Lời cảm ơn
Để hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự giúp đỡ tận
tình, tỉ mỉ của Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cũng như các
thầy, cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2.
Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc
nhất tới thầy Bùi Kiên Cường, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ
bảo em trong suốt quá trình làm khoá luận. Đồng thời em cũng xin
chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa đã dạy dỗ em trong
bốn năm qua để em hoàn thành bài khoá luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên
Khổng Thị Thuý Hồng.


Kho¸ luËn tèt
nghiÖp

Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n

Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập, nghiên
cứu ở bậc Đại học.
Bên cạnh đó em cũng nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy
cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình của
thầy Bùi Kiên Cƣờng.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nội suy toán tử “ không có
sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên

Khổng Thị Thuý Hồng

2


MỤC LỤC
Phần mở đầu…………………………………………………………….

1

Một số kí hiệu sử dụng trong luận văn………………………………….

2

Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị………………………

3

Đ1. Không gian định chuẩn………………………………………..

3

Đ2. Không gian Hilbert……………………………………………

5

Đ3. Không gian

Lp(


n

) ………………………………………......

Đ4. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh………………

6
9

Đ5. Tích chập……………………………………………………
12
Chương 2. Phép biến đổi Fourier……………………………………….
Đ1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1

n

(
Đ2. Phép biến đổi Fourier trong không gian

S(

Đ3. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2

(

n

n


) …………......

15
15

) …………….......19
) ……………..

Đ4. Hàm suy rộng và phép biến đổi Fourier
của hàm suy rộng tăng chậm……………………………………
Chương 3. Nội suy toán tử ……………………………………………..

23

25
34

3.1 Định lý Riesz – Thorin……………….

34

3.2 Phép nội suy của họ các toán tử giải tích……………………

40

3.3 Phương pháp thực………………….…………………………..

41


Kết luận…………………………………………………………………

45

Tài liệu tham khảo………………………………………………………

46


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giả sử Xt, 0 ≤ t ≤ 1 là một họ các không gian định chuẩn, T là
ánh xạ tuyến tính từ Xt vào Y thoả mãn T liên tục đối với t = 0 và t = 1.
Khi đó nội suy toán tử chính là việc nghiên cứu tính liên tục của T trên các
không gian
Xt, t ∈ ( 0,1) . Đây là một vấn đề rất lý thú của Giải tích. Để có thể nghiên
cứu
vấn đề này, chúng ta cần phải nắm được về biến đổi Fourier, tích chập, hàm
suy rộng, và lý thuyết không gian Lp , …
Thời gian qua, em đã học được chuyên đề “Một số phép biến đổi tích
phân”, qua đó, chúng em đã được làm quen với một số vấn đề cơ sở của Giải
tích hiện đại. Bởi vậy, khi được giới thiệu đề tài khoá luận tốt nghiệp, em thấy
rất phù hợp với đề tài “Nội suy toán tử”. Vì vậy, em đã chọn đề tài này để
thực hiện khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về Giải tích đặc biệt là phép biến đổi Fourier trong một số không gian và
phép nội suy toán tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các đặc trưng, các tính chất của phép biến đổi Fourier trong

không gian L
( 1 n )S,( n )(, L2 n ) và của hàm suy rộng tăng chậm.
Nghiên cứu về định lý nội suy Riesz – Thorin và các ứng dụng của nó.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 3 chương.
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị.
Chương 2. Phép biến đổi Fourier.
Chương 3. Nội suy toán tử.


MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
•

∞

C

( ) : Không gian các hàm khả vi vô hạn trong 
n

n

• C∞
0

n


(

) : Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact

□n.

trong

• C0

n

(

) : Không gian các hàm liên tục có giá compact

□n.

trong

• D(

n

• D′(

) : Không gian các hàm cơ bản.

n


): Không gian các hàm suy rộng.

• Tx f ( y ) f ( x +
=
y),
•

.

( My f
)( x ) =

• (Da f
=

n

y∈ , x∈

n

x∈

n

.

.

eixy f ( x ) ,


)( x ) f ( ax) , a∈

n

.


α

 α  ∂ α
∂
∂
• ∂ =  
, α = (α1,..., αn )
...



∂x
∂x

1 

2 
 ∂xn = 1 α2 + α + ... +

α

1


2

n

α

α

• α
D

∂ .


= 1
α
−
 
 i

• h.k.n: Hầu khắp nơi.

α .


• đpcm: Điều phải chứng minh.


CHƢƠNG 1


MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
Đ1. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

1.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.1
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là
không gian tuyến tính X trên trường P ( P =  hoặc P =  ) cùng với
một ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thoả
mãn các
điều kiện sau đây:
1)
(∀x∈
X) x

(∀x∈
αx
X )( ∀α ∈P )
2)

3)
(∀x,y
∈ X)

(kí hiệu phần tử không là θ );

≥ x =
0, 0 ⇔
x= θ


x
+ y
≤

=

α

x;

x+ y.

Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2
Ta gọi là một nửa chuẩn trên không gian vectơ X, nếu với mỗi x thuộc X,
tồn tại số thực x thoả mãn :
1)

(∀x∈

X) x


≥ 0;

(∀x∈
αx
X )(∀α ∈P )
2)


3)
(∀x,y
∈ X)

x
+ y
≤

=

α

x ;

x+ y.

Định lý 1.1.1
Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vectơ bất kì x, y ∈X, ta
đặt:
d ( x, y) = x − y .


Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.3
Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x
∈X
nếu lim

n→∞


xn − = 0 . Kí hiệu: lim x
= x hay
x
n
n→∞

xn → x (n
→ ∞) .

Định nghĩa 1.1.4
Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu:
lim

m,n→∞

xn − = 0.
xm

Định nghĩa 1.1.5
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản
trong X đều hội tụ.
1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.1.6
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P =  hoặc P =
□ ). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ
A thoả mãn các điều kiện:

(∀x,
x′ ∈ X )

1)

A (x + x′) = Ax + Ax′ ;

(∀x∈
X)( ∀α ∈P )
2)

A ( αx ) =

α Ax .

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = P thì toán
tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.7
Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không gian X
vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho:


Ax ≤ C x , ∀x∈ X .

Định nghĩa 1.1.8

(1.1)


Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. Hằng số C ≥ 0 nhỏ nhất thoả mãn hệ thức (1.1)
gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A .
Từ định nghĩa dễ dàng thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:

1)
(∀x

Ax
≤

∈ X)

(∀ ε >
0)( ∃xε ∈
2)

X)

(

A x;

A − ε < Ax .
ε
) xε

Định lý 1.1.2 (Định lý ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục)
Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau đây tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X;
3) A bị chặn.
Đ2. KHÔNG GIAN HILBERT
2.1 Tích vô hƣớng

Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P =  hoặc P =  ). Ta
gọi là tích vô hướng một ánh xạ

f : X × X → P , kí hiệu f(x,y) =
(x,y) thoả mãn

các điều kiện sau với mọi x, y, z thuộc X, với mọi

λ thuộc

P : 1) (x, y) =

2) ( x + y, z) =
3) ( λ x, y) =

( y, x) ;

(x, z) + (y, z) ;

λ ( x, y) ;


4) (x,
x) ≥ 0,
Với ∀x
∈
gọi
Xđặt

∀x

∈
X;

(x, x)

= 0⇔

x=

θ .

x = x, x. Công thức trên cho một chuẩn trên X và


là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
2.2 Không gian Hilbert
Tập hợp H ≠ ∅ được gọi là không gian Hilbert nếu H thoả
mãn các điều kiện:
1) H là một không gian tuyến tính trên trường P ;

2) Trên H xác định một tích vô hướng;
3) H là không gian Banach theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
n

Đ3. KHÔNG GIAN LP (  )
3.1 Không gian Lp (X), 1≤ p < ∞
Định nghĩa 1.3.1

n , 1≤ p <
Giả sử X là một tập đo được Lebesgue bất kì trong ∞. Ta kí


hiệu Lp (X) là K không gian vectơ tất cả các hàm f từ X vào K sao cho f
khả tích Lebesgue trên X.
Trong không gian này ta đồng nhất các hàm bằng nhau h.k.n.
đặt
p≥ 1
f
Với mọi và
f
∈ Lp

( X)

1

p



p
f
d
µ
= 
.

∫
X

p


3.1.1 Bất đẳng thức Holder
Giả sử p >1, q >1 là các số thực thoả mãn
Nếu
f ∈ Lp ( X ) ,
g∈ Lq ( X )

1
p

th fg∈ L1 (
ì X) và

3.1.2 Bất đẳng thức Minkovski

fg ≤
f
1

.g .
p

q

+
q

1

= 1.


p


Giả
sử

p ≥ 1 f , g∈ Lp ( X ) .
và

Khi
đó

f + g∈ Lp
( X ) và

f+ g
≤
f
p

+ g .
p

p


Bổ đề 1.3.1
Nế
u


f
và λ ∈K thì λ f
∈ Lp ∈ Lp ( X ) và λ f
( X)

=

λ f .

p

p

3.1.3 Nhận xét
Nếu

f

f ≠ 0 h. k. n ∫ f dµ > 0, ∀p ≥ 1. Do
p
thì
đó hàm f 

p

là một

X


chuẩn trong không gian

Lp (

theo bổ đề 1.3.1 và bất đẳng thức Minkovski.

X)
Vậy L (
p

là không gian định chuẩn.

X)

X = thì ta có không gian
n
Khi 
L (
p
đó:

1

n

) . Khi

f

p




f
p
dx
=
∫




p

n

Khi p = 2 thì L2(X) là không gian Hilbert. Thật vậy:
Với mọi f, g ∈L2(X), đặt:

( f , g) = ∫

f gdµ .

X

Công thức trên cho ta một tích vô hướng trên L2(X). Tích vô hướng này
sinh ra chuẩn của không gian L2(X)

( X).


Định lý 1.3.1

f 2 = ( f , ∀f
∈ L2

Với
mọi

p ≥ 1, Lp(X) là không gian Banach.

2

Định lý 1.3.2 (Định lý Fubini)
Giả
sử

f ∈ L1 ( 


n

×

) thế thì:

m

1) khắp
Với hầu


fL (x,y ) ∈
x∈
 ,
1 (
n

2) Với
khắphầu

m

)và

y

y
∈


) và

,L f 
( x, y) ∈
1 (
m

∫




n

n
x

∫ f (x, y) dx ∈



Hơn nữa

n

L1y (
m

);

f (;x, y) dy∈ L1

)

x

(
n


3) ∫ dx ∫ f (x,



n



m

y) dy =



m

f ( x, y ) dxdy .

f (x, y ) dx

∫ dy
∫

=



n

∫∫

n


 

m

Định lý 1.3.3 (Định lý Tonelli)
Giả sử ( X,M , và ( Y,N ,ν
µ)
hữu hạn, f

) là hai không gian có độ đo σ

-

là hàm đo được không âm trên không gian tích X × Y. Khi đó:
Với mỗi y∈Y,
hàm
Với mỗi x∈ X,
hàm
hàm

xf

là đo được với độ đo µ ,

(x,y) y 

là đo được với độ đo ν ,

( )


f x,y
x

∫ f ( x,y)dν (y )

là đo được trên X ,

Y

hàm

y

∫

X

và

f

(x,y)dµ(
x)

là đo được trên Y,

∫ dµ ( x )∫ dν ( y) f ( x, y ) = ∫ dν ( y )∫ dµ ( x ) f ( x,

y) .
X


3.2 Không gian

Y

L∞
(

Y

n

X

)

Định nghĩa 1.3.2
Giả sử ( X, M,

là một không gian độ đo. Hàm số f đo được trên X gọi

µ )

là chủ yếu giới nội trên X nếu tồn tại một tập hợp P
⊂ M

có độ đo không sao


cho f giới nội trên tập X \ P, tức là tồn tại một số K sao cho:

f (x) ≤
K,

∀x
∈X\
P.

(3.2.1)

Cận dưới đúng của tập các số K thoả mãn (3.2.1) trong đó P là tập có độ
đo không gọi là cận dưới đúng chủ yếu của f, kí hiệu
Định lý 1.3.4
Nếu f là hàm chủ yếu giới nội trên X
thì trên X.

esssu f ( x ) .
p
x∈X

f (x) ≤
esssup
x∈X

f

(x)

h. k. n



Chứng minh
Giả sử {Kn } là dãy số thực đơn điệu giảm đến K =
esssup

f ( x ) . Khi đó

x∈X

tập hợp

{x

Pn =

∈ X:
∞

P
= U
P
n=1
n

f (x) >
Kn

có độ đo không với mọi n. Hiển nhiên tập

}


có độ đo không và f ( x ) ≤ ∀x∈ X \ P .
K,

Định nghĩa 1.3.3
Giả sử

µ )

là một không gian độ đo. Gọi

( X, M,

L∞

(

X)

hàm số chủ yếu giới nội trên X. Với mỗi phần tử f của L
∞
X)

(



là tập hợp các

đặt:


= esssup f x
( ).
x∈X

f

∞

Dễ thấy chuẩn này có các tính chất sau: Với mọi f, g ∈ L∞ ( X ) :
1) f

≥ 0;
f

∞

= 0
⇔
f= 0

h. k. n;

∞

2) λ ∞
f =

λ

3) f + g

≤
f

f

λ
∞

, thực hoặc phức;

+ g .
L∞ ( X )

Nhận xét:
f

= esssup

∞


∞

x∈X

∞

∞

là không gian định


chuẩn

với chuẩn xác định bởi

f ( x) .
Định lý 1.3.5
L∞
X)

(

là không gian Banach.

Đ4. KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ VI VÔ HẠN GIẢM NHANH
Ta kí hiệu

C∞ ( 
n

)

là tập hợp các hàm f khả vi vô hạn xác định trên  .
n

Định nghĩa 1.4.1
Giá của hàm liên tục f xác định trên X, kí hiệu là suppf, là tập hợp K xác
định bởi:



K=

{x ∈ X : f ( x ) ≠ 0}.

Ta nói f có giá compact nếu K là tập compact.
Kí hiệu

∞

n

C0 ( 

là tập hợp tất cả các hàm f khả vi vô hạn xác định trên

)
□ n và có giá compact.
Định lý 1.4.1
n
C∞
trù mật
0 (
trong

Lp

n

(


)

).

Định nghĩa 1.4.2
Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Schwartz, kí hiệu S hoặc
S (

) , tập hợp tất cả các hàm ϕ
∈C ( )
n

∞

n

Với mọi đa chỉ số α,
β ∈ n ,

β
α
ρ = sup x ∂ ϕ ( x ) < ∞ .
x

α
β

Với tôpô xác định bởi: dãy

(ϕ


thoả mãn:

j

)⊂
S( )
n

số α, β xβ
n
α
∈ ,
∂

ϕ

( x) →

∈C

( )
n

n

khi j → ∞ .

0 trong 
j


Ví dụ : Mọi hàm ϕ
∞

0

đều thuộc S(


Định lý 1.4.2
∞

n

hội tụ về 0 nếu với mọi đa chỉ

C

(

)

n

).


trù mật trong

S( 


n

).


Chứng minh

và

Lấy f ∈
S(

n

)

C

ψ ∈
∞

x ≤ 1. Khi đó
∀ε > 0, hàm

0
n

( )


sao cho

ψ (x) =

1 với mọi x thoả mãn
∞

fε ( x ) f ( x )ψ (ε x) C0
thuộc
=
(

n

).

Áp dụng công thức Leibniz về đạo hàm của một tích ta có :
∂

α

(f

ε

(x)

− f (x)) = ∂

α


{ f ( x ) (ψ (ε x ) −1)}

là tổ

hợp tuyến tính của các số

hạng
β
dạng ∂

ψ với β ,γ là
mãn
( x ) ε (ε x )
f

∂

γ

các đa

chỉ số

thoả



β
+


γ

=

α
,

γ > 0 và số hạng ∂α f ( x ) (ψ (ε x) −1) . Như
dạng

vậy dễ dàng


thấy fε

(x)

hội tụ tới f(x) theo tôpô của S(


Hệ quả 1.4.1

S(
gian

Không

n


n

) khi ε →

) trù mật trong không

Lp (



0.

n

(1≤ p
< ∞ ).

)

gian Chứng
∞

minh

Theo định lý 1.4.1

n

C0 ( 


trù mật trong

)
Lp ( ) ⊂
C (
0
Mặt khác:
C

( 0 )S(⊂
∞

n

)

).
)⊂

∞

n

n

Định lý 1.4.3
Không
gian

n


) trù mật

n

(4.1)
L (

)

n
p

Từ (4.1) và (4.2) suy ra Lp (
S(
trong

suy ra

n

n
suy ra C∞
)⊂
0
(  S (

Vậy

Lp ( 


n

n

).

(4.2)

) ⊂ S ( ) .

L (

n

n

).



p

S(
gian

n

) không trù mật trong không


L∞
(

n

).

Chứng minh
Ta sử dụng phản chứng, giả sử ngược lại rằng

S(
j

n

)


trù mật trong
L ( ) . Khi đó với mỗi hàm f
∞
∈ L
n

ϕ
trong
→
j

f

Với hàm

L∞

n

( ) , tồn tại dãy (x) ⊂
ϕ
S( )
n

) nghĩa là esssup

( ϕ

− f
x∈

n

→ 0 khi j
→∞ .

j

ϕ ∈ sao cho ϕ

f ( x ) ≡ ( n ) ,
1∈ L∞ gọi


S(

n

)

Và esssup ϕ
j
= 0⇔
x∈

n

ϕ

−1 liên tục, ∀j = 1, 2...

( x ) − f ( x ) = sup ϕ ( x ) −1
ϕ ( x ) = 1 khi
x∈

lớn. Điều này mâu thuẫn với ϕ

Vậy không gian

x vµ j đủ

j
j


∈ S(

khi

→
f j

j

j → ∞j . =
Ta có ϕ − f
j

sao cho

n

∞

j

n

n

).
∞

S(
gian


n

) không trù mật trong không

L (

n

).

