A. TRỌNG TÂM
Cực trị của hàm số.
1). Định lí 1. Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên K hoặc

K \  x0  (h  0) .

a) f ( x )  0 trên ( x0  h; x0 ) và f ( x )  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm CĐ của f ( x ) .
b) f ( x )  0 trên ( x0  h; x0 ) và f ( x )  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm CT của f ( x ) .
Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
Qui tắc 1:Tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1).
 Tìm tập xác định.
 Tính f ( x ) . Tìm các điểm tại đó f ( x )  0 hoặc f ( x ) không xác định.
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị.
2). Định lí 2. Giả sử y  f ( x) có đạo hàm cấp 2 trong ( x0  h; x0  h) h  0 .
a) Nếu f ( x0 )  0, f ( x0 )  0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f ( x0 )  0, f ( x0 )  0 thì x0 là điểm cực đại.
Qui tắc 2 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2).
 Tìm tập xác định.
 Tính f ( x ) . Giải phương trình f ( x )  0 và kí hiệu xi là nghiệm
 Tìm f ( x) và tính f ( xi ) .
 Dựa vào dấu của f ( xi ) suy ra tính chất cực trị của xi .
3). Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho trước.
Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1 hoặc quy tắc 2
Dạng 2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Phương pháp:
 Tìm tập xác định D của hàm số

 Tính f ( x )
 Hàm số đạt cực trị tại x0  D  f ( x ) đổi dấu khi qua x0
Một số chú ý:
 Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d , a  0 có cực trị (cực đại và cực tiểu)  y   0 có hai nghiệm phân biệt
 Xét hàm số trùng phương y  ax 4  bx  c, a  0

y   4ax 3  2bx  2 x (2ax 2  b),

x  0
y   0  
2
 2ax  b  0

(1)

+ Hàm số có ba cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0  ab  0
+ Hàm số có một cực trị  (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm x  0

 ab  0

b  0
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Cho hàm số y   x3  3 x 2  1 . Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
Bài 2. Cho hàm số y   x 4  3x 2  1 . Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

Bài 3. Cho hàm số y 

x
. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
x 1


1
Bài 4. Cho hàm số y   x3  x 2  x  4 . Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
3
2 3
2
x  mx 2  2(3m 2 1) x  có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho
3
3
x1 x2  2( x1  x2 )  1 (ĐH KD-2012)

Bài 5. Tìm m để hàm số: y 

1
Bài 6. Tìm m để hàm số: y  x3  (2m 1) x 2  (1 4m) x  1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho
3
3x1  x2  4
Bài 7. Tìm m để hàm số: y  2 x3  9mx 2  12m 2 x  1 có hai điểm cực đại cực tiểusao cho x 2CD  xCT
(Chuyên SP).
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Bài 8. Tìm m để hàm số: y  x 3  (1 2m) x 2  (2  m) x  m  2 có hai điểm cực đại, cực tiểusao cho
hoành độ cực tiểu bé hơn 1.( THPT Cẩm Bình)
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số: y  2 x3  3( m  3) x 2  11  3m có hai điểm cực trị A, B sao cho ba
điểm A, B, C(0;-1) thẳng hàng
Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số: y  x 3  3mx 2  3(m 2 1) x  m3  m có hai điểm cực đại, cực tiểu
A, B sao cho hai điểm A, B cùng với điểm I(1;1) tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp bằng


5 . (THPT Nghi Sơn)

Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số: y  2 x3  3(m  1) x 2  6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường
thẳng AB vuông góc với d: y=x+2 (ĐH KB-2013)
Bài 12

Bài 13
Bài 14

Bài 15

Bài 16

Bài 17

Bài 18

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Bài 19

Bài 20

Bài 21

Bài 22

TRẮC NGHIỆM
Câu 1:


(THPT AMSTERDAM HÀ NỘI). Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
điểm cực trị?

Câu 2:

A. m

0

B. m

C. m   \ {0}

0

y  mx 4  m3 x 2  2016

có 3

D. Không tồn tại giá trị của m

y   x3  (2m  1) x 2   m 2  1 x  5. Với giá trị nào của tham số m thì

(THPT AMSTERDAM HÀ NỘI) Cho hàm số

đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung?
A. m
Câu 3:


1

B. m

2

C.  1 

(THPT AN LÃO – BÌNH ĐỊNH) Hàm số y 

D. m

 2 hoặc m  1

1 3
x  m x 2   2m  1 x  1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
3

A.Với mọi m  1 thì hàm số có hai điểm cực trị.

B.Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.

C.Với mọi m  1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
Câu 4:

m 1

(THPT NGÔ SĨ LIÊN – BẮC GIANG) Cho hàm số

D.Với mọi m  1 thì hàm số có cực trị.


y  f ( x)   m  1 x 4   3  2m  x 2  1 . Hàm số f ( x ) có đúng một

cực đại khi và chỉ khi:
A.

Câu 5:

m  1

B. 1  m 

3
2

C. m 

3
2

D. m 

3
.
2

(THPT NGÔ SĨ LIÊN – BẮC GIANG) Hàm số y  x  3 x  mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi :
3

A.


m0

B.

m0

2

C.

m0

D.

m0

mx 2  2 x  m 1
. Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này
2x 1
1
vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất khi m bằng
A. 0 .
B. 1 .
C.  1 . D. 2 .
y

Câu 6:

(CHUYÊN KHTN HÀ NỘI) Cho hàm số


Câu 7:

(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số y 
tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại
A. m  1
B. m  0

x  2 là:

1 3
x   m  1 x 2   m 2  2m  x  1 ( m là tham số). Giá trị của
3

C.

m2

D.

m3

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Câu 8:

(SỞ GD BÌNH ĐỊNH) Để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = (m+2)x3 +3x2 + mx - 5 có hoành độ dương
thì giá trị của m là :
A. 3  m  2 .

B. 2  m  3 . C. 1  m  1 . D. 2  m  2 .

Câu 9:

(SỞ GD BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số
A. 0  m  2

y   m  2  x3  mx  2. Với giá trị nào của m thì hàm số không có cực trị?

B. m  1

C. 0  m  2

(SỞ GD BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số y  x  2mx  4m  4 (m là tham số thực). Xác định m để hàm số đã
4

Câu 10:

2

A. m  1

cho có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

y

A. (SỞ GD BÌNH ĐỊNH) Tìm m để hàm số
Câu 11:

D. m  1


Cho hàm số

B. m  3

x 2  mx  1
đạt cực đại tại x  2. A. 1 B. 3
xm

Cho hàm số

B. m 

A. m  2

1
2

 C  song song với đường thẳng d ?
D. m 

C. m  1

(THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA) Số cực trị của hàm số y  x  x là
A. Hàm số không có cực trị
B. Có 3 cực trị
C. Có 1 cực trị
D.Có 2 cực trị

Câu 14:


Cho hàm số y  x  3mx  1 tại điểm

3

ABC cân tại A.

1
.
2

B.

m  0.

C.

1
m  0 hoặc m  .
2

D.

m  0.

m để hàm số y  ( m  1) x 4  2( m  2) x 2  1 có ba cực trị.
C. 1  m  2.
D. m  2.

B. 1  m  2.


(HẬU LỘC 1 – THANH HÓA) Tìm

m

để hàm số y 

B. m  2 .

1 3
x   m  1 x 2   m 2  3m  2  x  5 đạt cực đại tại x  0 .
3
C. m  1 .
D. m  1 hoặc m  2 .

(HẬU LỘC 1 – THANH HÓA) Đồ thị hàm số y   x  2 mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều khi
4

A. m  0 hoặc
Câu 18:

2

(THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA) Tìm tất cả các giá trị của

A. m  6 .
Câu 17:

A. m 


3
4

A  2;3 . Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị B và C sao cho

3

A. m  1.
Câu 16:

D. 3

D. m  1, y  2 x  m

Câu 13:

Câu 15:

C. 1

y  x 3  3x 2  x  1  C  và đường thẳng d : 4mx  3 y  3 ( m là tham số). Với giá trị nào của m thì

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

tam giác

D. m  7

y  x3  3mx 2  3  m2  1 x  m3 . Điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và phương trình đường


thẳng đi qua hai điểm cực trị là
A. m   , y  2 x  m B. m   , y  2 x  m C. m  1, y  2 x  m
Câu 12:

C. m  5

m  27 .

B. m  0 hoặc m 

2

3

C. m 

3.

3

3.

D. m  0 .

(THPT HÒA BÌNH – BÌNH ĐỊNH) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y   x  3mx  1 có
3

OAB tạo thành tam giác vuông tại O , O là gốc tọa độ.
1
B. m  0 .

C. m  0 .
D. m  .
2

hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác
A. m  1 .
Câu 19:

Câu 20:

(THPT KIẾN AN) Tìm

m

tích bằng 1.

A. m  1

để đồ thị hàm số
B.

y  x4  2mx2  2m2  4 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện

m  1

C.

m

5


1
4

D.

m

1
4

5

(THPT LỤC NGẠN – BẮC GIANG) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y   x  2 mx  1 có
4

điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa độ

O.

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

2

3


A. m 

1  5

1  5
hoặc m 
.
2
2

C. m  1 hoặc
Câu 21:

m  1.

m

bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số y  x  2mx  1 có ba
4

C. m  4 .

(THPT LÝ TỰ TRỌNG – BÌNH ĐỊNH) Gọi x1 ; x2 là hai điểm cực trị của hàm số
A. m  0 . B. m  

x12  x2 2  x1 x2  7 là:

(THPT NGÔ GIA TỰ) Với giá trị nào của tham số
đại tại

Câu 24:

D. m  0 hoặc


A  0;1 , B , C thỏa mn BC  4 ? A. m  4 . B. m  2 .

Giá trị của m để
Câu 23:

m

(THPT LÝ TỰ TRỌNG – BÌNH ĐỊNH) Giá trị của tham số
điểm cực trị

Câu 22:

1  5
.
2

m

1  5
.
2

B. m  1 hoặc

x


3

A.Không tồn tại giá trị


2.

y  x 3  3mx 2  3  m 2  1 x  m3  m .
1
.
2

C. m  

D. m  2 .

m thì hàm số y  2(m 2  3)sin x  2m sin 2 x  3m  1 đạt cực

B. m  1.

m.

9
.
2

D. m  

C.

m  3

(THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM – BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số y 


D. m 

3, m  1.

2 3
x  ( m  1) x 2  ( m 2  4 m  3) x  m có cực trị là
3

x1 , x2 .Giá trị lớn nhất của biểu thức A  2 x1 x2  4( x1  x2 ) bằng:

A.0.

B.8.

C.9.

D.  .

Câu 25:

(THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM – BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số y  x  3 x  m . (m là tham số). Với giá trị nào của m thì đồ
thị hàm số hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành ?
A. m  4 .
B. 0  m  4 .
C. m  4 .
D. m  0; m  4 .

Câu 26:

(THPT NGUYỄN DIỆU – BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số


3

thỏa
Câu 27:

x A2  xB2  2

A. m

 1

B. m

y

2

(THPT QUANG TRUNG - BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số

2

1 3
x  mx 2  x  m  1 . Tìm m để hàm số có 2 cực trị tại A, B
3
C. m  3
D. m  0

y  x3  3  m  1 x 2  3  m  1 x  1 . Với giá trị nào sau đây của


tham số m thì hàm số có hai cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị qua
A. m  1
Câu 28:

B. m  3

C. m  0

A. m  0

(THPT TRẦN QUANG DIỆU – BÌNH ĐỊNH) Hàm số
mãn

x12  x22  2 khi:



A. m   7; 1 .
Câu 30:

D.

m  3

(THPT TUY PHƯỚC – BÌNH ĐỊNH) Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số
điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân:

Câu 29:

M  0; 3


B.

m   7; 1 .

(THPT VĨNH THANH – BÌNH ĐỊNH) Cho hàm số
đồ thị
A.

y  x 4  2  m  1 x 2  m2 có 3

B. m  1; m  0

C.

m  1

y  2 x3  ( m  1) x 2  2(m  4) x  1 có 2 điểm cực trị x1 , x2 thỏa
C.

m   7; 1 .

D.

m   7; 1 .

y  x 4   3m  1 x 2  2m3  m 4  5 có đồ thị  Cm  . Xác định m để

 Cm  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.


1  2 5 16
.
3

B.

2 5 16
.
3

D. m  1

C.

2 5 16  1
.
3

D.

2 3 16  1
.
3

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng


Câu 31:

(THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC) Cho hàm số y  mx   2m  1 x  1 . Tìm tất cả các giá trị của

4

A. 

điểm cực đại.
Câu 32:

(SGD VŨNG TÀU) Cho hàm số

1
m0
2

2

B. m  

1
2

C. 

1
m0
2

m

để hàm số có một


1
2

D. m  

y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên  a; b  và x0   a; b  . Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng?

f   x0   0 và f   x0   0 .

A. Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm x0 thì
B. Nếu

f   x0   0 và f   x0   0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

C. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì
D.Nếu
Câu 33:

f   x0   0 và f   x0   0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.

(THPT NINH GIANG – HẢI DƯƠNG) Tìm các giá trị của tham số
có một cực đại và không có cực tiểu

m  0
A. 
1.
m 


2
Câu 34:

f   x0   0 và f   x0   0 .

m

để đồ thị hàm số y  mx  (2 m  1) x  m  2 chỉ
4

m  0
C. 
1.
m 

2

B. m  0 .

(THPT HÀ HUY TẬP – HÀ TĨNH) Tìm các giá trị của

2

1
.
2

D. m 

để đồ thị hàm số y  x  2mx  m  1 có ba điểm cực trị,

4

m

O tạo thành một tứ giác nội tiếp được?
B. m  1 .
C. m  1 .

2

2

đồng thời ba điểm này cùng với gốc
A. m 
Câu 35:

3

3.

(THPT HÀ HUY TẬP – HÀ TĨNH) Tìm các giá trị của
A. 2  m  1 .

tiểu?

B. m  2 .

m

1

( m  2) x 4  ( m  1) x 2  5 có đúng một cực
6
D. m  2 .

để hàm số y 

C. m  1 .

y  x 2  5x  4 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1 . B. 3 .

Câu 36:

(SGD BẮC NINH) Hàm số

Câu 37:

(CHUYÊN THÁI BÌNH) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

a

sao cho hàm số y 

x1 , x2 thỏa mãn: ( x12  x2  2a)( x22  x1  2a )  9 .
A. a  2.
B. a  4.
C. a  3.
Câu 38:

Câu 39:


Câu 40:

y  x3  ax 2  bx  c và giả sử A , B
Khi đó, điều kiện nào sau đây cho biết AB đi qua gốc tọa độ O ?
A. 2b  9  3a.
B. c  0.
C. ab  9c.
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG – HÀ NỘI) Cho hàm số

m

C. 0 .

a  1.

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
D. a  0.

y  2 x 3   2m  1 x 2   m 2  1 x  2 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá
B. 5 .

để hàm số đã cho có hai điểm cực trị. A. 4 .

C. 3 .

D. 6 .

m

y  mx   m  2  x  2 có hai cực tiểu và một cực đại.


A. m  

2

D. 2 .

1 3 1 2
x  x  ax  1 đạt cực trị tại
3
2

(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG – HÀ NỘI) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
4

Câu 41:

D.

(THPT ĐỨC THỌ - HÀ TĨNH) Chohàm số

trị nguyên của tham số

D. m  1 .

sao cho hàm số

2

2 hoặc 0  m  2.


B. 

2  m  0. C. m  2.

D. 0  m 

2.

(THPT PHẠM VĂN ĐỒNG – PHÚ YÊN) Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2( m  1) x  2m  5 có ba điểm cực trị lập
thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120o?
4

A.

m  1.

B.

m  1

1
.
3

C.

m  1

1

.
3

3

2

D.

m  1

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

1
.
3

3


Câu 42:

(THPT PHẢ LAI) Cho hàm số y

 x 4  2  m  2  x 2  m2  5m  5 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có 3 điểm

cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng
A.

Câu 43:


m  2 .

B.

4 2?

m  1.

C.

 m  7
m  1 .


D.

m  7 .

1 4 1 2
x  x  1 có đồ thị  C  . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm cực đại
4
2
của  C  và có hệ số góc k . Tìm k để tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của  C  đến d là nhỏ nhất.
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hàm số y 

A. k  

1
.

16

B. k  

1
.
4

C. k  

1
.
2

D.

k  1.

Câu 44:

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x  2mx  4 có
điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ
A. m  2.
B. m  2.
C. m  2 hoặc m  2. D. Không có m nào.

Câu 45:

(THPT TIÊN LÃNG – HẢI PHÒNG) Tìm tất cả các giá trị của tham số


4

đại, cực tiểu và
A.

m  0.

m

để hàm số y 

m  6 .

C.

m  6;0 .

D.

3

1 3 1
x   m  5  x 2  mx có cực
3
2

xCĐ  xCT  5.
B.

2


m  0; 6 .

Nếu các bạn cần file word liên hệ: mail; Miễn phí
Chúc các bạn vui vẻ

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng