
Lời giải. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, BC .
Khi đó G = AN Ç CM là trọng tâm D ABC .
Theo giả thiết, ta có A ' G ^ (ABC ).
Tam giác ABC đều cạnh 2a 2 nên suy ra
2

2
AN = a 6 ¾ ¾
® AG = AN = a 6.
3
3
Tam giác vuông A ' GA , có A ' G =

D. V = 2a3 .
C'

A'
B'

A

A ' A2 - AG 2 =

a 3
.
3

C
G

M

N

B
3

Diện tích tam giác ABC là SD ABC = 2a 2 .
= 2a 2 3.
4
Vậy thể tích khối lăng trụ VABC . A ' B ' C ' = S ABC .A ' G = 2a 3 . Chọn D.
Câu 71. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại
A , AB = AC = a . Biết rằng A ' A = A ' B = A ' C = a .
2

(

)

a3
a3 2
a3 2
a3 3
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
2
12
4
4
Lời giải. Gọi I là trung điểm BC . Từ A ' A = A ' B = A ' C = a , suy ra hình chiếu vuông góc
của A ' trên mặt đáy (ABC ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .


A. V =

Suy ra A ' I ^ (ABC ).
Tam giác ABC , có BC =

B'
2

C'

2

AB + AC = a 2.

A ' B 2 - BI 2 =

Tam giác vuông A ' IB , có A ' I =
Diện tích tam giác ABC là SD ABC =
Vậy VABC . A ' B ' C ' = SD ABC .A ' I =

a

3

2
4

A'

a 2

.
2

1
a2
AB.AC =
.
2
2

I

B

. Chọn C.

C

A

Câu 72. Cho lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = 1, AC = 2 ;
cạnh bên AA ' =

2 . Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt đáy (ABC ) trùng với chân

đường cao hạ từ B của tam giác ABC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

7
21
21

.
B. V =
.
C. V =
.
4
4
12
Lời giải. Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong D ABC .
Theo giả thiết, ta có A ' H ^ (ABC ).
A. V =

D. V =

A'

Tam giác vuông ABC , có

BC =

AC 2 - AB 2 =

3 ; AH =

3 21
.
4
C'

B'


AB 2 1
= .
AC
2
A

H

C
B


Tam giác vuông A ' HA , có A ' H =

AA '2 - AH 2 =

Diện tích tam giác ABC là SD ABC =

1
3
AB.BC =
.
2
2

7
.
2


21
. Chọn A.
4
Câu 73. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A¢B ¢C ¢ biết thể tích khối chóp A.BCB ¢C ¢
bằng 2a 3 .
5a 3
.
A. V = 6a3 .
B. V =
C. V = 4a3 .
D. V = 3a3 .
2
1
Lời giải. Ta có thể tích khối chóp VA. A ¢B ¢C ¢ = VABC . A ¢B ¢C ¢.
3
2
3
3
® VABC . A ¢B ¢C ¢ = VA.BCB ¢C ¢ = .2a 3 = 3a 3 . Chọn D.
Suy ra VA. BCB ¢C ¢ = VABC . A ¢B ¢C ¢ ¾ ¾
3
2
2
Câu 74. Cho hình hộp ABCD.A¢B ¢C ¢D ¢ có thể tích bằng 12cm3 . Tính thể tích V của khối tứ
diện AB ¢CD ¢.
A. V = 2cm3 .
B. V = 3cm3 .
C. V = 4cm3 .
D. V = 5cm3 .
Lời giải. Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.

Thể tích khối hộp VABCD. A ' B ' C ' D ' = S .h = 12cm 3 .
C'
D'
Chia khối hộp ABCD.A¢B ¢C ¢D ¢ thành khối tứ diện
B'
A'
AB ¢CD ¢ và 4 khối chóp: A.A¢B ¢D ¢, C.B ¢C ¢D ¢, B ¢.BAC ,
Vậy VABC . A ' B ' C ' = SD ABC .A ' H =

D ¢.DAC (như hình vẽ). Ta thấy bốn khối chóp này có thể
1 S
tích bằng nhau và cùng bằng . .h. Suy ra tổng thể tích
3 2
2
4 khối chóp bằng V ' = Sh.
3
Vậy thể tích khối tứ diện VAB ¢CD ¢ = Sh -

D
C
B

A

2
1
1
Sh = Sh = .12 = 4cm 3 . Chọn C.
3
3

3

Câu 75. Cho lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB = a ,

AD = a 3 ; A ' O vuông góc với đáy (ABCD ). Cạnh bên AA ' hợp với mặt đáy (ABCD ) một
góc 450 . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V =

a3 3
.
6

B. V =

a3 3
.
3

C. V =

a3 6
.
2

D. V = a 3 3 .


Lời giải. Vì A ' O ^ (ABCD ) nên

B'


·
· ', AO = A
·' AO .
450 = AA
',(ABCD ) = AA

C'
D'

A'

Đường chéo hình chữ nhật

AC
= a.
2
Suy ra tam giác A ' OA vuông cân tại O nên
A ' O = AO = a .
Diện tích hình chữ nhật SABCD = AB.AD = a2 3 .
AC =

AB 2 + AD 2 = 2a Þ AO =

Vậy VABCD. A ' B 'C ' D ' = SABCD .A ' O = a3 3. Chọn D.

B

C
O


A

D

Câu 76. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2 . Hình
chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trung điểm H của BC . Góc tạo bởi
cạnh bên AA ' với mặt đáy là 450 . Tính thể tích khối trụ ABC .A ' B ' C ' .
A. V = 3 .

B. V = 1 .

C. V =

6
.
8

D. V =

Lời giải. Tam giác ABC đều cạnh bằng 2 nên

AH =

A'

3 . Vì A ' H ^ (ABC ) nên hình chiếu vuông

góc của AA ' trên mặt đáy


6
.
24
B'

(ABC ) là AH . Do đó

C'

·',(ABC ) = AA
· ', AH = A
·' AH . Suy ra tam
450 = AA
giác A ' HA vuông cân tại H nên A ' H = HA =
Diện tích tam giác đều ABC là SD ABC = 3 .
Vậy V = SD ABC .A ' H = 3. Chọn A.

3.

A

C
H
B

Câu 77. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC là
tam giác vuông cân tại A , cạnh AC = 2 2 . Biết AC ¢ tạo với mặt phẳng (ABC ) một góc

600 và AC ¢= 4 . Tính thể tích V của khối đa diện ABCB ¢C ¢.
16

8
8 3
.
.
B. V =
C. V =
.
3
3
3
Lời giải. Gọi H là hình chiếu của C ¢ trên mặt phẳng (ABC ) .

A. V =

D. V =

B'

C'

Suy ra AH là hình chiếu của AC ¢ trên mặt phẳng (ABC ) .

·¢,(ABC ) = (·
· ¢.
Do đó 600 = AC
AC ¢, AH ) = HAC
· ¢= 2 3.
Tam giác vuông AHC ¢, có C ¢H = AC ¢.sin HAC
Thể tích khối lăng trụ VABC . A¢B ¢C ¢ = SD ABC .C ¢H = 8 3.
Suy ra thể tích cần tính VABCB ¢C ¢ =


16 3
.
3

A'

C

2
16 3
VABC . A ¢B ¢C ¢ =
. Chọn D.
3
3

B

H
A

Câu 78. Tính thể tích V của một khối lăng trụ biết đáy có diện tích S = 10 cm 2 , cạnh bên tạo
với mặt phẳng đáy một góc 600 và độ dài cạnh bên bằng 10cm.
A. V = 100cm3 . B. V = 50 3cm3 .
C. V = 50cm3 .
Lời giải. Xét khối lăng trụ ABC.A¢B ¢C ¢ có đáy là tam giác ABC .

D. V = 100 3cm3 .



Gọi H là hình chiếu của A ¢ trên mặt phẳng
(ABC ) Þ A¢H ^ (ABC ). Suy ra AH là hình chiếu

A'

B'

của AA ¢ trên mặt phẳng (ABC ). Do đó

C'

·¢,(ABC ) = (·
·¢AH .
600 = AA
AA¢, AH ) = A
A

Tam giác A ¢AH vuông tại H , có
·¢AH = 5 3.
A ¢H = AA ¢.sin A
Vậy V = SD ABC .A¢H = 50 3 cm3 . Chọn B.

B
H
C

Câu 79. Cho lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và
·
ABC
= 120 0 . Góc giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy bằng 600 . Đỉnh A ' cách đều các điểm

A, B, D . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
3a 3
a3 3
a3 3
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V = a 3 3 .
2
6
2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra D ABD đều cạnh a .
Gọi H là tâm tam giác ABD . Vì A ' cách đều các điểm A, B, D nên A ' H ^ (ABD ) .
B'
·
· ', HA = A
·' AH .
Do đó 600 = AA
',(ABCD ) = AA

A. V =

Ta có OH =

A'

1
1 a 3 a 3

.
AO = .
=
3
3 2
6

C'

D'

·' AH = a .
Tam giác vuông A ' AH , có A ' H = AH .tan A

Diện tích hình thoi S ABCD = 2SD ABD =

a2 3
.
2
3
. Chọn C.

B

C
a3
O
H
Vậy VABCD. A ' B ' C ' D ' = S ABCD .A ' H =
D

A
2
Câu 80. Cho hình hộp ABCD.A¢B ¢C ¢D ¢ có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a, góc
·
ABC
= 60 0 . Biết rằng A¢O ^ (ABCD ) và cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 600. Tính thể
tích V của khối đa diện OABC ¢D ¢.
a3
a3
.
A. V =
B. V =
.
12
6

C. V =

a3
.
8

Lời giải. Từ giả thiết, suy ra tam giác ABC đều cạnh a Þ OA =

AC a
= .
2
2

·

·¢AO.
¢,(ABCD ) = (·
Vì A¢O ^ (ABCD ) nên 600 = AA
AA¢, AO) = A

D'

A'

·¢AO = a 3 .
Tam giác vuông A¢AO , có OA¢= OA.tan A
2
3a 3
.
Suy ra thể tích khối hộp V = S ABCD .OA ¢=
4
Ta có V = VO. ABC ¢D ¢ + VAA¢D ¢.BB ¢C ¢ + VC ¢.BOC + VD ¢. AOD + VO.CDD ¢C ¢
1
1
1
1
V a3
= VO. ABC ¢D ¢ + V + V + V + V Þ VO. ABC ¢D ¢ = = . Chọn C.
2
12
12
6
6
8


3a 3
.
4

D. V =

C'

B'
A

D
O

B

C